Tích phaân suy roäng phuï thuoäc tham soá.. Caùc tích phaân Euler.[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐAØ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y Z
TẠ LÊ LỢI - ĐỖ NGUN SƠN
GIẢI TÍCH 3
(Giáo Trình)
Lưu hành nội bộ
(2)Giải Tích
Tạ Lê Lợi - Đỗ Ngun Sơn Mục lục
Chương I Tích phân phụ thuộc tham số
1 Tích phân phụ thuộc tham số
2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
3 Các tích phân Euler 14
Chương II Tích phân hàm số đa tạp Đa tạp khả vi Rn 19
2 Tích phân hàm số đa tạp 24
Chương III Dạng vi phân Dạng k-tuyến tính phản đối xứng 31
2 Dạng vi phân 33
3 Bổ đề Poincaré 37
Chương IV Tích phân dạng vi phân Định hướng 41
2 Tích phân dạng vi phân 44
3 Công thức Stokes 47
(3)(4)4 I TÝch ph©n phơ thc tham sè
1 TÝch ph©n phơ thc tham sè
1.1 Định nghĩa
nh ngha 1. Xột hm f(x, t) = f(x1, , xn, t1, , tm) xác định miền
X ìT ⊂RnìRm Giả sử X đo đ-ợc (Jordan) với giá trị của t∈T cố định, hàm f(x, t) khả tích theo x trênX Khi tích phân
I(t) =
Z X
f(x, t)dx (1)
lµ hµm theo biÕn t = (t1, , tm), gọi là tích phân phụ thuộc tham sè víi m
tham sè t1, , tm.
1.2 Tính liên tục
Định lý 1. Nếu f(x, t) liên tục trên X ìT RnìRm, đây X, T là tập compact, tích ph©n
I(t) =
Z X
f(x, t)dx
liªn tơc trªn T.
Chứng minh. Cố định t0∈T Ta chứng minh với >0, tồn tạiδ > 0sao
cho víi mäi t ∈T, d(t, t0)< δ ta cã |I(t)−I(t0)|<
Từ định nghĩa suy
|I(t)−I(t0)|=
Z X
(f(x, t)−f(x, t0))dx
≤
Z X
|f(x, t)−f(x, t0)|dx
Do f liên tục compact nên liên tục đó, tức tồn δ >0sao cho
|f(x0, t0)−f(x, t)|< v(X)
víi mäi (x, t),(x0, t0)∈X ×T, d((x0, t0),(x, t))< δ.
Từ đó, với d(t, t0)< δ ta có
|I(t)−I(t0)|< v(X)
(5)
5
2 VÝ dô. 1) Ta cã lim
t→0
R
−1
√
x2+t2dx=
R
−1
|x|dx= hàm x2+t2 liên tục trên
[1,1]ì[, ]
2) Khảo sát tính liên tục ®iĨm(0,0)cđa hµmf(x, t) =
(
xt−2e−x2t−2 nÕu t6=
0 nÕu t=
Nếu f(x, t)liên tục tại(0,0), thìf(x, t)liên tục [0,1]ì[−, ] Khi đó, tích phân I(t) =
1
R
0
f(x, t)dx liªn tơc trªn [−, ] Nh-ng ta cã
lim
t→0I(t) = limt→0
R
0
xt−2e−x2t−2 =−1
2limt→0
R
0
e−x2t−2d(−x2t−2)
=−1
2limt→0(e
−t−2
−1) =
2 6= =I(0)
Vậy, hàm f(x, t) không liên tục tại(0,0)
Sau khảo sát tổng quát hóa Định lý tr-ờng hợp
X = [a, b]
Định lý 2. Cho f(x, t) liên tục trên[a, b]ìT, với T là tập compact vàa(t), b(t)
là hai hàm liên tục trên T sao cho a(t), b(t)∈[a, b] với mọi t∈ T Khi đó, tích phân
I(t) =
b(t)
Z a(t)
f(x, t)dx
liªn tơc trªn T.
Chøng minh. Do f liªn tơc trªn tËp compact nªn giíi nội, tức tồn M >
sao cho |f(x, y)|≤M với (x, t)∈[a, b]ìT Cố địnht0 ∈T ta có:
|I(t)− I(t0)|=
a(Rt0)
a(t)
f(x, t)dx+
bR(t)
b(t0)
f(x, t)dx+
b(Rt0)
a(t0)
[f(x, t)−f(x, t0)]dx
≤
a(Rt0)
a(t)
f(x, t)dx
+
bR(t)
b(t0)
f(x, t)dx
+
b(Rt0)
a(t0)
(f(x, t)−f(x, t0))dx
≤M |a(t)−a(t0)|+M | b(t)−b(t0)| +
b(Rt0)
a(t0)
(6)Bài tập 63
21 Tính tích phân Gauss
S
cos(N, r)
r2 dS, r = (x, y, z), S mặt trơn, kín R3, 0∈S, vàN trường pháp, đơn vị, hướng
22 ChoV ⊂R3 khối giới hạn mặt tr7n, kín S, N = (cosα,cosβ,cosγ) trường pháp vector đơn vị định hướng mặt S Chứng minh:
a)
Scos(N, v)dS= 0, với hướng v∈R n
b) Thể tích V cho cơng thức V =
3 S(xcosα+ycosβ+zcosγ)dS c) NeáuF(x, y, z) = (ax, by, cz),
S < F, N > dS= (a+b+c)V
23 Tính F(t) =
SfdS, với S : x+y+z = t, f(x, y) = x
2 +y2, neáu
x2+y2+z2 ≤1; vàf(x, y) = 0trong trường hợp ngược lại 24 Tính
S((cosz−cosy) cosα+ (cosx−cosz) cosβ+ (cosy−cosx) cosγ)dS,
vớiS phía mặt cầux2+y2+z2 = 1, vàα, β, γ góc tạo trường pháp vector củaS với trục tọa độ
25 Tính
S(x
2cosα+y2cosβ+z2cosγ)dS,
vớiSlà mặt nón giới hạn miền: x2+y2 ≤z2,0≤z≤h,định hướng trường pháp vectorN = (cosα,cosβ,cosγ) hướng
26 Cho trường vectorF(x, y, z) = (x2z,−2y3z2, xy2z) Tính divF =<∇, F > rotF =∇ ×F
27 Chứng minh rot(grad )f = 0, div(rot F)= (f hàm, F trường vector lơp C2)
28 Trường vector F = (F1,· · ·, Fn) U ⊂Rn, gọi trường nếuu hàm f khả vi trênU, cho F = gradf (gọi làhàm thế)
a)F trường ωF =F1dx1+· · ·+Fndxn dạng khớp b) Trường hấp dẫn F(x, y, z) =−m (x, y, z)
(x2+y2+z2)32 có trường thế? Nếu có
tìm hàm
29 TrongR3, cho trường vectorF Thử giải thích vật lý người ta gọi a)
C < F, T > ds công trườngF dọc theo đường congC
b)
S< F, N > dS làthơng lượng dịng F qua mặt cong cong S
30 TrongR3 cho trường vector khả vi F Chứng minh divF(x0) = lim
r→0
Vr
Sr
(7)Bài tập 64
VớiVrlà thể tích hình cầu tâmx0 bán kínhr, vớiSr bờ vàN trường pháp
vector đơn vị trênSr
31 ChoS mặt giới hạn khối V vàN trường pháp vector đơn vị S Chứng
minh
V divNdV = diện tích(S)× thể tích (V)
32 Cho ϕ, ψ hàm lớp C2 miền giới nội V ⊂R3, có bờ mặt kín S, định hướng trường pháp vector đơn vịN hướng phía ngồi Chứng minh
a)Công thức Green thứ nhất:
V(ϕ∆ψ+<∇ϕ,∇ψ > dV =
S < ϕ∇ψ, N > dS
b)Công thức Green thứ hai:
V(ϕ∆ψ−ψ∆ϕ > dV =
S< ϕ∇ψ−ψ∇ϕ, N > dS
trong ∆ =<∇,∇>= ∂
∂x2 +
∂2
∂y2 +
∂2