BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 5

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI I KIẾN THỨC CƠ BẢN Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Bunhiacopxki + Cho hai dãy số tùy ý a1 ; a ; a ; ; a n b1 ; b ; b3 ; ; b n Khi ta có: Dạng 1:  a 12  a 22   a 2n  b12  b 22   b 2n    a1b1  a b   a n b n  a Dạng 2:  a 22   a 2n  b12  b 22   b 2n   a1b1  a b   a n b n a1 a a    n b1 b bn - Dấu đẳng thức xảy dạng dạng khi: a Dạng 3: 2  a 22   a 2n  b12  b 22   b 2n   a1b1  a b   a n b n a1 a a    n  b1 b bn Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý a1; a ; ; a n x1 ; x ; ; x n với x1 ; x ; ; x n  - Dấu đẳng thức xảy khi: a12 a 22 a n2  a1  a   a n      Khi ta có x1 x xn x1  x   x n a1 a a - Dấu đẳng thức xảy khi:    n  x1 x xn Trong dạng bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng bất đẳng thức dạng gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức b Một số dạng đặc biệt n 3 n2 a  b  x  y    ax  by  a a 2 a  b  c  x  y  z    ay  by  cz   b  x  y   ax  by a  b  x  y   ax  by a a b2  a  b    x y xy  x, y   Đẳng thức xẩy  b  c  x  y  z   ay  by  cz 2  b  c  x  y  z   ay  by  cz a b c2  a  b  c     x y z xyz  x, y  0 a b  x y TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN Đẳng thức xẩy 171 a b c   x y z PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG II CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng  a1b1  a b   a n b n  đại lượng  a12  a 22   a 2n  b12  b 22   b 2n  ngược lại Để rõ ta xét số ví dụ sau Ví dụ 1: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1   9 a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 1 1 1  1 1      a  b  c        a  b  c  9 a b c a b c a b c  Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Ví dụ 2: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ab bc ca    abc abc abc Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy đưa đưa đại lượng dấu vế trái vào thức, ý chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta ab bc ca   abc abc abc  Do ta 1 bc ca   ab  12  12      abc abc abc ab bc ca    abc abc abc Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Ví dụ 3: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a bc  bca  ca b  a  b  c Phân tích: Để ý a  b  c  b  c  a  2b Do ta nghĩ đến việc đưa hai đại lượng dấu vào dấu Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 172 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng  x  y    x  y  , ta  Do ta a bc  bca    a  b  c  b  c  a   4b a  b  c  b  c  a  b , tương tự ta có b  c  a  c  a  b  c; c  a  b  a  b  c  a Cộng theo vế bất đẳng thức ta a bc  bca  ca b  a  b  c Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c Ví dụ 4: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:  a2 b2 c2  a  b  c  2     bc ca ab Phân tích: Để ý ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a2 b2 c2 a bc    bc ca ab Bất đẳng thức gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Tuy nhiên ta thử áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng xem Ta cần đánh giá đại lượng a  b  c cho xuất a2 b2 c2   , ta bc ca ab a b c bc  ca  a  b , đến ta áp dụng bất bc ca ab đẳng thức Bunhiacopxki dạng Lời giải viết a  b  c thành Ta có a  b  c  a b c bc  ca  ab bc ca ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta a b c bc  ca  ab bc ca ab  a   b   c             b  c   c  a   a  b    Do ta có Suy ta  bc    ca    ab     a2 b2 c2  a  b  c          a  b  c   b  c c  a a  b    a2 b2 c2  a  b  c  2    bc ca ab Bất đẳng thức chứng minh.Đẳng thức xẩy a  b  c TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 173 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ví dụ 5: Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: a 1 a  b 1 b   Phân tích: Chú ý đến giả thiết có đại lượng a  b bất đẳng thức cần chứng minh cho đại lượng a  a  b  b Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất a đẳng thức Bunhiacopxki a  a  b  b   b  1  a   b  Đến ta cần đánh giá a  b   a  b  xong Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta a 1 a  b 1 b   a  b  1  a   b   a  b  2  a  b2    22 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy  a  b   b  a  ab  b 1  a 1 1   a b Ví dụ 6: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 4  a  3b   b  3c   c  3a  a b c             4 4 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy đánh giá từ vế trái sang vế phải bất đẳng thức khó khăn, ta tìm cách đánh giá từ vế phải sang vế trái, tức ta cần  a  3b  chứng minh bất đẳng thức kiểu    ? Dự đoán dấu đẳng thức xẩy    a  3b   a b b b   a  b  c nên ta viết          , ý đến chiều bất    4 4   đẳng thức cần chứng minh ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki a b b b  1 1  2 2            a  b  b  b   4 4   16 16 16 16  Phép chứng minh hoàn tất ta đánh giá  a  3b  a  3b , nhiên đánh giá hoàn toàn thực nhờ bất đẳng thức Bunhiacopxki TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 174 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có 2  a  3b   a b b b    1 1  2 2                  a  b  b  b      4 4    16 16 16 16   1   a  b  b  b   1    1  a  b  b  b  16 16 4  a  3b  a  3b Do ta      4 b  3c  c  3a  c4  3a  b  3c  Hoàn toàn tương tự ta  ;     4     Cộng theo vế bất đẳng thức ta 4  a  3b   b  3c   c  3a  4       a b c       Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Ví dụ 7: Cho số thực a;b;c   0; 1 Chứng minh rằng: abc  1  a 1  b 1  c   Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy thức thứ có chứa nhân tử a thức thứ hai lại có chứa nhân tử  a , để ý a   a  nên ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để triệt tiêu biến a  abc  1  a 1  b 1  c    a  1  a    bc  1  b 1  c    bc  1  b 1  c  Khi ta 1  a 1  b 1  c   abc  đến dấu đẳng thức xẩy nên ta có bc  1  b 1  c  Không cần quan tâm bc  1  b 1  c   bc  1  b 1  c  Đến ta ta lặp lại đánh tốn hồn tất Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có  Do ta abc  abc  Dễ dàng chứng minh 1  a 1  b 1  c   1  a 1  b 1  c    bc  1  b 1  c  bc  1  b 1  c  x  y  x  y  x, y   Áp dụng vào toán ta bc  1  b 1  c   bc  1  b 1  c  Lại theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 175 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1  b 1  c   bc  Hay Vậy ta có bc  abc    b  1  b   c  1  c    1  b 1  c   1  a 1  b 1  c   Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 8: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:  a  b  c    a   b   c   Phân tích: Bất đẳng thức có biến độc lập nhau, đánh giá làm giảm số biến tốn đơn giản Ta ý đến xuất đại lượng a  b  c vế trái a  vế phải bất đẳng thức cần chứng minh Sự xuất làm cho ta suy nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá đại lượng  a  b  c  cho xuất đại lượng a  Như ta có đánh giá sau a  b  c   b  c 2   b  c    a.1     a   1             b  c 2  2 Ta quy toán chứng minh 1     b   c   Bất đẳng thức   có hai biến chứng minh phép biến đổi tương đương Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng  a  b  x  y    ax  by  ta a  b  c   b  c 2   b  c    a.1     a   1             b  c 2  2 Bài toán đưa chứng minh 1     b   c     Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta  b  c 2   bc  1  Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên bất đẳng thức cho chứng minh Bất đẳng thức xảy b  c    a  b  c 1 a  b  c  bc  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 176 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Nhận xét: Bất đẳng thức chứng minh cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki kết hơp với nguyên lý Dirichlet sau: Theo nguyên lý Dirichlet ba số a, b, c tồn hai số không lớn khơng nhỏ Khơng tính tổng quát ta giả sử hai số b c, ta  b2  1 c2  1  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 2  a  b  c    a.1  1.b  1.c    a  1  b  c  Bài toán quy chứng minh 1  b  c    b   c   Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta thu  b  1 c  1  Bất đẳng thức cuối theo giả sử Vậy toán chứng minh Ví dụ 9: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:  ab  bc  ca  1   a  1 b  1 c  1 Phân tích: Tương tự trên, ta ý đến xuất đại lượng  ab  bc  ca  1 vế trái a  vế phải bất đẳng thức cần chứng minh Ta cần đánh giá đại lượng  ab  bc  ca  1 cho xuất đại lượng a  Để thực hiến đánh giá ta 2 để ý đến phép biến đổi  ab  bc  ca  1   a  b  c    bc  1  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 2   a  b  c    bc  1    a  1  b  c    bc  1    2 2 Bài toán quy chứng minh  b  c    bc  1   b  1 c  1  ab  bc  ca  1 2 Đây đẳng thức  b  c    bc  1   b  1 c  1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  bc  1  b  c  a  b  c  abc Ví dụ 10: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn  a  1 b  1 c  1 d  1  16 Chứng minh rằng: 3  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  Phân tích: Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1  16 Quan sát giả thiết ta viết bất đẳng thức cần chứng minh thành  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1   a  1 b  1 c  1 d  1 Đến ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki với cách áp dụng ví dụ Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 177 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại sau 4  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd    ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1 Hay  16 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1  a  b  c  d  bcd    bc  bd  cd  1  2   a  1  b  c  d  bcd    bc  bd  cd  1    Bài toán đưa chứng minh  b  c  d  bcd  2   bc  bd  cd  1   b  1 c  1 d  1 Đây bất đẳng thức  b  c  d  bcd  2   bc  bd  cd  1   b  1 c  1 d  1 Ví dụ 11: Cho số thực a, b, c > thỏa mãn 1    Chứng minh rằng: a b c a 1  b 1  c 1  a  b  c Phân tích: Sự xuất đại lượng a   b   c  với chiều bất đẳng thức cần chứng minh sở để ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Tuy nhiên ta 1 cần đánh giá để xuất Để ý ta có a   a  với xuất a a đại lượng a  b  c nhận định có sở Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  Do ta  a 1 b 1 c 1  a   b   c    a  b  c  a b c    a 1 b 1 c 1   a  b  c     b b   a  2 1 1   a  b  c      a b c  a 1  b 1  c 1  a  b  c Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy 1 1  a  b  c  a bc  a 1  b 1  c 1 2  a b c TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 178 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ví dụ 12: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c    2  b  c c  a  a  b 4 a  b  c Phân tích: Các đại lượng bất đẳng thức có dạng phân thức nên điều ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, nhiên bậc mẫu lớn tử nên việc đánh giá khó khăn Do ta tính đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng bản, để dễ đánh giá ta viết bất đẳng thức lại thành  a b c     a  b  c  2    b  c   c  a   a  b   Đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta  a b c   a b c       a  b  c   2 2   b  c   c  a   a  b    b  c c  a a  b  Phép chứng minh hoàn tất ta b c  a b c  a          bc ca ab bc ca ab Đánh giá cuối bất đẳng thức Neibiz Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có  a b c    a  b  c  2 2   b  c   c  a   a  b     2  a   b   c  c       b  c   c  a   a  c          a  b   2     b c   a     bc ca ab a b c Dễ dàng chứng minh    bc ca ab  a b c  Do ta có    a  b  c  2 2 b  c c  a a  b         Hay a  b  c  b c  a   c  a  b  4a  b  c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Ví dụ 13: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c    b  c  a  c  a  b  a  b  c   ab  bc  ca  Phân tích: Tương tự ví dụ ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành   a b c    ab  bc  ca     b c  a  c a  b a  b  c  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 179 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a  b  c  b  c  a   c  a  b c c a  b  c   a  b  c a Đến ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki lời giải sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành   a b c    ab  bc  ca    b c  a c a  b a b  c         Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta  b  c  a   c  a  b   a  b  c     a b c      b c  a  c a  b a b  c  Ta thấy ab  bc  ca  bc  a  b  ca  b  c    ab  c  a  1 a b c            b  c  a  c a  b a  b  c   2 b c a Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có a b c    b c a  a b c    b c  a c a  b a b  c         Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Do ta   ab  bc  ca   Ví dụ 14: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: ab bc ca    a  b  2c b  c  2a c  a  2b Phân tích: Chú ý đến giả thiết chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki  a  b  2c   1    a  b  2c     a  b 2 c Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta  a  b  2c   1    a  b  2c    a  b 2 c  Kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta ab ab ab 1 ab ab        a  b  2c a  b 2 c 2 a  c b c  a  b  2c  Áp dụng tương tự ta có bc 1 bc bc      b  c  2a  a  b a c ca 1 ca ca      c  a  2b  a  b b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta ab bc ca 1    a b c  a  b  2c b  c  2a c  a  2b 2   Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 180 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ví dụ 4.18: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a2 b2 c2    9a  9b  9c  12  ab  bc  ca  Phân tích: Để ý đến phép biến đổi a a2 a   9a   9a  1 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a a2 b b2 c c2 abc        9a  9b  9c  12  ab  bc  ca  a b c    1 9a  9b  9c   ab  bc  ca  Hay Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta  a  b  c a b c     2 2 9a  9b  9c   a  b  c   a  b  c  a  b  c2   Lại theo bất đẳng thức Cauchy ta có  ab  bc  ca   1   ab  bc  ca   Ta quy toán chứng minh  1 2  a  b  c   1   ab  bc  ca   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta  2  a  b  c   1   ab  bc  ca      2  a  b  c   1   ab  bc  ca   1  3  a  b  c    1   ab  bc  ca    16 a  b  c  1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 236 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Kỹ thuật đổi biến bất đẳng thức Bunhiacopxki Có số bất đẳng thức, ta để ngun dạng phát biểu khó để phát cách chứng minh Tuy nhiên số phép đổi biến nho nhỏ ta đưa chúng dạng quan thuộc mà bất đẳng thức Bunhiacopxki áp dụng Trong mục tìm hiểu kỹ thuật đổi biến bất đẳng thức Bunhiacopxki Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta sử dụng số phép biến đổi  1 1  1   1  1)  a; b; c    ; ;  ;  ; ; ; ;  ;  ;  yz zx   x y z   xy yz zx   xy 2)  a; b; c    yz; zx; xy  ;   yz; zx ; xy ; 3)  a; b; c    y  z; z  x; x  y  ;  y  z  x; z  x  y; x  y  z  ; Với số bất đẳng thức có giả thiết abc  ta đổi biến  1 1  1  1)  a; b; c    ; ;  ;  ; ;  ; y z   x y z   x x y z b c a  x 2)  a; b; c    ; ;  ;  ; ;  ;  ; y z x a b c  y y ; z z  ; x  yz zx ab   x y z  3)  a; b; c    ; ;  ;  ; ;  ;  x y z   yz zx xy   yz xy   x zx y z  4)  a; b; c    ; ; ; ; ;   ;  x   yz y z zx xy     Ví dụ 5.1: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ac  Chứng minh rằng: 1 abc    2 2abc  ab 2abc  bc 2abc  ca Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành abc  a  b  c  ac ab bc    2ac  ab 2ab  bc 2bc  ca Để ý ta thấy bất đẳng thức có lặp lai đại lương ab; bc; ca ý ta nhận thấy abc  a  b  c   ab.bc  bc.ca  ca.ab Do cách tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến x  ab; y  bc;z  ca Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với abc  a  b  c  ac ab bc    2ac  ab 2ab  bc 2bc  ca Đặt x  ab; y  bc;z  ca , ta x  y  z  ,bất đẳng thức cần chứng minh trở thành y z x xy  yz  zx    2y  z 2z  x 2x  y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 237 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG y z x y2 z2 x2      2y  z 2z  x 2x  y y  2y  z  z  2z  x  x  2x  y   Ta cần chứng minh x  y  x  x  y  z   xy  yz  zx x  y  x 2  x  y  z   xy  yz  zx 2 2  xy  yz  zx Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với  x  y  x    xy  yz  zx    x  y  z   xy  yz  zx    x  y  x    xy  yz  zx    x  y  z   xy  yz  zx  Đặt A  x  y  z ; B  xy  yz  zx suy A  2B   x  y  z   , ta cần chứng minh  A  2B   3B  2A  B   A  B2  2AB Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  Ví dụ 5.2: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c    2 2 2 a b b c c a a2 b2 c2    2 2 2 a b b c c a 2 2 Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến phép đổi biến x  a ; y  b ; z  c , bất đẳng thức trở thành x y z    xy yz zx Đây bất đẳng thức chứng minh mục với phép đối xứng hóa Lời giải 2 Đặt x  a ; y  b ; z  c , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Phân tích: Bất đẳng thức viết lại thành x y z    xy yz zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 2  x x  z yy  x z z  y  x y z            yz z  x    x  y  x  z   y  z  y  x   z  x  z  y    xy    x  y  z  xy  yz  zx  x y z   x  y  z        x  y  y  z  z  x    x  y  x  z   y  z  y  x   z  x  z  y    x  y  z  xy  yz  zx   Ta cần chứng minh  x  y  y  z  z  x  Hay  x  y  z  xy  yz  zx    x  y  y  z  z  x   8xyz   x  y  y  z  z  x  Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Dấu đẳng thức xẩy a  b  c TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 238 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ví dụ 5.3: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  abc Chứng minh rằng: a b c 1     3    b c a b c  a Phân tích: Quan sát giả thiết ta thấy viết lại giả thiết thành 1    Đến ta a b c 1 đặt x  ; y  ; z  ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a b c x y2 z2    3 x  y2  z2  z x y Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải Từ giả thiết ab  bc  ca  abc suy 1   1 a b c 1 Đặt x  ; y  ; z  , từ giả thiết suy x  y  z  a b c x y2 z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành    3 x  y2  z2  z x y Theo Bunhiacopxki dạng phân thức ta x  y2  z2   x y2 z2 x y4 z4       z x y x z y x z y x z  y2x  z2 y Ta cần chứng minh Hay x  y2  z2  x 2z  y2 x  z2 y  3 x  y2  z2  x  y2  z  3 x 2z  y2x  z2 y  Vì x  y  z  , nên bất đẳng thức trở thành  x  y  z   x  y2  z   3 x 2z  y2 x  z2 y  Hay x  y3  z  xz  yx  zy   x z  y x  z y  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x  xz  2x z; y3  yx  2y x; z3  zy  2z y Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta x  y  z3  xz  yx  zy   x z  y x  z y  Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a  b  c  Nhân xét: Bất đẳng thức chứng minh theo cách sau Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta x y2 z2    3 x  y2  z2  z x y TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 239 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  x y2 z2 2     x  y  z    x  y2  z2    x  y  z  z x y  x y2 z2     x  y  z   3 x  y2  z2    x  y  z  z x y x  z  z y  x  x z  y  2   x  y   y  z  z  x  y  21 21 21     x  y    1   y  z    1   z  x    1  x  z  y  Vì x  y  z  nên 1 ; ;  Do bất đẳng thức cuối x y z Phép chứng minh hồn tất Ví dụ 5.4: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rẳng: ab bc ca    c  ab a  bc b  ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức nghĩ đến đổi biến x  a ; y  b; z  c Khi bất xy yz zx    đẳng thức viết lai thành z  3xy a  3yz y  3zx Ta chứng minh bất đẳng thức kỹ thuật thêm – bớt Lời giải Đặt x  a ; y  b; z  c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy yz zx    z  3xy a  3yz y  3zx Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với xy yz zx    z  3xy x  3yz y  3zx xy yz zx        1 z  3xy x  3yz y  3zx z2 x2 y2     z  3xy x  3yz y  3zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức đánh giá quen thuộc ta z2 x2 y2 x  y  z    2 2 z  3xy x  3yz y  3zx x  y  z   xy  yz  zx   x  y  z  x  y  z   x  y  z   Do bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 240 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ví dụ 5.5: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  abc Chứng minh rằng: a  bc  b  ca  c  ab  abc  a  b  c Phân tích: Trước hết ta viết lại giả thiết thành 1    , ta nghĩ đến phép đổi a b c 1 biến x  ; y  ; z  Bất đẳng thức viết lại thành a b c x  yz  y  zx  z  xy   xy  yz  zx Để ý đến giả thiết x  y  z  , áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki ta x  yz  x  x  y  z   yz   x  y  x  z   x  yz Áp dụng tương tự ta có lời giải sau Lời giải Từ giả thiết ab  bc  ca  abc suy 1    a b c 1 Đặt x  ; y  ; z  , ta x  y  z  a b c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x  yz  y  zx  z  xy   xy  yz  zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki ta x  yz  x  x  y  z   yz   x  y  x  z   x  yz Chứng minh tương tự ta y  zx  y  zx ; z  xy  z  xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta x  yz  y  zx  z  xy  x  y  z  xy  yz  zx   xy  yz  zx Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x  y  z  hay a  b  c  Ví dụ 5.6: Cho số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức ab  bc  ca  abc Chứng minh rằng: b2  2a c2  2b a  2ac    ab cb ac Lời giải 1 1 1    Đặt x  ; y  ;z  , ta có x  y  z  a b c a b c Bất đẳng thứ cần chứng minh viết lại thành Từ giả thiết ta TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 241 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x  2y  y  2z  z  2x  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  x  2y    1.x  2y   x  2y    x  2y  x  2y 3 y  2z z  2x y2  2z2  ; z  2x  Tương tự ta có 3 Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta Do ta x  2y  x  2y  y  2z  z  2x   x  2y y  2z z  2x  x  y  z      3 3 Vậy bất đẳng thức chứng minh hay a  b  c  Ví dụ 5.7: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: Đẳng thức xẩy x  y  z  bc ca ab 11 1        a  b  c b  c  a  c a  b  a b c  Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải có đại lượng 1   , để ý đến phép a b c Từ tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến 1 21 a    b c Lời giải 1 Đặt x  ; y  ; z  , bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành a b c x2 y2 z2 x yz    yz zx xy Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta x  y  z  x2 y2 z2 xyz     y  z z  x x  y 2 x  y  z Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c biến đổi bc  a  b  c Ví dụ 5.8: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn 1    Chứng minh rằng: a b c a  b  c  a 1  b 1  c 1 Phân tích: Chính xuất giải thiết 1    làm cho ta suy nghĩ đến việc sử dụng a b c 1 phép đổi biến x  ; y  ; z  a c c Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 242 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1 Đặt x  ; y  ; z  , x; y; z   0;1 x  y  z  a c c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 1 x 1 y 1 z      x y z x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta  1 x 1 y 1 z   1  1          3  x  y  z     x y z  x y z x y z  Ví dụ 5.9: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c   abc Chứng minh rằng: ab  bc  ca  a  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c    Phân tích: Để ý ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a  b  c   a  b  c  2 Trước hết ta biến đổi giả thiết thành  a  1 b  1 c  a    a  1 b  1   b  1 c  1   c  1 a  1  1   1 a 1 b 1 c 1 1 Để ý từ cách đổi ;y ;z a 1 b 1 c 1 1 x y  z 1 y z  x 1 z x  y  ;b  ;c  biến ta a  Bất đẳng thức x x y y z z Khi ta nghĩ đến phép đổi biến x  1 1 yz zx xy        Đến ta áp dụng bất x y z x y z đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh toán Lời giải viết lại thành Ta có    ab  bc  ca  a b c   a  b  c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành     a  b  c  a  b  c  c    a  b  c  3 a b c a b  a  b  c   a  b  c  3 Giả thiết viết lại thành  a  1 b  1 c  a    a  1 b  1   b  1 c  1   c  1 a  1 1   1 a 1 b 1 c 1 1 ;y ;z Đặt x  , suy x  y  z  a 1 b 1 c 1 1 x y  z 1 y z  x 1 z x  y  ;b  ;c  Khi ta a  x x y y z z  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 243 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành  1 1 yz zx xy    2    x y z x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta  1 1 1 1 yz zx xy         2x  2y  2z       x y z x y z x y z Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Ví dụ 5.10: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  abc Chứng minh rằng: b a b2   c b c2   a c a2 1  1    , tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi ab bc ca Phân tích: Từ giả thiết ta 1 biến x  ; y  ; z  , suy xy  yz  zx  Khi bất đẳng thức cần chứng minh a b c x viết lại thành y  y 1  z 1 z  x 1 x   x  xy  yz  zx  Để ý đến phép biến đổi  x  y  x  z  Hồn tồn tương tự ta chứng minh toán Lời giải Từ giả thiết a  b  c  abc suy 1    ab bc ca 1 Đặt x  ; y  ; z  , Khi giả thiết tốn trở thành xy  yz  zx  a b c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y2  y  z2  x   x  xy  yz  zx  Dễ thấy y2   Tương tự ta  y  z  y  x  ; z  x2    x  y  x  z  z2    z  x  z  y  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x y2   y z2   z x2 1  Ta cần chứng minh  x  y  x  y  z   y  z  x  z  y   z  x  y  x  z  2x 2y 2z   x  2y  z x  y  2z 2x  y  z 2x 2y 2z    x  2y  z x  y  2z 2x  y  z TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 244 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 2x 2y 2z   x  2y  z x  y  2z 2x  y  z  2 x  y  z  x  y  z 2 2 x  y  z   xy  yz  zx  x  y  z  x  y  z  3 Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  1    Chứng minh rằng: a b c Ví dụ 5.11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn bc ca ab   2 a2 b c 1 Phân tích: Quan sát giả thiết toán ta nghĩ đến phép đổi biến x  ; y  ; z  a b c Khi bất đẳng thức viết lại thành x  y  z  y2  z  x  z2  x  y     yz zx xy Để ý đến đánh giá 4xy   x  y  Ta quy toán chứng minh 4x 4y 4z   2 yz zx xy Bất đẳng thức dễ dàng chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải 1 Đặt x  ; y  ; z  Từ giả thiết suy x  y  z  a b c Bất đẳng thức viết lại thành x  y  z  y2  z  x  z2  x  y    2 yz zx xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta  x  y xy   y  z ; yz  z  x  ; zx  Khi ta bất đẳng thức sau x  y  z  y  z  x  z  x  y  4x 4y 4z      yz zx xy yz zx xy Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 4x  y  z 4x 4y 4z     2 x  y  z  y  z z  x x  y 2 x  y  z Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 245 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Nhận xét: Ngồi cách chứng minh ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh theo cách sau 1 1 1 1 1 1 Bất đẳng thức viết lại thành x     y     z     z x y z x y Theo đánh giá quen thuộc ta có 1 1 x2     y z 1 1 y2     z x  1  4x x2  y  z    yz  y z yz y2  1  4y z  x    zx z x zx 1 1  1  4z z2 z2      x  y     x y xy x y xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta x  y  z  y  z  x  z  x  y  4x 4y 4z      yz zx xy yz zx xy Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 4x 4y 4z   yz zx xy  x2 y2 z2    x  y    y  z    z  x        y  z z  x   x  y   x  y z  2 yz  zx  x  y   2 x  y  z   yz  zx xy   Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 5.12: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: a b c   1 2b a 2c b 2a c Phân tích: Từ giả thiết abc  toán, tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến dạng x y z a  ; b  ; c  , ý đến các bậc hai có bất đẳng thức cần chứng minh, y z x ta chọn cách đổi biến x y a ; b ; y z c z Khi bất đẳng thức viết lại thành x xz yx zy    Bất đẳng thức cần chứng minh có dấu hiệu sử 2z y  y x 2x z  z y 2y x  x z dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki dạng phân thức Do ta thử áp dụng xem chứng minh tốn khơng? TRƯỜNG THCS N PHONG – Ý YÊN 246 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Lời giải x y a ; b ; y z Vì abc  nên tồn số thực dương để c z x Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xz yx zy   1 2z y  y x 2x z  z y 2y x  x z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta xz yx zy x 2z2 y2 x z2 y2      2z y  y x 2x z  z y 2y x  x z 2xyz  x y 2x yz  z y 2xy z  x z  xy  yz  zx  2  xy  yz  zx   2  2 2 x y  y z  z x  2xyz  x  y  z   xy  yz  zx 2 1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Ví dụ 5.13: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1   1 a  a 1 b  b 1 c  c 1 Phân tích: Nếu ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki trực tiếp kiểu 1    2 a  a 1 b  b 1 c  c 1 a  b  c  a  b  c  Khi để phép chứng minh hoàn tất ta phải   a  b2  c2  a  b  c  a b c a bc3 2 Với giả thiết abc  đánh giá cuối đánh giá sai Để ý đến giả thiết abc  ta nghĩ đến phép đặt ẩn phụ, vấn đề đặt ta chọn cách đặt ẩn phụ nào? Trước hết ta thấy bất đẳng thức có tính đối xứng để khơng làm tính đối xứng ta khơng đặt ẩn phụ kiểu dụng phép đổi biến a  x y z y z x ; ; ; ; Đầu tiên ta sử y z x x y z 1 ; b  ; c  bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z x2 y2 z2   1 x  x  y2  y  z2  z  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta  x  y  z x2 y2 z2    2 2 x  x  y  y  z  z  x  y  z2  x  y  z  Ta cần chứng minh  x  y  z   x  y  z  x  y  z  Tuy nhiên đánh giá lại sai Do cách đổi biến khơng khả thi TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 247 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Như ta tính đến cách đổi biến a  yz zx xy x2 y2 z2 a  ;b  ;c  Trong ;b ;c x y z yz zx xy hai cách đổi biến trên, suy nhĩ chút ta loại cách đặt thứ bất đẳng thức chứa biến mẫu nên đổi biến quy đồng phân thức ta thu phân thức thức mà tử có chứa đại lượng y z ; z x ; x y mẫu lại chứa đại lượng x ; y ; z trộn hơn, nên muốn đánh giá mẫu theo chiều tăng lên khó Do ta cịn cách đổi biến a  yz zx xy ;b  ;c  , hy vọng chứng minh toán x y z Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x4 y4 z4   1 x  x yz  y z y  y zx  z x z  z xy  x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta x4 y4 z4   x  x yz  y z y  y zx  z x z  z xy  x y  x  y2  z  x  y  z  xyz  x  y  z   x y  y z  z x Phép chứng minh hoàn tất ta x 2  y  z   x  y  z  xyz  x  y  z   x y  y z  z x Biến đổi tơng đương thu gọn ta x y  y z  z x  xyz  x  y  z  Đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Nhận xét: Nếu chấp nhận biến bất đẳng thức từ dạng đối xứng dạng hoán vị với cách đổi biến a  y z x ; b  ; c  , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z a2 b2 c2   1 a  ab  b b  bc  c c2  ca  a Khi bất đẳng thức tương đương với a2 a2  a  ab  b a  b  c  ab  bc  ca a  a  b  c  ab  bc  ca  a  ab  b    a  ab  b2  a  b2  c2  ab  bc  ca   a 2c  a  b  c  a  ab  b  a  b  c  ab  bc  ca  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 248 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Áp dụng tương tự ta quy toán chứng minh a 2c b2c c 2c ab  bc  ca    2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a abc Áp dụng dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a 2c b 2a c2b   a  ab  b b  bc  c c  ca  a   ab  bc  ca  c  a  bc  b   a  b  bc  a 2 2   bc  ca  a   ab  bc  ca abc Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 5.14: Cho số thực a; b; c  thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a2 1  a   b2 1  b   c2 1  c  1 Phân tích: Chú ý đến giả thiết abc  tính đối xứng bất đẳng thức ta nghĩ đến phép đổi biến Ngoài ta thấy phân thức chứa biến tử nên ta chọn cách đổi biến x2 y2 z2 a ;b ;c yz zx xy Lời giải Đặt a  x2 y2 z2 với x; y; z  Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ; b  ;c  yz zx xy x4 x  yz   y4 y  zx   z4 z  xy  1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 2 x  y  z      x  yz   y  zx   z  xy   x  yz    y  zx    z x4 y4 2 z4 2 2 2 2 2  xy  Phép chứng minh hoàn tất ta 2 x  y  z   x  yz    y  zx    z 2 2 2  xy  1 Hay tương đương với x 2 2  y  z    x  yz    y  zx    z  xy        xy  yz  zx   Đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 249 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ví dụ 5.15: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  1 a    b  1 b    c  1 c    Phân tích: Chú ý đến giả thiết abc  tính đối xứng bất đẳng thức ta đổi biến a yz zx xy ;b  ;c  x y z Lời giải Đặt a  yz zx xy ;b  ;c  với x; y; z  , bất đẳng thức càn chứng minh trở thành x y z x4 y4 z4    2 2 2  x  yz  2x  yz   y  zx  2y  zx   z  xy  2z  xy  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta x4 y4 z4    x  yz  2x  yz   y2  zx  2y2  zx   z2  xy  2z2  xy   x x 2  y2  z2   yz  2x  yz    y  zx  2y  zx    z  xy  2z  xy  Phép chứng minh hoàn ta x x 2  y2  z2   yz  2x  yz    y  zx  2y  zx    z  xy  2z  xy  2 2  Hay ta cần chứng minh 2  x  y  z    x  yz  2x  yz    y  zx  2y  zx    z  xy  2z  xy  Khai triển thu gọn ta x y  y z  z x  xyz  x  y  z  Đánh giá cuối đánh giá Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 250 PHONE: 0983.265.289 ...  2  62 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b   3 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức bất đẳng thức có ứng dụng... lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a2 b2 c2 a bc    bc ca ab Bất đẳng thức gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Tuy nhiên ta thử áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. .. chiều bất đẳng thức cần chứng minh ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức không xẩy dấu đẳng thức a  b  c mà lại xảy a  b  0; c   Do ta có đánh giá bất đẳng thức theo