Chương IV. §1. Giới hạn của dãy số

[r]

(1)

BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

 Cách giải:

Chia hạng tử tử mẫu cho lũy

thừa n có số mũ cao dãy

u

sau áp

dụng cơng thức đây

 Công thức:

 limC = C( với C số); lim 1

n

= 0; lim

k

1

n

=



n n

linu

a

u

lim

v

0

limv

+

    







 



n

n n

linu

a

u

limv

0

lim

v

V

0, n 0

      







  

(dấu a)



CHƯƠNG IV GIỚI HẠN

Dạng toán 1: Giới hạn dãy số

u

f(n)

g(n)

(2)

"Nếu bạn muốn lên chỗ cao nhất, bạn phải chỗ thấp nhất"

Bài tập Tính giới hạn sau:

2

7n

a lim n

5n



 b im2n l n   2 c.lim7n n

n  

3

n 3n lim d n n    2

3n 2n lim

7

e

n n  

 

3

3n 7n lim f n n    

Bài tập 2. Tính giới hạn sau:

4 2n lim n a +3n



2

n

b lim n

7n 2n    

c lim3n 8n

5n n +n    5

d lim 3n 2n

6n -n n+

   2

2n 3n lim

n

e

2n n  

  

2

4 n 3n lim f n n    

Bài tập 3. Tính giới hạn sau:

8

4n 12n lim 5n n a 6n    

6n 2n lim n b n     12

4 n 3n lim c n 8n    

3n 2n lim

6

d

n 4n   

 

4

n

e lim n

7n 2n    

(3)

thức ẩn n, ta có

 Nếu bậc f(n) bậc g(n) limun a b

 (hằng số khác 0) Trong a hệ số n có số mũ cao f(n) b hệ số n có số mũ cao g(n)

 Nếu bậc f(n) nhỏ bậc g(n) limun 0

 Nếu bậc f(n) lớn bậc g(n) limu  n

 Cách giải: Chia hạng tử tử mẫu cho lũy thừa có số cao dãy

u

 Công thức:



a

b

     



a b = a.b

 

a

=a a

a

=

a

.

a





limq



0

q 1





n n

linu

a

u

lim

v

0

limv

+

    







 

;



n

n n

linu

a

u

limv

0

lim

v

V

0, n 0

      







  

(dấu a)



Dạng toán 2: Giới hạn dãy số

u

f(n)

g(n)

(4)

n n n

a.lim3.2 2.3

4

  



n

n n

2 li

b m

2

  



n n

5 lim

2

c

.3 4.9

  



n n

52 lim

2

d

3

   

n n

3.2 5.7 lim

4 3.5

e   



n n

n

f lim3

2

4

 



 



n

n n

a.lim 6.5





n

n n

3.2 lim

4.3

b

4

5  

n n

n

2 4.3 lim

5

c

3

7  

n

n n

d lim 5.7 4.5

5.6 



n n

3.2 5.7 lim

4

e

5

3  

n

n n

f lim3

2.4

 



(5)

 Chú ý:



a a



 



a

 Biểu thức n

a

n

 Cách giải: Chia tử mẫu dãy số cho n có bậc cao

Dạng tốn 3: Giới hạn dãy số

u

g(n)



2

a lim

3

n n n

n

    

2

4

b lim

5

n n n

n

    

3

2

lim

1

3

c n n n

n n

  

 

3

lim

6

d n n n

n n

   

 

3

2

3 lim

3

a n n

n n

  

 

4

3

b.lim2

2

n n

  

3

3 lim

2

c

1

n n

 

 

2

4

lim

4

d n n

n n

(6)

 Cách giải: Ta sử dụng phép biến đổi dùng biểu thức liên hợp sau, đưa dạng toán

 a b a b

a b

  

  a b a b

a b

  

  3

2

a b

a b

a ab b

  

   3

2

a b

a b

a ab b

  

 

2

1 lim

3

1

a

7

n n n n n

 

 

2

1

b lim

3

n n

n

  

3

2

4

1

im

1

c l n n

n n

  

2

3

lim

d n n

n

  

(7)

a.lim



n





n







.lim

c n n  n d.lim



n







lim 2

e n n  n f.lim



n



a.lim



n





n







.lim

b n  n e.lim



n







lim

c n   6n n f.lim



n



(8)

 Công thức:



n n

linu

a

u

lim

v

0

limv

+

    







 



n

n n

linu

a

u

limv

0

lim

v

V

0, n 0

      







  

(dấu a)



 Hướng dẫn:

2 lim lim 2 3 2

l

a im

3 lim lim 3 3 3 6

n n

u u

   

  

   

Dạng toán 5: Sử dụng định lý giới hạn

Bài tập Cho dãy un,vn thỏa mãn lim lim

n

u v

 

   0, n 3,

n

v  u    n N Hãy tính giới hạn sau

.lim

3

a n

n

u u



 b.lim32

n n

u u

 c.lim2 35

n n

v v

 

(9)

n n

 lim 3





n n

u u

        Vì

n

u   nên

n

u  

 Suy lim

n n

u u 

 

5

1

5 1 0

lim lim

2 2 0 3

3

1 c

3

n

n n n

n

n n

n

n n

v

v v v v

lin

v v

v

v v

 

     

  