Phân loại các dạng toán tổ hợp xác suất ở trường phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN THU TRANG PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Hà Nội – 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS Nguyễn Nhụy Sinh viên thực khóa luận : Trần Thu Trang Hà Nội – 2018 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung Khóa luận, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Nhụy, người tận tình hướng dẫn, bảo để tơi hồn thành tốt Khóa luận Tơi xin gửi lời tri ân tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn – Cơ – Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, thầy cô Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội dạy dỗ quãng thời gian học tập trường, để tơi có kết ngày hôm Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên cạnh cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực Khóa luận tốt nghiệp Mặc dù cố gắng Khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, tơi mong thầy bạn sửa chữa, cho ý kiến đóng góp, bổ sung để tơi tiến Tơi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Trần Thu Trang DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, VIẾT TẮT CMR Chứng minh VD Ví dụ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT 1.1 Tổ hợp 1.1.1 Tập hợp 1.1.2 Tổ hợp 1.2 Xác suất 1.2.1 Biến cố mối quan hệ biến cố 1.2.2 Xác suất biến cố 1.2.3 Công thức Bernoulli 1.2.4 Cơng thức xác suất có điều kiện quy tắc nhân tổng quát 10 1.2.5 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes 10 1.2.6 Biến ngẫu nhiên rời rạc 11 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ NGUYÊN LÝ TRONG TỔ HỢP 13 2.1 Nguyên lý cực hạn 13 2.2 Nguyên lý Dirichlet 14 CHƯƠNG 3: CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT 16 3.1 Các dạng toán tổ hợp 16 3.1.1 Các toán đếm số 16 3.1.2 Các tốn xếp vị trí, lựa chọn vật, người 22 3.1.3 Các toán sử dụng nguyên lý tổ hợp 29 3.2 Các dạng toán xác suất 38 3.2.1 Các toán tính xác suất định nghĩa cổ điển 38 3.2.2 Các tốn tính xác suất cách dùng công thức nhân cộng xác suất 42 3.2.3 Các tốn tính xác suất cơng thức xác suất có điều kiện – quy tắc nhân tổng quát 46 3.2.4 Các tốn tính xác suất công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes 50 3.2.5 Các toán tính xác suất theo cơng thức Bernoulli 53 3.2.6 Các tốn tính xác suất dựa vào bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc 57 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các toán tổ hợp – xác suất thường xuất nhiều đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế xem dạng tốn khó phần lớn học sinh Bên cạnh đó, Tổ hợp – xác suất mang tính ứng dụng thực tế cao nhiều lĩnh vực khoa học đời sống thực tiễn, góp phần nâng cao lực sáng tạo, tư nhạy bén học sinh Toán Tổ hợp – Xác suất xuất cách thức chương trình học kì – lớp 11 bậc Phổ thơng Đặc điểm tốn Tổ hợp không cần nhiều công thức cồng kềnh, phức tạp để giải mà chủ yếu dựa vào tư chính, đặc biệt tốn hình học tổ hợp Xác suất có nhiều cơng thức hơn, bắt nguồn từ tảng Tổ hợp Chúng có mối quan hệ mật thiết với Khi tập trung giải toán này, người quan tâm cảm thấy thú vị, hấp dẫn bổ ích Trong vai trị sinh viên Sư phạm Tốn trở thành Giáo viên tương lai, thấy tầm quan trọng Tổ hợp – Xác suất mơn Tốn thực tiễn, tơi lựa chọn đề tài “Phân loại dạng toán tổ hợp xác suất trường phổ thông”, nhằm hệ thống cách tương đối rõ ràng dạng toán Tổ hợp – Xác suất, đồng thời bổ sung số tốn hay, phục vụ cho mục đích nghiên cứu, dạy học thời gian tới hỗ trợ cho việc giải tập học sinh Mục đích nghiên cứu Cung cấp số dạng toán tổ hợp – xác suất thường gặp, giúp cho người học hạn chế khó khăn giải tốn Tổ hợp – Xác suất hình thành tư tốn học Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lại dạng tập Tổ hợp – Xác suất bao gồm dạng thông thường, số dạng phức tạp phổ thông Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu: Các kĩ thuật giải toán Tổ hợp – xác suất 4.2 Phạm vi nghiên cứu: Các toán Tổ hợp – Xác suất chương trình nâng cao, dành cho học sinh giỏi Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: đọc, nghiên cứu tài liệu giáo trình liên quan đến kiến thức Tổ hợp – Xác suất Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giáo viên trực tiếp hướng dẫn giáo viên khác Cấu trúc đề tài Cấu trúc Khóa luận bao gồm phần sau: Phần mở đầu Trình bày lí chọn đề tài cấu trúc khóa luận Phần nội dung: Gồm chương Chương 1: Cơ sở lý thuyết Tổ hợp – Xác suất: Trình bày kiến thức lý thuyết Tổ hợp – Xác suất Chương 2: Một số nguyên lý Tổ hợp: Trình bày hai nguyên lý tổ hợp nguyên lý cực hạn nguyên lý Dirichlet Chương 3: Các dạng tốn Tổ hợp – Xác suất : Trình bày dạng tốn trường phổ thơng, đồng thời bổ sung số dạng toán đặc biệt Phần kết luận Phần tài liệu tham khảo CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT 1.1 Tổ hợp 1.1.1 Tập hợp 1.1.1.1 Tập hợp Tập hợp khái niệm toán học Ta hiểu khái niệm tập hợp qua ví dụ đơn giản như: tập hợp học sinh lớp 10A, tập hợp số nguyên tố,… Mỗi tập hợp gồm phần tử có hay vài tính chất chung Nếu a phần tử tập hợp X , ta viết a  X ( a thuộc X ) Nếu a phần tử X , ta viết a  X ( a không thuộc X ) Để viết tập hợp, thường có hai cách sau: - Liệt kê phần tử tập hợp - Chỉ rõ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Định nghĩa Tập Tập A gọi tập tập B kí hiệu A  B phần tử tập A phần tử tập B A  B  (x  A  x  B) Định nghĩa Hai tập hợp Hai tập hợp A B gọi kí hiệu A  B phần tử A phần tử B phần tử B phần tử A A  B  ( A  B, B  A) 1.1.1.2 Các phép toán tập hợp Phép hợp Hợp hai tập hợp A B , kí hiệu A  B , tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A thuộc B A  B  {x | x  A hc x  B} Phép giao Giao hai tập hợp A B , kí hiệu A  B , tập hợp bao gồm tất phần tử vừa thuộc A , vừa thuộc B A  B  {x | x  A vµ x  B} Phép lấy phần bù Cho A tập tập E Phần bù A E , kí hiệu CE A , tập hợp tất phần tử E mà không phần tử A Hiệu hai tập hợp A B , kí hiệu A \ B , tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A không thuộc B A \ B  {x | x  A vµ x  B} 1.1.2 Tổ hợp 1.1.2.1 Quy tắc cộng Giả sử cơng việc thực theo k phương án A1, A2 , , Ak Có n1 cách thực phương án A1 , n2 cách thực phương án A2 ,… nk cách thực phương án Ak Khi đó, cơng việc thực n1  n2   nk cách 1.1.2.2 Quy tắc nhân Giả sử cơng việc bao gồm k công đoạn A1, A2 , , Ak Công đoạn A1 thực theo n1 cách, A2 thực theo n2 cách,…, Ak thực theo nk cách Khi cơng việc theo n1n2 nk cách 1.1.2.3 Hoán vị Cho tập hợp A có n (n  1) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A (gọi tắt hoán vị A ) = (0,8)(0,85)(0,9) + (0,2)(0,85)(0,9) + (0,8)(0,15)(0,9) + (0,8)(0,85)(0,1)  0,941 Bài tốn 35: Tín hiệu thơng tin phát lần với xác suất thu lần phát 0,4 a Tìm xác suất để nơi thu nhận tín hiệu b Nếu muốn xác suất thu tín hiệu thơng tin lên 90% phải phát lần Giải Gọi Ai biến cố: “Thu tín hiệu thơng tin lần phát thứ i ” ( i  1, 2,3 ) Có P  Ai   0,4 a Gọi B biến cố: “Nơi thu nhận tín hiệu” B biến cố: “Nơi thu khơng nhận tín hiệu” Có B  A1 A2 A3 P  B   (0,6)(0,6)(0,6)  0,216 P  B    P  B    0,216  0,784 b Gọi số lần phát tín hiệu n Theo cách làm câu a, ta có  0,6n  0,9  0,6n  0,1 n  Vậy muốn xác suất thu tín hiệu thơng tin lên 90% phải phát lần 3.2.3 Các tốn tính xác suất cơng thức xác suất có điều kiện – quy tắc nhân tổng quát Bài toán 36: Tỉ lệ cha mắt đen, mắt đen 0,782; cha mắt đen, mắt xanh 0,079; cha mắt xanh, mắt đen 0,089; cha mắt xanh, mắt xanh 0,05 a Tìm khả mắt đen biết cha mắt đen 46 b Tìm khả mắt xanh biết cha mắt xanh Giải Gọi biến cố A : “Con mắt đen”, biến cố B : “Cha mắt đen”, biến cố C : “ Con mắt xanh”, biến cố D : “Cha mắt xanh” a P( A / B)  P( BA) 0,782   0,908 P( B) 0,782  0,079 b P(C / D)  P( DC ) 0,05   0,36 P( D) 0,089  0,05 Bài tốn 37: Một lớp có 60 em học sinh, 40 em có y phục màu xanh, 10 em mặc y phục có màu xanh màu trắng Chọn ngẫu nhiên em Tính xác suất để em mặc y phục màu màu trắng với điều kiện y phục em có màu xanh Giải Gọi A biến cố: “Học sinh mặc y phục màu trắng” Gọi B biến cố: “Học sinh mặc y phục màu xanh” P( BA)  10 40  , P( B)   60 60 Có P( A / B)  P( BA)  0,25 P( B) Vậy xác suất cần tính 0,25 Bài tốn 38: Một bình đựng bi xanh bi trắng Lấy ngẫu nhiên lần viên bi (không bỏ vào lại), lần viên bi Tính xác suất để lần lấy viên bi xanh, lần lấy viên bi trắng Giải Gọi A biến cố: “Lấy bi xanh” Gọi B biến cố: “Lấy bi trắng” 47 Gọi C biến cố: “Lấy lần viên bi xanh, lấy lần viên bi trắng” Nếu A xảy bình cịn bi xanh, bi trắng Khi P( B / A)  3 Theo quy tắc nhân tổng quát, ta có: P(C )  P( AB)  P( A)P( B / A)   10 Bài tốn 39: Trong hộp có 20 nắp khoen bia, có nắp ghi: “Bạn trúng thưởng” Bạn chọn lên rút thăm hai nắp khoen, tính xác suất để hai nắp trúng thường Giải Gọi A biến cố: “Nắp khoen đầu trúng thưởng” Gọi B biến cố: “Nắp khoen thứ hai trúng thưởng” Gọi C biến cố: “Cả hai nắp khoen trúng thưởng” Khi bạn rút thăm lần đầu hộp có 20 nắp, có nắp trúng nên P( A)  10 Khi biến cố A xảy cịn lại 19 nắp có nắp trúng thưởng, nên P( B / A)  19 Ta có: P(C )  P( A)P( B / A)  1   0,0053 10 19 190 Vậy xác suất để hai lần bốc trúng thưởng 0,0053 Bài tốn 40: Ta xét gia đình có hai Khả sinh gái lần sinh 0,51 , lần sinh độc lập Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên gia đình số gia đình ta được: 48 a Gia đình có gái đầu, trai thứ hai b Gia đình có thứ hai trai, biết đứa thứ gái c Gia đình có thứ hai trai, biết họ có gái Giải Gọi Ti biến cố “Đứa thứ i trai” ( i  1, ) P Ti    0,51  0,49 Gọi A biến cố “Đứa đầu gái, đứa thứ hai trai” Gọi B biến cố “Có gái” a Có A  TT nên P  A  P T1  P T2   (0,51)(0,49)  0,2499 b P T2 / T1   P TT 2 P T1   P  A 0,2499   0,49 P T1  0,51 c Ta cần tính P T2 / B  Có P  B    P  B    0,492  0,7599 P T2 / B   P T2 B  P T2T1  P  A 0,2499     0,3289 P B P  B  P  B  0,7599 Bài tốn 41: Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm bề ngồi giống hệt nhau, có hai mở cửa kho Anh ta thử ngẫu nhiên chìa (chìa khơng trúng bỏ ra) Tìm xác suất để mở cửa lần thứ ba Giải Gọi Ai biến cố: “Mở cửa lần thứ i ” Ta phải tìm P( A1 A1 A3 ) Áp dụng quy tắc nhân, ta có: P( A1 A2 A3 )  P( A1 )P( A2 / A1 )P( A3 / A1 A2 ) (1) Có P( A1 )   P( A1 )    9 49 Nếu lần thứ khơng mở cửa cịn lại chìa khóa, nên P( A2 / A1 )  Nếu lần thứ không mở cửa cịn lại chìa khóa, nên P( A3 / A1 A2 )      Thay số vào (1) ta có P( A1 A2 A3 )           3.2.4 Các tốn tính xác suất công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Bài toán 42: Từ hộp chứa m cầu trắng n cầu đen, người ta rút ngẫu nhiên khơng hồn lại hai lần Tính xác suất để lấy lần thứ hai trắng Giải Gọi A biến cố: “Lần thứ hai rút cầu trắng”, B1 biến cố “Lần thứ rút cầu trắng”, B2 biến cố “Lần thứ rút cầu đen” Ta có: P  B1  = m n , P  B2  = m+ n m+n P( A / B1 ) = m-1 m , P( A / B2 ) = m+ n - m+n -1 Vì B1 ,B2  hệ đầy đủ nên theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có P  A = P  B1  P  A / B1  + P  B2  P(A / B2 ) = m m-1 n m + m+ n m+ n - m+ n m+ n - 50 = m  m + n - 1  m + n  m + n - 1 = m m+n Vậy xác suất để lấy lần thứ hai trắng m m+n Bài tốn 43: Một phiên tịa xem xét khả xảy kiện T gặp Thống kê cho thấy P T   10 3 Hai nhân chứng A B mời đến phiên tòa Tòa biết độ tin cậy lời khai A B: Họ nói với xác suất 0,9 Giả sử A B độc lập với tuyên bố T xảy Khi tồ cần đánh giá xác suất xảy T bao nhiêu? Giải Ta cần tìm P T / AB  = P T  P  AB / T  P T  P  AB / T  + P T  P  AB / T  Ta có P T  =10-3 P  AB / T  = P  A / T  P  B / T  = (0,9)(0,9) P T  = 1-10-3 P  AB / T  = (0,1)(0,1) = 0,01 Thay vào ta nhận P T / AB  = 81  0,075 1080 Bài toán 44: Trong số bệnh nhân bệnh viện có 50% điều trị bệnh A , 30% điều trị bệnh B 20% điều trị bệnh C Xác suất để chữa khỏi bệnh A , B C bệnh viện tương ứng 0,7; 0,8 0,9 Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân chữa khỏi bệnh A tổng số bệnh nhân chữa khỏi bệnh 51 Giải Gọi A biến cố: “Bệnh nhân điều trị bệnh A ”; B biến cố: “Bệnh nhân điều trị bệnh B ”; C biến cố: “Bệnh nhân điều trị bệnh C ” Có P  A  0,5 ; P  B   0,3 ; P  C   0,2 Gọi H biến cố: “Bệnh nhân chữa khỏi bệnh” Có P  H / A  0,7 ; P  H / B   0,8 ; P  H / C   0,9 Ta có: P  H   P  A P  H / A  P  B  P  H / B   P  C  P  H / C   (0,5)(0,7)  (0,3)(0,8)  (0,2)(0,9)  0,77 Tỉ lệ bệnh nhân chữa khỏi bệnh A tổng số bệnh nhân chữa khỏi bệnh là: P A / H = P  A  P(H / A) (0,5)(0,7) = = PH  0,77 11 Bài tốn 45: Tại bang Indiana, có 65% ủng hộ Đảng Dân chủ, 20% ủng hộ Đảng Cộng hòa Biết 85% số người ủng hộ Đảng Dân chủ bầu cử, 90% số người ủng hộ Đảng Cộng hòa bầu cử 70% số người không ủng hộ hai đảng bầu cử Hỏi tỉ lệ số người bầu cử Indiana bao nhiêu? Giải Gọi A biến cố “Ủng hộ Đảng Dân chủ”, B biến cố “Ủng hộ Đảng Cộng hịa” C biến cố: “Khơng ủng hộ hai đảng”; H biến cố “Đi bầu cử” Tỉ lệ số người bầu cử Indiana P( H )  P( A)P( H / A)  P( B)P( H / B)  P(C )P( H / C ) = (0,65)(0,85)  (0,2)(0,9)  (0,15)(0,7)  0,8375 52 Bài tập đề xuất Bài 1: Một máy bay xuất vị trí A với xác suất vị trí B với xác suất Có ba phương án bố trí pháo bắn máy bay sau: Phương án 1: đặt A , đặt B Phương án 2: đặt A , đặt B Phương án 3: đặt A , đặt B Biết xác suất bắn trúng máy bay pháo 0,7 pháo hoạt động độc lập với nhau, chọn phương án tốt Bài 2: Tỉ số xe tải xe di qua trạm bơm dầu Xác suất để xe tải dừng lại bơm dầu 0,1 xác suất để xe dừng lại để bơm dầu 0,2 Có ô tô dừng lại bơm dầu, tính xác suất để ô tô xe tải Bài 3: Một công ty bảo hiểm phân chia khách hàng thành loại: rủi ro rủi ro trung bình rủi ro với tỉ lệ : : Một báo cáo đưa khả người rủi ro nhất, rủi ro trung bình rủi ro gặp tai nạn khoảng thời gian năm tương ứng 0,05; 0,15 0,3 a Tính xác xuất để khách hàng gặp tai nạn năm b Nếu khách hàng A khơng có tai nạn năm 1987, tính xác suất để A thuộc lớp khách hàng rủi ro 3.2.5 Các tốn tính xác suất theo cơng thức Bernoulli Bài tốn 46: Theo kết điều tra bệnh lao, tỉ lệ người bị lao vùng 0,001 Tìm xác suất để khám cho 10 người: a Có người bị lao b Không bị lao c Có người khơng bị lao d Có người bị lao 53 Giải Gọi phép thử T “Khám cho 10 người” Gọi biến cố A : “Người bị bệnh lao” p  P( A)  0,001; q  P( A)   p  0,999 n  10 a P2 (10;0,001)  C102 (0,001)2 (0,999)8  4,46.105 b P0 (10;0,001)  (0,999)10  0,99 c P9 (10;0,999)  P1 (10;0,001)  C101 (0,001)(0,999)9  9,9.103 d Pk 1 (10;0,001)   P0 (10;0,001)   (0,999)10  9,96.103 Bài toán 47: Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, câu hỏi cho câu trả lời, có câu Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn hú họa câu trả lời Tìm xác suất để: a Anh ta 13 điểm b Anh ta điểm âm Giải Gọi phép thử T trả lời câu hỏi Gọi biến cố A : “Câu trả lời đúng” p  P( A)   0,2; q  P( A)   p  0,8 n  12 a Gọi B biến cố: “Anh ta điểm” Để 13 điểm phải trả lời câu sai câu Có P( B) = P5 (12;0,2)  C125 (0,2)5 (0,8)7  0,0532 b Gọi C biến cố: “Anh ta điểm âm” 54 Để điểm âm trả lời câu, câu không trả lời câu Có P(C) = P0 (12;0,2)  P1(12;0,2)  P2 (12;0,2)  C120 (0,2)0 (0,8)12  C121 (0,2)1 (0,8)11  C122 (0,2) (0,8)10  0,5583 Bài toán 48: Một chiến sĩ tự vệ tập bắn súng, xác suất bắn trúng tâm lần bắn 0,3 Hỏi phải bắn viên để với xác suất không bé 80% chiến sĩ bắn trúng tâm viên? Giải Gọi số đạn chiến sĩ cần bắn n Phép thử T “Thực bắn n viên đạn vào tâm” Biến cố A : “Bắn trúng tâm” với p  P( A)  0,3; q  0,7 Có Pk 1 (n;0,3)   P0 (n;0,3)   (0,7)n  0,8 Suy (0,7)n  0,2  n  Vậy cần bắn viên Bài tập đề xuất Bài 1: Trong phân xưởng có máy hoạt động độc lập, xác suất để máy bị hư ca sản xuất p  0,1 Tính xác suất để ca có hai máy bị hư Bài 2: Một sinh viên thi trắc nghiệm môn Ngoại Ngữ gồm có 10 câu hỏi Mỗi câu có phần để lựa chọn trả lời, có phần Giả sử sinh viên làm cách chọn ngẫu nhiên phần câu hỏi Tính xác suất trường hợp sau: a Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm) b Sinh viên chọn câu hỏi 55 Bài 3: Lô hàng có 100 sản phẩm có 30 sản phẩm loại A, 50 sản phẩm loại B 20 sản phẩm loại C Lần lượt rút có hồn lại sản phẩm để kiểm tra Tính xác suất để lần rút có lần rút sản phẩm loại A, lần rút sản phẩm loại B lần rút sản phẩm loại C Bài 4: Một bác sĩ có xác suất chẩn đốn bệnh 0,7 Có người đến khám, tính xác suất để: a Khơng có chẩn đốn bệnh b Có người chẩn đốn bệnh c Có người chẩn đốn bệnh d Có người cho rằng: “Cứ người đến khám có người chẩn đốn bệnh” Điều có khơng? Bài 5: Tín hiệu thơng tin phát lần độc lập Xác suất thu lần 0,4 a Tìm xác suất để nguồn thu nhận thông tin lần b Tìm xác suất để nguồn thu nhận thơng tin c Nếu muốn xác suất thu tin  0,9 phải phát lần? Bài 6: Một phân xưởng có 50 máy hoạt động độc lập với Xác suất để máy bị hỏng ca sản suất 0,09 Tính xác suất để ca sản xuất có 90% máy không hoạt động Bài 7: Hai đấu thủ chơi cờ ngang tài ngang sức thi đấu với Hỏi khả thắng ván ván có cao khả thắng ván ván không? Bài 8: Một pháo bắn vào mục tiêu với xác suất trúng 0,6 Tìm xác suất mục tiêu bị tiêu diết sau lần bắn liên tiếp, biết khả mục tiêu bị tiêu diệt có 1,2 viên trúng tương ứng 0,2; 0,5 0,8 56 3.2.6 Các tốn tính xác suất dựa vào bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Bài toán 49: Số ca cấp cứu bệnh viện vào tối thứ biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau: X P 0,15 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05 Biết rằng, có ca cấp cứu phải tăng cường thêm bác sĩ trực a Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy b Tính xác suất để xảy ca cấp cứu vào tối thứ bảy Giải a Gọi biến cố A : “Phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy” P( A)  P( X  3)  P( X  4)  P( X  5) = 0,2  0,1  0,05  0,35 b Gọi biến cố B : “Xảy ca cấp cứu vào tối thứ bảy” P( B)   P( B)   P( X  0)   0,15  0,85 Bài toán 50: Số đơn đặt hàng đến ngày công ty vận tải biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau: X P 0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1 a Tính xác suất để số đơn đặt hàng thuộc đoạn [1;4] b Tính xác suất để có đơn đặt hàng đến cơng ty ngày Giải a A : “Số đơn đặt hàng thuộc đoạn [1;4]” P( A)  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)  P( X  4) = 0,2  0,4  0,1  0,1  0,8 57 b B : “Có đơn đặt hàng đến cơng ty ngày” P( B)   P( B)   P( X  0)   0,1  0,9 Bài tập đề xuất: Bài 1: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau: X P 0,01 0,05 0,1 0,14 0,18 0,25 0,15 0,07 0,04 0,01 a Tính P(2  X  7) b Tính P( X  5) Bài 2: Một hộp đề thi vấn đáp có 3030 câu hỏi, có 1010 câu hỏi khó Một học sinh cần rút ngẫu nhiên 33 câu hỏi để trả lời Gọi X số câu khó số 33 câu hỏi rút a Lập bảng phân bố xác suất X b Tính xác suất để học sinh nhận tồn câu khó c Tính xác suất để học sinh nhận 22 câu khó 58 KẾT LUẬN Qua q trình làm Khóa luận, tơi hiểu sâu tốn Tổ hợp – Xác suất, đồng thời hệ thống xây dựng số tốn mà tơi cảm thấy thú vị Các kết khóa luận là: - Hệ thống đầy đủ sở lý thuyết để giải toán Tổ hợp – Xác xuất bao gồm lý thuyết tập hợp, tổ hợp, xác suất - Phân dạng hệ thống toán theo chủ đề Tơi mong kết Khóa luận góp phần nhỏ vào kho tàng kiến thức tốn tổ hợp – xác suất Khóa luận tài liệu bổ ích cho cơng tác giảng dạy học tập, ngồi cịn mang đến cho người đọc cách tư duy, sở để xây dựng toán dựa toán Sau hồn thành Khóa luận, tơi tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu toán tổ hợp – xác suất để bổ sung có thêm nhiều hệ thống tập đa dạng hay Khóa luận cịn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp, giúp đỡ từ phía thầy bạn 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục Đào tạo, Đại số 10 Nâng cao, 2017 Bộ Giáo dục Đào tạo, Đại số Giải tích 11 Nâng cao, 2017 Vũ Hữu Bình, Hình học tổ hợp NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016 Hà Văn Chương, Phương pháp giải toán giải tích tổ hợp xác suất NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2011 Đào Hữu Hồ, Hướng dẫn giải toán xác suất- thống kê NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2009 Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lí thuyết xác suất thống kê NXB Giáo Dục, 2009 60 ... CHƯƠNG 3: CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT 16 3.1 Các dạng toán tổ hợp 16 3.1.1 Các toán đếm số 16 3.1.2 Các tốn xếp vị trí, lựa chọn vật, người 22 3.1.3 Các toán sử dụng... nguyên lý tổ hợp 29 3.2 Các dạng toán xác suất 38 3.2.1 Các toán tính xác suất định nghĩa cổ điển 38 3.2.2 Các tốn tính xác suất cách dùng công thức nhân cộng xác suất ... phạm Tốn trở thành Giáo viên tương lai, thấy tầm quan trọng Tổ hợp – Xác suất mơn Tốn thực tiễn, tơi lựa chọn đề tài ? ?Phân loại dạng toán tổ hợp xác suất trường phổ thông? ??, nhằm hệ thống cách tương