Giải tích hàm tập 1 cơ sở lý thuyết

PHAN ĐỨC CHÍNH ' ,v '^S à R Ẵ ^•* ỈIẨ / T Ậ P I * ụ sở LÝ THUYlì f í ỈỊ ■ - L s ICv' ỉ:.: ■rí'4 \ •>4 NHÀ JẠI HỌC VÀ XUẤT TRUNG BẢN HỌe CHUYẼN NGHiậP f y Bièn l ậ p : NGUYỄN TRỌNG BẢ ỉấ')ỉ NíH đ ầ u Giầĩ t i c h h i i i ỉĩìột n g n h l o n họCĩ d ợ c b ắ t đ ầ n x ẵ i j d ự n c ácì ì cỉáy !ì(íin, sãii r n ỉ n a m , n h i v n q h i ệ n n a y h ầ a lìlìir iỉã ã ợ c x e m ỉả ỉ ì ì ỉ ỉ qùỉ i h t o n h o c cS d i e i ì t il r a v'ể C(ĩc p h i t i ĩ Ị Ị h n g chíỉih ỉỉữỉng cỏa nó, T r o ỉiq k h o ã n g iỉìỏ i g iơ ỉi â iỊ, Sự x m n ì i ậ p ấỊỊ lììộl ỉtiặl d m r a ỉ ì h ữ n q vhớĩi t r i n(fhỉên c ú lì r ộ ì ì ị ị l n CỈIO c c i ì í Ị ầnh ỉ o ủ n h ọ c ì ỉ ỏi t r é i i , m ặ t kỉỉảc :ìõ il'f ỉ-íỉ cho ỉìỊỊniìh ỊỊíái tívh lìàỉỉì pỉiải dủc kẽt nỉiữìg kvt q cùa :iíiừĩìg iìfỊàiih lốỉì học ì-ịriìỊỊ rè dì ỉro ỉì Ị :h ìn i(Ị m ụr nà i) iỉo iiẻ x i i ĩ ì r r a nh rvìU Ị m ẫa tốn học ịịĩy cẰ a tỒiụỊ q u ù t l'à t ỉ ' u ị ọ i i g Ti / ' đ ị , (}iá i licỉt h ã iiì dà ỉrở iỉìà n h nơi gặp nbịìli :ìỊfành ỉốn học ụ) liinỊỊcỉ ừiiỊỊ (/íỉ/ỉí/T ỉo a ịị írù n ỉU iy- k h n mà liiu p h a i írivit V ạcỉi (ỊÌủi t í c h h n i va ran h lìy a n h ìììĩ' c ủ a (Ịiỡ i (ỊIÌỊỊ tốn d ịn ỉì học nội ỉìg y dnnq M ộ t Ỉoiỉl ỈỊỊ thuỊỊếÌ t o n ỈÌỌC d a (///(/í’ Ịiíc daii(> hình Ỉĩìàỉìh aự kêỉ ỉiơỊ)- hùi hịa Cììa ỊỊÌíii ticỉi hảni Viì c ủ u n h ĩ r i i q ỉK ỊÙ iỉh ỉn a n h ọ c h iệ ii d d titỊ d ( / c “ m ệ ĩìỉi d í u i t , )) h i ệ u d ( ú Cì(>:ì s ả c h iiãiỊ ỊỊỎÍÌÌ h a i ỉ â p T ậ p ỉ írììĩỉì bà\Ị lihững k\i'ỉì ỉìiừc chịiì bị nìiniiỊỊ kiến /hửc bíín nhút Cỉìa Ịỉió i ticỉi h m g lủ i iich c ố đ n Ị)r b('it (ỉiìii đọc ỉììn r ỉK Ị' ki't ciio n quã sáeh, caiì Ịỉh ã ì hiìỉi cùa ỉý bưẨ tỉn iỊjct tìCh pỉìân ỉ ^o b c gơ , T ậ p l ỉ (iàiỉỉi cho ĩihữĩìQ v ắ n â ê chuỵcỉ i *> o khảo ' L ỳ thỉiiỊeỉ p h o càc to n tở ỉự ỈỈCỈỈ h ợ p t r o n q kh ị ỉìỊỊ g i a n H i i i b e , k h i ĩ ù ệ m ư'e k h ô n g g i o n v e c i t ô p ỏ v h ù m SIIỊJ r ộ n g ^ d ộ ã o Rađỏrì Ị Ị , đ i s ố h ệ B a n c ^ k h ả i ĩtiệỉìì v ề lỷ t h u y ế t b i ề n di c Ị ĩ , k h i n i ệ n i vẽ ỉ ỳ iIìỉiịỊẽỉ n ữ a n h ó m v i m ộ t t h a m s ố D ĩ Ỉt ỉì icn ỉì ìỏi iỉi d è c h ỉ đ i t ợ c t r ì n h b ụ đâị ] t r ê n n h ữ n g n é i c b n n h ấ í C h ủ n q tơi k l ì n g cỏ t h a m ưọng ắ'ê c ậ p t r o n g viiốỉi s c h n y t ắ t cit n h ữ n g p h ỉ ì Ị Ị h n g c ỏ l ỉ ì ĩ x ẽ p n o Ị o a i p h n g hỉvờỉUỊ c h i n h ĩhốĩìỊỊ » c ủ a g i ù ỉ l í c h h ù m , vỉ v(iỊỊ đ ã k h ò n q đ c c ụ p ả ể n Ỉ ì ỉ ì ữ n g v í i n đ è n ỉ i i i : /// thỉỉỊ^ẽt pỉìt) to ó ii tỉvaĩi p h â n vù p h ả ìì iìch ih eo hùm rìên q j ỈÍỊ ỉ ì i u y c l c c t o n i k h ô n q t ự Uêìi h ợ p t r o n g khổiìtỊ qiaii ỉ ỉ i n h e , ĩỳ t h i i ỵ e t c c t ậ p h ọ p Vôi t r o n q k h ỏ n Ị Ị qi ỉ ì B a n i ù í C ĩ ỉ ỷ t h u ỵ ẽ t c c khôniỊ q i a n c ỏ ỉìíra t h iiĨỊ* Đ ố ỉ vừi ỉìỉnvỉííỊ vlin đ ề đ ẵ đ ợ c l ự a c h ọ n cho Ciứìiì s c h ị chúiìỊi Ịơi fịn ruiìỊị đ ỏ lả nhưrng v n (Ịầ cỏ p (ỉựng n h i c n nhííl cho iiỉìừnỊỊ n g ù n ỉì khác rủa ỉoếh ì â ỏ hij v ọ n g r ỉ u ì g c n o n s ã c h $ử dạng ỈÌ Ọ C ìỷ ỉ h i ỉ t j ỉ ‘ ỉ ỉu ) ứ iìỊỊ (ỉụ n (j, d' đ i r c ' ,'»ọi l ni(')í, !|Ọ Be nỏu lèn danh sá ch ÍÙỊ) họp m ộ i họ i ậ j ì liọ'Ị) c Ẩ , ta l i ẵ v g ọ i m õ i t p họ' Ị) c ú a Aa, k v h i ệ u a đ i r ợ c g ọ i l c l i ĩ í ĩ ổ d ù n i ; đ ễ đ n l i dĩUT t ụj ) h ọ ’j) a y hai l p h ọ ’p k h c n l i a u d:'íi! l)í'Vi h a i sỗ k h ác uhau N c u líií cíi c ú c c h ì s ó đ ã dìin^' đ c đ n h cria ho du'Ọ'c â i u ì h họ A đíỉn táp họp c ú c tâị) họ'p t ì ì ( a r.ó t h ễ v i ố ỉ ; i GC Ì’ ỉiav ct4 C nnịị c ổ = ịíla A* Ỹiì è SU’ d ụ n g i V h i r í n ì g Ị)hÚỊ) u i i y h(/ị) A l ù y ý.^ ( i ấ u l í í l c ả c c p h a n ti'r c ú a m ộ t líiỊ) C c íĩ p h é p t o n )) v è í ậ p h ợ p A a : ĩ ^ ^ Hợp hi a m ột Aj ’ úề đunh Giảíh cA “ m ộ t ỈIỌ t ậ p I h t ị ) IA lập „ họ-p Aa /ì (iioặc : h ợ p củd h ọ cA ) l ậ ] ) họ-Ịì, k v l i i ẹ i ) LI A „ , A đ irợ c xác đ ịn h L, K o ^ c n l u r s a u : a 'íE u k!ii v c h ỉ aệ A a thuộc Nếu ^ m ộl íìirọx' t ậ | ) h ọ ' p 4« n ù o đ ỏ c ủ a h ọ c n h ấ l m ộ l = ị u : /ì = , , , ỉ ị , l ứ c lìi c c h ỉ g m s o h ữ u hạii t ậ p iiựỊ), t i ù ký hiệu ij Av, h o ặ c k ^- I C h ẳ u ịí’ liạn ^ ta họ' j ) c i ì a h ọ c=4 tiiirị-nrt có u ViVi mọị ^2 u l ụỊ ) - f j ^a- họ*|) A; rtịj'0 = ^\ỉ lA ^ A (ÌKIO c ì t a c c t p Ẩ i ự p A a ( I i o ; h ‘ : (ji(ư) c ỏ g iao r ỗ n g , tìVc ]ù n(ếu A r \ B — 0, íhì ỉập Ì1Ọ’Ị) ẩ y gọi k h ô n g c ố p h i ă n t chiing nJiau, h o ặ c !à r()i H i ệ u củd ỉi)Ị) h ợ p -i v i i ậ p J ỉ ợ p fì, ký liiệii A \ i ì , íAp liỌỊì ^ồm lăí cúc pl)ầii [ử th i i ộ c A nhirng kliòn^^ Ihuộr y>\ Vì ViỊỴ \ ^ = ệ , v nể ii A r \ B ==■ 'h lỉù A'' ỉi -i T a có cúc h ệ ilìửc sa\i đỉVy, ^ọl ỉà cảc qiũ ỈÌH' ỉ ) ~ M o q ă n q : n \ị r'Ị Aa) a / V lj -ia) — { B' \ A^), u a •*“ íì iB \A c) (^ia Ih A ỉã m ộ i ỉàị) ỈÍỌ'Ị> e) í*ủa n í ỏ l íạtì ìiỌj) X.Khi đ ó hi ện x \ - i đ ọ ' c g ọ i ỉà Ị)hần ]iùcn;ì ì I r o n g 'X H i è n nhiêii r ằ n g k h i d ó Y \ ( X \ - ) —■ s Tlieo quan đ i e m ng â y iIio% m ậ i ỉ i đe s a u h ì c u nliiịn T i ê n đ c h ợ a ( X e c m o l ô ) Giả ỊỊiả' c4 ỉủ m ộ t h ọ q ỏ m iihữỉìiỊ l ậ p h ợ p khơỉiiỊ rỗỉUỊ vá /Y>i ỉỉhaii ỉ n q đ ô i mộL K h i đ ỏ iòii m ộ t t ậ p h ợ p T cho v i iập l ì ợ p A ^ c4, giao T A Ịjom đủỉìịj m ộ t p h ầ n íử XgưíVi ta I h ò n g g ọ i pliăn úi' clu}* nhííL T r\ A (vl ^ o4) ỉà p h ă n t ủ đ u ’Ọ'c c h ọ n t lậ]) h ợ p A, lliành t h lập họ’]) r mộL phU'0’ng pliáp c h ọ n lử m ỗ i t ậ p h ợ p A ^ c4 m ộ í p h ầ n tử N ó i nách klủic, íièn đ ề chọn k h ẳ n g định vỏvi m ọ i liọ g ò m n l i ữ n g tập họ’p k h ò n g r ỗ n g rị'i Iihi l n g đỏ i m ộ t , đ è u í õ n lại m ọ l phưcrng pháp cỉiọn tiV m i l ậ p h ọ ’Ị> ^ cẨ m ộ l phần tiV Ch ú ng l a c h ẫ p nhận tiên đ T l c h c a n h ữ n g t ậ p h ợ ọ Xein m ộ t liọ h ợ p c4 — ị A a i ^ A tập T í c h Đề-cúc, ^ọi v ắ n tắl lù ÍỈCỈI, cúí’ l ậ p h ợ p Aa ( a ^ a) m ọ í t ụ p họ'Ị>, k v h i í ; n lù n ct^A đirọc xúc đ ị n h Iihir s a u : r c p h n t c ủ a Í i õ l l ấ í í a lìọ p h ầ n ỉử ,r ịxa' X'a $ ^1«, ct (g aỊ Khi đ ó Xa điV(V(‘ gọ i lliànỉi p h â n , h a y ỉoa (/ọ, í h a c ù a r Tícli c ủ a m ọ l s6 ỉìữu Iiạii cúí* [Ạị) h ọ p Aị, (k — 1, 2, n) nnròr) X ỈỈÀỈ TẬP 1.1 (tho i!ri V 1ộ ị) họ-Ịí 1* ^^2» •••'f 1n o o u /* /li, 4i ]lzz=1 ị™JÌ a) ílỉiừn^ lìiinìi cz 1* — b) Ịíãv liìii đ i c u kiộn ír.ìn (Ịủ tỉS 1.2* / / / í ’/y í/íV/ xỉ/7/// ('.ủ:i li:ii hiỊ) h ọ p yl v ỉì Ìiì í ụ p họ-Ịí Ilien nlìỉỏiì A /! liìộu (A \lì) dối vửtíị^ \ J (Iỉ \ (•.(> Íiíih a ) hoiiỉỉ, íử c ỉiíi AA// ri: Ịỉ^\A vỏ'i m o i l:)]'ỉ ii ọịỉ Ả họ‘[) \\'.ị\ l ứ c Ja ‘ A ỈSJ!> Hoi A'.' — ỉiu'u ilỏi ihửc XÚ!U‘ r ó ù'\ c ỏ (ỈỎJÌ'4 VDÌ (lì.ã h)p hoj] Aĩ /í, c lì.'ỉy kiìỏu 2, —^ Pll.< ^ l l / Y n l ỉ = n= l N l n r n ^ nố n chiiẫn 0, ) ì hi I r o n g k h ù n g gitin / , ia l a y c sỏ' i r ự c n =- , , Ị, í r o n g đỏ ,1 ,nj, (^ũ» fm) /m’ n —1 Gll đ ỏ co Pe, Ỵ ]{< 'n ,U P Í n= l (g»> f ) f f 11/11^ n II f oc OQ E Pr - rrii: ~ ^ - T - ỉì II n i ^ /í n= l oo n= l H ệ q u ả N ế u ! i n ộ i ì o n l h c h v ù B , c l h u i i t o n l l u y ế n l í n h bị c h ặ n c h o A B v CM c ó n g h ĩ , I/Ú II lli < II A II1 II C A l i i < II II c li li /1 lli a) Qiiả vậy, ;íiả Ihử Ị / n ; II = 1, , ì m ộ t c ' sứ t r ự c c liu ầ n cảa k h ôn g gian l ỉ i u h a trồii đ ỏ toán tH’ Ẩ đu' Ọ' C x c đ ị n h s a o c ho c h n ỗ i oo ^ II A l \ |Ị n i ìội lụ 'i'hế ỉ,ni oo i! C A i l i < ỵ ^ ĩ i C iỊĩl 11 '"í lỉ c il • u—1 n—í o li C a iỉ: < ei2 ií , / n íỉ II c i i ịỊ I!' (■ b) Sử d ụ n g phnn íi) la đu 0, ton số Dgiiyên d n g /?o cho II > /?„, m > /ỉo 11 -^m I 11 ^ T h e o đinh n g h ĩa chuần hạch, tòn sỏ’ Irục c h i i ẫ n f í \ ciía khơng ị^ian X cho ©o 11 * - l r / k - A j k y < e , k=l đ ó v i m ọ i SỐ n g u y ê n d n g K, ta có K II Ầnf^ Ảm[v lỊ 6- (*) k= I Mặl khác, cluiầii hạ-:li khỏng phủ liơn cluiần th ơn g thưị'n , nên (*4n) iTiộl dăy Côsi tiong 613 khống g ia n Banăc £ { X ; Y), vi tồn cho oo n e ^;(X; V) Thành thừ Irong (*) cho /ỉ-*oo, Uiì đ ợc II Ả f ỵ — A j í il e k=I Bấl đ ẳ n g IhiVc với sổ Iiguvèn diro‘ng K, vi v ậ ỵ ta phải có oo íl “ ■^ra/k II ^ £• k=l T b a l đ ẳ n g Ihírc , tlieo đ ị n h lý 1 , t a suy r a r ằ n g — Am mộl í o ả n l LỈI' h c h ( d o đ ỏ i4~(^4— Am) + Am m ộ t toán t h c h ) e m > /?0 , v ậ y ệ cJi giỏũ h n t r o n g é { cửa d ă ỵ ( l n ) ‘ □ Hệ Giới h n theo cluiàn hạch củd ỈIÌỘỊ d ã y n h ữ n g ỉoán i hạ ch lù m ột ỉốii fử liạclì C u ng n h u ' đ ố i vỏ’i cúc lo n iLí' l l i ĩ ì b e - S m i l , c ầ n ỈU'IỈ V r ẳ n g g i i h n th e o chiiằn ílìỏng UuríVng c ỉ i a m ộ i d ẵ y n h u ’iig í o u ìủ' hạclì cỏ Ihc k h ỏ n g Ị>hải l inộL ío n f.ir L c h ; cỉìỉ có thễ n ó i r ằ n g đ ỏ m ộ t t o a n l cìipăc Q u ả v ậ y đ ị a h ỉỹ 2.10 khầti.Ị^ địnỉi r ằ n g mỌ'' ioai> ỈU'coxiipàc đ ề u iàgiíVi hụvì (ĩieo ciỉỉúln [ h ỏ n g [ h ị ‘íig ciỉa m ộ t d ã y n h ữ n g íốn í ủ' lu y ế n linh !ièn i ụ c h v a i hạ n clỉiều N i u r n g r ị ràỉìg mội íoảĩ) lử tiiyer; l i n ỉ ì u ẻ n fục h u h n c h i ề u ỉà m ộ í tốn uV h c h Viì vậ y,- muốn, ta có Ihế phái biếu : loán lử co m p ă c đ ề u giới hạn tlieo chuẫn Ihông Ihư ờng cù a m ộ t nliữn^ toán tử hạcli T o n tử H inbe-Sm it tr o n g k h ô n g g ià n ^2 Đ ị n h lý Điều k i ệ n c ằn đ ủ đ ẽ’ lo n t l u y ế n t i n h liên iục Á k h ô n g g ia n £ [«, b] m ộ t iốn t H i n b e - S m i t , A m ộ t loán i t í c h p h â n Ax{t) K { i,s ) x ( s ) ds{x{i) ^ £ đ ỏ K (/, ) m ộ t h ài n llìiiộc [« ^^])* k h ô n g gian 1) K(t, s) 1^ d l d s Ỷ ^ (4.12) •/ a a C H Ứ N G MIN?I Gọi Ịen(/ ) ; n «= ị lủ m ộ t c a s ả t r ự c c h i i â n c ủ a k h ô n g gian ^ ỉ ị^n(Oi n = 1, , , ị c ũ n g l m ộ t CO' sỏ’ k h ò n g g i a n ầy a) Đ ủ Vi Zí(/, s ) ^ £ Ì[a, b ] x b]), n ê n I h c o đ ị n h Ịý F u b in i, ta thấy vỏ'i hầu hết m ọ i t ^ [a, /?], h k m ciìa biến sổ $ K^{s) *= K(L s) đ i r ọ ’c xác địiih t h u ộ c h e o c o ‘ sử Ịcn ; n — 1, 2, Ị : đ ỏ cỏ kliai t r i ễ n ỠO Ả'(/, ^ ) = Y ^ < ^Áỹ)W ) n=l 615 VÒI b r c j j ) = {Ku Cn) ^ i í ụ s)cn{s)ds = AenỌ)^ Theo đẫng llìửc Pacxơvan, la có b K { t , s) 1^ ds = I PnỢ) ^ n=l a oo I Aen ự ) n=»l đỏ (vì hàm theo / sử d n g flây > IhtiỘG £ ị [a, fc]) 1) b o« b K(J,s)\^díds= a |Ẩ en (0 ^d / = n = l a E Vỉ'à a Ae H n=I Đ ìn h lỷ 4,1 chúng lỏ rằnơ A m ột tốn tỉr Hỉn-Ỉbe-SmiL theo tính c h a i chuần Hinbe-Smit^ taa SUY đẳng tliửc (4,12) b) Căn, Nèu A niộl loán íử llin b e -S m it, thi b |2 AenỌ) \’^ dl y II -ie ■2 i : LmJ J 11"! ÍI 11=^1 Vứi srỉ njUvêiì (lưong N K ^ ụ , VI = y ' n~l 616 ta xem hĩ\m r.í-'')- ràng Kj^{t> s) ^ £ Ì [ o, b] X [a, b]) ; ho-ii n ữ a w i m ọ i S(5 nguyỏn clirơuịí p n\õ 1) 1) /• K K^^ Ị.{t,s )~K ^ự,s ) N+p' a a b b a N+ p b b /• r */ dlds n=N+1 a N+ p N+ P ^ •/ a a dlds= Aen(/) ^i^(/) enÍẤmCẤ') X U=N + m = N + l N+ p X] Bx(t) ^ = a j x ( ỉ ) ( / s =3: Y^ A en{t)e^{s) n=l »o e>o = Ae„(0 x{s) e^ự) ds = Ae^iOix, p„), 11= ỉ ã n—1 đ ỏ vỏ’i m ọ i h m ;/(/) ^ £ Ỉ^ ^ ( B x , y) ^ ^ (x,ej(Aen,y) {'V, ^n), n~-ì n :r= i oo Ĩ1 í B án g t h ứ c n h y d ú i ì ^ ' t‘]i o :r ị/ xi /i n v ậ v y Ập ƠAỈ Cxiả t h y X u- b a i k h ô n g g i a n B a n ă c , A $ ^ ( X Y) v i m iê n g i trị ĨỘ(A) m ột k h n g g ia n đ ó n g y C h ứ n g m i n h tằng d im o ^ ( A ) = d im c4 ^(A * } = diưi X*/Í^(A ) d im X l(^(Ả )‘ Giả thừ A toán t bị c h ặ n tr o n g không giari Hinbe X 4= c h o B = / có tốn tử nguc ỵ c (T ửc n " ' ề Đặt Q = / v xen, d a y (Cfn)n x c đ ịn h n h sau ; Cfo tùy ý ổ X, cpa = Q'Pb- + M'-® f (lĩ — a) C ầử ng m i n h r ằ n g n ế u c h ọ n [ J > v n kliá n h ỏ , thi dãy ỠPn)„ h ộ i tụ đ ẽ n n g h iệ m cp p h n g tr ìn h (I - ^XẨ)(p = f (/' c h o t r c ) b) Hãy xác đ ịn h c ậ n a ú n g sỗ ^ > đ i ề u kiện c â u a) 4.3 Giả thử A th ỏ a mãn toản tỉr c o m p ă c t r o n g không aian Banăc £ Chứng minh r ằ n g tồn tốn tử B Ì £( X) sáo cho m i - Ă ) = I, tlỊÌ Ị - A C6 toán lủ n g ợ c va đ ó t o n t I - (J - c o m p ă c A)- Vởi giả th iẽ t A c o m p ã c l n c € £ i X ) cho Ư - A ) C = I th ì la có thè k ẽ t lu ậ n đirợc h a y khòng rằ n g Ị —Á có t o n tử n g n ọ c / 4.4 Xeĩĩì hàm số (1 — s n ế u d ^ KU,t) Trong (1 — i ) s n ế n í s