Bài tập phương trình sai phân

!^ ô' > ằ < ' ã.tU>'>'ã'', ã s^ ' ■ ^/- - n ,s ^T ''»«' r - ^ -4^ ^ rk + l)Ẩ:!=r(A^ + 3yt‘ + 3Ấ: + k\ = \ k + \Ý - k ^ ] k \ = (Ấ: + /t\Ẩ:! = (A + l ) ‘ (A + l ) ! - y t \ y t ! = A{k\k\) =>s, = Ỳ ( k ' + k ^ ^ +3k + ì).k\ = Ỳ M k ' k \ ) A-1 Ẳ-Ị = (/7 + l)^(« + l ) ! - cj Dạng 3: Dạng mũ Dê tính t ổ n g s - ® *-=i k, ta tiến hành bước sau: Bước I: Tìm đa thức bậc m k \ Q„,{k) cho x ‘‘P J k ) = A [ x ^ Ọ J k ) [ Bước 2: Áp dụng tính chất tổng sai phân hữu hạn ta có s = Ỳ > :‘ p.(k ) = X a [ x ' e ( * ) ] = x " ' a + 1) - xQJi ) k^\ 18 jfe=l Ví dụ Cho cấp số nhân \u^] có cơng bội q Uq cho irước l ính tống Lời giải Ta có u, = q 14, = A Vậy «^ u0 q-\ ọ k=u - u, q -\ Ví dụ Cho X 1, tính long iS = X" + 2a' + + /7x" Lời giái Ta thấy p„,{k) = k đa thức bậc Ta lìm Qị{k) = ak + b cho k x ' = A {ak + b)x' k = a{x - 1)Ấ: + ữx + bịx - 1) Dồng nhấl hệ số cua k ta có hệ phương trình: (x - l)íj = xa + ( x - l)ố = 19 (ỉiái hệ ta dược: X V (d o x X- 1) Suy k kx' = A X Vậy n n S = ỷ f c v ‘ = ý A fr f í / N , Ịr Y — í — ,X -1 ( a7 + ) X ( x - i ) \ A- ^ v""' A [x -1 I) X- Ví dụ Với {X ~ 1)- 1, tính tổng X s = 5^{„ + l - í ) , v ‘ Ả -I LỜI giai Fa tim a b dê (« + - Ẩ:)x* = A[(aẨ: + b)x' ri ^ \ - k = a (x - 1)/: -¥ ax ^ b{x ~ I) Dồng hệ số k ta cỏ: X a = - 20 X v -1 X - (-'■='0 X (x -in ' Suv {n + \ - k ) x ' - A A7+ + - X X - Vậy / s = ^ (A 7+1 - /c)X* =^ *=] A \ - X - n + ]1+ k+ k-i \ X - v X k X-ÌJ ) -V d) Dạng 4: Dạng lưọng giác Dể tính tổng s = ^[/^(^)cosẢ:v + 0(/:)sinbr], Pi{k) kA đa thức bậc / Ẩr; p,(k) đa thức bậc t k ta tiến hành bước sau: Bước 1: Tim đa thức A^^{k) B^(k) m = max(/ /), cho F,(k)coskx + ộ,(Ả')sinẢx = A[/Í„,(ả)cosẤ^r + B„,(Ấ:)sin/br ỉhiớc Áp dụng tinh chất tồng sai phân hữu hạn tính: s = >1 ( k jc o s k x + B ^{ k)s \n k x k\ Ví dụ Tính tơng n s = cos.v + cos2x + + CCS ra' = coskx k=] Lời giai Ta thấy Pị{k) = đa thức bậc Q,{k) = đa thức bậc Vậv ta tìm a, b cho 21 COSẲX = A (ac osẨ ^ : + h s i n k x ) í> c o s k x = { a c o s x + b s ì n x - a ) c o s k x + [ b COSx - a s ì n x - b ) s \ n k x ^ k acosx + 6sinx - a = bcosx - asinx - b = Giải hệ trên: • Với X ^ k n , ta có Suy COS kx = A - —COSKX+ —COS — sin Ảx 2 Vậy: s coskx X , — - — + —COS —sinfcc = ^C0SẤ3f = ^ A *=1 *=1 • s in - 2 nx in + l)x sin — c o s — —— 2 • Với X = I k ii cosx = cos2x = = cosnx = Suy s =n ĩ ó m lại: n s =Ị n è u V = ^ / n x (« + sin X sin — COS 1).Y Ví dụ Tính tổne n s = sin X + sin 2x + + sin nx = ^sin kx k^ì Lời giải Làm tương tự ví dụ ta X = 2kn nx (/1 + I)x -sin — sin sin ~ X ^ 2kn, k e Z Ta có thê làm cách khác sau: Vì A cos ^ ^ 2y í 1' X = COS k + - X - COS k - - V 2, - - 2sin/Di:sin— Suy ra; I k n Ihì sin.v = sin2x = = sinô7x = ã Nếu X Suy • Nếu s = X k n sinẢx = - A COS k X sin Suy COS = Ỳ s m { k x ) = - COS n + - 2sin V 2, í ì —X /í + nx sin : - xsin 2 r X sin 23 Vậy nx (/7 + l)x = ^ — ^— sin — s in ^— sin X = 2kn nêu X * 2kn k Ví dụ Tính tống sau; n a) 5, = = co sx + c o s x +/ COS nx A :l n Ì9) Sj = ^ ^ k ú r \ k x - sinX + 2sin 2x + + /7SÌnn x k=\ Lời giái 'ĩrước hết ta có; k COĨ, kx = {s\x\ k x ) \ k Ún kx = - {COỈ,kxỴ Vậy: n a) 5,= n n Ỵ^kcoskx = '^{sìn/o:)'= ^ s i n Ắ x k^ì k=\ L*-| Sử dụng ví dụ ta tính S, (dành cho bạn đọc) n *^2 ~ n 'Y ^ k ú n k x = - ' ^ { c o s k x Ỵ = - n 'Ỵcoskx *-1 Sử dụng ví dụ la tính ìSt (dành cho bạn đọc) 24 Ill - BÀI T Ặm P 1.1 l ìm số hạng tống quát cúa dãy số sau: - , 15 22 29 36 43 50 1.2 Tính tốrig sau: 1 a) — + 4- + 1.2 2.3 n{n + 1) b) 1 -+ — -1.2.3 2,3.4 c) d) 1 1.3 3.5 + + n{n + \)in + 2) (2/; - 1)(2/7 + 1) —— + + + 2.4 4.6 2n{2n + 2) 1.3 Tính tồng sau: a) sin(a + x) + sin(a + 2x) + + sin(ữ + n x ) h) cos(a + x) + cos(a + 2.v) + + cos(íỉ + nx) c) c o s x + cos3x + + cos(2^; - l)x 1.4 rinh tống sau: a) sm kx s, kI n k=\ n c) d) S, = ỵ ^ s isma^ A-l n = 'ỵ^cosa^ k =1 1'rong đ ó ịa^ ] cấp s ố c ộ n e với c ô n g sai d 25 1.5 1’ính tơng sau: a) T - t;; Ỳ~! sin Ảxsin(/: + l)x k SI fn* coskxcos{k + l) x r = ấ - d) cosa^ cosữ^^i Trona |ữj,} cấp số cộng với cơng sai d 1.6 Tính lống sau: ^ i =7 ^ẳ sin - V2 X- b) 5, = A I s , = ^ ‘ l a n = ~ l atan k-4 ^ X ^ n 7* arctan kUk^ +2 fr 1.7 Chứng minh dẳng thức sau: a) b) c) 26 n 3n JTC 19 cos— + C 1771 19 19 4n 20n O S + COS COS— + c o s — + + cos 21 21 21 n 2n (f7-l)7ĩ n s in — + s i n — + + s i n ^— = cot IV - Đ Á P S Ố , CH Ỉ DẢN V À L Ờ I GIẢI 1.1 Đáp sổ: 1.2 = /7 - 13 I'a có; _ n{n + 1) _ n = - A /7 + 1 1 n{n + \){n + 2) n ( n + \) {n + l)(n + 2) 1 1 = - 2 2n-\ 2/7 + ‘ íl * jì / \ _ I ln { n + 2) í - Z Ì AA a; - — ( n - ì ) i n + \) a 2n 2n + 2 2n Từ ta có kết quà sau: a) Đáp số: ~ — n + b) Đáp s ố : 2(n + l)(/7 + 2) c ) Đáp số: — - — ^ 2« + d ) Đ p sổ: n 2{n + 1) «(a + x) (n + l)(a + x) 1.3 a) Đáp sô: - - s in — ^ s in -—- a + X sin — b) Đáp sơ: n(a + x) ( « + l)(í/ + x) s i n ^ COS -sin(í7 + x) _ , / sin2Aỉx c) Đáp sô: s in x 27 1.4 'I’a có ' flj = a, + (/: - \ ) d = (fl| - d ) + ẤTíy Ấ: e z , í/ ÍÍ 2Ả'7T thì: n ĩi)D áp sổ : A? ~ (g, " c i Ỷ ^ ú n k x + kúnkx k-\ n b) Đáp so: n = (a, - d ) ' ^ c o s k x + d '^ ^ k c o s k x k -\ k Ì fế c)Đápsô: s.=- COS 2k-l> a 2sin^*-' nd sin -— sin d sin _ 1 n Ú) Đáp số: S ị = - sin 2k-3 s i n ^ *=' nd -rsin — cos d sin 1.5 T acó; ú n kxs\r\(k + \)x = — A(cotA'x); sin.v !— = — - A ( t a n Ả r ) ; coskxcos{k + l)x sinx sin sin Í7^ I cosa^, cosa^^i 28 sin d sin í/ A (cotữJ; A (ta n a ^ ) d ề sin nx _ a) Đáp sô: TỊ = sin xsin ịn + l).v 2sinA7x b) Đáp số: 7", = — s i n x c o s ( A ỉ + l).v f c) Đáp sơ: sìnnd _ - — sin í / s i n a, sin(i7| + n d ) sin nd d) Đáp sô: T ị - — s i r u / c o s a , c o s ( a , + nd) 1.6 a) Từ công thức sin2x sin = coLx - C0t2x C0t2*"'x - C0t2*x X Vậy = - ^ a ( co12* ',v) = cotx - C0t2'’x A -! b) Ta có sinVv = —( s i n x - s i n r ) sin 3* = -A 3* sin * -I Vậy 3"^' sin ~ - 3sin X 3" " s i n ^ - sinx 3” 29 c) Ta có 2latu' lan2x = - tan'x tan \v tan x = tan2x - 2taar 2* lan^ A - tan -Ẹ— = 2* lan -ị-7 - 2*"' tan A = -A 2* tan 7' Vậy 53 = - S a d) Làm tương lự, ta có 30 2* tan ,k I = taax - 2" tan A' 7" ... ự 73 II- HỆ PHƯƠNG TRlNH SAI PHÂN TUYÉN TÍNH C A P I III ■ PHƯƠNG TRỈNH SAI PHÂN DẠNG PHÂN T H Ứ C 80 IV - MỘT SỒ BÀI TOÁN PHI TUYỀN VÀ CÁC BÀI TỐN HỆ SỒ THAY ĐỔI CĨ THÉ DẢN VÈ DẠNG... X, Sai phân hữu hạn cấp là: AX(J = X| —X(| —4 —1 —3; Ax, = X, - X, = - = 2; Ax, = X, - X, 10 - = ; A.X-J = X, - X3 =11 - 10 = Định nghĩa Sai phán cấp k hàm số x{n), A7 e N, sai phân cấp sai phân. .. 151 J lờ l nói đau Dê dáp ứng nguyện vọng cua đỏng đáo bạn đọc, chúng tói hiên soạn Bài tập phương trình sai phân nhằm giúp bạn đọc có diêu kiện hiên sáu thêm vê phán lý ĩhư’êt: Cnơn sách có