ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– NGUYỄN VIỆT HƯƠNG VỀ CÁC TẬP GIẢ GIÁ VÀ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN - MACAULAY CỦA CÁC MƠĐUN HỮU HẠN SINH Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✶ ✶ ❱➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✺ ✶✳✶ ❈❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ị ❝❤✐Ị✉ ✺ ✶✳✷ ❈❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ị ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✸ ❱➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✹ ▲✐➟♥ ❤Ư ✈í✐ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ỉ ❞ơ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✺ ➜➷❝ tr➢♥❣ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✶✻ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ●✐➯ ❣✐➳ ✈➭ q✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✷✷ ✷✳✶ ❚❐♣ ❣✐➯ ❣✐➳ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✷ ▼➠ t➯ q✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② q✉❛ ❣✐➯ ❣✐➳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✷✳✸ ◗✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❙❡rr❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t tì ủ P ị ị t t tỏ ò ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❝➠✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ●❙✳ ❚❙❑❍ ◆❣✉②Ơ♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ P●❙✳ ❚❙ ◆❣✉②Ơ♥ ◗✉è❝ ❚❤➽♥❣✱ P●❙✳❚❙❑❍ P❤ï♥❣ ❍å ❍➯✐✱ ❚❙ ❱ị ❚❤Õ ❑❤➠✐ ✈➭ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ ❚r➢ê♥❣✳ ❚➠✐ ❝ò♥❣ r✃t ❜✐Õt ➡♥ ❝➳♥ ❜é✱ ●✐➳♦ ✈✐➟♥ tr➢ê♥❣ ❚❍P❚ ▲➢➡♥❣ ◆❣ä❝ ◗✉②Õ♥ ♥➡✐ t➠✐ ➤❛♥❣ ❝➠♥❣ t➳❝✱ ➤➲ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❧✉➠♥ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ➤Ĩ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ✈✐Ư❝✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❚r♦♥❣ s✉èt ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈➭ (R, m) tr ị M R ữ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❚❛ ❧✉➠♥ ❝ã dim M ≥ depth M ◆Õ✉ dim M = depth M t❤× t❛ ♥ã✐ M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✳ ❱➭♥❤ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳ R ▲í♣ ✈➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❧í♣ ✈➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥ q✉❛♥ trä♥❣ ♥❤✃t ❝đ❛ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✳ ❈❤ó♥❣ ❝ß♥ ①✉✃t ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ❦❤➳❝ ❝đ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥❤➢ số tổ ợ số ề ì ọ ➤➵✐ sè✳ ◗✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❝ñ❛ M ✱ ❦Ý ệ nCM(M ) ợ ị tứ nCM(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② } ◆❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ q✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ❝ñ❛ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❦❤✐ ✈➭♥❤ ❝➡ së R ❧➭ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ ●♦r❡♥st❡✐♥ ✭❝❤➻♥❣ ❤➵♥ ♥❤➢ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧ ❬❙❪✮✳ ❈ị♥❣ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥➭②✱ ♥➝♠ ✶✾✾✶✱ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ ❬❈❪ ➤➲ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ q✉❛ ♠ét ❜✃t ❜✐Õ♥ ❣ä✐ ❧➭ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ nCM(M ) t❤➠♥❣ M✳ ●➬♥ ➤➞②✱ ♥➝♠ ✷✵✶✵✱ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣✱ ◆✳ ❚✳ ❑✳ ◆❣❛✱ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ❬❈◆◆❪ ➤➲ ♠➠ t➯ q✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❝ñ❛ ❝ñ❛ M t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ t❐♣ ❣✐➯ ❣✐➳ M tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ tỉ♥❣ q✉➳t ✭❦❤➠♥❣ ❝➬♥ ❜✃t ❝ø ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❣× ❝đ❛ R✮✱ tr♦♥❣ ➤ã t❐♣ ❣✐➯ ❣✐➳ t❤ø i ❝đ❛ M ✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❜ë✐ PsuppR M, ợ ị ĩ r r ❬❇❙✶❪ ♥❤➢ s❛✉ i−dim(R/p) PsuppiR M = {p ∈ Spec(R) | HpRp ❚õ ➤ã ❤ä ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ (Mp ) = 0} nCM(M ) ❞➢í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt R ❧➭ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✭❣✐➯ t❤✐Õt ♥➭② ❧➭ ế ì ỗ S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ ●♦r❡♥st❡✐♥ ❧➭ ✈➭♥❤ ❝♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✮✳ ◗✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❝đ❛ M ❝ß♥ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❝đ❛ ✈➭♥❤ R/ AnnR (M )✱ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❙❡rr❡ tr➟♥ M ✈➭ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ R/p ✈í✐ p ∈ SuppR (M ) ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ❝❤✐ t✐Õt ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ ✈Ò q✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② nCM(M ) ✈➭ ❝➳❝ t❐♣ ❣✐➯ ❣✐➳ Psuppi (M ) ❝đ❛ ◆❣✉②Ơ♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❑✐Ị✉ ◆❣❛ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦✿ ❖♥ ♣s❡✉❞♦ s✉♣♣♦rts ❛♥❞ ♥♦♥✲❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❧♦❝✉s ♦❢ ❢✐♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ♠♦❞✉❧❡s✱ ✸✷✸ ✭✷✵✶✵✮✱ ✸✵✷✾✲✸✵✸✽✳ ❇➟♥ ❝➵♥❤ ➤ã✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ trì ữ tí t t ủ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✿ ❝❤✉②Ĩ♥ q✉❛ ➤➬② ➤đ✱ ❝❤✉②Ĩ♥ q✉❛ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛✱ ①Ðt tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ỉ ❞ơ♥❣✱ ①Ðt tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✈➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ✷ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ✈➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳ ❈➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò q✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✈➭ ❝➳❝ t❐♣ ❣✐➯ ❣✐➳ ủ ữ s ợ ết tr ■■✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❱➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❚r♦♥❣ s✉èt ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❝❤♦ R ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ➜Ĩ t✐Ư♥ t❤❡♦ ❞â✐✱ tr➢í❝ ❦❤✐ tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈Ị ❝❤✐Ị✉ ✈➭ ➤é s➞✉✳ ✶✳✶ ➜➷t ❈❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ị ❝❤✐Ị✉ AnnR M = {a ∈ R | aM = 0} ❑❤✐ ➤ã AnnR M ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝đ❛ R✳ ✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❝đ❛ ▼ét ❞➲② p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè R t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ pi = pi+1 ✈í✐ ♠ä✐ i ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❣✉②➟♥ tè ➤é ❞➭✐ n ❝đ❛ R✳ ❈❤✐Ị✉ ✭❑r✉❧❧✮ ❝đ❛ ✈➭♥❤ R✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ dim R✱ ❧➭ ❝❐♥ tr➟♥ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤é ❞➭✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❞➲② ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ñ❛ ❝ñ❛ ♠ét ❞➲② ✐➤➟❛♥ R✳ ❈❤✐Ị✉ ✭❑r✉❧❧✮ M ✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ dim M ✱ ❧➭ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ✈➭♥❤ t❤➢➡♥❣ R/ AnnR M ✶✳✶✳✷ ❱Ý ❞ô✳ ✭✐✮ ❚r♦♥❣ ✈➭♥❤ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ➤é ❞➭✐ ✐➤➟❛♥ ❝ã ❞➵♥❣ Z ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ ❞➲② {0} ⊂ 2Z ❧➭ ♠ét ❞➲② 1✳ ❱× ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❝đ❛ Z ❧➭ {0} ✈➭ ❝➳❝ pZ ✈í✐ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥➟♥ ❝❐♥ tr➟♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤é ❞➭✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❞➲② ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè tr♦♥❣ ✭✐✐✮ ❳Ðt ✈➭♥❤ Z ❧➭ 1✳ ❱× t❤Õ dim Z = Z6 ❱➭♥❤ ♥➭② ❝ã ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭ 3Z6 ✈➭ 2Z6 ❉♦ ➤ã dim Z6 = ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ ▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ tÝ♥❤ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ tr➟♥ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ❧➭ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt✱ ➤➢ỵ❝ ♥➟✉ tr♦♥❣ ❜ỉ ➤Ị s❛✉ ➤➞②✳ ◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝đ❛ s❛♦ ❝❤♦ ❤✐Ư✉ ❧➭ p ❝ñ❛ R M ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ = x ∈ M p = AnnR x ❚❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝đ❛ M ➤➢ỵ❝ ❦Ý AssR M ●✐➳ ❝đ❛ M ✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ Supp M ✱ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ Supp M = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0} ✶✳✶✳✸ ❇ỉ ➤Ị✳ ❚❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè tè✐ t❤✐Ó✉ ❝❤ø❛ M ❝❤Ý♥❤ ❧➭ AnnR M ➜➷❝ ❜✐Öt t❛ ❝ã dim M = max{dim(R/p) | p AssR M } ứ ì M ữ ❤➵♥ s✐♥❤ ♥➟♥ Supp M = Var(AnnR M ) ❉♦ ➤ã Supp M = Var(AnnR M ) ❚❤❡♦ ❬▼❛t✱ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✻✳✺✭✐✐✐✮❪ t❛ ❝ã Ass M = Supp M ❉♦ ➤ã Ass M = Var(AnnR M ) ▼Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tÝ♥❤ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ✭①❡♠ ❬▼❛t✱ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✺✳✹❪✮✳ ✶✳✶✳✹ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ dim R[x1 , , xn ] = n + dim R ∞ t xi | R, i ỗ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ R[[x]] R[[x]] = i=0 ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ột ỗ ũ từ ì tứ ủ ế x i + ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ∞ ∞ xi i=0 ∞ i=0 bj xj = j=0 ∞ ∞ bi xi = i=0 (ai + bi )xi ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ i=0 ck xk ✱ tr♦♥❣ ➤ã ck = k=0 x ✈í✐ ❤Ư sè tr♦♥❣ R✳ bj ❑❤✐ ➤ã R[[x]] ❧➭ i+j=k ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ◆♦❡t❤❡r✱ ➤➢ỵ❝ ọ ỗ ũ từ ì tứ ủ ❜✐Õ♥ x tr➟♥ R✳ ❑❤✐ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ❞✉② t m tì R[[x]] ũ ị ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ∞ xi ∈ R[[x]], a0 m n= i=0 ỗ ũ từ ❤×♥❤ t❤ø❝ ❧➭ n ❜✐Õ♥ x1 , , xn ✈í✐ ❤Ư sè tr➟♥ R✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ R[[x1 , , xn ]] ợ ị ĩ t➢➡♥❣ tù✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ ♣❤Ð♣ t❛ tÝ♥❤ ợ ề ủ ỗ ũ từ ì tứ ✭①❡♠ ❬▼❛t✱ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✺✳✹❪✮✳ ✶✳✶✳✺ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ✶✳✶✳✻ ❱Ý ❞ô✳ dim R[[x1 , , xn ]] = n + dim R ✭✐✮ ❚Ý♥❤ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ✈➭♥❤ Z[x, y, z]/I ✈í✐ I = (x2 , y)∩(z )✳ ➜➷t R = Z[x, y, z] ❚❛ ❝ã dim R = + dim Z = ❈❤ó ý r➺♥❣ AssR (R/I) = {(x, y), (z)} ❙✉② r❛ dim(R/I) = max{dim(R/(x, y)), dim(R/(z))} = ✭✐✐✮ ❚✐♥❤ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ✈➭♥❤ ➜➷t R R[[x, y, z, t]]/J ✈í✐ J = (x, y , z) ∩ (y, z , t5 ) = R[[x, y, z, t]] ❑❤✐ ➤ã dim R = 4+dim R = ❚❛ ❝ã AssR (R/J) = {(x, y, z), (y, z, t)} ❙✉② r❛ dim(R/J) = max{dim R/(x, y, z), dim(R/(y, z, t)} = ị ĩ tr R ợ ọ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♥Õ✉ ♥ã ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐✳ ❚õ ♥❛② ✈Ò s❛✉✱ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ m ❧➭ ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ dim M = d ✶✳✶✳✽ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ▼ét ✐➤➟❛♥ I ❝đ❛ R ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ s➡ ♥Õ✉ I = R ✈➭ tõ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ xy ∈ I ❦Ð♦ t❤❡♦ x ∈ I ❤♦➷❝ tå♥ t➵✐ sè n > s❛♦ y n ∈ I ✈í✐ x, y ∈ R✳ ●✐➯ sư I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ s➡ ❝đ❛ R✳ ❑❤✐ ➤ã √ t❐♣ I = {x ∈ R | ∃n ∈ N ➤Ó xn ∈ I} ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ❝đ❛ R✱ ❝❤♦ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② t❛ ❣ä✐ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ p✲♥❣✉②➟♥ s➡✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✽ ➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ➤➞②✱ ❣ä✐ ❧➭ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ✲ ❙❛♠✉❡❧ ✱ ❝❤♦ t❛ ✷ ❜✃t ❜✐Õ♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❝❤✐Ị✉✳ ✶✳✶✳✾ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ➤ã✱ ✭❬▼❛t✱ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✸✳✹❪✮ ✳ ❈❤♦ q ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ m✲♥❣✉②➟♥ s➡✳ ❑❤✐ (M/qn M ) ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ❤Ư sè ❤÷✉ tû ❦❤✐ ♥ ➤đ ❧í♥ ✈➭ dim M = deg (M/qn M ) = inf t | ∃x1 , , xt ∈ m, (M/(x1 , , xt )M ) < ∞ ✶✳✶✳✶✵ ◆❤❐♥ ①Ðt✳ ❱× R ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ♥➟♥ m ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ♣❤➬♥ tö x1 , , xt ∈ m s❛♦ ❝❤♦ m = (x1 , , xt )R✳ ❱× (M/mM ) < ∞ ♥➟♥ (M/(x1 , , xt )M ) < ∞ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ✲ ❙❛♠✉❡❧ t❛ s✉② r❛ ✶✳✶✳✶✶ ❍Ö q✉➯✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ dim M < ∞✳ dim(M/(x1 , , xr )M ) ≥ d − r✱ ∀x1 , , xr ∈ m ❇➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r = x ∈ m ●✐➯ sö dim(M/xM ) = k < d − ➜➷t M1 = M/xM ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ✲ ❙❛♠✉❡❧✱ tå♥ t➵✐ x1 , , xk ∈ m s❛♦ ❝❤♦ (M1 /(x1 , , xk )M1 ) < ∞ ❉♦ ➤ã (M/(x, x1 , , xk )M ) < ∞ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ✲ ❙❛♠✉❡❧✱ d = dim M k + ❉♦ ➤ã d − k, ✈➠ ❧Ý✳ ✶✳✶✳✶✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ sè r ❝đ❛ ▼ét ❤Ư (x1 , , xd ) ⊆ m ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ M ♥Õ✉ (M/(x1 , , xd )M ) < ∞ ▼ét ❤Ö (x1 , , xr ) ⊆ m ✈í✐ d✱ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ M ♥Õ✉ dim(M/(x1 , , xr )M ) = d − r ▼ét ❞➲② (xn ) ⊆ R ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ột t t m ế ỗ k ∈ N ❝❤♦ tr➢í❝✱ tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥ n0 s❛♦ ❝❤♦ xn − xm ∈ mk ✈í✐ ♠ä✐ n, m ≥ n0 ❉➲② (xn ) ⊆ R ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn ế ỗ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾ k ∈ N ❝❤♦ tr➢í❝✱ tå♥ t➵✐ sè n0 s❛♦ ❝❤♦ xn ∈ mk ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ n0 ❚❛ tr❛♥❣ ❜Þ q✉❛♥ ❤Ư t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ tr➟♥ t❐♣ ❝➳❝ ❞➲② ❈❛✉❝❤② ♥❤➢ s❛✉✿ ❍❛✐ ❞➲② ❈❛✉❝❤② (xn ), (yn ) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤✐Ư✉ ♥Õ✉ ❞➲② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ (xn − yn ) ❧➭ ❞➲② ❦❤➠♥❣✳ ❑Ý R ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❧í♣ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ q✉② t➽❝ ❝é♥❣ (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥ (xn )(yn ) = (xn yn ) ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❝➳❝ ➤➵✐ ❞✐Ư♥ ❝đ❛ ❝➳❝ ❧í♣ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✳ ❱× t❤Õ ♥ã ❧➭ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ tr➟♥ R ✈➭ ❝ï♥❣ ✈í✐ ❤❛✐ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ♥➭②✱ R ❧➭♠ t❤➭♥❤ ♠ét ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ✐➤❡❛♥ tè✐ ➤➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ❧➭ ❧➭ ✈➭♥❤ ủ t t ột ỗ mR R ✈õ❛ ①➞② ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ m✲❛❞✐❝ ❝đ❛ R✳ (zn ) ⊆ M ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② t❤❡♦ t➠♣➠ m✲❛❞✐❝ ♥Õ✉ ✈í✐ k ∈ N ❝❤♦ tr➢í❝✱ tå♥ t➵✐ n0 s❛♦ ❝❤♦ zn − zm ∈ mk M ❚õ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❞➲② ❈❛✉❝❤② ♥❤➢ tr➟♥✱ t➢➡♥❣ tù t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➤➢ỵ❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♠➠➤✉♥ ➤➬② ➤đ t❤❡♦ t➠♣➠ m✲❛❞✐❝ tr➟♥ ✈➭♥❤ R✳ ▼➠➤✉♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ M ✶✳✶✳✶✸ ❱Ý ❞ô✳ tr➟♥ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✱ K[x1 , , xn ] ❧➭ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ n ❜✐Õ♥ K ✳ ❱➭♥❤ S = K[x1 , , xn ] ❦❤➠♥❣ ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ❉Ô t❤✃② P = (x1 , xn )S ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝ñ❛ S ✳ ❉♦ ➤ã ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛ R = SP ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐ ❧➭ m = (x1 , xn )R ◆❣➢ê✐ t❛ ❝ã t❤Ó ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ ✈➭♥❤ ➤➬② ➤đ m✲❛❞✐❝ ❝đ❛ R ❝❤Ý♥❤ ❧➭ K[[x1 , , xn ]] ❑Õt q✉➯ s❛✉ ➤➞② ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ r➺♥❣ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤ỉ✐ ❦❤✐ ❝❤✉②Ĩ♥ q✉❛ ➤➬② ➤đ ✶✳✶✳✶✹ ❇ỉ ➤Ị✳ ✶✳✷ dim M = dim(M ) ❈❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ị ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ✶✳✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ♠ét m✲❛❞✐❝ ✭①❡♠ ❬▼❛t✱ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✺✳✶✭✐✐✮❪✮✳ M ✲❞➲② ✭✐✮ ▼ét ❞➲② ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ❝❤Ý♥❤ q✉② ➤é ❞➭✐ x1 , , xt ❝đ❛ R ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t ♥Õ✉ (x1 , , xt )M = M ✈➭ xi ❦❤➠♥❣ ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ➤è✐ ✈í✐ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên M/(x1 , , xt )M ✈í✐ ♠ä✐ i http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✻ ❈❤♦ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➤ã i−dim(R/p) HpRp (Mp ) = ❱× ✈➭♥❤ ➤➬② ➤đ ❝đ❛ R/p ❧➭ R/pR ♥➟♥ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✶✹ t❛ ❝ã t➵✐ p ∈ PsuppiR (M ) s❛♦ ❝❤♦ psdi (M ) = dim(R/p) ❑❤✐ dim(R/pR) = dim(R/p) ❱× t❤Õ✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✸✱ tå♥ p ∈ Ass(R/pR) s❛♦ ❝❤♦ dim(R/p) = dim(R/p) ❈❤ó ý r➺♥❣ ➳♥❤ ①➵ Rp Rp ì tế t ị í ❝❤✉②Ĩ♥ ❝➡ së ♣❤➻♥❣ ✭①❡♠ ❬❇❙✱ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✹✳✸✳✷❪✮ t❛ ❝ã i−dim(R/p) HpR p ❙✉② r❛ i−dim(R/p) (Mp ) ∼ (Mp ) ⊗ Rp = = HpRp p ∈ PsuppiR (M ) ❱× t❤Õ psdi (M ) ≥ dim(R/p) = psdi (M ) ❙ư ❞ơ♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧Ý ♥➞♥❣ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✭❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✼✮ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ PsuppiR (M ) = Var(AnnR Hmi R (M )) = Var(AnnR Hmi (M )) ❱× t❤Õ psdi (M ) = dim(R/ AnnR Hmi (M )) ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✹✭✐✐✐✮✱ t❛ ❝ã AttR (Hmi (M )) = Var(AnnR Hmi (M ))✳ ❉♦ ➤ã ❝ã ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè q ∈ AttR (Hmi (M )) s❛♦ ❝❤♦ dim(R/q) = dim(R/ AnnR Hmi (M )) ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✺ t❛ ❝ã q ∩ R ∈ AttR (Hmi (M ))✳ ❉♦ ➤ã dim(R/ AnnR Hmi (M )) = dim(R/q) dim(R/(q ∩ R)) ❈ã t❤Ĩ ①➯② r❛ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ dim(R/ AnnR Hmi (M )) PsuppiR (M ) ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ t❤ù❝ sù ❝ñ❛ Var(AnnR Hmi (M )) ✈➭ psdi (M ) < dim(R/ AnnR Hmi (M )) < dim(R/ AnnR Hmi (M )) ✷✳✶✳✶✵ ❱Ý ❞ô✳ ✭✐✮✳ ◆➝♠ ✶✾✼✵✱ ❉✳ ❋❡rr❛♥❞ ✈➭ ▼✳ ❘❛②♥❛✉❞ ➤➲ ①➞② ❞ù♥❣ ♠ét ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt (R, m) ❝ã ❝❤✐Ò✉ s❛♦ ❝❤♦ tå♥ t➵✐ ♠ét q ∈ Ass(R) ✈í✐ dim(R/q) = 1✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✼ Psupp1 (R) = {m} ✈➭ ✈× t❤Õ psd1 (R) = ❱í✐ ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ♥➭②✱ ♥➝♠ ✷✵✵✷✱ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ ✈➭ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ dim(R/ AnnR Hm1 (R)) = ✈➭ dim(R/ AnnR Hm1 (R)) = ❉♦ ➤ã Var AnnR Hm1 (R) = Spec(R)✳ ❱× Psupp1 (R) = {m} ♥➟♥ t❛ ❝ã Psupp1 (R) = Var AnnR Hm1 (R) ✭✐✐✮✳ ❚❛ ❜✐Õt r➺♥❣ tå♥ t ữ ề tr ị ề ❝❛t❡♥❛r②✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ ♠ét ♠✐Ị♥ ♥❣✉②➟♥ ♥❤➢ t❤Õ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ▼✳ ❇r♦❞✲ ♠❛♥♥ ①➞② ❞ù♥❣ tõ ♥➝♠ ✶✾✽✵✳ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ♠✐Ò♥ ♥❣✉②➟♥ ◆♦❡t❤❡r ❝❤✐Ò✉ s❛♦ ❝❤♦ R ❦❤➠♥❣ ❝❛t❡♥❛r②✳ ❚❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ r➺♥❣ dim(R/ AnnR Hm2 (R)) = ✈➭ dim(R/ AnnR Hm2 (R)) = ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá Var AnnR Hm2 (R) = Spec(R) ❱× R ❦❤➠♥❣ ❝❛t❡♥❛r② ♥➟♥ t❐♣ U = {p ∈ Spec(R) | dim(R/p) + ht(p) = 2} ❧➭ rỗ õ r ọ p Psupp2 (R) ✈í✐ ♠ä✐ p ∈ U ✈➭ dim(R/p) p ∈ Psupp2 (R) ❉♦ ➤ã psd2 (R) = 1✳ ❙✉② r❛ Var AnnR Hm2 (R) = Psupp2 (R) ✷✳✷ ▼➠ t➯ q✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② q✉❛ ❣✐➯ ❣✐➳ ❚r♦♥❣ t✐Õt ♥➭②✱ ✈➱♥ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❝❤✐Ị✉ d✳ ❚r➢í❝ ❤Õt ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ q✉ü tÝ❝❤ ủ ữ s ị ♥❣❤Ü❛✳ ◗✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❝đ❛ M ✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❜ë✐ nCM(M )✱ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ nCM(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② } ➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ✸ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ ♠➠ t➯ q✉ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❝ñ❛ M t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ t❐♣ ❣✐➯ ❣✐➳✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✽ ✷✳✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭✐✮ ❚å♥ t➵✐ ●✐➯ sư p ∈ SuppR (M )✳ ❑❤✐ ➤ã d s❛♦ ❝❤♦ p ∈ PsuppiR (M ) ✈➭ i depth(Mp ) = k − dim(R/p), dim(Mp ) = t − dim(R/p), tr♦♥❣ ➤ã ✭✐✐✮ k = min{i | p ∈ PsuppiR (M )} ✈➭ t = max{i | p ∈ PsuppiR (M )} i d i d PsuppiR (M ) nCM(M ) = ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ s d ∩ PsuppjR (M ) i t ❱× t❤Õ✱ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✺✳✻ t❛ ❝ã dim(Mp ) = t − dim(R/p) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✾ ✭✐✐✮✳ ❈❤♦ p ∈ nCM(M ) ❑❤✐ ➤ã Mp ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱ tø❝ ❧➭ depth(Mp ) < dim(Mp ) ❚❤❡♦ ✭✐✮ ✈í✐ k = min{i | p ∈ PsuppiR (M )} ✈➭ t = max{i | p ∈ PsuppiR (M )} t❤× t❛ ❝ã k < t✳ ❱× t❤Õ k < t ✈➭ p ∈ PsuppkR (M ) ∩ PsupptR (M ) ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sư tå♥ t➵✐ i, j s❛♦ ❝❤♦ d ✈➭ i s − dim(R/p) ❱× t❤Õ p∈ / i s depth(Mp ) + dim(R/p) > s✱ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ✭✐✈✮ ●✐➯ sư Psuppi M ✳ ❚❤❡♦ ✭✐✐✐✮✱ depth(Mp ) + dim(R/p) = d p∈ / i