PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ. G.Polya (18871985) – Nhà toán học và là nhà sư phạm Mỹ gốc Hunggary đã khuyên rằng: “Ngay khi lời giải mà ta tìm được là tốt rồi thì tìm được một lời giải khác vẫn có lợi. Thật là sung sướng khi thấy rằng kết quả tìm ra được xác nhận nhờ hai lí luận khác nhau. Có được một chứng cớ rồi, chúng ta lại muốn tìm thêm một chứng cớ nữa, cũng như chúng ta muốn sờ vào một vật mà ta đã trông thấy.” Và riêng bản thân tôi cũng vậy, từ khi còn là học sinh, với bất kì một bài toán nào, khi tìm ra được lời giải rồi tôi cảm thấy vui lắm, nhưng khi tìm thêm được một lời giải khác cho bài toán đó nữa thì cảm giác rất khó tả, tôi sung sướng vô cùng. Chính vì thế mà khi trở thành một giáo viên tôi luôn nuôi nấng hoài bão làm thế nào để học sinh của mình chẳng những biết vận dụng những lí thuyết đã học để giải được bài tập, mà còn có niềm đam mê khi học toán. Từ đó khơi dậy trong các em thói quen khi giải được bài tập rồi cố tìm thêm cách khác nữa để giải bài tập đó, để cuối cùng sẽ chọn được cách giải ngắn gọn, dễ hiểu nhất. Tôi đồng ý với lời khuyên của nhà toán học G.Polya. Cái lợi thu được khi ta tìm thêm những lời giải khác nhau của một bài toán có thể là: Nó là dịp để ta nhớ lại, hoặc xem lại những kiến thức cũ. Qua đó giúp ta nắm vững kiến thức hơn. Nó giúp ta rèn luyện kỹ năng tìm lời giải, kỹ năng trình bày lời giải cũng như kỹ năng vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải toán. Nó giúp ta có kinh nghiệm trong việc lựa chọn phương án tối ưu khi giải một bài toán. Dần dần nó sẽ tạo niềm đam mê, hứng thú trong việc học môn hình học, môn học mà không ít học sinh cảm thấy sợ. Và đó cũng là lý do tôi chọn đề tài: “Dạy học sinh giải một số bài tập chương I – Hình học 8 bằng nhiều cách”.
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ G.Polya (1887-1985) – Nhà toán học và là nhà sư phạm Mỹ gốc Hunggary đã khuyên rằng: “Ngay lời giải mà ta tìm được là tốt rồi thì tìm được một lời giải khác vẫn có lợi Thật là sung sướng thấy rằng kết quả tìm được xác nhận nhờ hai lí luận khác Có được một chứng cớ rồi, chúng ta lại muốn tìm thêm một chứng cớ nữa, cũng chúng ta muốn sờ vào một vật mà ta đã trông thấy.” Và riêng bản thân cũng vậy, từ còn là học sinh, với bất kì một bài toán nào, tìm được lời giải rồi cảm thấy vui lắm, tìm thêm được một lời giải khác cho bài toán đó nữa thì cảm giác rất khó tả, sung sướng vô cùng Chính vì thế mà trở thành một giáo viên nuôi nấng hoài bão làm thế nào để học sinh của mình chẳng những biết vận dụng những lí thuyết đã học để giải được bài tập, mà còn có niềm đam mê học toán Từ đó khơi dậy các em thói quen giải được bài tập rồi cố tìm thêm cách khác nữa để giải bài tập đó, để cuối cùng sẽ chọn được cách giải ngắn gọn, dễ hiểu nhất Tôi đồng ý với lời khuyên của nhà toán học G.Polya Cái lợi thu được ta tìm thêm những lời giải khác của một bài toán có thể là: - Nó là dịp để ta nhớ lại, hoặc xem lại những kiến thức cũ Qua đó giúp ta nắm vững kiến thức - Nó giúp ta rèn luyện kỹ tìm lời giải, kỹ trình bày lời giải cũng kỹ vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải toán - Nó giúp ta có kinh nghiệm việc lựa chọn phương án tối ưu giải một bài toán - Dần dần nó sẽ tạo niềm đam mê, hứng thú việc học môn hình học, môn học mà không ít học sinh cảm thấy sợ Và đó cũng là lý chọn đề tài: “Dạy học sinh giải một số bài tập chương I – Hình học bằng nhiều cách” PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ LUẬN Để học tốt môn hình học đòi hỏi học sinh phải: Nắm vững tất cả các kiến thức bản về hình học từ lớp dưới Dù không phải nhớ nhiều trước hết chúng ta phải nhớ các định nghĩa, các tính chất, các định lí và các hệ quả Để nhớ và hiểu sâu sắc các định nghĩa và các định lý, chúng ta phải làm nhiều bài tập Nắm vững các phương pháp chứng minh hình học Có kĩ tìm lời giải và kĩ trình bày lời giải Trong chuyên đề này, không có tham vọng chỉ cho học sinh cách để trở thành học sinh giỏi hình học Tôi chỉ nêu lên những kinh nghiệm của mình, về việc dạy học sinh giải một số bài toán chương I - Hình học bằng nhiều cách Nhằm giúp học sinh thu được cái lợi đã nói ở Đối với chương I - Hình học 8, rất nhiều bài tập có thể giải bằng nhiều cách, ví như: Bài tập Trang/(SGK) Số cách giải 15/a 75 17 75 25 80 44 92 45 92 47 93 48 93 61 98 … II.THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1.Thuận lợi Trường THCS Nghi Thái có sở vật chất khang trang, sạch đẹp Đội ngũ giáo viên có chuyên môn vững vàng, nhiệt tình, gần gũi với học sinh, tạo cho các em mối thiện cảm từ tinh thần đến việc học Được sự quan tâm giúp đỡ của Ban Giám hiệu nhà trường, các tổ chuyên môn và các đồng nghiệp Nhiều học sinh được phụ huynh quan tâm đến việc học tập và có điều kiện học tập tốt 2 Khó khăn Một số học sinh có hoàn cảnh hết sức khó khăn về kinh tế, ảnh hưởng rất nhiều đến việc học tập của các em Một số em chưa có ý thức học tập, còn ỷ lại, không chịu học bài và làm bài trước đến lớp, không nắm được những kiến thức bản Trang thiết bị còn thiếu thốn Điều tra Đầu năm học 2011 – 2012, đã điều tra tình hình học toán của học sinh lớp với tổng số 114 học sinh, thì đó có: Xếp loại Số lượng Tỉ lê Giỏi 7% Khá 18 16% Trung bình 43 38% Yếu 31 27% Kém 14 12% Tổng cộng 114 100% III BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Sau đọc một số tài liệu liên quan đến đề tài, sách hướng dẫn và giải các bài tập ở SGK cùng một ít kinh nghiệm giảng dạy xin trình bày một số kinh nghiệm nhỏ để “Dạy học sinh giải một số bài tập chương I – Hình Học bằng nhiều cách” sau: Dần dần tích luỹ cho học sinh các phương pháp chứng minh hình học Một học sinh nắm được nhiều phương pháp chứng minh thì sẽ rất thuận lợi việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán Tôi qui định: mỗi học sinh phải có thêm một quyển vở (vở các phương pháp chứng minh hình học) dùng để ghi tất các phương pháp chứng minh Mỗi trang sẽ ghi các phương pháp chứng minh về một “Chủ đề” nào đó Sau mỗi bài học, nếu có thể rút được phương pháp chứng minh về một chủ đề nào là cho học sinh viết phương pháp ấy vào trang ứng với chủ đề đó Ví dụ: Sau đọc xong bài HÌNH THANG CÂN ta có thể rút thêm các phương pháp chứng minh sau: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng ta có thể sử dụng tính chất của hình thang cân: Trong một hình thang cân: - Hai cạnh bên bằng - Hai đường chéo bằng Để chứng minh hai góc bằng ta có thể sử dụng tính chất của hình thang cân: - Trong một hình thang cân hai góc kề một đáy bằng Để chứng minh một tứ giác là hình thang cân ta có thể chứng minh tứ giác đó là: - Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau; - Hình thang có hai đường chéo bằng Khi học hết chương I – Hình học thì học sinh sẽ tích luỹ được vở các phương pháp chứng minh hình học của mình sau: * CHỨNG MINH CÁC ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp 1: Sử dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau: Trong hai tam giác bằng thì các cạnh tương ứng bằng nhau, các đường trung tuyến, các đường cao, các đường phân giác tương ứng cũng bằng Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tam giác cân - Trong một tam giác cân, hai cạnh bên bằng - Trong một tam giác cân, đường cao (hoặc phân giác) xuất phát từ đỉnh thì cũng là đường trung tuyến của tam giác đó Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của đường trung bình và tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông Trong một tam giác: - Đường trung bình ứng với một cạnh thì bằng một nửa cạnh ấy - Đường thẳng qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì qua trung điểm cạnh thứ ba - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền Phương pháp 4: Sử dụng tính chất của tứ giác đặc biệt: * Trong một hình thang cân: - Hai cạnh bên bằng - Hai đường chéo bằng * Trong một hình bình hành: - Các cạnh đối diện bằng - Các đường chéo cắt tại trung điểm của mỗi đường * Trong một hình chữ nhật: - Các cạnh đối bằng - Các đường chéo bằng và cắt tại trung điểm của mỗi đường * Trong một hình thoi: - Các cạnh bằng - Các đường chéo cắt tại trung điểm của mỗi đường * Trong một hinh vuông: - Các cạnh bằng - Các đường chéo bằng và cắt tại trung điểm của mỗi đường Phương pháp 5: Sử dụng các tính chất của tia phân giác: Một điểm nằm tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc CHỨNG MINH CÁC GÓC BẰNG NHAU Phương pháp 1: Sử dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau: - Trong hai tam giác bằng thì các góc tương ứng bằng Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tam giác cân: - Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng - Trong một tam giác cân, đường cao (hoặc trung tuyến) kẻ từ đỉnh, đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của hai góc có cạnh tương ứng song song (hoặc vuông góc) với nhau: - Hai góc có cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc thì bằng nếu cùng nhọn hoặc cùng tù Phương pháp 4: - Sử dụng tính chất của hai góc phụ nhau, bù nhau: - Hai góc cùng bằng, cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thì bằng Phương pháp 5: Sử dung tính chất của các đường thẳng song song: - Hai đường thẳng song song tạo với một đường thẳng bất kì: + Các góc so le bằng và các so le ngoài bằng + Các góc đồng vị bằng Phương pháp 6: Sử dụng tính chất của tứ giác đặc biệt: - Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy thì bằng - Trong hình bình hành các góc đối bằng CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Phương pháp 1: Sử dụng định lí về sự nhận biết hai đường thẳng song song: - Nếu hai đường thẳng tạo với một một đường thẳng thứ ba: + Các góc so le (so le ngoài) bằng nhau, hoặc + Các góc đồng vị bằng nhau, hoặc + Các góc (hoặc ngoài) cùng phía bù thì chúng song song với Phương pháp 2: Sử dụng hệ quả của định lí về đường thẳng song song: - Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của đường trung bình và hệ quả của tiên đề Ơclit: - Trong một tam giác, đường thẳng qua trung điểm của hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba - Hai đường thẳng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với Phương pháp 4: Sử dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt: - Trong các hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông,hình thoi thì các cạnh đối song song với CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU Phương pháp 1: Sử dụng định lí về các đường phân giác của các góc kề bù nhau: Đường phân giác của hai góc kề và bù thì vuông góc với Phương pháp 2: Sử dụng sự liên hệ giữa hai đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc với chúng: Cho hai đường thẳng song song với nhau, một đường thẳng vuông góc với đường này thì cũng vuông góc với đường Phương pháp 3: Sử dụng định nghĩa của tam giác vuông: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông, tức là có một cặp cạnh ⊥ vuông góc với nhau.Tam giác ABC vuông tại A(AB AC) Chú ý: Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông, ta có thể: - Chỉ nó có hai góc phụ - Chỉ rõ tam giác ấy, đường trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy - Chỉ rõ tam giác ấy thỏa định lý Pitago các hệ quả định lý ấy Phương pháp 4: Sử dụng tính chất của tam giác cân : - Trong một tam giác cân, đường phân giác (hoặc đường trung tuyến) kẻ từ đỉnh đồng thời cũng là đường cao Phương pháp 5: Sử dụng tính chất của trực tâm tam giác: - Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm vậy đường thẳng nối trực tâm với một đỉnh thì vuông góc với cạnh đối diện Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường chéo cùa hình vuông, hình thoi: - Trong một hình vuông hoặc hình thoi, hai đường chéo vuông với CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG Phương pháp 1: Để chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng ta chứng minh: Phương pháp 2: · AOB = 1800 ’ Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh các đường thẳng AB và BC (hoặc AB, AC; hoặc AC, BC ) cùng song song với một đường thẳng Phương pháp 3: Cho một đường thẳng d nếu AH //d và BH //d thì AH A, B, H thẳng hàng ≡ BH hay ba điểm Phương pháp 4: · · AOx = BOx ≡ Nếu và AO, BO nằm cùng phía đối với Ox thì OA OB hay ba điểm A, B, O thẳng hàng Phương pháp 5: Sử dụng một số tính chất của các đường tam giác, tứ giác: - Trong hình bình hành ABCD, các đỉnh đối diện A,C và trung điểm I của đường chéo BD là ba điểm thẳng hàng - Trong một tam giác: một đỉnh bất kì, trọng tâm của tam giác và trung điểm của cạnh đối diện là ba điểm thẳng hàng - Trong một tam giác: một đỉnh bất kì, chân của đường cao thuộc cạnh đối diện và trực tâm là ba điểm thẳng hàng - Những điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm đường trung trực của đoạn thẳng ấy tức là thẳng hàng CHỨNG MINH CÁC ĐƯỞNG THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp 1: Sử dụng các phương pháp ba điểm thẳng hàng Gọi giao điểm của hai ba đường thẳng ấy là I Để chứng minh đường thứ ba qua hai điểm A, B cũng qua I, ta chứng minh ba điểm A, B, I thẳng hàng Phương pháp 2: Sử dụng đồng quy của các đường thẳng tam giác: - Các đường cao đồng quy tại một điểm - Các đường trung tuyến đồng quy tại một điểm - Các đường phân giác đồng quy tại một điểm - Các đường trung trực của các cạnh đồng quy tại một điểm - Sử dụng cách chứng minh gián tiếp CHỨNG MINH TIA PHÂN GIÁC Phương pháp sử dụng định nghĩa của tia phân giác: - Tia phân giác là tia nằm giữa hai cạnh của một góc và hợp với hai cạnh ấy những góc bằng CHỨNG MINH ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Phương pháp sử dụng định nghĩa của đường trung tuyến: - Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là một đỉnh của một tam giác, còn đầu là trung điểm của cạnh đối diện CHỨNG MINH TAM GIÁC CÂN Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa của tam giác cân - Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tam giác cân - Một tam giác cân có hai góc bằng và ngược lại, một tam giác có hai góc bằng là tam giác cân - Trong một tam giác cân, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác kẻ từ đỉnh trùng và ngược lại, một tam giác có đường cao vừa là đường phân giác hoặc là đường trung tuyến là tam giác cân CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐỀU Phương pháp: Sử dụng định nghĩa của tam giác đều - Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tam giác đều - Một tam giác đều có góc bằng nhau, mỗi góc bằng 600 - Do vậy, một tam giác cân có một góc bằng 600 là một tam giác đều CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa của hình thang - Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song - Hình thang cân + Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng + Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng thì nó là hình thang cân CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH BÌNH HÀNH Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa của hình bình hành - Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song Phương pháp 2: Sử dụng dấu hiệu để nhận biết một tứ giác là hình bình hành: - Tứ giác có hai cạnh đối bằng (hay hai cặp góc đối bằng nhau) là hình bình hành - Tứ giác có hai đường chéo cắt tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành - Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng là hình bình hành CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa của hình chữ nhật: - chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông Chú ý: Hình chữ nhật có tất cả các góc đều vuông Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của hình chữ nhật - Trong một hình chữ nhật, tất cả các góc đều vuông Do vậy để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, ta chỉ cần chứng minh nó có góc vuông - Nếu hình bình hành có hai đường chéo bằng thì nó là hình chữ - nhật ... chương I - Hình học 8, rất nhiều bài tập có thể giải bằng nhiều cách, ví như: Bài tập Trang/(SGK) Số cách giải 15/a 75 17 75 25 80 44 92 45 92 47 93 48 93 61 98 … II.THỰC TRẠNG... với tổng số 114 học sinh, thì đó có: Xếp loại Số lượng Tỉ lê Giỏi 7% Khá 18 16% Trung bình 43 38% Yếu 31 27% Kém 14 12% Tổng cộng 114 100% III BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Sau đọc... tài, sách hướng dẫn và giải các bài tập ở SGK cùng một ít kinh nghiệm giảng dạy xin trình bày một số kinh nghiệm nhỏ để “Dạy học sinh giải một số bài tập chương I