II. Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử . Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng. Ví dụ: Rút gọn biểu thức: Giải : Ta có Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; 5 Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là 1 ; 3 ; 4;5 Do đó Ví dụ 2 :Rút gọn biểu thức Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm là 1; mẫu thức cũng có nghiệm là 1 ;nên ta có = = .Ta thấy cả tử và mẫu đều không phân tích được nữa. Dạng 2 : Chứng minh chia hết
PHÒNG GD & ĐT Trường: THCS Sáng kiến kinh nghiệm PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG Họ tên: Giới tính: Dân tộc: Ngày tháng năm sinh: Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS Bàu Cạn, Tháng … năm 20 II Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A x x 19 x 106 x 120 x x x 67 x 60 Giải : Ta có A x x 19 x 106 x 120 x x x 67 x 60 Ta thấy tử thức phân thức có nghiệm 2; ; ; -5 Mẫu thức phân thức có nghiệm -1 ; ; -4;-5 Do A x x 19 x 106 x 120 x x x 67 x 60 A ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) ( x 1)( x 3)( x 4)( x 5) A ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) Ví dụ :Rút gọn biểu thức B x 3x xx Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm 1; mẫu thức có nghiệm ;nên ta có B x 3x x x x x 4x x x = x x 2x 2x 2x xx4 = x x Ta thấy tử mẫu khơng phân tích Dạng : Chứng minh chia hết Để giải toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải tơi trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6) Giải: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11 (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6) Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết cho Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 thừa số (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + + 5) (4x + - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = (x + 2) (2x - 1) = (x + 2) (2x - 1) Do x số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) số nguyên Do (x + 2) (2x - 1) chia hết cho Ta suy ĐPCM Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + - 25 = 16x2 + 24x - 16 = (2x2 + 3x - 2) Vì x số nguyên nên 2x2 + 3x - số nguyên Do (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ĐPCM Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên n biểu thức n n2 n3 A= số nguyên n n n 2n n Ta có: Muốn chứng minh biểu thức số nguyên cần chứng minh 2n + 3n + n3 chia hết cho với số nguyên n Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2) Ta thấy n (n + 1) (n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho thừa số chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên tích chia hết cho n n2 n3 Vậy số nguyên n biểu thức A= số nguyên Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho đa thức x 16 + x15 + + x2 + x + Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia sau: x50 + x49 + + x2 + x + = (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + = (x34) (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x16 +x2 + x + = (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho x 16 + x15 + x + Kết phép chia : x34 + x17 + Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c.Dự đốn đa thức A phân tích thành nhân tử có nhân tử a + b + c Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 - acb - b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B ? Ví dụ 6: 1 1 Cho a b c a b c 1 1 n n n n n n CMR: a b c a b c với n lẻ 1 1 bc ac ab abc a bc Ta có: a b c a b c => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = => bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = -> (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = => a = - b + c = => b = - c Hoặc a + c = => a = - c Vì n lẻ nên a2 = -bn bn = - c2 an = - cn Thay vào ta suy điều phải chứng minh Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương trình a) Giải phương trình nghiệm ngun Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > => 3x + 4y > 7; x + 2y > Ta có hệ phương trình sau: x + 2y = x + 2y = (I) 3x + 4y = 24 3x + 4y = 16 x + 2y = x + 2y = 12 (III) 3x + 4y = 12 3x + 4y = Giải hệ (I) ta x = 16; y = - (Loại) Giải hệ (II) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (III) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (IV) ta x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm hệ x = 4; y = Vậy nghiệm phương trình: x= 4; y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x3 + xy - = => 2x3 + xy = => x (2x2 + y) = => Hoặc Hoặc Hoặc x=1 2x2 + y = (II) x=1 => x=7 y=5 => 2x2 + y =1 x=-1 y = - 97 => 2x2 + y =-7 x=-7 2x2 + y = - x=7 x=-1 y-9 => x=-7 y = -99 Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > thỏa mãn x3 + y = y3 + 7x => x3 - y3 - 7x + 7y = => (x - y)3 (x2 + xy + y2) - (x - y) = => (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = => x2 + xy + y2 - = => x2 - 2xy + y2 = - 3xy Vì x > y > (IV) => (x - y)2 = - 3xy => - 3xy > => 3xy < => xy < x.y => x = 2; y = b) Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình ( 3x - )2 -( x - )2 = Giải: Ta có: ( 3x - )2 -( x - )2 = ( 3x - + x - )(3x - - x + 1) = ( 4x - 6)(2x - 4) = 4x - = x = 3/2 2x - = x = Vậy nghiệm phương trình cho x =3/2 x = Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + = Giải : Ta có x3 + 3x2 + 4x + = x3 + x2 +2x2 +2x +2x + = x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2) = (x + 1) = => x = -1 (x2 + 2x + 2) = khơng có giá trị x Q Vậy nghiệm phương trình cho x = -1 III - Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) x3 - 4x2 + 8x - 2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz 3) x2 + 7x + 10 4) y2 + y - 5) n4 - 5n2 + 6) 15x3 + x2 - 2n 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 13) Tính nhanh số trị biểu thức sau với a) x = - b) a = 5,75; P = (x+ 2)2 - (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2 b = 4,25 Q = a3 - a2b - ab2 + b3 14) CMR biểu thức (2n + 3)2 - chia hết cho với n nguyên n n2 n3 15) CM biểu thức 12 24 số nguyên với số chẵn n 16) Chứng minh đa thức: x79 + x78 + + x2 + x+ chia hết cho đa thức x19 + x18 + + x2 + x + C - KẾT LUẬN: Trên đưa suy nghĩ mà giảng dạy "PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH MHÂN TỬ VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG" cho bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Tôi tự nghiên cứu cho học sinh áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết cao Hầu hết học sinh nắm kiến thức yêu thích học kiến thức Xin giới thiệu với bạn đọc, em học sinh , bậc cha mẹ học sinh tham khảo, góp phần nhỏ vào lực giải tốn tri thức tốn học mình.Rất mong bạn đọc tham khảo góp ý cho tơi để nội dung phong phú hoàn thiện hơn./ Người thực hiện: TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Một số vấn đề đổi phơng pháp dạy học mơn tốn trường THCS 2) Sách hướng dẫn giảng dạy mơn tốn lớp 3) Sách giáo khoa toán 4) Tài liệu Bồi dưỡng thường xun mơn tốn chu kỳ 2004-2007 5) Tốn nâng cao chuyên đề Đại Số MỤC LỤC N ỘI DUNG I MỞ ĐẦU 1) Lí chọn đề tài SKKN 2) Lịch sử SKKN 3) Mục đích nghiên cứu: 4) Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu: 5) Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu: B - NỘI DUNG ĐỀ TÀI: I Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: II Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử III - Bài tập: C - KẾT LUẬN: TÀI LIỆU THAM KHẢO TRANG 1 2 2 11 16 18 19 ... (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11 (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) (x2 + 8x +10)(x +2)(x +... phương trình 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 - 1.96 = 2. 48 = 3.32 = 4.24 = 8. 12 = 6.16 Mà x, y... - c2 an = - cn Thay vào ta suy điều phải chứng minh Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương trình a) Giải phương trình nghiệm ngun Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun dương