MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH NĂM HỌC 2019 2020 IPHẦN MỞ ĐẦU Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng , đó là niềm say mê của những người yêu thích toán học . Đối với học sinh để có một kiến thức vững chắc , đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện , học hỏi rất nhiều và bền bỉ . Đối với giáo viên : làm thế nào để trang bị cho các em có đầy đủ kiến thức ? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân 1.1 Lý do chọn đề tài giải phương trình tích được học khá kỹ ở chương trình lớp 8 , nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên . Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích là vấn đề quan trọng . Nắm được tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán 8 tôi đã dày công tìm tòi ; nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giải phương trình tích đa dạng và dễ hiểu . Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh . trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của những đa thức bằng các phương pháp đặt nhân tử chung ; tách hạng tử ; phương pháp theâm bớt hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ ; để làm một số dạng bài tập giải phương trình tích Khi học chuyên đề này học sinh rất thích thú . vì có các ví dụ đa dạng , có nhiều bài vận dụng cách giải khác nhau nhưng cuối cùng cũng đưa về được dạng tích từ đó giúp các em học tập kiến thức mới và giải được một số bài toán khó 1.2 Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài Trong nhiều năm tôi được phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy toaùn 8 . Tôi đã tích lũy được nhiều kiến thức về dạng toán “ giải phương trình tích “ và những dạng bài tập vận dụng đặc biệt là hướng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để vöøa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu ; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học bộ môn toán và cách giải toán theo mạch kiến thức mang tính lo gic chỉ ra các phương pháp dạy học các loại bài tập “ Giai các dạng phương trình đưa về dạng phương trình tích “ Đổi mới phương pháp dạy học Nâng cao chất lượng dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi Cụ thể là : Tìm hiểu thực trạng học sinh Những phương pháp đã thực hiện Những chuyển biến sau khi áp dụng Rút ra bài học kinh nghiệm 1.3: Đối tượng nghiên cứu :
MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH NĂM HỌC 2019 - 2020 I/PHẦN MỞ ĐẦU Mơn tốn mơn học phong phú đa dạng , niềm say mê người yêu thích tốn học Đối với học sinh để có kiến thức vững , đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện , học hỏi nhiều bền bỉ Đối với giáo viên : làm để trang bị cho em có đầy đủ kiến thức ? Đó câu hỏi mà giáo viên phải đặt cho thân 1.1/ Lý chọn đề tài ' ' giải phương trình tích học kỹ chương trình lớp , có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích vấn đề quan trọng Nắm tinh thần q trình giảng dạy tốn tơi dày cơng tìm tịi ; nghiên cứu để tìm phương pháp giải phương trình tích đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh SGK trình bày phương pháp phân tích vế trái thành tích đa thức phương pháp đặt nhân tử chung ; tách hạng tử ; phương pháp theâm bớt hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ ; để làm số dạng tập giải phương trình tích Khi học chun đề học sinh thích thú có ví dụ đa dạng , có nhiều vận dụng cách giải khác cuối đưa dạng tích từ giúp em học tập kiến thức giải số toán khó 1.2/ Mục tiêu nhiệm vụ đề tài Trong nhiều năm phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy toán Tơi tích lũy nhiều kiến thức dạng toán “ giải phương trình tích “ dạng tập vận dụng đặc biệt hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu ; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học mơn tốn cách giải tốn theo mạch kiến thức mang tính lo gic - phương pháp dạy học loại tập “ Giai dạng phương trình đưa dạng phương trình tích “ Đổi phương pháp dạy học Nâng cao chất lượng dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi Cụ thể : - Tìm hiểu thực trạng học sinh - Những phương pháp thực - Những chuyển biến sau áp dụng - Rút học kinh nghiệm 1.3: Đối tượng nghiên cứu : Sách giáo khoa đại số lớp ; Sách giáo viên ; sách tham khảo nâng cao Sách Tập toán tập hai Học sinh lớp trường THCS 1.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu giải phương trình tích tập vận dụng chương trình Học kỳ II mơn đại số lớp 1.5 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề II NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục đồi hỏi học sinh cần phải tự học ; tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến q trình giáo dục thành trình tự giáo dục Như học sinh phát huy lực sáng tạo ; tư khoa học từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để học sinh đạt điều mơn tốn ( cụ thể mơn đại số lớp ) khích lệ em sau tiếp thu thêm lượng kiến thức em cần khắc sâu tìm tịi toán liên quan Để làm giáo viên cần gợi say mê học tập ; tự nghiên cứu , đào sâu kiến thức em học sinh 2.2 : Thực trạng : 2.2.1: a/ Thuận lợi : - Cơ sở vật chất nhà trường đầy đủ - Tài liệu tham khảo đa dạng ; đội ngũ giáo viên có lực vững vàng ,nhiệt tình - Đa số em ham học ; thích nghiên cứu b/ Khó khăn : Lực học em không đồng Một số em học sinh tiếp thu cịn chậm khơng đáp ứng yêu cầu chương trình Điều kiện kinh tế gia đình học sinh cịn nghèo nên có ảnh hưởng lớn đến chất lượng học tập học sinh 2.2.2: a/Thành công - Đa số em nhận thức đắn ý thức học tập cần phải hăng say học tập - Học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống ; em nắm dạng tập phương pháp giải tập - Đã gợi say mê học tập em học sinh b/ Hạn chế : Thời lượng thực giảng dạy hạn chế Một số em học sinh tiếp thu chậm - Thời gian thực tế lớp nên việc lồng ghép dạng tốn có liên quan cịn khó khăn có tốn học sinh cịn bỡ ngỡ chưa biết cách giải 2.2.3 : a/ Mặt mạnh : - Ban giám hiệu nhà trường đạo thường xuyên coi việc phát triển lực chuyên môn then chốt ; nhà trường phát động nhiều phong trào nhằm đẩy mạnh công tác chuyên môn Tạo điều kiện thuận lợi để thầy giáo có điều kiện học hỏi đúc rút nhiều kinh nghiệm cho thân - Đa số giáo viên nhiệt tình cơng tác giảng dạy ; học sinh ham học - Cơ sở vật chất đầy đủ ; đồ dung học tập phong phú b/ Mặt yếu : Chất lượng học sinh khơng đồng nên việc tiếp thu kiến thức cịn hạn chế 2.2.4 : Các nguyên nhân ; yếu tố tác động - Xuất phát từ thực trạng nói nguyên nhân chủ yếu nhằm giúp cho em học sinh có ý thức học tập đắn ; tạo ham mê học tập giúp em có điều kiện lĩnh hội số kiến thức để em học tập sau tốt - Xuát phát từ ham học hỏi học sinh ham mê nghiên cứu lòng yêu nghề thân - Sự đạo sát cấp chuyên môn phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy 2.3 : Giải pháp , biện pháp 2.3.1: Mục tiêu giải pháp , biện pháp - Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình đưa dạng “ Phương trình tích “ Đồng thời vận dụng phương pháp để giải tốn hay khó sau - Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử phân tích đa thức đưa - dạng tích Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích ? Và dạng tập vận dụng vận dụng Phân tích vế trái thành tích ( thừa số ) biến đổi vế trái thành tích đa thức ; đơn thức khác ẩn vế phải 2.3.2: Nội dung phương pháp thực G/V ? : Một tích ? Trong tích có thừa số tích ? - Cần cho học sinh thấy rõ : Một tích thừa số phải có thừa số - Trong tích có thừa số tích Ví dụ : Giải phương trình : ( 2x – ) ( x + ) = ( I ) Phương pháp giải Tính chất nêu phép nhân viết ⇔ ab = a = b = ( với a ; b số ) Đối với phương trình ta có : ( 2x – ) ( x + ) = ⇔ 2x – = Hoặc x+1=0 Do để giải phương trình ( I ) ta phải giải hai phương trình ⇔ x = ⇔ x = 1,5 1/ 2x – = ⇔ 2/ x + = x=-1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x = 1,5 x = - { 1,5; −1} Và ta viết tập hợp nghiệm phương trình : S = Giải phương trình gọi giải phương trình tích Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt sau 1 n GV? : Để giải phương trình tích : A(x ) A(x ) …………….A(x ) = ( II ) ta cần giải phương trình ? HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải phương trình sau A( x ) = (1) A( x ) = (2) …………………… n A( x )= (n) Nghiệm phương trình ( ) ; ( ) …….( n ) nghiệm phương trình ( II ) Với giá trị x thỏa mãn điều phương trình ( II ) SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG I/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN VÍ DỤ 1: Giải phương trình (x+1)(x+4)=(2–x)(2+x) Nhận xét : Hai tích khơng có nhân tử chung thi ta phải khai triển thu gọn để tìm cách đưa dạng tích , để giải phương trình ta cần thực hai bước Bước : Đưa phương trình cho dạng phương trình tích cách chuyển tất hạng tử từ vế phải sang vế trái đổi dấu hạng tử ; vế phải ; áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích Ta có : ( x + ) ( x + ) = ( – x ) ( + x ) ⇔ ⇔ (x+1)(x+4)–(2–x)(2+x)=0 + x + x + − 22 + x = x ⇔ x + x = ⇔ x (2 x + 5) = Bước : Giải phương trình tích vừa tìm kết luận nghiệm x ( 2x + ) = x = x = x = ⇔ ⇔ ⇔ 2 x + = x = −5 x = − Vậy nghiệm phương trình : S = 5 0; − 2 x − = x ( 3x − ) 7 VÍ DỤ 2: Giải phương trình : Tương tự ví dụ ta thực phép chuyển vế ta có : 3 x − = x ( 3x − ) ⇔ x − = x − x = 7 7 ⇔ 3 3 x − − x + x = ⇔ x − x ÷− ( − x ) = 7 7 ⇔ 3 x ( − x ) − ( − x ) = ⇔ ( − x ) x − 1÷ = 7 1 − x = x −1 ⇔ 3 ⇔ x − = x = 7 1; 3 Vậy nghiệm phương trình : S = x2 − x + − = VÍ DỤ : Giải phương trình : Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi vế trái dựa vào đẳng thức x2 − 2x + − = ⇔ ( x − x + 1) − = Giải : Ta có : ⇔ ( x − 1) − 22 = ⇔ ( x −1 − 2) ( x −1 + ) = ⇔ ( x − 3) ( x + 1) = x − = x = ⇔ ⇔ x +1 = x = −1 Vậy nghiệm phương trình S = VÍ DỤ 4: ( x − 1) { −1;3} + ( x − 1) ( x + ) + ( x + ) = Giải phương trình : Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận đẳng thức bình phương tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức phân tích thành nhân tử Ta xem ( x- ) =A ; ( x + ) = B Giải : ta có ( x − 1) ⇒ phương trình có dạng ( A + B ) = + ( x − 1) ( x + ) + ( x + ) = ⇔ ( x − 1) + ( x + ) = ⇔ ( x − 1) + ( x + ) = ⇔ ( x −1 + x + 2) = ⇔ 2x + = ⇔ x = −1 ⇔ x = − Vậy nghiệm phương trình : S = VÍ DỤ : Giải phương trình : ( )( 1 − 2 ) − x 2x +1 = Đây phương trình tích có chứa thức bậc hai , Để tránh cho học sinh hiểu tốn mơt cách phức tạp phương trình có chứa bậc hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh thực cách giải thơng thường thường Giải : ta có ( 2; 3; )( coi hệ số thông ) − x 2x +1 = x = − x = ⇔ ⇔ 2 x + = x = −1 2 −1 ; 2 Vậy nghiệm phương trình : S = II/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH x + 3x + x = VÍ DỤ : Giải phương trình : Đối với phương trình học sinh có cách giải khác chẳng hạn ta tham khảo hai cách giải sau x + x + x = ⇔ x ( x + 3x + = ) Cách : Ta có : ⇔ x ( x2 + x + 2x + 2) = ( tách 3x = x + 2x ) ⇔ x ( x + x ) + ( x + ) = ( nhóm hạng tử ) ⇔ x x ( x + 1) + ( x + 1) = ( đặt nhân tử chung ) ⇔ x ( x + 1) ( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) x = x = ⇔ x + = ⇔ x = −1 x + = x = −2 { 0; −1; −2} Vậy nghiệm phương trình : S = CÁCH 2: Giải : Ta có x3 + 3x + x = ⇔ x3 + x + x + x = 3x = x + x ( tách ⇔ ( x + x ) + ( x + x ) = ⇔ x ( x + 1) + x ( x + 1) = 2 ( ) ⇔ ( x + 1) x + x = ⇔ ( x + 1) x ( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) ) x +1 = x = −1 ⇔ x = ⇔ x = x + = x = −2 Vậy nghiệm phương trình : S = VÍ DỤ 2: { 0; −1; −2} x3 − 19 x − 30 = Giai phương trình : phương trình chưa xuất nhân tử chung ; không dạng đẳng thức Do giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử ) ta cần tách hạng tử : -19x = - 9x – 10x Giải : Ta có : x3 − 19 x − 30 = ⇔ x3 − x − 10 x − 30 = ( ) ( ) ⇔ x − x − ( 10 x + 30 ) = ⇔ x x − − 10 ( x + ) = ( ) ⇔ x x − 32 − 10 ( x + ) = ⇔ x ( x − 3) ( x + ) − 10 ( x + ) = ( ) ⇔ ( x + 3) x ( x − 3) − 10 = ⇔ ( x + 3) x − 3x − 10 = ( ) ⇔ ( x + 3) x − x + x − 10 = ⇔ ( x + 3) ( x − x) + ( x − 10 ) = ⇔ ( x + 3) x ( x − ) + ( x − ) = ⇔ ( x + 3) ( x − ) ( x + ) = x + = x = −3 ⇔ x − = ⇔ x = x + = x = −2 Vậy nghiệm phương trình : S = { −3; −2;5} 3x + x − = VÍ DỤ : Giải phương trình : Đối với phương trình ta tách hạng tử 5x = 6x – x 3x2 + x − = ⇔ 3x2 + x − x − = Giải : Ta có : ⇔ ( 3x + x ) − ( x + ) = ⇔ 3x ( x + ) − ( x + ) = ⇔ ( x + ) ( 3x − 1) = x = −2 x + = ⇔ ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : 1 −2; 3 x + 14 x + x = VÍ DỤ : Giải phương trình : Đói với phương trình bước ta phải biến đổi vế trái thành tích cách đặt nhân tử chung để biểu thức ngoặc đơn giản sau dung phương pháp tách hạng tử để đưa dạng tích x + 14 x + x = ⇔ x x + x + = Giải : Ta có : ⇔ x x + x + x + = ⇔ x x + x + ( x + ) = ( ( ) ) ( ) ⇔ x x ( x + 3) + ( x + 3) = ⇔ x ( x + 3) ( x + 1) = x = 2 x = ⇔ x + = ⇔ x = −3 2 x + = x = − Vậy : nghiệm phương trình : S = 1 0; −3; − 2 x + x + 20 = VÍ DỤ 5: Giải phương trình : Đói với phương trình vế trái chưa xuất nhân tử chung Do ta cần biến đổi để đưa vế trái dạng tích cách Tách hạng tử 9x = 4x + 5x x + x + 20 = ⇔ x + x + x + 20 = Giải: Ta có : ⇔ x + x + ( x + 20 ) = ⇔ x ( x + ) + ( x + ) = ( ) x + = x = −4 ⇔ ( x + ) ( x + 5) = ⇔ ⇔ x + = x = −5 Vậy nghiệm phương trình : S = { −4; −5} x2 + x − = VÍ DỤ 6: Giải phương trình : Ta biến đổi vế trái phương trình thành tích cách tách hạng Tử x = 3x – 2x sau nhóm hạng tử đặt nhân tử chung x2 + x − = ⇔ x2 + 3x − x − = Giải : Ta có : ⇔ ( x + x ) − ( x + ) = ⇔ x ( x + 3) − ( x + ) = x + = x = −3 ⇔ ( x + 3) ( x − ) = ⇔ ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { −3; 2} x − 3x + = VÍ DỤ 7: Giải phương trình : Đối với phương trình có nhiều cách giải khác sau Một số cách giải Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x Ta có : x2 − 3x + = ⇔ x2 − x − x + = ⇔ ( x − x ) − ( x − ) = ⇔ x ( x − 1) − ( x − 1) = x −1 = x = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔ ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { 1; 2} Cách : Tách hạng tử = - + x − 3x + = ⇔ x − 3x − + = Ta có : ⇔ ( x − ) − ( 3x − ) = ⇔ ( x + ) ( x − ) − ( x − ) = ⇔ ( x − ) ( x + ) − 3 = ⇔ ( x − ) ( x − 1) = x − = x = ⇔ ⇔ x −1 = x = Vậy nghiệm phương trình : S = −3x = 2.x Cách : Biến đổi Ta có : { 1; 2} 2= ; − 4 x − 3x + = ⇔ x − x + − = 4 2 9 3 1 ⇔ x − x + ÷− = ⇔ x − x + ÷ − ÷ = 4 2 3 1 1 ⇔ x − ÷ − ÷ = ⇔ x − ÷+ x − ÷+ = 2 4 2 1 ⇔ x − + ÷ x − − ÷ = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = 2 2 x −1 = x = ⇔ ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { 1; 2} ... lĩnh hội số kiến thức để em học tập sau tốt - Xuát phát từ ham học hỏi học sinh ham mê nghiên cứu lòng yêu nghề thân - Sự đạo sát cấp chuyên môn phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm... pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề II NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý... kinh tế gia đình học sinh cịn nghèo nên có ảnh hưởng lớn đến chất lượng học tập học sinh 2.2.2: a/Thành công - Đa số em nhận thức đắn ý thức học tập cần phải hăng say học tập - Học sinh nắm kiến