Quỹ tích không cohen macaulay và quỹ tích không cohen macaulay suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THANH GIANG QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN-MACAULAY VÀ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN-MACAULAY SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THANH GIANG QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN-MACAULAY VÀ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHUN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên – 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn hoàn toàn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn đồng ý cá nhân tổ chức Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Tác giả luận văn Trần Thanh Giang i Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Chiều Krull 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 1.3 Dãy quy độ sâu mơđun iđêan 11 1.4 Tính catenary cho vành Noether 16 1.5 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin 18 Quỹ tích khơng Cohen - Macaulay không Cohen Macaulay suy rộng 23 2.1 Vành môđun Cohen-Macaulay 23 2.2 Tập giả giá số tính chất 25 2.3 Mơ tả quỹ tích khơng Cohen-Macaulay 27 2.4 Vành môđun Cohen-Macaulay suy rộng 33 2.5 Giá suy rộng số tính chất 34 2.6 Mơ tả quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng 38 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn tận tình PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô Tôi xin gửi tới thầy Khoa Tốn, Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên thầy tham gia giảng dạy khóa học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục, đào tạo nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân quan tâm, tạo điều kiện, động viên, cổ vũ để tơi hồn thành nhiệm vụ Lời nói đầu Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đại m Cho M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Lớp môđun Cohen-Macaulay lớp môđun quan trọng đại số giao hốn Kí hiệu depth M độ sâu M m Ta ln có dim M ≥ depth M Ta nói M mơđun Cohen-Macaulay depth M = dim M Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay M , kí hiệu nCM(M ), tập tất iđêan nguyên tố p R cho Mp không môđun CohenMacaulay Năm 2002, M Brodmann R Y Sharp (Xem [BS1] ) giới thiệu khái niệm tập giả giá môđun hữu hạn sinh nhằm xây dựng công thức bội cho môđun đối đồng điều địa phương Cho i ≥ số nguyên Giả giá thứ i môđun M , kí hiệu PsuppiR (M ) cho cơng thức: i−dim(R/p) PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R)|HpRp (Mp ) = 0} Năm 2010, [CNN], Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn, Nguyễn Thị Kiều Nga mô tả tập nCM(M ) qua tập PsuppiR (M ): nCM(M ) = i s Điều vô lý Vậy khẳng định chứng minh PsuppiR (M ) Khi depth(Mp ) + dim(R/p) = d theo (iv) Giả sử p ∈ / i d (iii) Do Mp Cohen-Macaulay có chiều d − dim(R/p) Cho i ≥ số nguyên Chú ý giả giá thứ i mơđun M nhìn chung khơng tập đóng (xem [BS1] Ví dụ 3.1, Ví dụ 3.2) Nếu vành R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay PsuppiR (M ) đóng với i Trong trường hợp vành R catenary PsuppiR (M ) đóng số trường hợp đặc biệt i Hơn nữa, từ Định lý 2.3.1 có cơng thức biểu diễn quĩ tích khơng Cohen-Macaulay trường hợp M đẳng chiều 29 Hệ 2.3.2 Giả sử M đẳng chiều vành R/ AnnR M catenary Khi PsuppiR (M ) đóng với i = 0, 1, d nCM(M ) = d−1 i i=0 PsuppR (M ) Chứng minh Ta có Psupp0R (M ) ⊆ {m} Do Psupp0R (M ) tập đóng Lấy p ∈ Psupp1R (M ) Khi dim(R/p) Nếu dim(R/p) = (Mp ) = Vì p ∈ AssR (M ) Do HpR p Psupp1R (M ) ⊆ {m} ∪ {p ∈ Ass M | dim(R/p) = 1} Vì Psupp1R (M ) có hữu hạn phần tử cực tiểu Vì R/ AnnR M vành catenary nên Psupp1R (M ) đóng phép đặc biệt hóa theo Bổ đề 2.2.4 Điều suy Psupp1R (M ) tập đóng Spec R theo tơpơ Zariski Theo giả thiết M đẳng chiều nên Var(p) = Var(AnnR Hmd (M )) Var(AnnR M ) = p∈Ass M,dim(R/p)=d Vì R/ AnnR M catenary nên PsuppdR (M ) = Var(AnnR M ) Do PsuppdR (M ) đóng PsuppiR (M ) ∩ PsuppdR (M ) = PsuppiR (M ) PsuppiR (M ) với i = 1, , d − Vì nCM(M ) = i d−1 Kết sau suy từ Định lý 2.3.1(ii) cho điều kiện cần để nCM(M ) đóng Hệ 2.3.3 Nếu PsuppiR (M ) đóng với i ≤ d nCM(M ) đóng Câu hỏi tự nhiên đặt phát biểu ngược lại Hệ 2.3.3 có khơng? Tức nCM(M ) đóng tập PsuppiR (M ) có đóng với i ≤ d không? Chúng ta đưa câu trả lời trường hợp dim M = M đẳng chiều 30 Hệ 2.3.4 Giả sử M đẳng chiều dim M = Nếu R/ AnnR M catenary PsuppiR (M ) đóng với i = ta có PsuppiR (M ) nCM(M ) = i=0 Khi nCM(M ) đóng Psupp2R (M ) đóng Chứng minh Vì M đẳng chiều dim M = nên theo Hệ 2.3.2, PsuppiR (M ) đóng với i = nCM(M ) = đó, nCM(M ) đóng Psupp2R (M ) đóng Giả sử i i=0 PsuppR (M ) Do Psupp2R (M ) khơng đóng Do R/ AnnR (M ) catenary nên Psupp2R (M ) đóng phép đặc biệt hóa theo Bổ đề 2.2.4 Vì Psupp2R (M ) khơng đóng nên có vô dim(R/p) với p ∈ Psupp2R (M ) theo Bổ đề 2.2.2 (i) dim(R/p) với p ∈ hạn phần tử cực tiểu Chú ý Psupp1R (M ) ∪ Psupp0R (M ) Vì vậy, phần tử cực tiểu Psupp2R (M ) phần tử cực tiểu nCM(M ) Điều suy nCM(M ) có vơ hạn phần tử cực tiểu nên nCM(M ) khơng đóng Vì nCM(M ) đóng Psupp2R (M ) đóng M Brodmann R Y Sharp [BS1], Ví dụ 3.1 tồn (R, m) miền nguyên địa phương Noether chiều cho R catenary phổ dụng, Psupp2R (M ) khơng đóng theo Hệ 2.3.4 quĩ tích khơng Cohen-Macaulay R khơng đóng Nếu R/ AnnR M khơng catenary phát biểu ngược lại Hệ 2.3.3 không? Câu trả lời không Trước đưa phản ví dụ Chúng ta có tính chất sau Hệ 2.3.5 Giả sử dim M = dim(R/p) = với p ∈ AssR M Giả sử R/ AnnR M khơng catenary Khi Psupp3R (M ) khơng đóng Hơn nữa, Psupp0R (M ) = ∅, Psupp1R (M ) ⊆ {m} nCM(M ) = Psupp2R (M ) ∩ Psupp3R (M ) 31 Chứng minh Theo giả thiết M đẳng chiều vành R/ AnnR M không catenary nên Psupp2R (M ) không đóng Vì dim(R/p) = với p ∈ AssR M nên ta có Psupp0R (M ) = ∅ Psupp1R (M ) ⊆ {m} Vì để chứng minh nCM(M ) = Psupp0R (M ) Psupp0R (M ), theo Định lí 2.3.1 ta cần chứng minh m ∈ Psupp2R (M ) Psupp3R (M ) Vì dim M = 3 nên Hm = Do m ∈ Psupp3R (M ) Mặt khác R/ AnnR M khơng catenary nên tồn p ∈ AssR M cho R/p miền nguyên chiều không catenary Đặ U = {q ∈ Spec(R), q ⊇ p| dim(R/q) + ht(q/p) = 2} Vì R/p khơng catenary nên tồn iđêan nguyên tố q ∈ U Vì dim(R/q) + ht(q/p) = nên q = m q = p Do dim(R/q) = Do đơng cấu R → R phẳng nên tồn q ∈ Spec(R) cho q R = q Vì q = m nên q = mR Suy < dim(R/q) ≤ dim(R/q) = Vì dim(R/q) = Kí hiệu UR/pR (0) mơđun lớn R/pR có chiều bé dim(R/pR) Ta có q ∈ / SuppR ((R/pR)/UR/pR (0)) Do q AnnR (Hm3 (R/p)) Vì đơng cấu R → R phẳng nên thỏa mãn định lí xuống Do ht q ≥ tồn p ∈ Ass(R/pR) cho q ⊂ p p = q Do dim(R/p) ≥ Vì q AnnR (Hm3 (R/p)) nên dim(R/p) = Vì AssR M = Ass(R/pR) q∈AssR M nên p ∈ AssR M Do p ∈ AttR (Hm2 R (M )) Vì Hm2 (M ) = Vậy ta có m ∈ Psupp2R (M ) Ví dụ sau chứng tỏ bỏ giả thiết vành R/ AnnR M catenary phát biểu ngược lại hệ 2.3.3 khơng Ví dụ 2.3.6 Tồn miền nguyên địa phương Noetherian R chiều thỏa mãn quĩ tích khơng Cohen-Macaulay R đóng Psupp2 R Psupp3 R khơng tập đóng 32 Chứng minh Theo [BS1] Ví dụ 3.2, tồn (R, m) miền nguyên địa phương Noetherian có chiều thỏa mãn R không catenary, Psupp2 R Psupp3 R khơng đóng Psupp2 (R) \ {m, 0} = {p ∈ Spec R | ht(p) + dim(R/p) = 2}, Psupp3 (R) = {p ∈ Spec R | ht(p) + dim(R/p) = 3} Khi theo Hệ 2.3.5 ta có nCM(M ) = Psupp2 (R) ∩ Psupp3 (R) ⊆ {m, 0} Hiển nhiên ∈ / Psupp2 (R) Mặt khác, R không catenary nên R không Cohen-Macaulay Do nCM(M ) = {m} tập đóng Tiếp theo nghiên cứu quĩ tích khơng Cohen-Macaulay mối quan hệ với tính catenary vành R/ AnnR M tính khơng trộn lẫn vành địa phương R/p với iđêan nguyên tố p ∈ SuppR (M ) Nhắc lại rằng, M gọi tựa không trộn lẫn M đẳng chiều, nghĩa dim(R/p) = d với p ∈ AssR M Ta nói M khơng trộn lẫn dim(R/p) = d với p ∈ AssR M Với số nguyên i, đặt (M ) = AnnR Hmi (M ) Đặt a(M ) = a0 (M )a1 (M ) ad−1 (M ) Định lý 2.3.7 Đặt T (M ) = Var(ai (M ) + aj (M )) Khi i cho với n đủ lớn ta có R (M/q n M ) = e0 n+d n+d−1 + + en + e1 d d−1 Khi e0 ∈ N, e0 > Ta gọi e0 số bội M ứng với x kí hiệu e(x, M ) Chú ý rằng, ta ln có e(x, M ) ≤ R (M/xM ) Định nghĩa 2.4.2 Một môđun M gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu: sup( R (M/xM ) − e(x, M )) < ∞, x cận lấy tất hệ tham số x M Định nghĩa 2.4.3 Vành R gọi vành Macaulay suy rộng R-môđun R Cohen-Macaulay suy rộng Định lý 2.4.4 Các phát biểu sau tương đương: (i) M Cohen-Macaulay suy rộng (ii) i R (Hm (M )) < ∞, với i < d (iii) M môđun Cohen-Macaulay suy rộng 2.5 Giá suy rộng số tính chất Đầu tiên,ta giới thiệu kí hiệu giá suy rộng Với i ≥ số nguyên Định nghĩa 2.5.1 Giá suy rộng thứ i M , kí hiệu LsuppiR (M ), định nghĩa bởi: LsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R)| i−dim(R/p) (Mp )) pRp (HpRp = ∞} 35 Chúng ta có số mối liên hệ LsuppiR (M ) PsuppiR (M ) Bổ đề 2.5.2 Nếu R catenary PsuppiR (M ) \ PsuppiR (M ) ⊆ LsuppiR (M ), LsuppiR (M ) đóng với phép đặc biệt hóa Chứng minh Lấy p ∈ PsuppiR (M ) \ PsuppiR (M ) Khi tồn i−dim(R/q) q ∈ PsuppiR (M ) cho q ⊂ p Do HqRq (Mq ) = Vì R catenary nên ta có i−dim(R/q) = HqRq i−dim(R/p)−dim(Rp /qRp ) (Mp )qRp (Mq ) ∼ = Hq(Rp )qR p i−dim(R/p) Điều dẫn đến qRp ∈ PsuppRp qRp ⊇ i−dim(R/p) AnnRp HpRp (Mp ) (Mp ) Theo Bổ đề 2.2.3 ta có Mặt khác, q = p nên i−dim(R/p) dim Rp / AnnRp HpRp Vì vậy, ta có i−dim(R/p) Rp HpRp (Mp ) > (Mp ) = ∞, tức p ∈ LsuppiR (M ) Lấy q ⊂ p, q = p iđêan nguyên tố cho q ∈ LsuppiR (M ) Khi q ∈ PsuppiR (M ) Vì R catenary nên theo Bổ đề 2.2.4 (i) ta p ∈ PsuppiR (M ) \ PsuppiR (M ) Do p ∈ LsuppiR (M ) Vì vậy, LsuppiR (M ) đóng phép đặc biệt hóa Bổ đề 2.5.3 Cho i ≥ số nguyên Khi LsuppiR (M ) ⊆ PsuppiR (M ) \ AttR Hmi (M ) Hơn nữa, R catenary phổ dụng thớ hình thức CohenMacaulay PsuppiR (M ) \ PsuppiR (M ) = LsuppiR (M ) = PsuppiR (M ) \ AttR Hmi (M ) 36 LsuppiR (M ) Chứng minh Lấy p ∈ pRp i−dim(R/p) HpRp (Mp ) Khi ta có p ∈ PsuppiR (M ) Vì = ∞ nên ta có i−dim(R/p) dim Rp / AnnRp HpRp i−dim(R/p) Do tồn qRp ∈ AttRp HpRp (Mp ) > (Mp ) thỏa mãn chiều Rp /qRp > Điều kéo theo q ⊂ p q = p Do q ∈ AttR (Hmi (M )) theo [BS, 11.3.8] Vì p ∈ / AttR Hmi (M ) Vì R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay nên ta có PsuppiR (M ) = Var(AnnR Hmi (M ) Vì PsuppiR (M ) = AttR Hmi (M ) Hơn ta có theo Bổ đề 2.5.2 ta có P suppiR (M ) \ PsuppiR (M ) = PsuppiR (M ) \ AttR Hmi (M ) ⊆ LsuppiR (M ) Vì PsuppiR (M ) \ PsuppiR (M ) = LsuppiR (M ) = PsuppiR (M ) \ AttR Hmi (M ) Nếu R catenary phổ dụng thớ hình thức CohenMacaulay ta có mối liên hệ tập giả giá mô đun M tập giả giá M sau PsuppiR (M ) = P ∩ R | P ∈ PsuppiR (M ) Đối với tập giá theo độ dài vơ hạn, ta có kết sau: Bổ đề 2.5.4 Nếu R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay LsuppiR (M ) ⊆ P ∩ R | P ∈ LsuppiR (M ) 37 Chứng minh Lấy p ∈ LsuppiR (M ) Khi p ∈ PsuppiR (M ) \ PsuppiR (M ) theo Bổ đề 2.5.3 Lấy P ∈ Ass(R/pR) thỏa mãn dim(R/p) = dim(R/P ) i−dim(R/p) Khi P ∩R = p Vì p ∈ PsuppiR (M ) nên HpRp (Mp ) = Do đồng cấu tự nhiên Rp → RP phẳng nên theo Định lý chuyển sở phẳng [BS, 4.3.2] ta có i−dim(R/P ) HP R P i−dim(R/p) (MP ) ∼ (Mp ) = = RP ⊗ HpRp Điều dẫn đến P ∈ PsuppiR (M ) Do p ∈ / PsuppiR (M ) nên tồn q ∈ PsuppiR (M ) thỏa mãn q ⊂ p q = p Vì đồng cấu tự nhiên R → R thỏa mãn tính chất xuống (xem [Mat]) nên tồn iđêan nguyên tố Q ⊂ P thỏa mãn ht(P/Q) ≥ ht(p/q) Q ∩ R = q Vì R catenary nên dim(R/q) ≥ dim(R/Q) = dim(R/P ) + ht(P/Q) ≥ dim(R/p) + ht(p/q) = dim(R/q) i−dim(R/q) Suy dim(R/q) = dim(R/Q) Mặt khác, HqRq (Mq ) = đồng cấu tự nhiên Rq → RQ phẳng nên Q ∈ PsuppiR (M ) Do q = p nên kéo theo Q = P Do P ∈ / PsuppiR (M ) Vì P ∈ LsuppiR (M ) theo Bổ đề 2.5.3 Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ tập giá theo độ dài vô hạn địa phương hóa Mệnh đề 2.5.5 Giả sử R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay Khi với p ∈ SuppR M ta có i−dim(R/p) LsuppRp (Mp ) = qRp | q ∈ LsuppiR (M ), q ⊆ p 38 Chứng minh Do R catenary nên ta có: i−dim(R/p) PsuppRp (Mp ) = qRp | q ∈ PsuppiR (M ), q ⊆ p (1) Vì R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay nên i−dim R/p AttRp HpRp (Mp ) = qRp | q ∈ AttR Hmi (M ), q ⊆ p (2) i−dim(R/p) Lấy qRp ∈ LsuppRp (Mp ) Theo Bổ đề 2.5.3, ta có i−dim(R/p) qRp ∈ PsuppRp i−dim(R/p) (Mp ) \ AttRp HpRp (Mp ) Từ đẳng thức (1), ta có q ∈ PsuppiR (M ) từ đẳng thức (2) ta có q∈ / AttR Hmi (M ) Do q ∈ LsuppiR (M ) theo Bổ đề 2.5.3 Ngược lại, lấy q ∈ LsuppiR (M ) q ⊆ p Khi q ∈ PsuppiR (M ) \ AttR Hmi (M ) i−dim(R/p) theo Bổ đề 2.5.3 Điều dẫn đến qRp ∈ PsuppRp i−dim(R/p)−dim(Rp /qRp ) Hq(Rp )qR p (Mp )qRp = i−dim(R/p)−dim(Rp /qRp ) Vì R catenary nên Hq(Rp )qR p i−dim(R/q) Do HqRq i−dim(R/q) i−dim(R/q) i−dim(R/p)−dim(Rp /qRp ) Hq(Rp )qR p i−dim(R/p) 2.6 i−dim(R/q) (Mp )qRp ∼ (Mq ) = HqRq (Mq ) = Chú ý qRq ∈ / AttRq HqRq q ∈ / AttR Hmi (M ) Vì HqRq qRp ∈ LsuppRp (Mp ) Vì (Mq ) (Mq ) có độ dài hữu hạn (Mp )qRp có độ dài hữu hạn Điều suy (Mp ) Mô tả quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng Trong tiết mơ tả quỹ tích khơng Cohen - Macaulay suy rộng Trước hết ta định nghĩa quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng: nGCM(M ) = {p ∈ SuppR (M )|Mp không CM suy rộng} 39 j i i