Ebook Hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành (dùng cho sinh viên ngành ĐT-VT hệ đào tạo đại học từ xa): Phần 1

Trong chương này chúng ta tìm hiểu những vấn đề cơ bản của giải tích phức: Lân cận, giới hạn, hàm phức liên tục, giải tích, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent[r]

SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP

TOÁN CHUYÊN NGÀNH (Dùng cho sinh viên ngành ĐT-VT hệ đào tạo đại học từ xa)

Lưu hành nội

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG

SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP

TOÁN CHUYÊN NGÀNH

LỜI NÓI ĐẦU

Tiếp theo chương trình tốn học đại cương bao gồm giải tích 1, toán đại số Sinh viên chuyên ngành điện tử-viễn thơng cịn cần trang bị thêm cơng cụ toán xác suất thống kê toán kỹ thuật

Để đáp ứng nhu cầu học tập sinh viên chuyên ngành điện tử viễn thông Học viện, chúng tơi biên soạn tập giảng Tốn kỹ thuật từ năm 2000 theo đề cương chi tiết môn học Học viện Qua q trình giảng dạy chúng tơi thấy cần hiệu chỉnh bổ sung thêm để cung cấp cho sinh viên cơng cụ tốn học tốt Trong lần tái lần thứ hai tập giảng nâng lên thành giáo trình, nội dung bám sát đặc thù chuyên ngành viễn thông Chẳng hạn nội dung phép biến đổi Fourier sử dụng miền tần số f thay cho miền ω Dựa vào tính khai triển Laurent giới thiệu phép biến đổi Z

để biểu diễn tín hiệu rời rạc hàm giải tích Tuy nhiên đặc thù phương thức đào tạo từ xa nên biên soạn lại cho phù hợp với loại hình đào tạo

Tập giáo trình bao gồm chương Mỗi chương chứa đựng nội dung thiết yếu coi cơng cụ tốn học đắc lực, hiệu cho sinh viên, cho kỹ sư sâu vào lĩnh vực viễn thơng Nội dung giáo trình đáp ứng đầy đủ yêu cầu đề cương chi tiết môn học Học viện duyệt Trong chương chúng tơi cố gắng trình bày cách tổng quan để đến khái niệm kết Chỉ chứng minh định lý đòi hỏi công cụ vừa phải không sâu xa chứng minh định lý mà trình chứng minh giúp người đọc hiểu sâu chất định lý giúp người đọc dễ dàng vận dụng định lý Các định lý khó chứng minh dẫn đến tài liệu tham khảo khác Sau kết có ví dụ minh hoạ Cuối phần thường có nhận xét bình luận việc mở rộng kết khả ứng dụng chúng Tuy nhiên không sâu vào ví dụ minh hoạ mang tính chun sâu viễn thơng hạn chế chúng tơi lãnh vực vượt khỏi mục đích tài liệu

Thứ tự Ví dụ, Định lý, Định nghĩa, đánh số theo loại chương Chẳng hạn Ví dụ 3.2, Định nghĩa 3.1 ví dụ thứ hai định nghĩa chương 3… Nếu cần tham khảo đến ví dụ, định lý, định nghĩa hay cơng thức chúng tơi rõ số thứ tự ví dụ, định lý, định nghĩa tương ứng Các công thức đánh số thứ tự theo chương

Hệ thống câu hỏi ôn tập tập chương có hai loại Loại trắc nghiệm sai nhằm kiểm tra trực tiếp mức độ hiểu học viên loại tập tổng hợp giúp học viên vận dụng kiến thức cách sâu sắc

Vì nhận thức chúng tơi chun ngành Điện tử Viễn thơng cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót việc biên soạn tài liệu này, chưa đưa hết cơng cụ tốn học cần thiết cần trang bị cho cán nghiên cứu chuyên ngành điện tử viễn thơng Chúng tơi mong đóng góp nhà chun mơn để chúng tơi hồn thiện tốt tập tài liệu

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thông bạn bè đồng nghiệp khuyến khích, động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành tập tài liệu

Hà Nội 5/2006

CHƯƠNG I: HÀM BIẾN SỐ PHỨC PHẦN GIỚI THIỆU

Giải tích phức phận tốn học đại có nhiều ứng dụng kỹ thuật Nhiều tượng vật lý tự nhiên đòi hỏi phải sử dụng số phức mô tả Trong chương tìm hiểu vấn đề giải tích phức: Lân cận, giới hạn, hàm phức liên tục, giải tích, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent… Để nghiên cứu vấn đề thường liên hệ với kết ta đạt hàm biến thực Mỗi hàm biến phức w= f z( )= f x iy( + )=u x y( , )+iv x y( , ) tương ứng với hai hàm thực hai biến

( , )

u x y ,v x y( , ) Hàm phức f z( ) liên tục u x y( , ),v x y( , ) liên tục f z( ) khả vi u x y( , ),v x y( , ) có đạo hàm riêng cấp thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann Tích phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại …Mỗi chuỗi số phức tương ứng với hai chuỗi số thực có số hạng tổng quát phần thực phần ảo số hạng tổng quát chuỗi số phức cho Sự hội tụ hay phân kỳ xác định hội tụ hay phân kỳ hai chuỗi số thực

Từ tính chất đặc thù hàm biến phức có cơng thức tích phân Cauchy Đó cơng thức liên hệ giá trị hàm phức điểm với tích phân dọc theo đường cong kín bao quanh điểm Trên sở cơng thức tích phân Cauchy ta chứng minh kết quả: Mọi hàm phức giải tích có đạo hàm cấp, khai triển hàm phức giải tích thành chuỗi Taylor, hàm giải tích hình vành khăn khai triển thành chuỗi Laurent

Bằng cách tính thặng dự hàm số điểm bất thường lập ta áp dụng để tính tích phân phức tích phân thực, tính hệ số khai triển Laurent phép biến đổi Z ngược

Dựa vào tính khai triển Laurent ta xây dựng phép biến đổi Z.Phép biến đổi Z cho phép biểu diễn dãy tín hiệu số rời rạc hàm giải tích

Để học tốt chương học viên cần xem lại kết giải tích thực

NỘI DUNG 1.1 SỐ PHỨC

1.1.1 Dạng tổng quát số phức

Số phức có dạng tổng quát z x iy= + , x y, số thực; i2 =−1 x phần thực z, ký hiệu Re z y phần ảo z, ký hiệu Imz Khi y=0 z x= số thực; khix= z iy= gọi số ảo

Hai số phức z1= +x1 iy1 z2 =x2+iy2 phần thực phần ảo chúng

1 1 2 2

1

, ; x x

z x iy z x iy z z

y y = ⎧

= + = + = ⇔ ⎨

=

⎩ (1.1) Tập hợp tất số phức ký hiệu

1.1.2 Các phép toán

Cho hai số phức z1= +x1 iy1 z2 =x2+iy2, ta định nghĩa:

a) Phép cộng: Số phức z=(x1+x2) (+i y1+y2) gọi tổng hai số phức z1

z , ký hiệu z z= +1 z2

b) Phép trừ: Ta gọi số phức − = − −z x iy số phức đối z x iy= +

Số phức z z= + −1 ( z2)=(x1−x2) (+i y1−y2) gọi hiệu hai số phức z1 z2, ký hiệu z z= −1 z2

c) Phép nhân: Tích hai số phức z1 z2 số phức ký hiệu định nghĩa biểu thức:

z z z= 1 2 =(x1+iy1)(x2+iy2) (= x x1 2−y y1 2) (+i x y1 2+y x1 2) (1.2) d) Phép chia: Nghịch đảo số phức z x iy= + ≠0 số phức ký hiệu

z hay

1 z− , thỏa

mãn điều kiện zz−1= Vậy z−1= +x iy' '

2 2

' '

' , '

' '

xx yy x y

x y

yx xy x y x y

− =

⎧ −

⇒ = =

⎨ + =

+ +

⎩ (1.3)

Số phức 1 21 22 22 22 22 2 2

x x y y y x x y

z z z i

x y x y

− + −

= = +

+ + gọi thương hai số phức z1

2

z , ký hiệu

z z

z

= (z2 ≠0)

Ví dụ 1.1: Cho z x iy= + , tính z2, z z

Giải: z2 =(x iy+ )2 =(x2−y2)+i(2xy), z z x= 2+y2 Ví dụ 1.2: Tìm số thực x y, nghiệm phương trình

5(x y+ )(1+ −i) (x+2i)(3+ = −i) 3 11i

Giải: Khai triển đồng phần thực, phần ảo hai vế ta

3,

4 11

x y

x y

x y

+ + =

⎧ ⇒ = − =

⎨ + − = −

Ví dụ 1.3: Giải hệ phương trình

2

z iw z w i

+ =

⎧

⎨ + = +

⎩

Giải: Nhân i vào phương trình thứ cộng vào phương trình thứ hai ta

(2 ) 2 (1 2)(2 )

2 5

i i

i i

i z i z

i

+ −

+ +

+ = + ⇒ = = =

+ ,

( 1) 3

5

i i

w i z i⎛− + ⎞ +

⇒ = − = ⎜ ⎟= −

⎝ ⎠

Ví dụ 1.4: Giải phương trình z2+2z+ =5

Giải: z2 +2z+ =5 (z+1)2+ =4 (z+1) ( ) (2 − 2i = z+ −1 2i z)( + +1 2i)

Vậy phương trình có hai nghiệm z1= − +1 ,i z2 = − −1 2i 1.1.3 Biểu diễn hình học số phức, mặt phẳng phức

Xét mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn

Oxy, có véc tơ đơn vị hai trục tương ứng

i

JG

JGj Mỗi điểm M mặt phẳng hoàn toàn xác định tọa độ ( ; )x y thỏa mãn OMJJJJG=x iJG+y jJG

Số phức z x iy= + hoàn toàn xác định phần thực x phần ảo ycủa Vì người ta đồng điểm có tọa độ

( ; )x y với số phức z x iy= + , lúc mặt phẳng gọi mặt phẳng phức

1.1.4 Dạng lượng giác số phức

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn

Oxy, ta chọn OxJJG làm trục cực điểm

( ; )

M x y có tọa độ cực ( )r;ϕ xác định

( )

, ,

r OM= ϕ = Ox OMJJG JJJJG thỏa mãn cos

sin

x r y r

ϕ ϕ

= ⎧ ⎨ = ⎩

Ta ký hiệu gọi

z = =r OM = x2+y2 (1.4) Argz= +ϕ k π2 , k∈ (1.5) là mô đun argument số phức z x iy= +

x x

M y

y

O JJGi

j

JJG

r ϕ

x x

M y

y

O JJGi

j

Góc ϕ số phức z x iy= + ≠0 xác định theo công thức sau

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ =

ϕ = ϕ

2 cos

tg

y x x/ y/x

(1.6) Giá trị Argznằm − π gọi argument chính, ký hiệu π argz Vậy

argz

π π

− < ≤ Từ cơng thức (1.4) ta có

(cos sin )

z x iy r= + = ϕ+i ϕ (1.7) gọi dạng lượng giác số phức

Sử dụng khai triển Maclaurin chứng minh cơng thức Euler

eiϕ =cosϕ+isinϕ (1.8)

Do cos , sin

2

i i i i

e e e e

i

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ = + − ϕ= − − (1.9) Từ (1.7)-(1.8) ta viết số phức dạng mũ

i

z= z eϕ (1.10) Các tính chất số phức

ƒ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

; ; z z

z z z z z z z z

z z

⎛ ⎞

+ = + = ⎜ ⎟=

⎝ ⎠ (1.11)

ƒ Re ; Im

2

z z z z

z z

i

+ −

= = z∈ ⇔ z z= (1.12)

ƒ 1 2 2

1 2

arg arg Arg Arg

z z z z

z z

z z z z k π

⎧ = ⎧ =

⎪ ⎪

= ⇔ ⎨ ⇔ ⎨

= = +

⎪ ⎪

⎩ ⎩ (1.13)

ƒ z z= z2,

2

1

z z z z

z

z = = ,

1 2 2 z z z

z = z (1.14)

ƒ 1 2 1 2 1 1 2 1 2

2 , z z ,

z z z z z z z z

z z

= = + ≤ + (1.15)

ƒ ( 1 2) 1 2 1 2

2

Arg z z Argz Arg , Argz z Argz Argz z

⎛ ⎞

= + ⎜ ⎟= −

⎝ ⎠ (1.16) ƒ z=x+iy

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≤ ≤ ⇒

z y

z x

Ví dụ 1.5: a) Tập số phức z thỏa mãn z− = tương ứng với tập điểm có khoảng cách đến I(2;0) 3, tập hợp đường tròn tâm I bán kính

b) Tập số phức z thỏa mãn z− = + tương ứng với tập điểm cách z

(2;0)

A B( 4;0)− đường trung trực đoạn AB có phương trình x= − 1.1.5 Phép nâng lũy thừa, công thức Moivre

Lũy thừa bậc n số phức z số phức

n

n

z = zz"z

lÇn

Từ cơng thức (1.15)-(1.16) ta có cơng thức Moivre:

(cos sin ), Arg

n n

z = z nϕ+i nϕ z= +ϕ k π (1.18) Đặc biệt, z = ta có

(cosϕ+isinϕ) (n= cosnϕ+isinnϕ) (1.18)'

Ví dụ 1.6: Tính (− +1 3i)10

Giải: ( )

10

10 2 2 10 20 20

1 cos sin cos sin

3 3

i ⎡ ⎛ π i π ⎞⎤ ⎛ π i π ⎞

− + =⎢ ⎜ + ⎟⎥ = ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

210 cos2 sin2 210 29 329

3 i 2 i i

π π ⎛ ⎞

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟= ⎜⎜− + ⎟⎟= − +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1.1.6 Phép khai

Số phức ω gọi bậc n z, ký hiệu ω=n z, ωn =z Nếu viết dạng lượng giác: z=r(cosϕ+isinϕ), ω=ρ(cosθ+isinθ)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

π + ϕ = θ

= ρ ⇔ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

∈ π + ϕ = θ

= ρ ⇔ ω =

n k r k

k n

r z

n n

n

2 ,

2 (1.19)

Vì Argument số phức xác định sai khác bội số nguyên nên với số π phức z≠0 có n bậc n Các bậc n có mơ đun n r, Argument nhận giá trị

n k n

π + ϕ =

θ ứng với k =0,1, , n−1, nằm đỉnh n-giác nội tiếp đường trịn tâm O bán kính n r

Ví dụ 1.7: Giải phương trình z4+1=0

Giải: Nghiệm phương trình bậc

của −1=cosπ+isinπ tương ứng là:

x y

0

z

1

z

O 1

i

4

2 sin cos

0 i i

z = π+ π= + ,

2

0

1 iz i

z = = − + ,

2

0

2 z i

z =− = − − ,

2

0 iz i

z =− = −

1.1.7 Các khái niệm giải tích phức

1.1.7.1 Mặt cầu phức

Trong 1.1.3 ta có biểu diễn hình học tập số phức cách đồng số phức z=x+iy với điểm M có tọa độ ( yx; ) mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Mặt khác ta dựng mặt cầu (S)có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng Oxy O, điểm z

thuộc mặt phẳng Oxy tương ứng với điểm ω giao điểm tia Pz mặt cầu

)

(S , P điểm cực bắc (S)

Vậy điểm mặt phẳng Oxyđược xác định điểm mặt cầu (S)ngoại trừ điểm cực bắc P

Ta gán cho điểm cực bắc số phức vô ∞ Tập hợp số phức thêm số phức vô gọi tập số phức mở rộng Như toàn mặt cầu (S) biểu diễn hình học tập số phức mở rộng

Quy ước: z =∞(z ≠0), z∞=∞(z≠0), z+∞=∞, ∞−z=∞

0

1.1.7.2 Lân cận, miền

a Lân cận

Khái niệm ε lân cận − z0∈ định nghĩa hoàn toàn tương tự với ε lân cận − 2, hình trịn có tâm điểm bán kính ε

Bε( )z0 ={z∈ z−z0 <ε} (1.23) −

N lân cận ∞∈ : BN( )∞ ={z∈ z >N}∪{ }∞ (1.23)’ b Điểm trong, tập mở

Giả sử E tập điểm mặt phẳng phức mặt cầu phức Điểm z0 gọi là điểm E tồn lân cận z0 nằm hoàn toàn E

Tập gồm điểm gọi tập mở

• •

ω

z x

O y

P

c Điểm biên

Điểm z , thuộc khơng thuộc 1 E, gọi điểm biên E lân cận z có chứa điểm thuộc 1 E điểm không thuộc E

Tập hợp điểm biên E gọi biên E, ký hiệu ∂E

Hình trịn mở {z∈ z−z0 <r} phần bù hình trịn mở {z∈ z−z0 >r} tập mở có biên {z∈ z−z0 =r} {z∈ z−z0 =r}∪{ }∞

Hình trịn đóng {z∈ z−z0 ≤r} khơng phải tập mở điểm biên z−z0 =r điểm

d Tập liên thông, miền

Tập D mặt phẳng phức hay mặt cầu phức gọi tập liên thông với điểm D nối chúng đường cong liên tục nằm hoàn toàn trongD

Một tập mở liên thông gọi miền

Miền D biên ∂D gọi miền đóng, ký hiệu D=D∪∂D Miền có một biên gọi miền đơn liên, trường hợp ngược lại gọi miền đa liên

Ta qui ước hướng dương biên miền hướng mà ta biên theo hướng miền D bên tay trái

Miền D gọi bị chặn tồn R>0 cho z ≤ ,R ∀z∈D

1.2 HÀM BIẾN PHỨC

1.2.1 Định nghĩa hàm biến phức

Định nghĩa 1.1: Một hàm biến phức xác định tập D quy luật cho tương ứng số phức z∈Dvới nhiều số phứcw , ký hiệu w= f( )z ,z∈D

Nếu với z cho tương ứng giá trị w f( )z gọi hàm đơn trị Trường hợp ngược lại f gọi hàm đa trị

Hàm số w= f( )z =z2 +3 hàm đơn trị, hàm số w= f( )z = z hàm đa trị

Tập D định nghĩa gọi tập xác định Ta xét tập xác định D miền, D gọi miền xác định

Thông thường người ta cho hàm phức công thức xác định ảnh f( )z , miền xác định D tập số phức z mà f( )z có nghĩa

Hàm số ( )

1

2 +

= =

z z z

f

w có miền xác định D={z z≠ ±i}

iy x

z = + w= f( )z =u+iv ( )( )

⎩ ⎨ ⎧ = = y x v v y x u u , , (1.24) Gọi u ,( )x y phần thực, v ,( )x y phần ảo hàm f(z)

Hàm số w= z2 +3=(x+iy)2 +3=(x2 −y2 +3)+i2xy có

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = xy v y x u 2

Trường hợp miền xác định D⊂ ta có hàm phức biến số thực, ta ký hiệu w= f( )t có biến số t thay cho z

Trường hợp miền xác định D tập số tự nhiên ta có dãy số phức zn = f( )n ,n∈ , ta thường ký hiệu dãy số ( )zn n∈ hay ( )zn ∞n=1

1.2.2 Giới hạn

Định nghĩa 1.2: Dãy số ( )zn ∞n=1 hội tụ z0 = x0 + y0, ký hiệu lim zn z0

n

=

∞

→ , ε < − ⇒ ≥ > ∃ > ε

∀ 0, N 0:n N zn z0 (1.25) Dãy số ( )zn ∞n=1 có giới hạn ∞, ký hiệu =∞

∞ → n

n

z

lim ,

ε > ⇒ ≥ > ∃ > ε

∀ 0, N 0:n N zn (1.26) Từ (1.17) suy

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇔ + = = ∞ → ∞ → ∞ → 0 0 lim lim lim y y x x iy x z z n n n n n n (1.27)

Định nghĩa 1.3: Ta nói hàm phức w= f( )z xác định lân cận z0 có giới hạn là L z tiến đến z0, ký hiệu f( )z L

z z

= → 0

lim , với lân cận Bε( )L tồn lân cận

( )z0

Bδ cho với z∈Bδ( )z0 , z≠z0 f( )z ∈Bε( )L

Trường hợp z ,0 L∈ định nghĩa viết dạng cụ thể sau:

( )= ⇔ ∀ε> ∃δ> ∀ < − <δ⇒ ( )− <ε

→z f z L z z z f z L

z 0 , : , lim (1.28)

Từ (1.17), (1.24), tương tự (1.27) ta có:

( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇔ = → → → ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( lim ) , ( lim lim 0 0

0 v x y v

u y x u L z f y x y x y x y x z z (1.29)

1.2.3 Liên tục

Định nghĩa 1.4: Hàm phức w= f( )z xác định miền chứa điểm z0 gọi liên tục z0 ( ) ( )0

0

lim f z f z

z z

=

→ Hàm phức w= f( )z liên tục điểm miền D gọi liên tục D

Từ (1.29) suy hàm phức liên tục hai hàm thực hai biến (phần thực, phần ảo) xác định (1.24) liên tục Do ta áp dụng tính chất liên tục hàm thực hai biến cho hàm phức

1.2.4 Hàm khả vi, điều kiện Cauchy-Riemann

Định nghĩa 1.5: Giả sử z= x+iy điểm thuộc miền xác định D hàm phức đơn trị w= f( )z Nếu tồn giới hạn

( ) ( ) z z f z z f z Δ − Δ + →

Δlim0 (1.33) thì ta nói hàm w= f( )z khả vi (hay có đạo hàm) z, cịn giới hạn gọi đạo hàm

z, ký hiệu f '( )z w'( )z Ví dụ 1.8: Cho w= z2, tính w'( )z

Giải: ( ) z z z w z z z z z z

w = +Δ

Δ Δ ⇒ Δ + Δ = − Δ + =

Δ 2 2 ,

Do ( ) ( z z) z z

w z

w

z

z lim 2

lim '

0

0 Δ = +Δ =

Δ = → Δ → Δ

Định lý 1.1: Nếu hàm phức w= f( ) ( ) ( )z =u x,y +iv x,y khả vi z= x+iy phần thực

( )x y

u , phần ảo v ,( )x y có đạo hàm riêng (x,y) thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ y x x v y x y u y x y v y x x u , , , , (1.34)

Ngược lại, phần thực u , , phần ảo ( )x y v ,( )x y khả vi ( yx, ) thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann w= f( )z khả vi z =x+iy

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y y u i y x y v y x x v i y x x u z

f' , , , ,

∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂

= (1.35)

Ví dụ 1.8: Hàm w= z2 = x2 −y2+i2xy Ví dụ 1.7 có

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ − = − = ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ x v y y u y v x x u 2

Ví dụ 1.9: Hàm w=z= x−iy có 1, =−1 ∂ ∂ = ∂ ∂

y v x

u

không thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann, hàm khơng khả vi điểm

1.2.5 Hàm giải tích

Định nghĩa 1.6: Hàm đơn trị w= f( )z khả vi lân cận z gọi giải tích z Nếu f( )z khả vi điểm D ta nói f( )z giải tích D f( )z giải tích trong D giải tích miền chứa D

Khái niệm khả vi đạo hàm hàm phức định nghĩa tương tự trường hợp hàm thực Vì tính chất quy tắc tính đạo hàm biết hàm thực hàm phức

(f z( )±g z( ) ') = f z'( )±g z'( )

(f z g z( ) ( ) ') = f z g z'( ) ( )+ f z g z( ) '( ) (1.38)

( )

'

2

( ) '( ) ( ) ( ) '( )

, ( )

( ) ( )

f z f z g z f z g z

g z

g z g z

⎛ ⎞ = − ≠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(f(u(z)))' = f'(u).u'(z) 1.2.6 Các hàm phức sơ cấp

1.2.6.1 Hàm lũy thừa w=zn, n nguyên dương ≥

Hàm số xác định giải tích với z, đạo hàm w=nzn−1 Nếu z=r(cosϕ+isinϕ) w=rn(cosnϕ+isinnϕ)

Vậy ảnh đường trịn z = đường tròn R w =Rn Ảnh cúa tia Argz =ϕ+k2π

tia Argw=nϕ+k'2π Ảnh cúa hình quạt

n π z

arg

0< < mặt phẳng w bỏ trục thực dương

n

π

2

x y

O

Z

u v

1.2.6.2 Hàm w=n z

Hàm bậc n : w=n z hàm ngược hàm lũy thừa bậc n

Mọi số phức khác có n bậc n, hàm hàm đa trị

1.2.6.3 Hàm mũ w=ez

Mở rộng công thức Euler (1.12) ta có định nghĩa hàm mũ

( y i y)

e e

e

w= z = x+iy = x cos + sin (1.39) ♦ w =ex, Argw= y+k2π

♦ Hàm mũ giải tích điểm ( )ez ' =ez

♦ ez1ez2 =ez1+z2 , 2

1 z z

z z

e e

e = − , ( )z n nz

e =e , ez+ 2ik π =ez (1.40)

♦ =1, = , π =−1

π

i i

e i e

e

♦ Qua phép biến hình w=ez, ảnh đường thẳng x= đường tròn a w =ea, ảnh

của đường thẳng y=b tia Argw=b+k2π

Ảnh băng 0< y<2π mặt phẳng w bỏ nửa trục thực dương

1.2.6.4 Hàm lôgarit

Hàm ngược hàm mũ gọi hàm lôgarit w= Lnz ⇔ z =ew

( v i v)

e e

e z iv u z

w=Ln = + ⇔ = w = u+iv = u cos + sin Vậy ⎨⎧

π + =

= ⇔

=

2 arg Im

ln Re Ln

k z w

z w z

w (1.41)

x y

O

a x=

b y=

O ea u

v

b

Điều chứng tỏ hàm lôgarit phức hàm đa trị Ứng với z có vơ số giá trị w , giá trị có phần thực phần ảo bội số nguyên Với π k =k0 cố định ta nhánh đơn ta trị hàm w=Lnz

w=lnz +i(argz+k02π)

Nhánh đơn trị ứng với k =0 gọi nhánh đơn trị ký hiệu lnz lnz=lnz +iargz

trong lnở vế trái hàm biến phức, vế phải hàm biến thực Một số tính chất hàm lơgarit

ƒ Ln( )−1 =ln−1+i(arg(−1)+k2π) (= 2k+1)πi ⇒ ln( )−1 =iπ

ƒ ( ) ( ) ( ) ( )z ( )z z n z

z z z

z z

z Ln Ln , Ln Ln Ln , Ln n Ln

Ln 1 2

2

1

1 ⎟⎟= − =

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

=

Các nhánh đơn trị hàm lơgarit giải tích nửa mặt phẳng phức Z bỏ nửa trục thực âm (x<0)

1.2.6.5 Các hàm lượng giác phức

Mở rộng công thức (1.12) cho đối số phức ta hàm lượng giác phức

= + − = − − ∀z∈

i e e z e

e

z iz iz iz iz ; sin

,

cos (1.42)

= ≠( + )π = z≠kπ z

z z

k z z z

z ;

sin cos cotg

; 2 , cos sin

tg

Các hàm lượng giác phức cịn giữ nhiều tính chất hàm lượng giác thực ƒ Hàm cosz sin, z tuần hoàn chu kỳ , hàm π tgz,cotgz tuần hoàn chu kỳ π ƒ Các hàm lượng giác phức giải tích miền xác định

( ) ( ) ( ) ( )

z z

z z

z z

z z

2 '

2 '

' '

sin cotg

, cos

1 tg

, sin cos

, cos

sin = =− = = −

ƒ cos2z+sin2 z=1; ∀z∈

ƒ Các cơng thức cộng góc, hạ bậc, tổng thành tích, tích thành tổng cịn

Tuy nhiên có tính chất hàm lượng giác thực khơng hàm lượng giác phức Chẳng hạn hàm lượng giác thực bị chặn hàm lượng giác phức khơng bị chặn (ta chứng minh điều cách áp dụng định lý Louville):

∈ ∀ ≤

≤ x x

x 1, sin 1,

cos

2 sin

,

cos = − + > = − − >

i e e ni e

e

1.2.6.6 Các hàm lượng giác hyperbolic phức

z z z z

z z e

e z e

e

z z z z z

sh ch coth , ch sh th , sh

,

ch = + − = − − = = (1.43)

ƒ Các hàm lượng giác hyperbolic phức giải tích miền xác định

( ) ( ) ( ) ( )

z z

z z

z z

z

z ' ' ' 2 ' 2

sh coth

, ch

1 th

, sh ch

, ch

sh = = = = −

ƒ chz+shz =ez, chz−shz=e−z, siniz=ishz, cosiz=chz ƒ ch2z−sh2z=1,sh2z=2chzshz,ch2z=ch2z+sh2z

1.3 PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC

Nhiều vấn đề khoa học thực tiễn (ví dụ tồn nổ mìn, tốn thiết kế cánh máy bay…) đưa đến tốn: Tìm phép biến hình bảo giác biến miền D thành miền Δ mà ta biết dễ dàng khảo sát Trong mục ta đưa vài nguyên lý phương pháp tìm phép biến hình trường hợp đơn giản

1.3.1 Định nghĩa phép biến hình bảo giác

Định nghĩa 1.7: Phép biến hình w= f( )z gọi bảo giác z thoả mãn hai điều kiện sau:

i Bảo tồn góc hai đường cong qua điểm z( kể độ lớn hướng)

ii Có hệ số co dãn khơng đổi z, nghĩa đường cong qua điểm có hệ số co dãn qua phép biến hình

Phép biến hình w= f( )z gọi bảo giác miền D bảo giác điểm của miền

Định lý sau cho điều kiện đủ phép biến hình bảo giác

Định lý 1.2: Nếu hàm w= f( )z khả vi z f'( )z ≠0 phép biến hình thực hàm w= f( )z bảo giác điểm z, đồng thời arg f '( )z góc quay f '( )z hệ số co giãn điểm z phép biến hình

Từ định lý ta suy w= f( )z giải tích D f'( )z ≠ ,0 ∀z∈D phép biến hình bảo giác D

1.3.2 Phép biến hình tuyến tính w=az+b, a≠0

Phép biến hình bảo giác tồn miền w'( )z =a≠0, ∀z

Nếu a= aeiϕ w= aeiϕz+b Điều chứng tỏ phép biến hình tuyến tính hợp ba phép biến hình sau:

ƒ Phép tịnh tiến theo véc tơ b

Vậy phép biến hình tuyến tính phép biến hình đồng dạng (hợp phép vị tự, phép quay, phép tịnh tiến) Nó biến hình thành hình đồng dạng với Đặc biệt biến đường tròn thành đường tròn, biến đường thẳng thành đường thẳng, đa giác thành đa giác đồng dạng

Ví dụ 1.10: Tìm phép biến hình bảo giác biến tam giác vng cân có đỉnh A(−7+2i),

( i)

B −3+2 , C(−5+4i) thành tam giác vng cân có đỉnh A 21( )i , B1( )0 , C1( )1+i

Giải: Hai tam giác vuông cân đồng dạng với nên tồn phép đồng

dạng w=az+b, a≠0 biến ΔABC thành ΔA1B1C1 Phép biến hình biến A thành A , 1 biến B thành B , 1 a,b thỏa mãn hệ phương trình

(( )) w i z i

i b

i a b

i a

b i a

i

2 2

3

2

3

2

− − − = ⇒ ⎪

⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

− − =

− = ⇒

⎩ ⎨ ⎧

+ + − =

+ + − =

Thay z= − +5 4i ta có ( ) 1 3 1

2 2

i

w= − − + i − − i= +i

1.3.3 Phép nghịch đảo

z w=

Phép biến hình

z

w=1 mở rộng lên mặt phẳng phức mở rộng cách cho ảnh z=0 ∞ ảnh z =∞ w=0

Đạo hàm '( )= −21≠0,∀z≠0,∞

z z

w nên phép biến hình bảo giác điểm z≠ ,0 ∞ Hai điểm A, B nằm tia xuất phát từ tâm I đường tròn ( )C bán kính R gọi liên hợp hay đối xứng qua ( )C IA.IB=R2

v

u

1

C

1

B

1

A i

2

i

1

x y

A B

C

7

− −3

i

2

i

4

Vì z z z Arg Arg

Arg =− = nên z z

w = nằm tia xuất phát từ O Ngoài =1

z

z , z z

w = đối xứng qua đường tròn đơn vị

Vậy phép biến hình nghịch đảo

z

w=1 hợp phép đối xứng qua đường tròn đơn vị phép đối xứng qua trục thực Phép biến hình biến:

ƒ Một đường trịn qua O thành đường thẳng ƒ Một đường trịn khơng qua O thành đường tròn ƒ Một đường thẳng qua O thành đường thẳng qua O

ƒ Một đường thẳng không qua O thành đường tròn qua O

Nếu ta xem đường thẳng đường trịn (có bán kính vơ hạn) phép biến hình

z w=

biến đường tròn thành đường tròn Ảnh đường tròn z =R đường tròn

R =

w , ảnh hình trịn z <R phần ngồi hình trịn

R >

w Ảnh M tia OB N tia OB', B' đối xứng B qua trục thực OM.ON=

3.4 Phép biến hình phân tuyến tính ; ≠0, − ≠0 +

+

= c ad bc

d cz

b az w

Ta mở rộng hàm phân tuyến tính

d cz

b az w

+ +

= lên mặt phẳng phức mở rộng cách cho ảnh z =−d ∞ ảnh z=∞ w= a

B M

•

B' •

x y

O u

v

O

W

Z

Đạo hàm ( )

( + ) ≠ ∀ ≠− ∞

−

= 0, ,

' 2 c d z d cz bc ad z

w nên phép biến hình bảo giác điểm

∞ − ≠ , c d z

( ) ( ( ) ) c cz d ad bc c a d cz c ad bc d cz a d cz c bc acz d cz b az w + ⋅ − + = + − + + = + + = + +

=

Do phép biến hình phân tuyến tính hợp phép biến hình: ♦ Phép biến hình tuyến tính: z cz+d,

♦ Phép nghịch đảo:

d cz d

cz

+

+ ,

♦ Phép biến hình tuyến tính:

c a d cz c ad bc d

cz ⋅ + +

− +

1

6

Vì phép biến hình tuyến tính nghịch đảo biến đường tròn thành đường trịn bảo tồn tính đối xứng điểm đối xứng qua đường trịn, nên phép biến hình phân tuyến tính có tính chất

Phép biến hình , ≠0 + + = c d cz b az

w viết lại

1 1 d z b z a c d z c b z c a w + + = + +

=

2 d z b z k w + +

= (1.44)

vì phụ thuộc tham số Do hàm phân tuyến tính hồn tồn xác định biết ảnh w1,w2,w3 điểm khác z1, z2,z3 Để xác định tham số

1 1,b , d

a ta giải hệ phương trình sau

3 2 1 1

1 , ,

d z b z a w d z b z a w d z b z a w + + = + + = + +

= (1.45)

Hoặc hàm phải tìm xác định phương trình 2 3 2 z z z z z z z z w w w w w w w w − − ⋅ − − = − − ⋅ − − (1.46) Đặc biệt w( )z0 =0 w( )z1 =∞, theo (1.44) ta có

z z z z k w − −