[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 MƠN: TỐN LỚP 9
THỜI GIAN: 150 PHÚT (Không kể phát đề)
Họ tên: Phạm Thị Hà Đơn vị : Trường THCS Hà Lan
Câu 1: (3 điểm)
Cho biểu thức P = a2+a+
1
a2+3a+2+
a2+5a+6+
a2+7a+12+
a2+9a+20
a) Tìm ĐKXĐ cđa P b) Rót gän P
c) TÝnh gi¸ trÞ cđa P biÕt a ❑3− a2+2 =
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho N = 99 9
⏟
10 cS
6 00 0
⏟
10 CS4 TÝnh
N
b) cho a,b,c số hữu tỷ thoả mÃn điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh
(a2+1)(b2+1)(c2+1) số hữu tỷ
Câu 3 (4 điểm )
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x
2
− x+1
x2
+x+1 víi x >
b) Tìm nghiệm nguyên dơng phơng tr×nh 2x ❑3 + xy – =
Câu 4 (3 điểm )
Cho tam giác ABC trung tuyÕn AM Chøng minh r»ng nÕu cotgB = cotgC AM = AC
Câu5 (4 điểm )
Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm O tam giác ta vẽ OD BC, OE CA, OF⊥AB Hãy xác định vị trí O để OD ❑2+OE2+OF2 nhỏ
Câu 6 (2 điểm ) Gọi A tích số nguyên liên tiếp từ đến 1003 B tích
của số nguyên liên tiếp từ 1004 đến 2006 Hỏi A+B có chia hết cho 2007 khơng?
Đáp án h ớng dẫn chấm
Câu 1 : (3 điểm )
a) ĐKXĐ : a o; -1; -2; -3; -4; -5 (0,5 ®iĨm) b) P =
a(a+1)+
1
(a+1)(a+2) +
1
(a+2)(a+3) +
1
(a+3)(a+4)+
(2)= a−
1
a+5 =
a(a+5) ( 1,5 ®iĨm)
c)Ta cã a ❑3− a2+2=0⇔(a+1)(a2−2a+2)=0⇔a+1=0 ( v× a ❑2 - 2a +2 > )
⇔ a = -1
Víi a = -1 (tho· m·n §KX§ ) ⇒ a= -1 giá trị P P = 5
4 (1 điểm )
Câu 2 :(4 điểm)
a) ( ®iĨm) N = 99 9
⏟
10 cS
6 00 0
⏟
10 CS4 = 99 9
⏟
10 CS6 00 0
⏟
11CS+4 = ( 99 9
⏟
10 CS8−2¿(99 9
⏟
10CS8+2)+4
= 99 9
⏟
10 CS
82−4+4=¿ 99 9
⏟
10 CS 82
⇒√N=99 9
⏟
10CS8
b)(2 ®iĨm) Ta cã =ab +bc +ca ⇔ a ❑2 +1=(a+b)(a+c)
T¬ng tù b ❑2 + 1= (b+c)(b + a)
c ❑2 + = (a+c)(b+c)
VËy (
a+c¿2
b+c¿2¿
a+b¿2¿
(a2+1)(b2+1)(c2+1)=¿
⇒
√
(a2+1)(b2+1)(c2+1) = (a+b)(b+c)(a+c) lµ mét số hữu tỷ a,b,c số hữu tỷCâu 3: (4 điểm)
a) P = - 2x
x2+x+1 = -
2 (x+1
x)+1
v× x +
1
x≥2⇒x+
1
x+1≥3⇒
2
x+1
x+1 ≤2
3
⇒P ≥1−2
3⇒P ≥
3⇒P =
3 x= (2 ®iĨm)
b) 2x ❑3 +xy – = ⇔ 7 - 2x
❑3 = xy x >0 ; y > nªn xy >
⇒ - 2x ❑3 >0 ⇔ x
❑3 <3,5 mµ x +¿Z
¿ ⇒ x = ⇒ y = VËy nghiƯm nguyªn phơng trình x =1 ;y =
Câu 4 :(3 điểm )
Hạ AH BC ta cã cotgB = BH
AH ; cotgC = CH AH
Mµ cotgB = 3cotgC ⇒ BH = 3CH ⇒ BC = 4CH L¹i cã BC = 2CM ⇒ CM = MH
Δ AMC cã CM = MH ; AH CM Suy AMC cân A ⇒ AM = AC
A
B M H C
O F
E A
(3)Câu 5 : Vẽ đờng cao AH OK AH Ta có OE2
+OF2=OA2≥AK2
MËt kh¸c OD = KH nªn
AK+KH¿2 ¿ ¿
OD2+OE2+OF2≥AK2+KH2≥¿
Dấu = xảy O trung điểm AH Vậy Min OD2
+OE2+OF2=AH
2 O trung điểm AH
Câu 6: (2 điểm )
A = 1.2.3…1003
B = 1004.1005…2006 = (2007 -1003)(2007 – 1002)…(2007 – 1) =2007.N – 1003.1002…1
⇒ A + B = 2007N ⋮ 2007