Định lý điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric

Mục đích của bài báo này là giới thiệu khái niệm ánh xạ C -co, ánh xạ co yếu suy rộng, ánh xạ f -co yếu suy rộng trên không gian S -mêtric và thiết lập một số định lí điểm bất động c[r]

7

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ CO PHI TUYẾN SUY RỘNG TRONG

KHÔNG GIAN S-MÊTRIC

Nguyễn Thành Nghĩa1, Nguyễn Trung Hiếu2 Võ Đức Thịnh3

1

ThS Khoa Sư phạm Toán Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 2ThS Khoa Sư phạm Toán Tin, Trường Đại học Đồng Tháp

ThS Khoa Sư phạm Toán Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Thông tin chung:

Ngày nhận bài: 11/12/13 Ngày nhận kết bình duyệt: 19/02/14

Ngày chấp nhận đăng: 30/07/14

Title:

Several fixed point theorems for generalized nonlinear contractive mappings in S -metric spaces

Từ khóa:

Điểm bất động, ánh xạ C -co, ánh xạ co yếu suy rộng, ánh xạ

f -co yếu suy rộng, không gian S-mêtric

Keywords:

Fixed point, C -contractive mapping, generalized weakly contractive mapping, generalized f -weakly contractive mapping, S -metric space

ABSTRACT

The aim of this paper was to introduce the notion of a C -contractive mapping, a weakly contractive mapping, a f -weakly contractive mapping in S-metric spaces and to establish several fixed point theorems for these mappings The findings showed generalizations of the fixed point theorems in the literature In addition, an example was given to illustrate the results obtained

TÓM TẮT

Mục đích báo giới thiệu khái niệm ánh xạ C -co, ánh xạ co yếu suy rộng, ánh xạf -co yếu suy rộng không gian S-mêtric thiết lập số định lí điểm bất động cho ánh xạ Các kết mở rộng của định lí điểm bất động tài liệu tham khảo Đồng thời, nghiên cứu xây dựng ví dụ minh họa cho kết đạt

1 GIỚI THIỆU

Trong lí thuyết điểm bất động, ngun lí ánh xạ co Banach khơng gian mêtric đầy đủ Do đó, nhiều tác giả mở rộng nguyên lí cho không gian khác cho lớp ánh xạ khác Trong hướng nghiên cứu đó, nhiều tác giả xây dựng không gian mêtric suy rộng 2-mêtric,D -mêtric, G-mêtric, Gần đây, Sedghi, Shobe

Aliouche (2012) giới thiệu khái niệm mêtric suy rộng sau

Định nghĩa 1.1 Cho X tập khác rỗng Ánh xạ

   

: [0, )

S X X X gọi S

-mêtric X điều kiện sau thỏa mãn với x y z a, , , X.

8

Cặp ( , )X S gọi không gian S-mêtric Đồng thời, Sedghi cs (2012) giới thiệu số tính chất khơng gian S-mêtric mở rộng Ngun lí ánh xạ co Banach khơng gian mêtric đầy đủ sang không gian S-mêtric đầy đủ Từ đó, việc mở rộng định lí điểm bất động không gian mêtric sang không gian S -mêtric số tác giả quan tâm nghiên cứu đạt kết định (Chouhan, 2013; Nguyễn Văn Dũng, 2013; Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Thị Thanh Lý & Nguyễn Văn Dũng, 2013; Nguyễn Trung Hiếu & Nguyễn Thị Kiều Trang, 2013; Sedghi & Nguyễn Văn Dũng, 2014)

Với mục đích mở rộng Nguyên lí ánh xạ co Banach cho lớp ánh xạ khác nhau, nhiều tác giả thiết lập điều kiện co suy rộng khác (Rhoades, 1977) Trong báo mình, Chatterjee (1972) giới thiệu điều kiện co sau

Định nghĩa 1.2 Cho ( , )X d không gian mêtric Ánh xạ T X: X gọi C -co tồn [0, )1

2

k cho

( , ) [ ( , ) ( , )]

d Tx Ty k d x Ty d y Tx với

,

x y X

Sau đó, Choudhury (2009) mở rộng khái niệm

C -co Chatterjee thiết lập định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ C -co suy rộng khơng gian mêtric đầy đủ, kết Theorem 2.1 Choudhury (2009)

Kí hiệu lớp hàm liên tục

: [0, ) [0, ) thỏa mãn ( , )x y 0 x y 0

Định nghĩa 1.3 Cho ( , )X d không gian mêtric Ánh xạ T X: X gọi ánh xạ co yếu suy rộng

1

( , ) [ ( , ) ( , )] ( ( , ), ( , ))

d Tx Ty d x Ty d y Tx d x Ty d y Tx

với x y, X

Gần đây, S Chandok (2011) mở rộng khái niệm ánh xạ co yếu suy rộng Choudhury (2011) cho cặp ánh xạ T, f thiết lập số định lí điểm bất động chung cho lớp ánh xạ không gian mêtric đầy đủ ( , )X d với giả thiết bổ sung hai ánh xạ giao hốn điểm trùng (xem Định lí S Chandok (2011) ) T ánh xạ f - đơn điệu giảm (xem Định lí 2, S Chandok (2011))

Định nghĩa 1.4 Cho ( , )X d không gian mêtric hai ánh xạ T f X, : X Ánh xạ T gọi ánh xạ f -co yếu suy rộng

1

( , ) [ ( , ) ( , )] ( ( , ), ( , ))

d Tx Ty d fx Ty d fy Tx d fx Ty d fy Tx

với x y, X

Vào năm 2013, cách sử dụng số giả thiết khác cho cặp ánh xạ T f , Chandok thiết lập số định lí điểm bất động chung cho lớp ánh xạ f -co yếu suy rộng, kết Theorem 2.1 Chandok (2013) Đồng thời, từ định lí tác giả nhận định lí điểm bất động chung cho cặp toán tử Banach Các kết mở rộng kết tài liệu tham khảo Chandok (2013)

Từ vấn đề trên, đặt vấn đề mở rộng số định lí điểm bất động lớp ánh xạ

f -co suy rộng Chandok (2013) không gian mêtric sang không gian S-mêtric Đồng thời, chúng tơi xây dựng ví dụ minh họa cho kết đạt

9

kết Nguyễn Văn Dũng (2013), Sedghi cs (2012)

Mệnh đề 1.5 Cho ( , )X S khơng gian S -mêtric Khi S x x y( , , ) S y y x( , , ) với mọix y, X.

Mệnh đề 1.6 Cho ( , )X S không gian S -mêtric Khi với mọix y z, , X, ta có

( , , ) 2 ( , , ) ( , , )

S x x z S x x y S y y z

Định nghĩa 1.7 Cho ( , )X S không gian S -mêtric Khi

(1) Dãy { }xn X gọi hội tụ x

( , , )n n 0

S x x x n . Điều có nghĩa với 0, tồn n0 cho với n n0 S x x x( , , )n n . Kí hiệu

lim n

n x x hay xn x n .

(2) Dãy { }xn X gọi dãy Cauchy

( , ,n n m) 0

S x x x n m, . Nói cách khác, { }xn dãy Cauchy với

0, tồn n0 cho với

,

n m n S x x x( , ,n n m) .

(3) Không gian S-mêtric ( , )X S gọi đầy đủ với dãy Cauchy ( , )X S dãy hội tụ

Mệnh đề 1.8 Cho ( , )X S không gian S -mêtric Nếu dãy { }xn X hội tụ giới hạn

Mệnh đề 1.9 Cho ( , )X S không gian S -mêtric Nếu tồn hai dãy { }xn { }yn

cho lim n

n x x nlim yn y

lim ( , , )n n n ( , , ).

n S x x y S x x y

Định nghĩa 1.10 Cho M tập khác rỗng X hai ánh xạ T f M, : M Khi (1) Điểmx M gọi điểm trùng f Tnếu fx Tx Kí hiệu, tập hợp điểm bất động f T F f T( , ), tập hợp điểm trùng f T C f T( , )

(2) Hai ánh xạ f Tđược gọi giao hoán 

Tfx fTx với xM

(3) Hai ánh xạ f T gọi tương thích

 

lim ( n, n) 0

n d Tx fTx với dãy { }xn

thỏa mãn

   

lim n lim n

n Tx n fx t với

 t M

(4) Hai ánh xạ f T gọi tương thích yếu f T giao hốn điểm trùng

2 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH

Trước hết, đề xuất khái niệm ánh xạ

C -co, ánh xạ co yếu suy rộng ánh xạ f -co yếu suy rộng không gian S-mêtric

Kí hiệu lớp hàm liên tục

: [0, ) [0, ) thỏa mãn

10

(1) Ánh xạ T gọi C-co tồn

1 [0, )

3

k cho

( , , ) [2 ( , , ) ( , , )]

S Tx Tx Ty k S x x Ty d y y Tx

với x y, X

(3) Ánh xạ T gọi co yếu suy rộng

1

( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , ) 3

S Tx Tx Ty S x x Ty S y y Tx S x x Ty S x x Ty S y y Tx

với x y, X

(3) Ánh xạ T gọi f -co yếu suy rộng

1

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , )

3

S Tx Tx Ty S fx fx Ty S fy fy Tx S fx fx Ty S fx fx Ty S fy fy Tx

với x y, X

Nhận xét 2.2 (1) Ánh xạ C -co trường hợp đặc biệt ánh xạ co yếu suy rộng ánh xạ

xác định ( , , 1 ( )

3 )

x y z k x y z

với 0  1

3 k

(2) Khi f ánh xạ đồng nhất, ánh xạ f -co yếu suy rộng trở thành ánh xạ co yếu suy rộng Định lý 2.3 Cho ( , )X S không gian S-mêtric,

M tập khác rỗng X hai ánh xạ

, :

T f M M thỏa mãn điều kiện sau: (1) T M( ) f M( );

(2) T M( ) đầy đủ;

(3) T ánh xạ f -co yếu suy rộng; Khi đó, hai ánh xạ T f có điểm trùng

.

M Hơn nữa, T f hai ánh xạ tương thích yếu F T( )F f( ) có điểm Chứng minh Lấy x0 M Do



( ) ( )

T M f M nên ta chọn x1M cho f x( 1)Tx0 Vì Tx1 f M( ) nên tồn



2

x M cho f x( )2 Tx1 Tương tự, ta xây dựng dãy { }xn M cho

1 

n n

fx Tx với n  0 Do T ánh xạ

f -co yếu suy rộng nên ta có

1 1   1 1  1

1

( , , ) ( , , ) ( , , )

3

n n n n n n n n n

S Tx Tx Tx S fx fx Tx S fx fx Tx

1 1 1

( n , n , n), ( n , n , n), ( n, n, n ) S fx fx Tx S fx fx Tx S fx fx Tx

1 1 1

1 ( , , ) (0, 0, ( , , )) 3S Txn Txn Txn S Txn Txn Txn

(2.1) Suy

1 1  1 1 1

1

( , , ) ( , , )

3

n n n n n n

S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx

   

 ( 1, 1, ) ( 1, 1,

3[ S Txn Txn Txn S Txn Txn Txn)](2.2) Do

1 1  1

( n , n , n) ( n, n, n )

S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx

Suy ra, {S Tx( n1,Txn1,Txn)}là dãy khơng âm đơn điệu giảm Do đó, tồn r 0

cho  

 1 

lim ( n , n , n)

n S Tx Tx Tx r Khi đó, cho

n (2.2) ta

  



 lim ( 1, 1, 1) 1(2  )

3n n n n

11

Suy

  

 1 

lim ( n , n , n )

n S Tx Tx Tx r (2.3)

Cho n (2.1), sử dụng (2.3) tính liên tục hàm , ta



 13  (0, 0, ) 3

r r r (2.4)

Từ (2.4) tính chất hàm , ta suy

0 r

Do

 

 1 

lim ( n , n , n)

n S Tx Tx Tx (2.5)

Tiếp theo, ta chứng minh dãy {Txn} dãy Cauchy Giả sử ngược lại, tồn 0 cho từ dãy {Txn} ta tìm dãy

( )

{Txn k } {Txm k( )} với n k( )m k( )k cho với k ta có

( ) ( ) ( )

( m k, m k , n k )

S Tx Tx Tx S Tx( m k( ),Txm k( ),Txn k( ) 1) Khi

 S Tx( m k( ),Txm k( ),Txn k( ))S Tx( n k( ),Txn k( ),Txm k( )) S Tx( m k( )Txm k( ),Txn k( ) 1 ) ( S Txn k( ),Txn k( ),Txn k( ) 1 )   2 (S Txn k( ),Txn k( ),Txn k( ) 1 ) (2.6)

Cho k (2.6) sử dụng (2.5) ta

lim ( m k( ), m k( ), n k( )) lim ( m k( ), m k( ), n k( ) 1)

k S Tx Tx Tx k S Tx Tx Tx (2.7)

Ta lại có

S Tx( m k( ),Txm k( ),Txn k( ) 1) ( S Txm k( ),Txm k( ),Txm k( ) 1 )S Tx( n k( ) 1,Txn k( ) 1,Txm k( ) 1 ) 2 (S Txm k( ),Txm k( ),Txm k( ) 1) 2 (S Txn k( ) 1,Txn k( ) 1,Txn k( ))

S Tx( m k( ) 1,Txm k( ) 1,Txn k( )) 2 (S Txm k( ),Txm k( ),Txm k( ) 1) 2 (S Txn k( ),Txn k( ),Txn k( ) 1) 2 (S Txm k( ),Txm k( ),Txm k( ) 1 )S Tx( n k( ),Txn k( ),Txm k( )) (2.8)

Cho k (2.8) sử dụng (2.5) ta lim ( m k( ) 1, m k( ) 1, n k( ))

k S Tx Tx Tx

Do   

 ( ) ( ) ( ) 

lim ( m k , m k , n k )

k S Tx Tx Tx (2.9)

Mặt khác  S Tx( m k( ),Txm k( ),Txn k( ))

1 2 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( ))

3 S fxm k fxm k Txn k S fxn k Txm k Txm k

12

 12 ( ( ) 1, ( ) 1, ( )) ( ( ) 1, ( ), ( ))

3 S Txm k Txm k Txn k S Txn k Txm k Txm k

S fx( m k( ),fxm k( ),Txn k( )), (S fxm k( ),fxm k( ),Txn k( )), (S fxn k( ),Txm k( ),Txm k( )) (2.10) Cho k (2.10) sử dụng (2.7),

(2.9) ta 1(2 ) ( , , )

3 Suy

( , , ) 0 Điều điều mâu thuẫn với

0 Vậy {Txn} dãy Cauchy Vì tính đầy đủ T M( ) nên tồn u T M ( ) cho



 lim n

n

u Tx Vì T M( ) f M( ) nên tồn 

z M cho fz u Ta lại có

 ( , , ) S fz fz Tz

1  1

2 ( , ,S fz fz Txn ) S Tz Tz Tx( , , n )

1 1

1

2 ( , , ) ( , ,

3 ) ( n , n , )

n n

S fz fz Tx S fz fz Tx S fx fx Tz

1 1

( , , n ), ( , , n ), ( n , n , )

S fz fz Tx S fz fz Tx S fx fx Tz

    

2 ( , , 1) 1 ( , 1) ( , )

3 , ,

n n n n

S fz fz Tx S fz fzTx S Tx Tx Tz

1), 1)

( , , n ( , , n , ( n, n, )

S fz fz Tx S fz fz Tx S Tx Tx Tz (2.11)

Cho n (2.11) sử dụng tính liên tục , ta

( , , ) S fz fz Tz 

 

1

( , , ) 0, 0, ( , , )

3S fz fz Tz  S fz fz Tz

Điều suy S fz fz Tz( , , )0 Do

 

Tz fz u hay z điểm trùng T f Bây giả sử T f tương thích yếu Khi đó, Tu Tfz  fTz  fu Do

( , , )

S Tz Tz Tu (

3 S fz fz Tu, , ) S fu fu Tz( , , )

S fz fz Tu( , , ),S fz fz T( , , u), ( , ,S fu fu zT )

1 (

3 S Tz Tz Tu, , ) S Tu Tu Tz( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , )

S Tz Tz Tu S Tz Tz Tu S TuTu zT

Điều suy S Tz Tz Tu( , , )0 Vì

  

Tu Tz fu u Do u điểm bất động chung f T

Cuối cùng, ta chứng minh F T( )F f( ) có điểm Giả sử F T( )F f( ) { , } x y Khi S x x y( , , )S Tx Tx Ty( , , )

 ) ( , , ) 1

2 ( , ,

3 S fx fxTy S fy fy Tx ( , , ), ( , , ), ( , , )

S fx fx Ty S fx fx Ty S fy fy xT

) ( , , ) ), ), ( , , )

1 2 ( , , ( , , ( , , .

3 S x x y S y y x S x x y S xxy Sy yx

Suy ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))S x x y S x x y S y y x 0 Do S x x y( , , )0 hay y x Vậy T f có điểm bất động

Từ Nhận xét 2.2.(2) Định lí 2.3, ta nhận hệ sau

Hệ 2.4 Cho M tập hợp khác rỗng không gian S-mêtric ( , )X S ánh xạ



:

T M M thỏa mãn T M( )M Nếu

( )

T M đầy đủ T ánh xạ co yếu suy rộng Khi T có điểm bất động

13

Từ Hệ 2.5 Nhận xét 2.2.(1), ta nhận hệ sau

Hệ 2.6 Cho ( , )X S không gian S-mêtric đầy đủ Nếu T X: X ánh xạ C-co

Tcó điểm bất động X

Áp dụng Hệ 2.4, chứng minh kết sau

Định lý 2.7 Cho M tập hợp khác rỗng không gian S-mêtric ( , )X S hai ánh xạ

, :

f T M M thỏa mãn T F f( ( ))F f( ) Nếu T M( ) đầy đủ, tập F f( ) khác rỗng T

là ánh xạ f -co yếu suy rộng với 

, ( )

x y F f F T( )F f( ) có điểm Chứng minh Do T F f( ( )) tập hợp

( )

T M T M( ) đầy đủ nên T F f( ( )) đầy đủ Mặt khác, với x y, F f( ), ta có

 

 1  

( , , ) ( , , ) ( , , )

S Tx Tx Ty S fx fx Ty S fy fy Tx

( , , ), ( , , ), ( , , )

S fx fx Ty S fx fx Ty S fy fy Tx

1

2 ( , , ) ( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , ) S x x Ty S y y Tx S x x Ty S x x Ty S y y Tx

Điều chứng tỏ T ánh xạ co yếu suy rộng F f( ) Vì vậy, từ Hệ 2.4 ta suy ánh xạ T có điểm bất động zF f( ) Do đó, tập F T( )F f( ) có điểm

Cuối cùng, chúng tơi xây dựng ví dụ minh họa cho kết đạt được, Ví dụ 2.8 minh họa cho trường hợp T f, có điểm trùng cịn Ví dụ 2.9 minh họa cho trường hợp T f, có điểm bất động chung

Ví dụ 2.8 Đặt X { , , }p q r M { , }p q Trên X xét S-mêtric xác định

 

 1  

( , , ) ( , ) , )

2

S x y z d x z dy z , d mêtric X cho

  

( , ) ( , ) ( , ) 0

d p p d q q d r r ,

 

( , ) ( , ) 1

d q p d p q , d p r( , )d r p( , ) 2 ,

  3

( , ) ( , ) 2 d q r d r q

Xét hai ánh xạ T f M, : M xác định

  

Tp Tq fq p, fp q Khi đó,

( ) { } { , } ( )

T M p p q f M , T M( ) đầy

đủ T ánh xạ f -co yếu suy rộng với

1

( , , ) ( ) 12

a b c a b c ,a b c, , 0 Do đó, theo Định lí 2.3, ta suy T f có điểm trùng M

Ví dụ 2.9 Đặt X [0,) M [0,2] Xét S-mêtric xác định

 1   

( , , ) (| | | |) 2

S x y z x z y z với

, ,

x y z X

Xét hai ánh xạ T f M, : M xác định 1

Tx fx 2 x với x M Khi đó, T M( ) {1} [0,2] f M( ), T M( ) đầy đủ T ánh xạ f -co yếu suy rộng với

1

( , , ) ( ) 4

a b c a b c ,a b c, , 0 Hơn nữa, Tf1 T1 1 f1 fT1 hay T f, tương thích yếu x 1 Do đó, theo Định lí 2.3, ta suy T f có điểm bất động chung M điểm bất động chung

1