Sức bền vật liệu tập 2

Chương 17 MA TRẬN CHUYỂN ■ § -1 Đ ỊNH NGHĨA VỂ MA T R Ậ N CHU YỂN Vectơ trang thái Vectơ trạng thái xác định thành phần sau : - độ võng điểm A dầm xét - góc xoay mặt cắt ngang A - mơmen uốn mặt cắt ngang A Qạ - lực cắt mặt cắt A đơn vị khơng thứ ngun - Đó thành phần cột vectơ trạng thái 8^ Như biết thành phần có mối tương quan tốn học cụ thể dQy _ dz = q dM , _ dz EJ ( 1) Trong y phưofng trình đườiig đàn hổi để thuận tiện cho việc tính tốn, M > y" > M< ta chọn lại dấu cho tương quan y" MxQuy ước chiều trục tọa độ hình 17-1, với y" < chiều trục tọa độ y" Mx ln ln phù hợp với Vậy tương quan (1) viết lại dạng : M y" = EJ Hình 17-1 Theo quy ước dấu đó, lực phân bố hay lực tập trung có chiều với chiều Oy xem dương có chiều ngược lại xem âm Một đoạn xác định hai mặt cắt A, B, vectơ trạng thái A vectơ trạng thái B phải có mối tương quan định Ta biểu diễn mối tương quan sau : (17-1) ma trận làm chuyên hóa phần tử vectơ trạng thái phần vectơ 8*^, gọi ma trận chuyển Ta xác định thành thành số trường hợp chịu lực cụ thể sau : § -2 Đ OẠN T H A N H CHỊU L ự c PHÂN BƠ ĐỂU Giả sử có đoạn AB chịu lực phân bố hình vẽ (h.17-2) Lấy gốc tọa độ A Gọi M, thành phần nội lực A M^ Tính nội lực mặt cắt có hồnh độ X Ọ(x) = QA-q-x M(x) = a Q, r A / (2 ) + ỌẠX-q B L -X Q Hình 17-2 (3) Nếu đem chia (3) cho EJ tích phân liên tiếp hai lần ta có góc xoay độ võng : EJ + qx EJ ^ 2EJ QaX'^ (4) qx^ (5) Lấy X - I ta có trị số độ võng, góc xoay, mơmen uốn lực cắt B Từ ta viết lại sau : — / ''b b 6EJ 24EJ ỷ / 1ỉ EJ — Q q/" 2EJ “ b M b - r~ 2EJ 6EJ q /' / 0 -q / 0 Hay : B B ''A “ a M a Q a ( 17- ) Ta dã xác dịnh ma trận chuyển klii có tải trọng phân bố với J số Tronu irirịìig hợp lực pliân bố q khóng ma trận chuyên có dạng : /2EJ / / EJ EJ r2EJ / (17-3) Nhir ma trận chun có dạng : = ì a |2 a|3 a,4 b " a24 b 0 ^23 0 b4 0 0 ÍI34 thành phần ajj chí phụ thuộc vào hình dáng kích thước ngun vật liệu dám Cịn thành phần bj khơng phụ thuộc vào hình dáng kích thước ngun vật liệu mà phii thuộc vào tải trọng đặt lên dầm Như a|j không thay dổi dầm bị thay đổi tùy iheo tải trọng Ta v i ế t : B AB A (17-4) = Trong : - Uị O ‘*13 ai4 »24 0 ^23 0 b, b - ^34 = “ a Ma Qa ta viết tương quan e® sau : + B AB (17-5) Ta nhận thấy tính chất ma trận chuyển tính kết hợp Muốn xác định vectơ trạng thái mặt cắt D ta qua điểm A, B, c để đến D Ta có : (17-6) Biểu thức có nghĩa ta phải thực phép nhân XạG'^ trước đê có nhân với T3 để có 8*“ cuối nhân với sau lại để có s^ § -3 D Ầ M CÓ BƯỚC N HẢY Ta xét trường hợp mặt cắt có bước nhảy độ võng, góc xoay, mơmen uốn hay lực cắt Ví dụ mặt cắt c chẳng hạn Từ điểm c bên trái sang C" bên phải c ta có V(- = V(-' + AVq c c 0)C" = (00 + Acoq Hinh 17-3 Mc" = M c + AMc Qc' = Qc + 49 , (2/)-' 6EJ l ^4 y 24' EJ y q/" 6EJ §1 -5 DẦM CĨ M Ô M E N Q U Á N TÍNH T H A Y Đ ổ l Ta đưa định nghĩa hàm số f'(x), f(x), g'(x) g(x) sau : f'(x) = - '^p(u)du f(x) = f(ii)du EJ(u) rx g'(x) = ^ f'(u )d u g(x) = rx y g (u)du Từ ta có : Q(x) = QA + f'(x) M(x) = M a + Q a -x + f(x) rx co(x) = X X tdt +Q EJ(t) v(x) = Lấy dt + co^x + M a pdu Jo EJ(t) ru + g'(x) rx dt EJ(t) + Q du ru tdt EJ(t) + g(x) = / ta : = Wa + M a / dt +Q EJ(t) f/ tdt ơEJ(t) + g 'ơ ) M b = M a + Q a -/ + fơ) ỌB = ỌA + f'(/) Để thuận tiện cho cách viết ta đưa vào hệ số mềm dẻo dầm AB với định nghĩa sau : / r/ a= dx EJ(x) V / •/ c- \ b= rlx íi o7 V dx EJ(x) X [ĩ) dx -"ì h EJ(X) (17-11) Từ định nghĩa tích phàn viết lại sau : f/ dt = a + 2b + c EJ(t) r/ tdt EJ(t) r/ , du •u ru = (b + c)/ dt r/ dt ——— = —-— EJ(t) Jo EJ(t) r / ( / - t)dt Jo EJ(t) du =— - - = (a + b |( a ) = /u- a du a EJ(u) r/ dt = H (/ - L1)(U - a ) du X EJ(u) • Trong trưịfiig hợp tổng qt ma trận cột Bạ mà định nghĩa §17-2 viết dạng : BAB = ZPrBAB(a,)+ í “ q(a)BA B(a)da Số hạng đầu biểu diễn cho mômen lực tập trung mặt cắt B đoạn AB Hệ số B^g(a|) để khoảng cách từ lực tập trung đến B Số hạng thứ hai mômen lực phân bố Ta dễ dàng thấy : •/ b| = g (0 = £ q ( a ) b | ( a ) d a '0 (17-15) b2 = g'(/)= jýq(a)b2(a)da b^ = f(/)= í |q ( a ) b 3( a ) d a b = g( = jý q (a )b 4( a ) d a 'IVone b |(a), b 2(a), b 3(a), b4(a) độ dài cụ thể lực phân bố cần thực tích phân dầm AB Ví dụ có đoạn dầm chịu tải trọng phân bố bất kl hình 17-8 Xét phân tố dx đổi biến thành dt Lực lác động phân tố q(t)dt Mơmen lực B : q(t)dt(/-t) Tổng môinen : ur ^ A b ,(a )= du Jo Ja Hình 17-8 _ f/q(Ll)(/ - ll)(u - g )^ — dt = -7 ^; -du EJ(t) Jo EJ(u) Một cách viết tương tự bnía), b 3(a) b 4(cx) Đ iể ii kiẹn biên Với phưaig pháp ma trận chuyển ta đề cập đến điểu kiện biên sau ; Gối tựa đưn V = 0, M=0 Ngàrn cứng V = 0, (0 = Đầu tự M = 0, Q=0 Gối tựa đon đàn hổi V = k'Q, M=0 Ngàm đàn hồi v := , (0 = h'M Gối tựa đàn hồi ngàm đàn liồi V = k'Q, w = h'M k' h' số đàn hồi đãc trưng cuii liên kết ' Ví dụ Clìo dầm chịu lực có mặt cắt ngang thay đổi hình 17-9 Viêì ma Irận chuyến cứa đoạn khấc dầm, từ xác định phán lực độ võng B, c p = q/ A I ' B ^ 1— J Ò2 — ■-r-— T-— ' ' ■' ,-■1— i /////// / ụ7^— b Hinh 17-9 Bài g iả i Ta chia dầm thành ba đoạn AB, BC CD Chiều rộng b* mặt cắt đoạn AB có phương trìnli : b* = b, + ( b 2- b , ) y GỐC tọa đ ộ lấ y lại A Chiều rộng b* mặt cắt bấl kì đoạn CD có phương trình : b* = b 2- ( b 2- b i ) y GỐC lọa độ c Sỉr dụng (17-11) ta viết ma trận chuyển đoạn AB sau : / (a + b)/ bf“ p b ,(a ) a + 2b + c (b + c)/ P.b (a ) = 0 / P.b 3(a ) 0 P.b 4(a ) 0 0 ( 1) Cúc tlìàiili plìầiì A củu DÌU trận (các thành phần cứng chí phụ thuộc hình dáng kích ihước) ' a+b= dx ol / EJ„ (2 ) Kí hiệu p = bị X = Ta viết lại biểu thức (2) sau : 12 ữi = a + b = Eh f/ dx (•/ xdx p + A,x Jo p + Như ta có ; (xem bảng tích phân cuối sách) f/ dx , B + Ằ/ = ^ /n ịỉ + Xx A p f/ _ xd x p opT Ũ " I Ị3 + Ằ,/ " (3) p Sau tính ta có : «1 = Eh^ 1+ b -b , b -b , b2 -b ; Theo (17-11) ta có : b= f/x o7 \ / '- t ; dx E J(X ) Thay J(x) vào ta đưa đến biểu thức : b= 12 Eh^l ci x d x ri X dx 0p + (4) J o P + À.X Theo bảng tích phân ta có ; p+a/ [•/ x^dx _ J_ 0p + ax " y - p u + p2 Inu Thay (5) (3) vào (4) ta tìm thấy : cto = b = 12/ I Eh'^ ^ b - b , b, ( b hb.^ , )2 b, (02 - b i ) ' a + 2b + c = ỊỈ dx 0EJ(x) với u = p + Ầ,x (5) Ơ3 = a + b + c = Eh b, + ( b - b , ) ệ Vậy : 12 (Í3 = Eh^ b - b, In b| Với biểu thức b + c, ta có : b+c= rl X dx O ĨẼ ĨI Dễ dàng tìm thấy : ('{4 = + b,./ 12 = Ồ2 - b /Eh- ■In (b - b i ) - Cúc tlìùiìli phần B Từ định nghĩa (17-14) ta có : b ,( a ) = - r/ (/ - u)(u - a ) du a EJ(U) u đóng vai trị \ v a a = ịr lực đặt đoạn Viết lại theo X a = ^ , sau khai triển ta có ; f/ xdx Ip + Ầ 12 ( 1^ Eh^ • r cl dx Sử dụng tích phân gặp với cận khác ta tìm thấy : p+a/ p+ a| m, = /■ h ị- (b - b, )■ 1 , f/ Với tích phân JỊ xdx X , (•/ xdx _ , /2 ""2 J í p + Xx ~ 2 - b / ' hị 4- ì>2 b,/' b/ ,_ b + b | 2> " f/ dx /_ o ' ị' _ dx Ầx " T X J ịp + /2 20 , Ằ " b, + In B + Ằ/ b2 2(02 - bi) " bj + b r Vậy ta viết : í))!, = b, — ^ l - m j + m , - m^] Eh / ''r Với b V 12 u- a , du = EJ(u) X - ri dx — / 12 Ạ Eh 12 12 r b2 - b ; 2) ~ Eh-'’ ’ b2 - b | / J bi + |„ (0 - b , ) In b, + ^ 2b2 b| + Ị2 ì =bJL *3 Eh xdx / f/ dx p + Xx " ' í p + Xx ^2 ~ ^ ị - bu, l 1n _ _2 b-^ bi’ ị + - r b' U2 Eh-^ 02 - b , II2 = Ò2 12 ^ i r p + > x \2 9114 = h / ^ =1 Mư tì ậìì cììuyển cho đoạn BC te Vì J(x) = c đoạn dầm chịu tải trọng phân bố ta (17-2) để thiết lập ma trận chuyển cho đoạn Ta có : s dụng ma trận 24 EJ / EJ /2EJ i!íl E.) / q /' -q/ Aí7 (ỉoạn thứ ba từ C cỉêii D Ma trận c h u y ế n tr o ng đ o n n ày có d n g : / (a + b)/ a + b +'c (b + c)/ 0 / 0 f'(/) 0 0 b/^ g(/) g 'ơ ) , ^ /) C c ỉlỉành pliầỉỉ A Vói ch u ý J(x) = 1 b2 - ( b - b , ) y J = ^ [ P * - U ] 12 / ta lầ!i lưm lính đ ượ c c c th n h p h ần c ủ a m a trận n h sau : dx r/ EJ(X) 12 «1 = Elr' cr; = b = bo ~ b| bo f/ bị X dx 7ẼĨ 12 / b| b-) bo —b| Eh-'(b - b , ) “ CÍ3* = a + b + c = « •= bọ f/ dx EJ, ' EI-,3 Ị2 - b| cr; = b + c = b| 07 In Ồ2 / X dx 12 / / EJ E h -\b , - b , ) bo I n - ^ + (bo - b |) bo Theo định nghĩa ta có : f ' ( / ) = - lý q(x)dx = - q / f ) = Ể -q x d x = - q/' •'U (•/ 12 q r/ dx x^dx b2 - ( b - b , ) y đặt p* = 02 ; Ằ = ^ ^ ^ ^ ta lại đưa đến tích phân quen thuộc : g'(x) = - 12 q X dx _ Ị-/ x^dx / 12 q n * =~K — với K = — ^ 2Eh «Ị3 - Ằ x -"op - À x 2Eh-’ f/ Với kết có, ta v i ế t : Inu - p*u + g'(u) = K +c A.' Tính với p*-x/ SXO = K ± u B l n u ~ 2B u + rx^') % Vậy / Eh'Mb - b , ) - b ^ l n ^ + (b p*-x/ p*-w g (u )= g ’(u)du = K * U' p*"(ulnu - u + C) - p*u^ + Sau tính ta có : g (/)= /■ Eh^ (02 - b j ) ^ ^0 a j ,^2 U ; ’^3 U ; >b4 g(/), g'(/), f(/) f '(0 số xác định hoàn toàn (f]Ơ , ữ 3Ct4, T ó m lại ta c ó c c m a trận c h u y ể n đ ổ i l iê n t i ế p c ủ a c c đ o n / (ty cự- ’3 (Í 4/ P.91Ĩ2 / 0 / p 0 0 0 / P.9H , r" 1] 2) -R / /2 2EJ 6EJ 24EJ / /2 q /' EJ 2EJ 6E J / q/2 0 0 -q / 0 0 1 / eC / & g (/)' ơ; Cf;/ g 'ơ ) 0 / f(/) 0 0 0 f ’( / ) C h ú n g ta n h ậ n t h ấ y b a h n g d i c ù n g , n g h ĩ a n h ữ n g h n g c ó t n g q u a n đ ế n m ô m e n u ố n M v l ự c c ắ t Q , k h ô n g p h ụ t h u ộ c g ì v o h a i h n g tr ê n c ù n g C h ú n g ta c ó t h ể th iế t l ậ p s ự tirơ n g q u a n g i ữ a c h ú n g đ ể t ì m c c p h ả n l ự c c ủ a h ệ C l u iy ể n từ A s a n g B ta c ó : M„ = Ma + I Q ^ - p ị Qb = C huyển từ B sang Q a -P c M c = M b + /Q b- ^ C h u y ể n từ Qc = Qb~^^ c sang D M q = M c + /Q c Qd = q/' = M a + ;Q a - ” + /(Q a - P ) - ^ Đưa trị số M(- Q q thay vào ta có : M d = M a + / Q A - y + /(Q a- P ) - ^ + / ( Q A - P - q / ) - ^ Q d = Q A -P -q /-q / Từ điều kiện M = M q = ta xác định Q từ xác định Qp Ta có : QA = | q ' Q o = |q ' Dựa vào hai hàng đầu ta viết biểu thức góc quay độ võng T A sa n g B V g = V + /o i)ạ + O Í ị / M + C Ỉ / Q + P “ b= “ + a 31L ị + ^VQa Chú ý : Tổng ba số hạng cuối số Ta kí hiệu chúng sau : A | = CI’| / M a + CÍ2/^Qa + P-911] Ả2 = CÍ3MA + CỤQa + (í) (Trong M = 0) Vậy ta viết lại tương quan V3 coy^, 0)p sau : Vfị = Va + / cOa + A, cog = coạ + A2 (2) Ta viết tiếp từ B chuyển sang c Vc = Vg + cog/ + 0>c= “ b + Í - 24EJ ĩ “ b + ^ Q b - ^ Hay viết gọn lại sau ; V q = V g + (O g / + A ơ)q = 03g + A4 (3) Với : " Ẽ Ĩ ^ ~ 24E.I ^ Ẽ J ^ '^ ~ Ì J M vàà Qg tính nên A3 A4 số 90 ('liốì CÙIIÍ? chun từ c sang D Ta có : “ '^'c + + í'l’*/“Qc + s(0 0)^J =coq + (l^ỉvl(^ + CÍ^IQq + s'(/) Hay viết gọn lại V[J = V(- + l(ữQ + A5 «D= «C + \ Trong A ,= CỈ*I.Mc + CỢ~Qc+gU) A ,= ci'; m c + Ci';/Qc + g'(/) ( 6) Đem Vp Ủ3|ị từ (2) thay vào (3) ta có : '^C = (Vạ + + A|) + (w^ + At )/ + A3 0)^ = CO^ + At + A4 Từ dó la có ; V[J = (Vạ + /