Quan sát thấy giá trị tại -1 và 1 đối nhau, nên đây không phải hàm chẵn.. không chẵn, không lẻ.[r]
(1)Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.1 Các công thức lượng giác 1.1.1 Các đẳng thức
* sin2 cos2 1 với * tan cot 1 với
2
k
* tan2 12 cos
với k2
* cot2 12 sin
với k
1.1.2 Hệ thức liên hệ cung góc liên quan đặc biệt * Hai cung đối nhau: (Cos đối)
cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot
* Hai cung bù nhau: (Sin bù)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot * Hai cung phụ nhau:
2
(Phụ chéo)
cos( ) sin
sin( ) cos
tan( ) cot
cot( ) tan
* Hai cung : (Khác pi: tan, cot)
sin( ) sin cos( ) cos
tan( ) tan cot( ) cot 1.1.3 Các công thức lượng giác
* Công thức cộng
cos(a b )cos cosa b sin sina b sin(a b )sin cosa bcos sina b
tan tan tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
(2)sin 2a2sin cosa a
2 2
cos 2acos asin a 2sin a 2cos a1
3
sin 3a3sina4sin a cos3a4cos3a3cosa * Công thức hạ bậc
2 cos 2a sin
2
a cos2 cos 2a
a
2 cos 2a tan
1 cos 2a
a
* Cơng thức biến đổi tích thành tổng
cos cos [cos( ) cos( )]
a b a b a b (Cos Cos ½ cos cộng)
sin sin [cos( ) cos( )]
a b a b a b (sin sin ½ cos trừ)
sin cos [sin( ) sin( )]
a b a b a b (sin Cos ½ sin cộng)
* Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cos cos cos cos
2
a b a b
a b (cos+cos cos cos) cos cos sin sin
2
a b a b
a b (cos – cos = -2 sin sin) sin sin sin cos
2
a b a b
a b (sin + sin sin cos)
in - sin cos sin
2
a b a b
s a b (sin – sin = cos sin) sin( )
tan tan
cos cos
a b
a b
a b
(tan ta + với tan mình, sin tổng đứa chia cos cos ta) sin( )
tan tan
cos cos
a b
a b
a b
(tan ta - với tan mình, sin hiệu đứa chia cos cos ta) 1.2 Tính tuần hoàn hàm số
Định nghĩa: Hàm số y f x( ) xác định tập D gọi hàm số tuần hồn có số T 0 cho với x D ta có
(3)Số
0
0 :
min T
T
T T
Được gọi chu kỳ hàm số Khi ta nói hàm số y f x( ) tuần hồn
với chu kỳ T0
1.3 Các hàm số lượng giác 1.3.1 Hàm số ysinx
Tập xác định: D
Hàm số ysinx hàm số tuần hồn với chu kì T 2
Hàm số ysinx hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
Tập giá trị: [ 1;1]
Hàm số đồng biến với x thuộc góc phần tư thứ I, IV, hàm số nghịch biến với x thuộc góc phần tư thứ II, III
Đồ thị hàm số ysinx
x y
2
-5
2
-3
2
-
2
5
2 3
2
2 -3
-2 - 2 3
O1
1.3.2 Hàm số ycosx
Tập xác định: D
Hàm số ycosx hàm số tuần hồn với chu kì T 2
Hàm số ycosx hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng Tập giá trị: [ 1;1]
Hàm số đồng biến với x thuộc góc phần tư thứ III, IV, hàm số nghịch biến với x thuộc góc phần tư thứ I, II
Đồ thị hàm số ycosx
x y
-5
2
-3
2
-
2
5
2 3
2
2 -3
-2 - 2 3
1
O
1.3.3 Hàm số ytanx
Tập xác định : \ ,
D k k
(4) Hàm số ytanx hàm số tuần hoàn với chu kì T
Hàm số ytanx hàm số lẻ
Tập giá trị:
Hàm đồng biến khoảng xác định: ; k k
Đồ thị
x y
-5
2
-3
2
-
2
5
2 3
2
2
-2 - 2
O
1.3.4 Hàm số ycotx
Tập xác định : D \k, k
Hàm số ycotx hàm số tuần hoàn với chu kì T
Hàm số ycotx hàm số lẻ
Tập giá trị:
Hàm nghịch biến khoảng xác định: k ; k
Đồ thị
II CÁC DẠNG TOÁN 2.1 Tập xác định hàm số 2.1.1 Phương pháp
+ Phương pháp tự luận: lưu ý tìm tập xác định
x y
-5
2
-3
2
-
2
5
2 3
2
2
-2 - 2
(5) A B B
A A
A B
B
tan ( ) ( ) ,
2
u x u x k k
cot u x u x( ) k , k + Phương pháp máy tính:
B1 Nhập hàm số f x
B2 Sử dụng CALC giá trị loại bỏ B3 KL
2.1.2.Các ví dụ
Ví Dụ <Thực giải cách> Tập xác định hàm số y sinx1
A B C
2 k
D
2
Cách Xét sin sin sin
2
x x x x k
Cách Nhập sin X 1 CALC:
2
(xác định): Loại B
CALC: 2
(xác định): Loại D CALC: 5: không xác đinh Loại A
Vậy đáp án: C
Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:
1 tan( )
y x cot (2 )
y x Lời giải
1 Điều kiện: cos( )
6
x x k x k
TXĐ: \ ,
3
D k k
(6)2 Điều kiện: sin(2 )
3 x x k x k3
TXĐ: \ ,
9
D k k
Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:
1 tan cot(3 )
sin
x
y x
x
tan sin cos
x y x x Lời giải
1 Điều kiện:
sin
2 sin(3 )
6
18
x x k
k x x
Vậy TXĐ: \ , ; ,
2 18
n
D k k n
2 Ta có: sin cos sin sin
x x x x
cos sin
2 4
x x
Điều kiện:
cos 10 5
cos
2
2
sin 14 7
2 x k x x x k k x x
Vậy TXĐ: \ , ,
10 14
k m
D n
2.1.3 Bài tập
Bài Tập xác định hàm số ytanxcotx
A \
2 k B \ k C
\ k
D
\ k2
Lời giải
Cách 1:ta thấy hàm số tan x cot x nên điều kiện 2
(7)Cách 2: Nhập máy tính tan tan X X
CALC: Không xác định Loại: A, D CALC:
2
Không xác đinh Được đáp án B
Bài Tìm tập xác định hàm số cos sin
x y x
A \ ,
8
D k k
B
3
\ ,
8
D k k
C \ ,
4
D k k
D D \ k2, k
Lời giải
Do cos 3 x 0 x nên hàm số có nghĩa 1 sin 4x0
sin ,
8
x x k k
TXĐ: \ ,
8
D k k
Bài Tìm tập xác định hàm số tan(2 )
y x
A \ ,
8
k
D k
B
3
\ ,
7
k
D k
C \ ,
5
k
D k
D
3
\ ,
4
k
D k
Lời giải:
Điều kiện: ,
4
x k x k k
Vậy TXĐ: \ ,
8
k
D k
Bài Tìm tập xác định hàm số sau
2 cot sin
x y x
A \ , ; ,
6
n
D k k n
B
2
\ , ; ,
3
n
D k k n
(8)C \ , ; ,
6
n
D k k n
D
2
\ , ; ,
5
n
D k k n
Lời giải:
Điều kiện: 2
sin
6
x k x k
x x k
Vật TXĐ: \ , ; ,
6
n
D k k n
Bài Tìm tập xác định hàm số sau sin cos
y
x x
A \ , ;
3
D k k k
B
4
\ , ;
5
D k k k
C \ , ;
5
D k k k
D
4
\ , ;
7
D k k k
Lời giải Điều kiện: sin cos cos5 sin
2
x x
x x
5
2
cos
2 2
5 sin 2 x x k x k x x x k k
TXĐ: \ , ;
5
D k k k
Bài Tìm tập xác định hàm số sau tan sin cos
x y
x x
A \ , ;
4 12
D k k k
B D \ k2 5, k2; k
C \ , ;
4
D k k k
D D \ k2 12, k2; k
Lời giải
Điều kiện: 2
2 sin(2 ) sin cos
(9)4 2
6 12
x k x k
x k x k
TXĐ: \ , ;
4 12
D k k k
Bài Tìm tập xác định hàm số sau cot sin
x y
x
A \ , ,5 ;
6
D k k k k
B
5
\ , , ;
2
D k k k k
C \ , ,5 ;
4
D k k k k
D
5
\ , , ;
3
D k k k k
Lời giải:
Điều kiện: 1
sin sin
sin x k x k x x cos( ) sin( )
2 12 12 5
2 x k x k x k x x x k
TXĐ: \ , ,5 ;
6
D k k k k
Bài Tìm tập xác định hàm số sau tan( ).cot( )
4
y x x
A \ , ;
4
D k k k
B
3
\ , ;
4
D k k k
C \ , ;
4
D k k k
D
3
\ , ;
5
D k k k
(10)Điều kiện:
3
4
3
x k x k
x k x k
TXĐ: \ , ;
4
D k k k
Bài Tìm tập xác định hàm số sau tan(2 )
y x
A \ ,
3
D k k
B D \ k2,k
C \ ,
12
D k k
D D \ k2,k
Lời giải: Điều kiện:
3 12
x k x k
TXĐ: \ ,
12
D k k
Bài 10 Tìm tập xác định hàm số sau ytan cot 5x x
A \ , ; ,
6
n
D k k n
B \ 5, ; ,
n
D k k n
C \ , ; ,
6
n
D k k n
D \ 5, ; ,
n
D k k n
Lời giải:
Điều kiện: cos sin
5
x k
x
x n
x
TXĐ: \ , ; ,
6
n
D k k n
2.2 Tính tuần hoàn hàm số 2.2.1 Phương pháp
+ Phương pháp tự luận
(11)Nhập f X A f X (ở A đóng vai trị T)
CALC: X giá trị cần kiểm tra; A giá trị Chu kỳ cần kiểm tra Chú ý:
Hàm số y f x tuần hoàn với chu kỳ T hàm số y f ax b tuần hoàn với chu kỳ T
a
Hàm số f x( )asinux b cosvx c ( với u v, ) hàm số tuần hồn với chu kì ( , )
T
u v
( ( , )u v ước chung lớn nhất)
Hàm số f x( )a.tanux b cotvx c (với u v, ) hàm tuần hồn với chu kì
( , )
T
u v
2.2.2 Các ví dụ
Ví dụ 0: Hàm số 3cos
y x
tuần hồn với chu kì
A 2 B
2
C 3
2
D
Cách Giả sử T chu kỳ hàm số
3cos 3cos
6
1
2 2
6
f x T f x x T x
k
x T x k T k
T
Cách Máy tính
Nhập 3cos 2 3cos
6
X A X
CALC: X 5 (bất kỳ),
A , kết quả: 2,72728 (khác 0) Loại B CALC: = Kết Đây đáp án
Ví dụ
Xét tính tuần hồn tìm chu kì hàm số : ( ) cos3 cos
2
x x
f x
Lời giải: Ta có ( ) 1cos cos
2
f x x x hàm số tuần hồn với chu kì sở T0 2 Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kì (nếu có) hàm số sau
(12)Lời giải:
1 Giả sử hàm số cho tuần hoàn có số thực dương T thỏa ( ) ( ) cos( ) cos 3( ) cos cos
f x T f x x T x T x x
Cho cos cos cos
cos
T
x T T
T
2
3
3
T n m
n
T m
vơ lí, ,
m m n
n
số hữu tỉ Vậy hàm số cho khơng tuần hồn
2 Giả sử hàm số cho hàm số tuần hoàn
2
0 : ( ) ( ) sin( ) sin
T f x T f x x T x x
Cho x 0 sinT2 0 T2 k T k
( ) ( )
f x k f x x
Cho x 2k ta có: f( 2k ) sin k2 2 sin( ) 0k
2
( ) sin sin 2 sin(2 2)
f x k k k k k k
( )
f x k
Vậy hàm số cho khơng phải hàm số tuần hồn
Ví dụ Cho a b c d số thực khác Chứng minh hàm số , , , f x( )asincx b cosdx hàm số tuần hoàn c
d số hữu tỉ
Lời giải:
* Giả sử f x hàm số tuần hoàn ( ) T : (f x T ) f x( ) x
Cho 0, sin cos cos
sin cos sin
a cT b dT b dT
x x T
a cT b dT b cT
2
2
dT n c m
cT m d n
* Giả sử c k l, : c k
d d l Đặt
2 k 2l T
c d
Ta có: f x T( ) f x( ) x f x( ) hàm số tuần hồn với chu kì T k 2l
c d
(13)Ví dụ Cho hàm số y f x( ) yg x( ) hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ T T1, 2 Chứng minh
2
T
T số hữu tỉ hàm số f x( )g x f x g x( ); ( ) ( ) hàm số tuần
hồn
Lời giải: Vì
2
T
T số hữu tỉ nên tồn hai số nguyên m n n, ; 0 cho
1
1
2
T m
nT mT T
T n
Khi f x T( ) f x nT( 1) f x( ) g x T( )g x mT( 2)g x( )
Suy f x T( )g x T( ) f x( )g x( ) f x T g x T( ) ( ) f x g x( ) ( ), ( ) ( )
( ) ( )
f x T f x g x T g x
Từ
ta có điều phải chứng minh Nhận xét:
1 Hàm số f x( )asinux b cosvx c ( với u v, ) hàm số tuần hồn với chu kì ( , )
T
u v ( ( , )u v ước chung lớn nhất)
2 Hàm số f x( )a.tanux b cotvx c (với u v, ) hàm tuần hồn với chu kì
( , )
T
u v
2.2.3 Bài tập
Bài Tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau f x( ) sin x A T0 2 B T0 C 0
2
T D 0
4
T
Lời giải: Ta có f x( 2 ) sin(x 2 ) sinx f x( ) x
Giả sử có số thực dương T 2 thỏa f x T( ) f x( ) sin(x T) sin x x
(1)
Cho (1) sin cos
2
x VT T T
(1) sin
VP (1) không xảy với x Vậy hàm số cho tuần hồn với chu kì sở T0 2
(14)A 0
T B T0 2 C T0 D 0
4
T
Lời giải: Ta có ( ) tan tan(2 ) tan ( )
2
f x x x x f x
Giả sử có số thực dương
T thỏa mãn f x T( ) f x( ) tan(2x ) tan T x x
(2)
Cho x 0 VT(2) tan 2 T0, cịn VP(2) 0 (2) khơng xảy với x Vậy hàm số cho tuần hoàn với chu kì sở 0
2
T Bài Tìm chu kì (nếu có) hàm số sauysin 2xsinx
A T 2 B 0
T C T0 D 0
4
T Bài Tìm chu kì (nếu có) hàm số sau ytan tan 3x x
A T B T 2 C 0
4
T D 0
2
T Bài Tìm chu kì (nếu có) hàm số sau ysin 3x2cos 2x
A T 2 B 0
T C T0 D 0
4
T Bài Tìm chu kì (nếu có) hàm số sau ysin 2xsinx
A T 2 B 0
T C T0 D 0
4
T Bài Tìm chu kì (nếu có) hàm số sau ytan tan 3x x
A T B T 2 C 0
4
T D 0
2
T Bài Tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau ysin 3x2cos 2x
A T 2 B 0
T C T0 D 0
4
T Bài Tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau ysin x
A Hàm số khơng tuần hồn B 0
T
C T0 D 0
4
T ĐÁP ÁN
1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A
(15)2.3.1 Phương pháp - Phương pháp tự luận :
B1 Tìm tập xác định hàm số kiểm tra tính đối xứng B2 Tính f x so sánh với f x ,f x
B3 Kết luận
Chú ý: Tổng, hiệu, tích, thương hàm chẵn hàm chẵn Tổng, hiệu hàm lẻ hàm lẻ
Tích, thương hàm chẵn với hàm lẻ hàm lẻ
- Phương pháp máy tính
B1 Mode 7, nhập hàm số f x
B2 Start : -3 ; End : -3 ; Step :
B3 Quan sát giá trị điểm đối xứng B4 KL
2.3.2 Các ví dụ
Ví dụ Hàm số hàm số chẵn
A
cos tan
y x x B y sinx tanx C ycosxxsinx D tan cos
x y
x
Cách -Trước hết, ta dễ thấy chúng đối xứng
- Ý A cos :x hàm số chẵn, tan :x hàm số lẻ A, hàm lẻ - Ý B sinx hàm số chẵn, : tan :x hàm số lẻ B, hàm lẻ
- Ý C cos :x hàm chẵn, x.sin :x hàm số chẵn Vậy C, hàm số chẵn Đáp án : C
Cách MODE Nhập f X cos X tan X Start : -3 ; End : ; step : Quan sát thấy giá trị -1 đối nhau, nên hàm chẵn Loại A
AC sin X tan X = = = ; tiếp tục quan sát: thấy giá trị -1 đối Loại B
AC cos X Xsin X = = =; thấy giá trị -1;1 -2; 2; -3; Đáp án C VD1 Hàm số ytanx2sinx hàm số
A chẵn B lẻ C vừa chẵn vừa lẻ D không chẵn, không lẻ
Lời giải - Tập xác định dựa theo tập xác định tanx nên đối xứng
(16)VD2 Hàm số tan tan
y x x
hàm số
A chẵn B lẻ C vừa chẵn vừa lẻ D không chẵn, không lẻ
Lời giải
Ta thấy hàm số tan
y x
có điều kiện x k x k
Thấy tập
này không đối xứng nên hàm số không chẵn, không lẻ Đáp án D 2 Tính đơn điệu hàm số
2.4.1 Phương pháp
+ Phương pháp tự luận: Dựa vào tính đơn điệu hàm số lượng giác góc phần tư để thực
Lưu ý: Tổng, tích hàm ĐB (NB) hàm ĐB (NB) khoảng
Đối, nghịch đảo hàm số ĐB (NB) hàm số NB (ĐB) khoảng + Phương pháp máy tính
B1 MODE 7, nhập hàm số
B2 Start; End khoảng cần xét; step: độ chọn 15, radian chọn 12
B3 Quan sát bảng giá trị kết luận 2.4.2 Các ví dụ
Ví Dụ Hàm số đồng biến 0;
A ysinx B ycosx C ytanx D yx2 Cách 0; thuộc góc phần tư thứ I II
Với A, hàm số ĐB góc IV, I nên khơng thỏa mãn
Với B, hàm số ĐB góc III, IV không thỏa mãn
Với C, Hàm số ĐB khoảng xác định không xác định k
loại
, loại đáp án C
Vậy Đáp án D
Cách MODE 7, f x sin X Start : 0, End : , step : 12
Tại giá trị thứ trở hàm số giảm từ xuống 0,9659… nên loại A
(17)ON tan X thấy không xác định
nên loại C Đáp án D
Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y2 sinx
Lời giải: Hàm số y2 sinx
TXĐ: D
Hàm số y2 sinx hàm số lẻ
Hàm số y2 sinx hàm tuần hồn với chu kì T 2
Hàm số đồng biến khoảng ; 2
k k
Nghịch biến khoảng
2 ;
2 k k
Đồ thị hàm số quan điểm ( ; 0), ; 2
k k
x y
-5
-3
-
5 3
2
2
O
Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau ytan 2x
Lời giải: Hàm số ytan 2x
TXĐ: \ ,
4
D k k
Hàm số ytan 2x hàm số lẻ
Hàm số ytan 2x hàm tuần hồn với chu kì
T
Hàm số đồng biến khoảng ;
k k
(18) Các đường tiệm cận:
4
x k
Đồ thị hàm số quan điểm ( ; 0)
k
x y
-3
4
-
4 -5
4 -7
4
7
4 5
4 3
4
4
O
Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y 1 cos2x
Lời giải: Hàm số y 1 cos2x
Ta có: y 2 cos 2x
TXĐ: D
Hàm số y 2 cos 2x hàm số chẵn
Hàm số y 2 cos 2x hàm tuần hồn với chu kì T
Hàm số đồng biến khoảng ;
2 k k
, nghịch biến khoảng k ;2 k
Đồ thị hàm số quan điểm ( ;1), ; 3
k
k
(19)x y
- - -3
2 -2
2 3
2
1
O
2.4.3 Bài tập
Bài 1: Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số ysin 2x
Đồ thị hàm số: ysin 2x
x y
-5π
-3π
-π
5π
7π 3π
4 π
4
-1
O
Bài 2: Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số y2 cosx
Đồ thị hàm số: y2 cosx
x y
-3π
-π
π 3π π
2 π
2
O
2.5 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số
2.5.1 Phương pháp
+ Phương pháp tự luận: Đánh giá trực tiếp GTLN, GTNN hàm số dựa vào TGT sin x cosx; dựa vào điều kiện có nghiệm phương trình
+ Phương pháp máy tính: Sử dụng MODE 7, quan sát giá trị kết luận 2.5.2 Các ví dụ
Ví Dụ Tập giá trị hàm số y2sinx3
(20)1 sin 2sin 2sin
x x x
Vậy đáp án D
Cách MODE f x 2sin X 3 Start: 0; End: 2 ; step: 12
Ta thấy giá trị nhỏ 0, GTLN
Ví dụ Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau
1 y4sin cosx x1 y 4 3sin 22 x
Lời giải: 1 Ta có y2sin 2x1
Do 1 sin 2x 1 2sin 2x 2 2sin 2x 1 y
* sin 2
2
y x x k x k
* sin
4
y x x k
Vậy giá trị lớn hàm số 3, giá trị nhỏ 1 2 Ta có: 0 sin 2x 1 3sin2x4
* sin2 cos
2
y x x x k
* y 4 sin2x 0 x k
Vậy giá trị lớn hàm số , giá trị nhỏ 1
Ví dụ Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau
1.y6 cos2xcos 22 x y(4sinx3cos )x 24(4sinx3cos ) 1x
Lời giải:
1 Ta có: y6cos2x(2cos2x1)2 4cos4x2cos2x1
Đặt
cos 0;1
t x t Khi y4t2 2t f t( )
t
( )
f t
(21)
Vậy miny1 đạt cos
2
x x k
maxy1 đạt cos2x 1 x k 2 Đặt t4sinx3cosx 5 t x
Khi đó: 2
4 ( 2)
y t t t
Vì t 5; 5 t (t 2)2 49 Do 3 y 46
Vậy miny 3; maxy46
Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau nhận giá trị dương :
2
(3sin cos ) sin cos
y x x x x m
Lời giải: Đặt t3sinx4cosx 5 t
Ta có: y t 2 2t 2m 1 (t 1)22m2
Do 5 t (t 1)2 36 y 2m 2 miny2m2 Hàm số nhận giá trị dương y x miny0
2m m
Vậy m1 giá trị cần tìm
Ví dụ Tìm m để hàm số y 2 sin2x4 sin cosx x (3 )cosm 2x2 xác định với x Lời giải:
Hàm số xác định với x
2
2sin x 4sin cosx x (3 )cosm x x
(1)
cosx 0 (1)
cosx0 ta có: (1)2 tan2x4 tanx (3 ) 2(1 tanm 2x) 0
4 tan x tanx m x
2
(2 tanx 1) 2 m x 2m m
Ví dụ Cho góc nhọn x y, thỏa mãn sin2xsin2ysin(x y ) ( ) Chứng minh rằng:
2
x y
Lời giải: Ta có hàm số ysin ,x ycosx đồng biến khoảng 0;
2
(22)Và , , , 0;
2 2
x y x y
Giả sử
sin sin cos
2
2
sin sin cos
2
x y y
x y
x y
y x y x x
Suy ra: sin2xsin2ysin sinx xsin siny y
sin cosx ysin cosy xsin(x y ) Mâu thuẫn với ( )
Giả sử
sin sin cos
2
2
sin sin cos
2
x y y
x y
x y
y x y x x
Suy ra: sin2xsin2ysin sinx xsin siny y
sin cosx ysin cosy xsin(x y ) Mâu thuẫn với ( )
Nếu
2
x y ( ) Vậy ( )
2
x y
Ví dụ Tìm gtln gtnn hàm sau :
1 y3 sinx4 cosx5 2 sin cos
sin cos
x x
y
x x
Lời giải: 1 Xét phương trình : y3 sinx4 cosx5
3 sinx cosx y
phương trình có nghiệm
2 2
3 (5 y) y 10y 0 y 10
Vậy miny0 ; max y10
2 Do sinxcosx 2 x hàm số xác định với x
Xét phương trình : sin cos
sin cos
x x
y
x x
(1 y)sinx (2 y)cosx 2y
Phương trình có nghiệm 2
(1 y) (2 y) (1 )y
(23)2
2
y y y
Vậy miny 2; max y1 2.5.3 Bài tập
Bài Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y sinx3 A maxy 5,miny1 B maxy 5,miny2 C maxy 5,miny2 D maxy 5,miny3
Lời giải: Ta có sin x 3 y
Vậy giá trị lớn hàm số maxy 5, đạt sin 2
x x k
Giá trị nhỏ miny1, đạt 2
x k
Bài Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y 1 cos2x1 A maxy1,miny 1 B maxy3,miny 1 C maxy2,miny 1 D maxy0,miny 1
Lời giải: Ta có 1 cos2x 1 3 1 3 y
Vậy giá trị nhỏ hàm số maxy0, đạt
x k
Giá trị nhỏ hàm số miny 1 3, đạt x k Bài Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau 3sin
4
y x
A miny 2,maxy4 B miny2,maxy4 C miny 2,maxy3 D miny 1,maxy4
Lời giải:
Ta có: sin 2
4
x y
sin
4
y x x k
miny 2
sin
4
y x x k
maxy4
(24)A miny1,maxy2 B miny1,maxy3 C miny2,maxy3 D miny 1,maxy3
Lời giải: Ta có: cos 3 x 1 y
1 cos 32 1
3
k
y x x miny1
3 cos
6
k
y x x maxy3
Bài Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y 1 sin 2 x A miny2,maxy 1 B miny2,maxy 2 C miny1,maxy 1 D miny1,maxy2
Lời giải: Ta có: 1 sin 2x 1 y
sin
4
y x x k miny2
sin
4
y x x k miny2
Bài Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau 2 sin
y
x
A min
y ,maxy4 B min
3
y ,maxy3 C min
3
y ,maxy2 D min
2
y ,maxy4 Lời giải:
Ta có: sin2 4
x y
sin2 1
3
y x x k
3
y
4 sin
y x x k maxy4
Bài Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y2 sin2xcos 22 x A maxy4,min
4
y B maxy3,miny2
C maxy4,miny2 D maxy3,min
4
(25)Lời giải: Đặt tsin2x, 0 t 1 cos 2x 1 2t
2 2
2 (1 ) (2 )
2
y t t t t t
Do 1 (2 1)2
2 2
t t t
3
4 y
Vậy maxy3 đạt
x k
4
y đạt sin2
x
Bài Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y3sinx4cosx1 A maxy6,miny 2 B maxy4,miny 4
C maxy6,miny 4 D maxy6,miny 1 Lời giải:
Áp dụng BĐT (ac bd )2 (c2d2)(a2b2) Đẳng thức xảy a b
c d
Ta có: (3sinx4cos )x (324 )(sin2 2xcos2x) 25 3sinx 4cosx y
Vậy maxy6, đạt tan
x miny 4, đạt tan
4
x
Chú ý: Với cách làm tương tự ta có kết tổng quát sau 2
max( sina x b cos )x a b , min( sina x b cos )x a2b2
Tức là: a2b2 asinx b cosx a2 b2
Bài Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y3sinx4cosx1 A miny 6; maxy4 B miny 6; maxy5
C miny 3; maxy4 D miny 6; maxy6 Lời giải:
Ta có : y5sin(x ) 0;
thỏa
4 sin
5 cos
5
(26)Suy miny 6; maxy4
Bài 10 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y2 sin2x3sin 2x4 cos2x A miny 3 1; max y3 1 B miny 3 1; max y3 1 C miny 3 2; maxy3 1 D miny 3 2; max y3 1
Lời giải: Ta có: y 1 cos 2x3sin 2x2(1 cos ) x
3sin 3cos sin
x x x
Suy miny 3 1; max y3 1
Bài 11 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau ysin2x3sin 2x3cos2x A maxy 2 10; miny 2 10 B maxy 2 5; miny 2
C maxy 2 2; miny 2 D maxy 2 ; miny 2 Lời giải:
Ta có: cos 3sin 3(1 cos )
2
x x
y x 3sin 2xcos 2x2 Mà 103sin 2xcos 2x 10 2 10 y 10
Từ ta có được: maxy 2 10; miny 2 10
Bài 12 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y2sin 3x1 A miny 2,maxy3 B miny 1,maxy2
C miny 1,maxy3 D
miny 3,maxy3
Lời giải: :C
Bài 13 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y 3 cos 22 x A miny 1,maxy4 B miny 1,maxy7
C miny 1,maxy3 D
miny 2,maxy7
Lời giải: Đáp án C
(27)C miny 1 3,maxy 1 D miny 1 3,maxy 1 Lời giải:
Đáp án A
Bài 15 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y4sin 6x3cos6x A miny 5,maxy5 B miny 4,maxy4
C miny 3,maxy5 D miny 6,maxy6 Lời giải:
Đáp án A
Bài 16 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau
2 sin
y
x
A min , max
1
y y
B
3
min , max
1
y y
C min , max
1
y y
D
3
min , max
1
y y
Lời giải: Đáp án D
Bài 17 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau
2 3sin cos sin cos
x x
y
x x
A min 5, max
4
y y B min 5, max
4
y y C min , max
4
y y D min 5, max 5
4
y y
Lời giải: Đáp án D
Bài 18 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau cos(3 ) 3
y x
A miny2,maxy5 B miny1,maxy4
C miny1,maxy5 D miny1,maxy3
Lời giải: Ta có: miny1 đạt
9
x k
maxy5 đạt
9
x k
(28)A miny6,maxy 4 B miny5,maxy 4 C miny5,maxy 4 3 D miny5,maxy 4
Lời giải: Ta có: miny5 đạt
4
x k
maxy 4 đạt
2
xk
Bài 20 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau ysinx sin 2x
A miny0,maxy3 B miny0,maxy4
C miny0,maxy6 D miny0,maxy2
Lời giải: Ta có y0 x y2 2 sinx sin 2x
Mà sinx sin 2x sin2x 2 sin2x2 Suy 0y2 4 y
miny0 đạt 2
x k
maxy2 đạt 2
x k
Bài 21 Tìm tập giá trị nhỏ hàm số sau ytan2x4 tanx1
A miny 2 B miny 3 C miny 4 D miny 1 Lời giải:
Ta có: t(tanx2)23
miny 3 đạt tanx2 Không tông max
Bài 22 Tìm tập giá trị nhỏ hàm số sau ytan2xcot2x3(tanxcot ) 1x A miny 5 B miny 3 C miny 2 D miny 4
Lời giải: Ta có: tanxcotx23 tan xcotx3
Đặt tan cot 2
sin
t x x t
x
(29)t 2 ( )
f t
5 Vậy miny 5 đạt
4
x k Không tồn max y
Bài 23 Tìm m để hàm số y 5sin 4x6 cos 4x2m1 xác định với x
A m1 B 61
2
m C 61
2
m D 61
2
m
Lời giải:
Hàm số xác định với x 5sin 4x6cos4x 1 m x
Do min(5sin 4x6cos )x 61 61 2 m 61
2
m
Bài 24 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y 2 3sin 3x A miny 2; maxy5 B miny 1; maxy4 C miny 1; maxy5 D miny 5; maxy5
Lời giải:
Ta có: 1 sin 3x 1 y Suy ra: miny 1; maxy5
Bài 25 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y 1 sin 22 x A miny 2; maxy1 B miny 3; maxy5 C miny 5; maxy1 D miny 3; maxy1
Lời giải:
Ta có: 0 sin 2 x 1 y Suy ra: miny 3; maxy1
Bài 26 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y 1 sin x A miny 2; maxy 1 B miny2; maxy C miny2; maxy 1 D miny2; maxy4
Lời giải:
Ta có: sin x 5 y Suy ra: miny2; maxy 1
(30)C miny 3 2; maxy 3 D miny 3 2; maxy 3 3 Lời giải:
Ta có: 2 sin 4 x 3 2 y 3 Suy ra: miny 3 2; maxy 3
Bài 28 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y4sin 3x3cos 3x1 A miny 3; maxy6 B miny 4; maxy6
C miny 4; maxy4 D miny 2; maxy6 Lời giải:
Ta có: 5 4sin 3x3cos 3x 5 y Suy ra: miny 4; maxy6 Bài 29 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y cosxsinx4
A miny2; maxy4 B miny2; maxy6
C miny4; maxy6 D miny2; maxy8 Lời giải:
Ta có: sin
y x
Suy ra: miny2; maxy6
Bài 30 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau sin 2 cos sin cos
x x
y
x x
A min ; max 11
y y B min ; max
11
y y
C min ; max 11
y y D min ; max
11
y y
Lời giải:
Ta có: 2sin 2xcos 2x 4 0 x
sin 2 cos
(2 1)sin ( 2)cos sin cos
x x
y y x y x y
x x
2 2 2
(2 1) ( 2) (3 ) 11 24
11
y y y y y y
Suy ra: ; max 11
y y
Bài 31 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau
2
2 sin sin cos sin cos 10
x x x
y
x x
A min 11 7; max 11
83 83
y y B min 22 ; max 22
11 11
(31)C min 33 ; max 33
83 83
y y D min 22 ; max 22
83 83
y y
Lời giải: Ta có: sin 6x4cos6x10 10 17 0 x
2 sin cos
( 2)sin (4 1)cos 10 sin cos 10
x x
y y x y x y
x x
2 2
(y 2) (4y 1) (2 10 )y 83y 44y
22 22
83 y 83
Suy ra: 22 7; max 22
83 83
y y
Bài 31 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y3cosxsinx2 A miny 2 5; maxy 2 B miny 2 ; maxy 2 C miny 2 3; maxy 2 D miny 2 10; maxy 2 10
Lời giải: Xét phương trình: 3cosxsinx y
Phương trình có nghiệm 2 (y 2)
2 10 y 10 Vậy miny 2 10; max y 2 10
Bài 31 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau
2
sin 3sin cos sin
x x
y
x x
A min 97 , max 97
4
y y B min 97 , max 97
18 18
y y
C min 97 , max 97
8
y y D min 97 , max 97
8
y y
Lời giải: Ta có sin cos
2 cos sin
x x
y
x x
( cos 4xsin 4x 3 x ) (6 )sin 4y x (1 )cos 4y x 6y
2 2
(6 )y (1 )y (6y 1) 8y 10y
97 97
8 y
Vậy 97, max 97
8
(32)Bài 32 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau
3(3sin 4cos ) 4(3sin 4cos )
y x x x x
A min 1; max 96
y y B min 1; max
3
y y
C min 1; max 96
y y D miny2; maxy6 Lời giải:
Đặt t3sinx4 cosx t 5; 5 Khi đó:
3 ( )
y t t f t với t 5; 5 Do ( 2) 1; max (5) 96
3
y f y f
Bài 33 Tìm m để bất phương trình
(3sinx4cos )x 6sinx8cosx2m1 với
x
A m0 B m0 C m0 D m1
Lời giải: Đặt t3sinx4cosx 5 t
Ta có: y(3sinx4cos )x 26sinx8cosx
t2 2t (t 1)21
Do 5 t (t 1)2 36miny 1 Suy yêu cầu toán 1 2m 1 m
Bài 34 Tìm m để bất phương trình 3sin cos 22 sin cos
x x
m
x x
với x
A
m B
4
m C
2
m D
4
m
Lời giải: Đặt sin cos
sin 2 cos
x x
y
x x
(Do sin 2x2cos 2x 3 x hàm số xác định ) (3 y)sin 2x (1 )cos 2y x 3y
Suy (3y)2 (1 )y 9y2 2y25y 5
5 5 5
max
4 y y
Yêu cầu toán 5
4 m m
(33)Bài 35 Tìm m để bất phương trình sin cos 17 3cos sin
x x
x x m
với x
A 10 15 29
2
m
B 10 15 29
2
m
C 10 15 29
2
m
D 10 1 m 10 1
Lời giải: Trước hết ta có: 3cos 2xsin 2x m 1 x
2 2 10
3 ( 1)
1 10
m
m m m
m
(*)
m 1 103cos 2xsin 2x m 1 0, x
Nên sin cos 17 2 sin 5cos 2 15 3cos sin
x x
x x m
x x m
15 29 29 15
2
m m
Suy ra: 10 15 29
m
m 1 103cos 2xsin 2x m 1 0, x
Nên sin cos 17 2 sin 5cos 2 15 3cos sin
x x
x x m
x x m
15 29 29 15
2
m m
(loại)
Vậy 10 15 29
m
giá trị cần tìm Bài 36 Cho , 0;
2
x y
thỏa cos 2xcos 2y2sin(x y ) 2 Tìm giá trị nhỏ
4 cos
sin x y
P
y x
A min P
B
2 min P
C
2
3
P
D
5 min P
Lời giải:
Ta có: cos 2xcos 2y2sin(x y ) 2 sin2xsin2 ysin(x y ) Suy ra:
2
(34)Áp dụng bđt:
2 ( )2
a b a b
m n m n
Suy ra:
2
2
sin x sin y 2 P
x y
Đẳng thức xảy x y
Do đó: min P
Bài 37 Tìm k để giá trị nhỏ hàm số sin cos
k x
y
x
lớn 1
A k B k 2 C k D k 2
Lời giải:
Ta có sin cos sin
cos
k x
y y x k x y
x
2 (2 1)2 3 4 1 0
y k y y y k
2
3
k k
y
Yêu cầu toán
2
2
2
1
3
k
k
k 2
3 Bài tập ôn tập tổng hợp
Câu Theo định nghĩa sách giáo khoa, A hàm số lượng giác có tập xác định B hàm số ytanx có tập xác định C hàm số ycotx có tập xác định
D hàm số ysinx có tập xác định Câu Xét tập xác định
A hàm số lượng giác có tập giá trị 1;1 B hàm số ycosxcó tập giá trị 1;1 C hàm số ytanxcó tập giá trị 1;1 D hàm số ycotxcó tập giá trị 1;1 Câu Xét tập xác định
(35)D hàm số ycotx hàm số chẵn Câu Cho biết khẳng định sau sai?
A hàm số ycosxlà hàm số lẻ B hàm số ysinx hàm số lẻ C hàm số ytanx hàm số lẻ D hàm số ycotx hàm số lẻ
Câu Cho hàm số lượng giác sau có đồ thị đối xứng qua Oy ?
A ysinx B ycosx C ytanx D. ycotx Câu Xét tập xác định
A hàm số lượng giác tuần hồn với chu kì 2 B hàm số ysinx tuần hồn với chu kì 2 C hàm số ycosx tuần hồn với chu kì 2 D hàm số ycotx tuần hồn với chu kì 2
Câu Xét chu kì đường thẳng y m (với 1 m 1) cắt đồ thị A hàm số lượng giác điểm
B hàm số ysinx điểm C hàm số ycosx điểm D hàm số ycotx điểm
Câu Xét tập xác định
A hàm số lượng giác ln có giá trị lớn giá trị nhỏ B hàm số ysinx ln có giá trị lớn giá trị nhỏ C hàm số ytanx ln có giá trị lớn giá trị nhỏ D hàm số ycotx ln có giá trị lớn giá trị nhỏ
Câu Trên khoảng ( ; ) , hàm số sau nhận giá trị dương?
A ysinx B ycosx C ytanx D. ycotx Câu 10 Trên khoảng ;
2
, hàm số sau nhận giá trị âm?
A ysinx B ycosx C ytanx D. ycotx
(36)A ;
B
3 ;
C ;
D. 2;
Câu 12 Hàm số y 5 3sinx nhận giá trị tập sau đây?
A 1;1 B 3; 3 C 5; 8 D. 2; 8 Câu 13 Hàm số y 5 4cosx3sinx nhận giá trị tập sau đây?
A 1;1 B 5; 5 C 0;10 D. 2; 9
Câu 14 Trên tập xác định, hàm số ytanxcotx nhận giá trị tập sau đây? A ; B ; C 2; D. ; 2 2; Câu 15 Trong hàm số sau đây, hàm số hàm số tuần hoàn?
A y = sinx B y = x+1 C y = x2 D
2
x y
x
Câu 16 Hàm số y = sinx:
A Đồng biến khoảng ;
2 k k
nghịch biến khoảng k2 ; 2 k với kZ
B Đồng biến khoảng ;5
2 k k
nghịch biến khoảng
2 ; 2 k k
với kZ
C Đồng biến khoảng ;3
2 k k
nghịch biến khoảng
2 ;
2 k k
với kZ
D Đồng biến khoảng ; 2 k k
nghịch biến khoảng
3
2 ;
2 k k
với kZ
Câu 17 Trong hàm số sau đây, hàm số hàm số tuần hoàn?
A y = sinx –x B y = cosx C y = x.sinx D
1
x y
(37)A y = x.cosx B y = x.tanx C y = tanx D y x
Câu 19 Trong hàm số sau đây, hàm số hàm số tuần hoàn?
A y = sin x
x B y = tanx + x C y = x
2+1 D y = cotx
Câu 20 Hàm số y = cosx:
A Đồng biến khoảng ;
2 k k
nghịch biến khoảng k2 ; 2 k với kZ
B Đồng biến khoảng k2 ; 2 k nghịch biến khoảng
k2 ; k2 với kZ
C Đồng biến khoảng ;3
2 k k
nghịch biến khoảng
2 ; 2 k k
với kZ
D Đồng biến khoảng k2 ; k2 nghịch biến khoảng
k2 ;3 k2 với kZ
Câu 21 Chu kỳ hàm số y = sinx là:
A k2 kZ B
C D 2
Câu 22 Tập xác định hàm số y = tan2x là:
A
x k B
x k C
8
x k D
4
x k Câu 23 Chu kỳ hàm số y = cosx là:
A k2 kZ B 2
C D 2
Câu 24 Tập xác định hàm số y = cotx là:
A
x k B
x k C
8
x k D xk Câu 25 Chu kỳ hàm số y = tanx là:
A 2 B
4
(38)Câu 26 Chu kỳ hàm số y = cotx là:
A 2 B
2
C D k kZ
Câu 27 Tập xác định hàm số y sinx 1 là:
A D B D C ,
2
D k k
D.D
Câu 28 Tập xác định hàm số
sinx cosx
y
là:
A \
4
D
B D x |x k2,k
C D * D | k ,
4
Dx x k
Câu 29 Tập xác định hàm số cos
y
x
là:
A D B Dx |x k2 ,k
C D \ D Dx |x k k,
Câu 30 Tập xác định hàm số tan
y x là:
A \
4
D
B D x |x k k,
C \
4
D
D D x |x k k,
Câu 31 Tập xác định hàm số cos cot
y x
là:
A | ,
3
Dx x k k
B
2
| ,
3
Dx x k k
C | ,
6
Dx x k k
D D x |x k k,
Câu 32 Tập xác định hàm số 4 4 sin cos
y
x x
(39)A | ,
Dx x k k
B
1
| ,
4
Dx x k k
C | ,
4
Dx x k k
D
1
| ,
4
Dx xk k
Câu 33 Tập xác định hàm số y 3sin 2xtanx là:
A | ,
2
Dx x k k
B D x |x k2,k
C | ,
2
Dx x k k
D Dx |x k k,
Câu 34 Tập xác định hàm số 1 cos
y
x
là:
A | ,
4
Dx xk k
B D x |x k ,k
C | ,
2
Dx xk k
D D x |x k ,2 k
Câu 35 Tập xác định hàm số y tanx là:
A | k x k ,
3
Dx k
B D x |3 k x,k
C |k x k ,
3
Dx k
D D x |3 k x k ,k
Bài 36 Xét tính chẵn lẻ hàm số y f x sau đây:
A ysin tanx3 B y sinx tanx C ycosx x sinx D tanx cos
y
x
Bài 37 3cos
y x
hàm số tuần hồn với chu kì: A T 2 B
2
T C
2
T D T Bài 38 ytan 5x hàm số tuần hồn với chu kì:
A T B
T C
5
(40)Bài 39 ytan2x hàm số tuần hồn với chu kì:
A T 2 B T C T D
T Bài 40 sin2
4
y x
hàm số tuần hồn với chu kì: A
2
T B T 2 C T D T 2
Bài 41 ycos 3xsin 3x hàm số tuần hồn với chu kì: A T 2 B
3
T C T 3 D
T Bài 42 ycos3x hàm số tuần hồn với chu kì:
A T B T 3 C T 2 D
T Bài 43 ysin3xcos3x hàm số tuần hoàn với chu kì:
A
T B T 3 C T 3 D T 2
Bài 44 ycos4xsin4x hàm số tuần hồn với chu kì:
A
T B T 4 C
T D T 2 Bài 45 y cos 2xcosx hàm số tuần hồn với chu kì:
A T B T 2 C T D T 2 Bài 46 sinx
1 cos
y
x
hàm số tuần hồn với chu kì:
A T B T
C T 2 D T
Bài 47 GTLN GTNN hàm số ycosx ;
là: A 1
2 B
1
2 C 2
1
2 D 0 2 Bài 48 GTLN GTNN hàm số ysin 2x ;
6
(41)A 1
3
2 B
3
C
2
D 1
2
Bài 49 GTLN GTNN hàm số y tanx ;
là: A
3
B
3 C 3 D Bài 50 GTLN GTNN hàm số y sinx cos x là:
A 2 B 2 C 2 D 2 Bài 51 GTLN GTNN hàm số ycos2xsin2x1 là:
A B 1 C 9
4 D Bài 52 GTLN GTNN hàm số ycos4xsin4x là:
A B 1
2 C D Bài 53 GTLN GTNN hàm số
2 sin
y
x
là: A
3
3 1 B
3 1 C
3
1
2
D
1 3
4
Bài 54 GTLN GTNN hàm số cos
y
x
2 ;
là: A
2 1
2 1 B
1
1 2
2
C
1
2
D
2 2 1
1D 2B 3B 4A 5B 6D 7D 8B 9A 10B
(42)21A 22D 23A 24D 25D 26C 27C 28d 29B 30D 31D 32B 33A 34D 35D 36
Le-le-Chan-le
37d 38c 39c 40a