VD24: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh là α. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắ[r]
(1)THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
VD1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC)và (ACS)cùng vng góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp
VD2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 600.
1) Chứng minh mặt bên tam giác vng 2) Tính thể tích hình chóp
VD3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích hình chóp
VD4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 600.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
VD5: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a 2, AC = a 3, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a 3.Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC = a 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a 3.Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD7: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a 5.Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD8: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân A, BC = 2a 3, BAC 120 0,cạnh bên SA vng góc
với mặt phẳng đáy SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC = a 5.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
VD10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = AC = a 2.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
VD11: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy 600 M trung điểm SB.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD
VD12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,SA(ABCD)và SA a .Tính thể tích khối chóp S BCD theo a
VD13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a AD , 2a; SAABCD Cạnh bên SB a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
(2)VD15: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vng B, AB=a 3,AC=2a, góc cạnh bên SB mặt đáy (ABC) 600
Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD16:Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vng B, AB=a 3,AC=2a, góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABC) 600
Gọi M trung điểm AC Tính thể tích khối chóp S.BCM khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC)
VD17: Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân A với BC = 2a , biết SA (ABC) mặt (SBC) hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC
VD18: Cho hình chóp S.ABC có SB = a 2,AB=AC = a, BAC 600, Hai mặt bên (SAB) (SAC) cùng
vng góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA= b Cắt khối chóp mặt phẳng (SBD) ta hai khối chóp đỉnh S
a) Kể tên so sánh thể tích hai khối chóp
b) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình chóp S.ABCD c) Tính thể tích hai khối chóp S.ABC S.ABCD
VD21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD
1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD
VD22: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D , (ABC) (BCD) AD hợp với (BCD) góc 600 Tính thể tích tứ diện ABCD.
VD23:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 450.
1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC 2) Tính thể tích khối chóp SABC.
VD24: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a, ACB600, cạnh bên SA vng góc
với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
VD26: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a , BC = a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD27: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, cạnh BC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC
(3)VD29: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác
2) Tính thể tích khối chóp SABCD
VD30: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC 1) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
2) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC
VD31: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a 3, cạnh bên 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD32: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD
VD331: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp.
VD34: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a; góc cạnh bên đáy
60 Tính thể tích khối chóp theo a
VD35 Cho khối chóp tam giác S.ABC có AB = a , góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp theo a
VD36:.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a 2, cạnh bên
3
a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
VD37: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C, AB = 2a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy góc 300 Gọi M trung điểm SB Tính thể tích khối chóp M.ABC VD38: Cho hình chóp tam giác S.ABC, gọi M, N, K trung điểm AB, BC, CA Tính tỷ số thể tích hai khối chóp SMNK SABC
VD39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD Biết AB = 3a, BC = 4a SAO 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
VD40: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x
2 < x <
2
vaø AC = AD = BC = BD = Gọi I J laàn
lượt trung điểm cạnh AB CD
1 Chứng minh AB CD IJ đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB CD
2 Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích lớn tính giá trị lớn
VD41 : Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh a, có tâm O Trên nửa đường thẳng Ax, Cy vng góc với (P) phía (P) lấy hai điểm M, N đặt AM = x, CN = y
1 Tính độ dài MN Từ chứng minh điều kiện cần đủ để OMN vuông O là:
xy = a
2 .
2 Giả sử M, N thay đổi cho OMN vng O Tính thể tích tứ diện BDMN Xác định x,
y để thể tích tứ diện a
(4)VD42: Cho hình vng ABCD cạnh a I trung điểm AB Qua I dựng đường vng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S cho 2IS = a
1 Chứng minh tam giác SAD tam giác vuông
Tính thể tích hình chóp S.ACD suy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
VD1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có BC=a√2 biết A ' B=3a Tính thể tích khối lăng trụ
VD2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên 4a đường chéo AC’=5a Tính thể tích lăng trụ
VD3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích lăng trụ
VD4: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn hình thoi 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích lăng trụ
VD4:.Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AC=a 3, cạnh A/B = 2a Tính thể tích khối lăng trụ
VD5:.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân với AB=AC=a BAC 1200, cạnh
AA’= a Gọi I trung điểm CC’
a) Chứng minh Tam giác AB’I vuông A b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
VD6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác
vuông cân B với BA = BC = a, biết A’B hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ. VD7: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A với AC = a,
∠ACB=600 biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC’ thể tích lăng trụ
VD8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ.
VD9: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a ∠BAD=600 biết AB’
hợp với đáy (ABCD) góc 300 Tính thể tích hình hộp.
VD10: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác cạnh 2a 3 , hình chiếu vng góc A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ
VD11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a √3 , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’
VD12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’
VD13: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a. a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC
b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F.Tính thể tích khối CA’B’FE
VD14: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a, biết (A’BC) hợp với đáy (ABC) mọt góc 600 Tính thể tích lăng trụ.
(5)góc 600 A’C hợp với đáy (ABCD) góc 300 Tính thể tích hình hộp chữ nhật.
VD17: Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, BC = a 2 , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ.
VD18: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên a √3 hợp với đáy ABC góc 600 Thể tích lăng trụ.
VD19: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 600.
1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật
2) Tính thể tích lăng trụ
VD20: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = √3 AD = √7 Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy 450 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên VD21: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vng A, A/A=A/B=A/C , AB = a, AC = a 3, cạnh A/A tạo với mặt đáy góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ.
VD22:Cho lăng trụ đứng ABC, A'B'C', đáy ABC tam giác Góc AA' BC' 6
khoảng cách chúng a Tính thể tích lăng trụ
VD23:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có chiều cao h hai đường thẳng AB', BC' vng góc với Tính thể tích lăng trụ theo h
VD24: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao h góc hai đường chéo hai mặt bên kề phát xuất từ đỉnh α Tính thể tích lăng trụ
VD25:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = √3 , AD = √7 Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bên
TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH
VD1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC = a √2 , SA vng góc với đáy ABC, SA = a
1) Tính thể tích khối chóp S.ABC
2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN
VD2: Cho tam giác ABC vuông cân A AB = a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b) Chứng minh CE (ABD) c)Tính thể tích khối tứ diện CDEF
VD3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ( α ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng
VD4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F
(6)a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC (AB 'D') c)Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
VD6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M,N trung điểm AB AC Tính thể tích khối chóp S.AMN
VD7:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA =
3
a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AMN A.BCNM
VD8:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi I trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD
VD9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA(ABC) SA = 2a.
Gọi M trung điểm SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB)
VD10:: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 60o.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Tính khỏang cách từ điểm A đến mp(SBC)
VD11: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC.
VD12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 450.
a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC
VD13 : Cho hình chóp SABC, đáy ABC tam giác cân A có trung tuyến AD = a, hai mặt bên SAB SAC vng góc với đáy Cạnh bên SB hợp với đáy góc α hợp với mặt phẳng SAD góc
β Tính thể tích khối chóp SABC theo a, α , β
VD14:Cho khối chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a.Gọi B’, D’lần lượt hình chiếu A lên SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’
VD15: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, C’ trung điểm SB SD Mặt phẳng AB’D’cắt SC C’.Tính tỉ số thể tích hai khối chóp SAB’C’D’ SABCD
VD16: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng (α) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng
ƠN TẬP THỂ TÍCH ĐA DIỆN
Bài 1 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA', B'C'
ĐS:
3 1
;cos
2
a
.( Trích đề thi ĐH 2008 – A)
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA a, SB a 3 mặt phẳng
(7)ĐS:
3 3 5
;cos
3
a
.( Trích đề thi ĐH 2008 – B)
Bài 3 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA' a
Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C
ĐS: ; a a
.( Trích đề thi ĐH 2008 – D)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, ABBCa,
AD 2a, SA vuông góc với đáy SA 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD Chứng minh
rằng BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a ĐS:
3
3
a
.( Trích đề thi CĐ 2008)
Bài 5 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP
ĐS: 6
48
a
.( Trích đề thi CĐ 2009)
Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B, BA = BC = a, AD = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA a 2 Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến (SCD) ĐS:
a
( Trích đề thi ĐH 2007 – D)
Bài 7 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN BD tính theo a
khoảng cách hai đường thẳng MN AC ĐS:
2
a
( Trích đề thi ĐH 2007 – B)
Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (SAD) tam giác nằm mp vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh
AM BP tính thể tích khối tứ diện CMNP. ĐS: 3
96
a
( Trích đề thi ĐH 2007 – A)
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
ĐS:
3 15
5
a
( Trích đề thi ĐH 2009 – A)
(8)ĐS:
9 208
a
(Trích đề thi ĐH 2009 – B)
Bài 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).ĐS:
3
4
IABC a
V
; d(A,IBC)
2
5
a
(9)