Toán tử đạo hàm trên không gian banach có trọng các hàm chỉnh hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN PHI MINH TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN KHƠNG GIAN BANACH CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN PHI MINH TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN KHƠNG GIAN BANACH CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM TRỌNG TIẾN Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn biết ơn sâu sắc đến thầy TS Phạm Trọng Tiến, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Thầy không giúp em mặt kiến thức mà cịn giúp em cách trình bày vấn đề cách rõ ràng khoa học Tiếp theo, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự Nhiên dạy bảo em suốt hai năm học vừa qua Cuối em xin lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, tập thể lớp cao học khóa 2015 -2017 giúp đỡ em trình học tập vừa qua Hà Nội, ngày 04 tháng 12 năm 2017 Học viên Nguyễn Phi Minh Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian Banach có trọng hàm chỉnh hình 1.2 Các tính chất động lực học 5 Tính bị chặn compact tốn tử đạo hàm 12 2.1 Tính bị chặn tốn tử đạo hàm 12 2.2 Tính compact tốn tử đạo hàm 24 Tính chất động lực học toán tử đạo hàm 32 3.1 Tính chất có tập điểm tuần hồn trù mật 33 3.2 Tính siêu lặp tính trộn 35 KẾT LUẬN 40 Tài liệu tham khảo 41 LỜI MỞ ĐẦU Không gian có trọng hàm chỉnh hình tốn tử xác định đóng vai trị quan trọng lý thuyết xấp xỉ lý thuyết phổ, giải tích phức giải tích Fourier, phương trình tích chập phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết phân phối siêu phân phối ([15]) Vì chúng nghiên cứu nhiều nhà toán học theo nhiều hướng khác ([4], [5], [7], [8], [10], [11], [15] - [20], [23], [29], [31] - [34]) Tuy nhiên, đến năm 2008 có nghiên cứu kết Harutyunyan Lusky [29] tính bị chặn tốn tử đạo hàm D khơng gian có trọng hàm chỉnh hình hình cầu đơn vị toàn mặt phẳng phức Dựa kết Harutyunyan Lusky, có nhiều báo nghiên cứu tính chất khác tốn tử đạo hàm khơng gian có trọng (xem [1] tính bị chặn; [6], [7], [8], [16], [17] tính hệ động lực phổ) Dù tính compact tốn tử đạo hàm D có nhiều ứng dụng, lại khơng có nhiều nghiên cứu tính compact toán tử đạo hàm thực Trên khơng gian có trọng hàm ngun, Bogachev [12] đưa điều kiện đủ để toán tử đạo hàm compact Động lực học tuyến tính giới thiệu báo Godefroy Shapiro [24] Grosse-Erdmann [25], [26] MacLane [35] chứng minh toán tử đạo hàm D siêu lặp khơng gian hàm chỉnh hình H(C) Dáng điệu ca toỏn t o hm trờn i s cu Hăormander hàm nguyên nghiên cứu Bonet [13] Luận văn trình bày nghiên cứu kết tính bị chặn, tính compact tính chất động lực học toán tử đạo hàm khơng gian có trọng hàm chỉnh hình Ngồi phần Mở đầu, Kết luận luận văn chia làm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, khái niệm tính chất khơng gian có trọng hàm chỉnh hình trình bày chi tiết Ngồi ra, khái niệm mở đầu tính chất động lực đưa Chương 2: Tính bị chặn compact toán tử đạo hàm Trong chương này, tác giả trình bày nghiên cứu tính bị chặn tính compact tốn tử đạo hàm D khơng gian có trọng hàm chỉnh hình, đặc biệt khơng gian hình cầu đơn vị D toàn mặt phẳng phức C Các điều kiện cần đủ cho hai tính chất đưa Chương 3: Tính chất động lực tốn tử đạo hàm Trong chương này, tác giả đưa điều kiện cần đủ cho tính chất động lực học tốn tử đạo hàm D khơng gian có trọng hàm ngun Nội dung luận văn tham khảo tài liệu [1], [2], [14] MỤC LỤC Do thời gian làm luận văn có hạn hiểu biết hạn hẹp nên có nhiều cố gắng để hồn thành luận văn q trình làm khơng thể trách khỏi mắc phải sai sót Chúng tơi mong nhận đóng góp q báu từ thầy, người đọc để luận văn hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian Banach có trọng hàm chỉnh hình Trong phần đưa khái niệm tính chất khơng gian Banach có trọng hàm chỉnh hình Những kiến thức chuẩn bị sử dụng toàn luận văn Cho G miền mặt phẳng phức C H(G) không gian gồm tất hàm chỉnh hình G với tơpơ hội tụ tập compact Một hàm liên tục v : G → (0, ∞) gọi hàm trọng G Với hàm trọng v , ta định nghĩa hai khơng gian có trọng hàm chỉnh hình sau Hv (G) := Hv0 (G) := |f (z)| 0, tồn tập compact K G cho |g(z)| < ε với z ∈ G \ K Các tính chất hai khơng gian trình bày mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.1 Các khẳng định sau (1) Hv (G) không gian Banach với chuẩn · v; (2) Hv0 (G) khơng gian đóng Hv (G) Chứng minh (1) Dễ thấy, Hv (G) không gian định chuẩn với chuẩn · v Ta Hv (G) đầy đủ Lấy (fn )n dãy Cauchy Hv (G), ta (fn )n hội tụ tới hàm f Hv (G) Theo định nghĩa dãy Cauchy, ta có với ε dương, tồn n0 ∈ N cho ||fm − fn ||v < ε, ∀n, m ≥ n0 ∀z ∈ G Chương Kiến thức chuẩn bị Tức là, |fm (z) − fn (z)| < εv(z), ∀n, m ≥ n0 ∀z ∈ G (1.1) Khi đó, với K compact G, ta có max |fm (z) − fn (z)| < ε max v(z), ∀n, m ≥ n0 z∈K z∈K Do đó, (fn )n dãy Cauchy H(G), nên (fn )n hội tụ tới hàm f H(G) Trong (1.1), cho m → ∞, ta |fn (z) − f (z)| ≤ εv(z), ∀n ≥ n0 ∀z ∈ G Tức là, fn − f v ≤ ε với n ≥ n0 Từ ta thu f v ≤ fn0 − f v + fn0 v < ∞ Vậy ta có (fn )n hội tụ tới f Hv (G) (2) Đầu tiên ta Hv0 (G) không gian Hv (G) Lấy f ∈ Hv0 (G), tức |f (z)| = z→∂G v(z) lim Khi đó, tồn K compact G cho |f (z)| < 1, ∀z ∈ G/K v(z) Mặt khác, K compact |f (z)|/v(z) liên tục K nên tồn M > cho |f (z)|/v(z) < M, với z thuộc K Do đó, ta có |f (z)| ≤ M, z∈G v(z) sup nên f ∈ Hv (G) Vậy Hv0 (G) ⊂ Hv (G) Bây giờ, ta Hv0 (G) đóng Hv (G) Thật vậy, lấy dãy (fn )n Hv (G) (fn )n hội tụ tới hàm f ta phải f ∈ Hv0 (G) Vì (fn )n hội tụ tới f nên với ε dương bất kỳ, tồn n0 ∈ N cho ε ||fn − f ||v < , ∀n ≥ n0 tức Mặt khác, fn0 ε |fn (z) − f (z)| < v(z), ∀z ∈ G ∀n ≥ n0 ∈ Hv (G), nên tồn tập compact K G cho ε |fn0 (z)| < v(z), ∀z ∈ G \ K Suy ra, với z ∈ G \ K ta có |f (z)| |fn0 (z)| |fn0 (z) − f (z)| < + < ε v(z) v(z) v(z) Vậy f ∈ Hv0 (G) Chương Kiến thức chuẩn bị Khi nghiên cứu vấn đề liên quan đến hai không gian Banach có trọng Hv (G) Hv0 (G) người ta thường sử dụng hàm trọng liên kết v trọng v Chúng ta nhắc lại định nghĩa số tính chất trọng liên kết Bierstedt-BonetTaskinen [10] đưa định nghĩa trọng liên kết sau v(z) := sup{|f (z)| : f ∈ Hv (G) : f v ≤ 1}, z ∈ C Một số tính chất trọng liên kết đưa mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.2 Các khẳng định sau (i) Hàm v liên tục G ≤ v ≤ v G (ii) Không gian Hv (G) = Hv (G) f v = f v với f ∈ Hv (G) Chứng minh Các chứng minh tham khảo [10] Trong khơng gian có trọng Hv (G) Hv0 (G) người ta đặc biệt quan tâm tới trường hợp G toàn mặt phẳng phức C G hình cầu đơn vị D hàm trọng v trọng cầu, tức v(z) = v(|z|), z ∈ G, v : [0; a) → (0, ∞) hàm tăng liên tục [0; a) cho log r = o(log v(r)) với r → ∞ G = C lim v(r) = ∞ G = D, r→1− a = +∞ với G = C a = với G = D Với giả thiết hàm trọng cầu v thấy không gian Hv (C) Hv0 (C) chứa tất đa thức, chúng khơng gian vơ hạn chiều Cịn khơng gian Hv (D) Hv0 (D) chứa tất hàm chình hình bị chặn D Trong trường hợp đặc biệt này, cịn có tính chất quan trọng sau Mệnh đề 1.1.3 Giả sử v trọng cầu G = C G = D Khi đó, tập tất đa thức trù mật khơng gian Hv0 (G), đó, Hv0 (G) khơng gian khả ly Chứng minh Chúng ta chứng minh cho trường hợp G = C Trường hợp cịn lại hồn toàn tương tự Lấy hàm f ∈ Hv0 (C) Đặt M (f, r) := max{|f (z)| : |z| = r}, r > Với t ∈ (0, 1) đặt ft (z) := f (tz), z ∈ C Theo nguyên lý cực đại, dễ thấy M (ft , r) = M (f, tr) ≤ M (f, r) với t ∈ (0, 1) r > Ta chứng minh ft hội tụ tới f Hv0 (C) t → Thật vậy, lấy ε > tùy ý Tồn R > cho M (f, r) ε < , ∀r > R v(r) Do M (ft , r) ε < , ∀r > R t ∈ (0, 1) v(r) Chương Kiến thức chuẩn bị Mặt khác, dễ thấy max |ft (z) − f (z)| = max |f (tz) − f (z)| → 0, t → |z|≤R |z|≤R Do đó, tồn t0 ∈ (0, 1) cho |ft (z) − f (z)| < ε, ∀t ≥ t0 v(z) |z|≤R max Suy ra, với t ≥ t0 ta có ft − f v |ft (z) − f (z)| |ft (z) − f (z)| , max v(z) v(z) |z|≤R |z|>R = max max |f (z)| |ft (z)| + max |z|>R v(z) |z|>R v(z) < max ε, max < ε Vậy ft hội tụ tới f Hv0 (C) t → Tiếp theo, với t ∈ (0, 1) ta xấp xỉ hàm ft dãy đa thức Từ đó, ta kết luận hàm f xấp xỉ dãy đa thức, tức là, tập tất đa thức phức trù mật không gian Hv0 (C) Thật vậy, giả sử hàm f có biểu diễn ∞ an z n , a n ∈ C f (z) = n=0 Theo cơng thức tích phân Cauchy ta có |an | = |f (n) (0)| = n! 2iπ Suy ra, |an | z n v ≤ f v |z|=r f (z) M (f, r) dz ≤ f ≤ z n+1 rn v v(r) , ∀r > rn với n ∈ N Sử dụng bất đẳng thức ta có n ak tk z k ft (z) − k=0 ak tk z k = v k>n Do đó, với t ∈ (0, 1) cố định, ft (z) − ta có điều phải chứng minh ≤ f v tk = f v k>n n k k k=0 ak t z v tn+1 v 1−t → n → ∞ Từ Ngoài ra, hàm trọng liên kết v với trọng cầu v cịn có thêm tính chất sau Mệnh đề 1.1.4 Giả sử v trọng cầu G = C G = D Khi (i) Hàm v trọng cầu G, tức là, v(z) = v(|z|) với z ∈ G (ii) Hàm log(v(z)) hàm điều hòa G, điều tương đương với v hàm lồi logarit (−∞, log a), tức là, hàm ϕv (x) := log v(ex ) lồi (−∞, log a) (d) Không gian Hv0 (G) = Hv0 (G) Chứng minh Các chứng minh tham khảo [10] ... compact tốn tử đạo hàm D có nhiều ứng dụng, lại khơng có nhiều nghiên cứu tính compact toán tử đạo hàm thực Trên khơng gian có trọng hàm ngun, Bogachev [12] đưa điều kiện đủ để toán tử đạo hàm compact... bị chặn compact toán tử đạo hàm Trong chương này, trình bày nghiên cứu tính bị chặn compact toán tử đạo hàm D khơng gian có trọng hàm chỉnh hình 2.1 Tính bị chặn toán tử đạo hàm Trong [29], Harutyunyan... C H(G) không gian gồm tất hàm chỉnh hình G với tơpơ hội tụ tập compact Một hàm liên tục v : G → (0, ∞) gọi hàm trọng G Với hàm trọng v , ta định nghĩa hai khơng gian có trọng hàm chỉnh hình sau