Mẫu ising và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỒNG MINH SƠN HUYỀN TRANG MẪU ISING VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỒNG MINH SƠN HUYỀN TRANG MẪU ISING VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Mã Số : 60.44.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Bạch Hƣơng Giang GS TS Bạch Thành Công Hà Nội – 2016 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS TS Bạch Thành Công TS Bạch Hƣơng Giang – hai người Thầy tận tâm dành nhiều thời gian, tâm huyết hướng dẫn tơi suốt q trình làm luận văn để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban lãnh đạo trường, thầy cô khoa Vật lý, thầy cô giáo môn Vật lý chất rắn, phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN, phịng thí nghiệm tính tốn KHVL đề tài NAFOSTED 103.01.2015.92 hỗ trợ, tạo điều kiện thuận lợi để tơi tham gia nghiên cứu thực luận văn Sau cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp bên động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến tất người! Mặc dù tơi cố gắng để hồn thành luận văn, hạn chế thời gian, kinh nghiệm kiến thức nên khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận thông cảm ý kiến đóng góp thầy cơ, anh chị bạn để tơi có điều kiện bổ sung, nâng cao kiến thức Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Đồng Minh Sơn Huyền Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU 1.1 Mẫu Ising hai trạng thái (S = 1/2) 1.2 Lý thuyết chuyển pha Landau 1.2.1 Lý thuyết chuyển pha Landau khơng có trường ngồi 1.2.2 Lý thuyết chuyển pha Landau có trường ngồi 13 1.3 Lý thuyết trường trung bình cho mẫu Ising spin -1/2 trường dọc 18 CHƢƠNG 2: ÁP DỤNG MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU CHO MÀNG MỎNG CÓ TRẬT TỰ XA 24 2.1 Mẫu Ising cho màng mỏng có trật tự xa, lời giải lý thuyết trường trung bình 24 2.2 Phương trình xác định điểm Curie cho màng mỏng trật tự lý thuyết trường trung bình 31 2.3 Khai triển Landau cho màng mỏng có trật tự mơ tả mơ hình Ising 36 2.4 Nhiệt dung đẳng tích cho màng mỏng 40 2.5 Tính tốn số cho màng mỏng đơn lớp có trật tự 41 2.5.1 Phương trình xác định phụ thuộc vào nhiệt độ tham số trật tự 41 2.5.2 Phương trình xác định nhiệt dung cho màng mỏng đơn lớp có trật tự 42 CHƢƠNG 3: TÍNH TỐN MONTE – CARLO CHO MẪU ISING 2D (MÀNG MỎNG MỘT LỚP) 46 3.1 Phương pháp Monte – Carlo 46 3.1.1 Lý thuyết Monte – Carlo cổ điển 46 3.1.2 Thuật toán Metropolis 47 3.2 Mô Monte – Carlo áp dụng cho mẫu Ising 2D (màng mỏng lớp) 48 3.2.1 Mô Monte – Carlo áp dụng cho mẫu Ising 2D 48 3.2.2 Kết mô Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D 50 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1: Đường biểu diễn phụ thuộc lượng tự không thứ nguyên f theo tham số trật tự không thứ nguyên  với giá trị khác tham số  Hình 1.2: Đường biểu diễn phụ thuộc tham số trật tự khơng thứ ngun ξ theo từ trường ngồi h với tham số α = 0.1, sgn(B) = -1 Hình 2.1: Mơ hình màng mỏng có trật tự xa Hình 2.2: Đường biểu diễn phụ thuộc nhiệt độ Curie ‫ح‬C  k BTC JS vào số lớp màng n Hình 2.3: Đồ thị so sánh kết lý thuyết trường trung bình thực nghiệm phụ thuộc nhiệt độ Curie sắt điện perovskite PbTiO3 vào độ dày màng mỏng Hình 2.4: Đường biểu diễn phụ thuộc momen từ nút mạng m vào nhiệt độ không thứ nguyên ‫ ح‬ kBT J Hình 2.5: Đường biểu diễn phụ thuộc nhiệt dung (trong đơn vị k B ) vào nhiệt độ tỷ đối ‫ ح‬ kBT J Hình 3.1: Mơ hình mẫu Ising hai chiều Hình 3.2: Đường biểu diễn độ phân cực spin nút mạng mẫu Ising theo nhiệt độ không thứ nguyên với kích thước mảng khác trường hợp khơng có trường ngồi Hình 3.3: Đường biểu diễn nhiệt dung tính nút mạng mẫu Ising theo nhiệt độ khơng thứ ngun với kích thước mảng khác trường hợp khơng có trường ngồi Mẫu Ising số ứng dụng MỞ ĐẦU Mẫu Ising mơ hình tốn học đơn giản mơ tả tượng học thống kê ([16], [8]) Mục đích ban đầu mẫu Ising, chủ đề luận án tiến sĩ Ising giải thích cấu trúc tính chất chất sắt từ Ở đây, Ising cố gắng giải thích số liệu thực nghiệm quan sát vật liệu sắt từ cách sử dụng mơ hình người thầy Lenz đề xuất năm 1920 Kể từ mẫu Ising cho phép đơn giản hóa tương tác phức tạp ứng dụng thành công lĩnh vực khoa học Thống kê cho thấy khoảng năm từ 1969 đến 1997 có 12.000 báo mẫu Ising công bố, số tăng khơng ngừng Có thể kể đến biến thể mẫu Ising giúp hiểu chất sâu xa nhiều tượng lý sinh đường cong bão hòa Hemoglobin, tốc độ phản ứng ban đầu enzyme allosteric hay mơ hình mạng thần kinh đặc trưng quan trọng màng lipid Ngoài mơ hình Ising cịn ứng dụng lĩnh vực khác kinh tế học (nghiên cứu ảnh hưởng kinh tế - xã hội đến số kinh doanh, phân tích chuỗi thời gian tài thị trường kinh doanh), xã hội học (hành vi xã hội cá nhân thay đổi để phù hợp với hành vi cá nhân khác vùng lân cận họ) hay ngôn ngữ học (sự thay đổi ngôn ngữ), … Đối với ngành Vật lý, nhiều thập kỷ qua, mẫu Ising chủ yếu áp dụng để nghiên cứu vật liệu từ Gần đây, phát triển kỹ thuật màng mỏng mở nhiều hướng nghiên cứu mẫu Ising hai chiều [8], mẫu Ising cho màng mỏng sắt điện sắt từ trường [12] Những hướng nghiên cứu thu hút nhà vật lý lý thuyết vật lý thực nghiệm Về mặt lý thuyết giúp xác định tính chất vĩ mơ hệ vật chất Về mặt thực nghiệm, ứng dụng nhiều lĩnh vực công nghệ khác nhau, chẳng hạn lưu trữ liệu, xúc tác, điện tử, tạo bước ngoặt lớn tiến khoa học công nghệ Luận văn Thạc sỹ Mẫu Ising số ứng dụng Trong luận văn này, tơi tiếp tục nghiên cứu phát triển mơ hình Ising mặt lý thuyết, ứng dụng việc khảo sát tham số nhiệt động mẫu Ising chiều, mẫu Ising trường dọc, cho màng mỏng có trật tự so sánh kết lý thuyết với thực nghiệm cho điểm Curie màng mỏng sắt điện Các tính tốn thực gần phương pháp trường trung bình lý thuyết Landau cho mẫu Ising đồng thời so sánh với kết dựa phương pháp Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D (màng mỏng lớp) Phƣơng pháp nghiên cứu - Dựa mơ hình Ising lý thuyết trường trung bình, lý thuyết chuyển pha Landau thực bước biến đổi giải tích theo học thống kê để xây dựng biểu thức cho lượng tự do, độ từ hóa nhiệt dung hệ spin đặc trưng cho hệ có trật tự xa, khảo sát tượng chuyển pha xảy hệ không có trường ngồi tác dụng Từ sử dụng phần mềm hỗ trợ tính tốn số thu kết áp dụng để phân tích kết thực nghiệm khác cho đại lượng nhiệt động tương ứng - Sử dụng phương pháp Monte – Carlo áp dụng cho số trường hợp màng lớp (mẫu 2D) có trật tự xa để so sánh với phương pháp giải tích gần trường trung bình Cấu trúc luận văn Bên cạnh phần mục lục mở đầu, cấu trúc luận văn gồm ba phần sau: Chương 1: Mẫu Ising lý thuyết chuyển pha Landau Chương 2: Áp dụng mẫu Ising lý thuyết chuyển pha Landau cho màng mỏng có trật tự xa Chương 3: Tính tốn Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D (màng mỏng lớp) Kết luận Luận văn Thạc sỹ Mẫu Ising số ứng dụng CHƢƠNG 1: MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU 1.1 Mẫu Ising hai trạng thái (S = 1/2) Vào năm 1925, Ernest Ising đưa lời giải xác cho mơ hình Ising chiều để mô tả tượng sắt từ nghiên cứu ông bị bác bỏ gần hai thập kỷ Đến năm 1944, Lars Onsager đưa lời giải xác cho mơ hình Ising hai chiều tìm điểm chuyển pha sắt từ - thuận từ nghiên cứu cơng nhận [6] Từ đây, mẫu Ising có vị trí bật học thống kê hướng nghiên cứu mẫu mở rộng theo nhiều hướng đa dạng Trong lý thuyết sắt từ, tính sắt từ hệ biểu tập hợp spin nguyên tử hệ xếp cho momen từ chúng hướng, làm cho momen từ tổng hợp hệ có độ lớn khác khơng [3] Mơ hình Ising cách biểu diễn lý thuyết đơn giản cho tượng sắt từ, nhiên dùng để mơ tả hệ có trật tự khác trật tự sắt từ, sắt điện, hợp kim có trật tự,… Xuất phát tốn học mẫu Ising: Coi nút mạng có spin σi có hai định hướng lên (spin up σi = +1) xuống (spin down σi = -1) Đối với vật liệu có trật tự khác nhau, spin đặc trưng cho độ phân cực từ (vật liệu từ) hay độ phân cực điện (vật liệu sắt điện) hay tỷ số nồng độ thành phần hợp kim đôi trật tự Năng lượng tương tác spin mơ tả Hamilton tương tác: µ= H  Jik σi σk - h  ik  Trong đó:  N  i 1 i (1.1) : tổng theo giá trị i ≠ k  ik  Jik: tham số lượng tương tác trao đổi spin nút mạng i k (i; k = 1, 2, …, N số nút mạng hay số spin) Ở đây, cặp i, k tính lần h ký hiệu trường dọc Luận văn Thạc sỹ Mẫu Ising số ứng dụng Trong phần ta phân tích cụ thể cho trường hợp sắt từ áp dụng cho vật liệu có trật tự khác Vì Jik tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách: Jik ~ Rik2 (với Rik khoảng cách spin σi σk) nên ta cho Jik đáng kể với lân cận gần Jik = J i, k lân cận gần cho trường hợp khác (1.2) Nếu J > trạng thái spin xếp song song, tương tác tương tác sắt từ Nếu J < trạng thái spin đối song song, tương tác tương tác phản sắt từ Năng lượng tương tác trao đổi số hạng thứ (1.1) gần lân cận gần là: Eexc = - J  σi σk (1.3)  ik  ( Eexc viết tắt lượng tương tác trao đổi) Momen từ tổng cộng mẫu (đo đơn vị magneton Bohr) là: N M=  i 1 i (1.4) Độ từ hóa nút mạng tính theo cơng thức: m= M N (1.5) Biểu thức lượng tự do: Luận văn Thạc sỹ Mẫu Ising số ứng dụng F  kBT ln Z (1.6.a)  H  Với: Z  Tr  e   ;   kBT   (1.6.b) 1.2 Lý thuyết chuyển pha Landau 1.2.1 Lý thuyết chuyển pha Landau khơng có trường ngồi Lý thuyết chuyển pha Landau lý thuyết tượng luận cho chuyển pha trật tự trật tự tham số trật tự  pha trật tự khác không khơng pha trật tự Gần điểm chuyển pha TC (điểm Curie) tham số trật tự bé ta có khai triển lượng tự vào chuỗi Taylor theo bậc bé  [5] Biểu thức lượng tự Landau gần điểm chuyển pha có dạng: F = a(T – TC) 𝜂2 +β 𝜂4 +… (1.7) (ở đây, η tham số trật tự độ từ hóa trung bình, trật tự xa, mật độ dòng siêu lỏng mật độ dòng siêu dẫn) Giá trị cân tham số trật tự ứng với cực tiểu lượng tự tìm từ điều kiện : F 0  a T  TC     Hay : Phương trình có hai nghiệm là:  η=0  η = a(TC  T) Luận văn Thạc sỹ  ứng với pha không trật tự T > TC (1.8.a) ứng với pha trật tự T < TC (1.8.b) Mẫu Ising số ứng dụng    2    B '   B    S       S     n   2    (2.36) Biểu thức (2.36) cơng thức chung cho nhiệt dung đẳng tích màng mỏng spin gồm n lớp 2.5 Tính tốn số cho màng mỏng đơn lớp có trật tự 2.5.1 Phương trình xác định phụ thuộc vào nhiệt độ tham số trật tự Độ từ hóa màng mỏng từ tính lớp (xem cơng thức 2.13): m = BS(α)  1   m  cth  S   S    cth  2 2  Với:      h   (2.37)    J ' (0) m  =   h  J   m        11  (2.38) Trong trường hợp khơng có trường ngồi tác dụng (h = 0)   4J  m cho mạng spin vuông Thế α vào biểu thức (2.37) ta thu biểu thức độ từ hóa tính cho màng mỏng lớp sau:  1   1   4J  m  m   S   cth  S   J  m   cth     2     Hay:   2m  1  4m   m   S   cth  S      cth  2  kBT J     k BT J  Đặt ‫ = ح‬kBT J nhiệt độ khơng thứ ngun đo đơn vị tích phân trao đổi J lân cận gần ta thu phương trình momen từ tính nút mạng cho màng mỏng lớp sau: Luận văn Thạc sỹ 40 Mẫu Ising số ứng dụng   2m  1  4m   m   S   cth  S    cth    2 2 ‫ ح‬    ‫ ح‬ (2.39) Hình 2.4: Đường biểu diễn phụ thuộc momen từ nút mạng m vào nhiệt độ không thứ ngun ‫ ح‬ kBT J Hình 2.4 mơ tả phụ thuộc momen từ tính nút mạng vào nhiệt độ không thứ nguyên cho trường hợp S = S =1/2 Độ lớn momen từ tăng theo S giảm theo nhiệt độ 2.5.2 Phương trình xác định nhiệt dung cho màng mỏng đơn lớp có trật tự m  m1  m uur J ' (0)  J11 (0)   J11 ( R j )  J (2.40) Rj Khi đó: Luận văn Thạc sỹ 41 Mẫu Ising số ứng dụng 2  2m  CV   2   m        J  m      B 'S       2 BS     BS    kB              (2.41) Đạo hàm bậc bậc hai  (2.32) tính sau:  Jm J m        2 Jm J m J  m          Chú ý rằng: m       B               ' S Từ biểu thức (2.41) suy ra:  2m CV  m    m m     m      2m    JkB           2  4J  m  Jm J m   Jm J m J  m    m                      Khai triển rút gọn biểu thức ta được: CV m  m Jk B  (2.42) Biểu thức (2.42) cơng thức tính nhiệt dung màng mỏng lớp đơn vị JkB Đưa vào nhiệt độ không thứ nguyên ‫ ح‬ta được: CV m  kT  m với ‫ ح‬  B 4k B ‫ح‬ J J )2.43( Tính đạo hàm momen từ tính nút spin theo biểu thức (2.39) ta được: Luận văn Thạc sỹ 42 Mẫu Ising số ứng dụng     1  4 S       2  1     1   ‫ ح‬  2m   4m   2   sh  ‫ ح‬ sh  S   ‫ ح‬    m m             ‫ ح ح‬ 1  4 S       1 2      1 m    ‫ح‬     m  sh  S   sh      ‫ ح‬    ‫ ح‬   (2.44) Do biểu thức cuối cho nhiệt dung màng mỏng lớp đo đơn vị 4k B là:      CV m   m  4k B ‫ ح‬  1   ‫ح‬         m  1    ‫ح‬ 1   4 S      2      4m  2 2m   sh  sh  S   ‫ح‬   ‫ح‬      (2.45) Tính phụ thuộc m(‫ )ح‬theo biểu thức (2.39) đặt vào (2.45) ta phụ thuộc nhiệt dung vào nhiệt độ không thứ nguyên ‫ح‬ Luận văn Thạc sỹ 43 Mẫu Ising số ứng dụng Hình 2.5: Đường biểu diễn phụ thuộc nhiệt dung (trong đơn vị k B ) vào nhiệt độ tỷ đối ‫ ح‬ kBT J Hình 2.5 biểu diễn phụ thuộc nhiệt dung vào nhiệt độ tỷ đối cho màng mỏng trật tự đơn lớp theo lý thuyết trường trung bình Nhiệt dung có kỳ dị điểm chuyển pha độ lớn nhiệt dung tăng theo spin S Luận văn Thạc sỹ 44 Mẫu Ising số ứng dụng CHƢƠNG 3: TÍNH TỐN MONTE – CARLO CHO MẪU ISING 2D 3.1 Phƣơng pháp Monte – Carlo Phương pháp Monte – Carlo phương pháp tính tốn số Tên gọi phương pháp đặt theo tên theo sòng bạc tiếng Monaco Phương pháp Monte – Carlo đánh giá cơng cụ tính tốn mạnh, áp dụng cho nhiều tượng vật lý khác [14] Trong phần tính tốn Monte – Carlo cho màng mỏng trật tự đơn lớp thực nhằm so sánh với lý thuyết trường trung bình trình bày chương trước 3.1.1 Lý thuyết Monte-Carlo cổ điển Giả sử ta cần xác định giá trị trung bình đại lượng A khơng gian N chiều:  A (i , i , , i )W(i , i , , i ) = Z-1  N N i i i Z= . W ( i1, i2, , iN)  i i (3.1) N (3.2) iN Ở hàm A W tùy ý, ν số cấu hình tập hợp tất tổng theo số 𝜈  { i1, i2, , iN} Ta giả sử W có giá trị dương xác định tổ hợp p(ν) = W(i1 , i2 , , iN ) có ý nghĩa Z trọng số cấu hình dương chuẩn hóa 1(tài liệu [2]) Biểu thức cho giá trị trung bình coi trung bình đại lượng Aν theo tồn cấu hình có cấu hình có xác suất p(ν) Như vậy: = Luận văn Thạc sỹ A( )W( )   W( )   (3.3) 45 Mẫu Ising số ứng dụng Nếu tất trạng thái hệ đặc trưng số ν lượng hệ biểu thị Eν xác suất trạng thái xuất trạng thái ν cân cho phân bố chuẩn Gibbs [11]: p   = e  E Z Z tổng thống kê 3.1.2 Thuật toán Metropolis Thuật toán Metropolis sử dụng rộng rãi để tính giá trị trung bình đại lượng tuân theo phân bố thống kê Thuật tốn mơ tả sau: Giả sử ta có khơng gian N chiều chứa tập hợp điểm biến X với mật độ xác suất W(x) Thuật toán Metropolis tạo chuỗi số điểm X0, X1, … rà soát bước nhảy ngẫu nhiên không gian X Quy luật bước nhảy ngẫu nhiên sau: cho bước nhảy Xn, Xn+1 Bây ta xem xét khả xảy bước nhảy với điểm Xt Bước nhảy có chấp nhận hay khơng phụ thuộc vào tỉ lệ xác suất: r= W(Xt ) W(X n ) - Nếu r > bước nhảy chấp nhận, ta đặt Xn+1 = Xt - Nếu r < 1, bước nhảy chấp nhận với xác suất r Lúc ta so sánh r với số ngẫu nhiên η phân bố chuẩn + Nếu r > η: bước nhảy chấp nhận + Nếu r < η: bước nhảy bị loại bỏ Lúc ta đặt Xn+1 = Xn Tiếp tục vậy, ta xây dựng giá trị Xn+2 cách sử dụng bước nhảy ngẫu nhiên từ Xn+1 (tài liệu [1]) Luận văn Thạc sỹ 46 Mẫu Ising số ứng dụng 3.2 Mô Monte - Carlo áp dụng cho mẫu Ising 2D (màng mỏng lớp) 3.2.1 Mô Monte - Carlo áp dụng cho mẫu Ising 2D Xét mảng vng hai chiều hình 3.1 L L Hình 3.1: Mơ hình mẫu Ising chiều Đặt L kích thước mảng, có N = L2 spin có mảng Thuật tốn Metropolis áp dụng cho mơ hình Ising mơ tả theo bước sau: - Khởi tạo cấu hình mạng spin ban đầu, chọn ngẫu nhiên spin mạng để xem xét q trình lật spin Với spin ta tính độ thay đổi lượng  E hệ + Nếu  E < cho phép lật spin  E + Nếu  E > spin đảo ngược với xác suất p = e , với β số Boltzmann Do ta gieo số ngẫu nhiên r khoảng [0,1] Nếu r < p, cho phép lật spin Nếu r > p, giữ nguyên cấu hình spin Luận văn Thạc sỹ 47 Mẫu Ising số ứng dụng - Lặp lại trình nhiều lần đạt đến cân nhiệt (tài liệu [9],[10]) Sau đây, ta kiểm tra tính đắn thuật tốn Ta xét spin nguyên tử thứ i, giả sử spin đảo ngược làm cho hệ chuyển từ trạng thái A (với mức lượng EA) sang trạng thái B (với mức lượng EB) Ta giả thiết EA < EB Áp dụng thuật toán trên, xác suất để hệ chuyển từ trạng thái A sang trạng thái B là: pA→B = e   (E B  EA ) (3.4) Trong đó, xác suất để hệ chuyển từ trạng thái B sang trạng thái A là: pB→A = (3.5) Nguyên lý cân (principle of detailed balance) rằng: cân nhiệt, tốc độ hệ chuyển từ trạng thái A sang trạng thái B với tốc độ mà hệ chuyển trạng thái theo chiều ngược lại Tức là: pA pA→B = pB pB→Atro đó, pA xác suất để hệ tồn trạng thái A, pB xác suất để hệ tồn trạng thái B Biến đổi phương trình ta thu được: pB p = A B = pA pB  A e  (EB  EA ) Điều thống với phân bố Boltzmann Do tính đắn thuật tốn kiểm chứng [5] Ta thấy rằng, ngoại trừ nguyên tử biên, nguyên tử bên mảng có bốn nguyên tử lân cận gần Để loại bỏ ngoại lệ ta đưa vào điều Luận văn Thạc sỹ 48 Mẫu Ising số ứng dụng kiện biên tuần hoàn Điều kiện đồng biên hai phía đối diện mảng, mảng trải mặt hình vịng xuyến 3.2.2 Kết mơ Monte-Carlo cho mẫu Ising 2D (màng lớp) Hình 3.2: Đường biểu diễn độ phân cực spin nút mạng mẫu Ising theo nhiệt độ khơng thứ ngun với kích thước mảng khác trường hợp khơng có trường Luận văn Thạc sỹ 49 Mẫu Ising số ứng dụng Hình 3.3: Đường biểu diễn nhiệt dung tính nút mạng mẫu Ising theo nhiệt độ khơng thứ ngun với kích thước mảng khác trường hợp khơng có trường ngồi Các hình 3.2 3.3 biểu diễn độ từ hóa m nhiệt dung đẳng tích CV theo nhiệt độ với kích thước mảng khác từ L = 64, 128 đến 256 trường hợp khơng có từ trường ngồi Trong trường hợp mô Monte – Carlo lặp lại 12000 lần 4500 lần bị bỏ ước tính VE hệ đạt trạng thái cân nhiệt Ta nhận thấy đường cong biểu diễn độ phân cực m phụ thuộc vào nhiệt độ theo mô Monte – Carlo phù hợp với kết ước tính phương pháp trường trung bình Nhiệt độ tới hạn cỡ 1.1363 với mẫu 64x64 nguyên tử, 1.1363 với mẫu 128x128 nguyên tử 1.1350 với mẫu 256x256 nguyên tử Điều thống với lời giải xác Onsager cho mơ hình hai chiều [13] Ơng tìm giá trị nhiệt độ tới Luận văn Thạc sỹ 50 Mẫu Ising số ứng dụng hạn ‫ ح‬C   ln    1.1346 Khi kích thước mảng tăng lên kết thu gần với lý thuyết Ta thấy chiều cao đỉnh đường cong nhiệt dung T  TC tăng dần theo kích thước mảng Tại điểm chuyển pha, độ phân cực m giảm 0, đồng thời nhiệt dung đạt giá trị cực đại Đây chuyển pha loại hai So sánh đồ thị phụ thuộc độ từ hóa tỷ đối (hay độ phân cực tỷ đối) tính theo lý thuyết trường trung bình (Hình 2.4) phương pháp Monte – Carlo (Hình 3.2) nhiệt dung (Hình 2.5) hình 3.3 ta thấy: phương pháp Monte – Carlo mô tả tham số trật tự m, Cv tốt so với lý thuyết trường trung bình tính tới trật tự gần điểm Curie Trường trung bình khơng tính tới trật tự gần điểm Curie m Cv khơng T  TC , điều chưa phù hợp với thực nghiệm Tuy nhiên biểu thức nhận lý thuyết trường trung bình thuận   1 tiện cho trường hợp spin tùy ý  S   Điều khó phương pháp Monte –  Carlo khối lượng tính tốn tăng lên nhiều Luận văn Thạc sỹ 51 Mẫu Ising số ứng dụng KẾT LUẬN Luận văn khảo sát mẫu Ising để tính tốn số đại lượng nhiệt động học màng mỏng có trật tự xa thu số kết sau: Nhận biểu thức lượng tự cho màng mỏng có trật tự với độ dày tùy ý gần trường trung bình, lý thuyết Landau với hệ số khai triển Landau rút từ mô hình Ising Sử dụng mơ hình Ising nhận biểu thức cho phương trình xác định độ phân cực, nhiệt dung tính nút mạng, phương trình xác định điểm chuyển pha loại hai (điểm Curie) cho màng mỏng có trật tự xa lý thuyết trường trung bình Đã tính tốn số minh họa cho phụ thuộc vào nhiệt độ tham số trật tự, nhiệt dung cho màng mỏng đơn lớp theo lý thuyết trường trung bình so sánh với kết tính phương pháp Monte – Carlo cho mơ hình Ising Kết cho thấy hai phương pháp mô tả tốt tính chất nhiệt động điểm Curie phương pháp Monte – Carlo ưu việt điểm Curie tính trật tự gần Tính toán so sánh kết lý thuyết trường trung bình thực nghiệm phụ thuộc nhiệt độ Curie sắt điện perovskite PbTiO3 vào độ dày màng mỏng cho phù hợp tương đối tốt Luận văn Thạc sỹ 52 Mẫu Ising số ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO A- Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Kim Oanh, luận văn Thạc sĩ khoa học “Mơ hình Ising ứng dụng cho chất sắt từ”, ĐH Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, 2014 B- Tài liệu tiếng Anh [2] Clarendon Press, Statistical Mechanics of Phase Transitions, Oxford,1992 [3] C Kittel, Introduction to Solid State physics, chapter 16, eighth edition, John Wiley & Sons, Inc 2005 [4] Dillon D Fong, G Brien Stephenson, Stephen K Streiffer, Jeffrey A Eastman, Orlando Auciello, Paul H Fuoss, Carol Thompson , Science 304 (2004) 1650 [5] D K Khudier, Nabeil A Fawaz, Two dimensional Ising model application with Monte Carlo method (2013) [6] J A Krumhansl, Solid State communication 84 (1992) 251 [7] J Borowska, L Lacinska, Jour of Appl Math Comput Mech 14 (2015) 11 [8] J Strecka, M Jascur, Acta physica slovaca 65 (2015) 235 [9] K Binder and D W Heermann, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics, Springer, Berlin, 1997 [10] M Hjorth Jensen, Computational physics, University of Oslo, 2003 [11] N Metropolis, A W Rosenbluth, M N Rosenbluth, A H Teller and E Teller, Journal of Chemical Physics, 1953 [12] Nguyen Tu Niem, Bach Huong Giang, Bach Thanh Cong, Journal of Science: Advanced Materials and Devices (2016) 531 Luận văn Thạc sỹ 53 Mẫu Ising số ứng dụng [13] Onsager Lars, Physical Review, Series II, 65 (3–4): 117–149, (1944) [14] Sergio A Cannas, Pablo M Gleiser, Francisco A Tamarit, Two dimentional Ising model with long-range competing interactions, Transworld Research Network 2004 [15] S V Tyablikov, Method in the quantum theory of magnerism, Plenumpress NewYork 1967 [16] W Nolting, A Ramakanth, Quantum theory of Magnetism, Springer 2009 Luận văn Thạc sỹ 54 ... khơng có trường ngồi Mẫu Ising số ứng dụng MỞ ĐẦU Mẫu Ising mơ hình tốn học đơn giản mơ tả tượng học thống kê ([16], [8]) Mục đích ban đầu mẫu Ising, chủ đề luận án tiến sĩ Ising giải thích cấu... 2: Áp dụng mẫu Ising lý thuyết chuyển pha Landau cho màng mỏng có trật tự xa Chương 3: Tính tốn Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D (màng mỏng lớp) Kết luận Luận văn Thạc sỹ Mẫu Ising số ứng dụng CHƢƠNG... A4 > Và theo lý thuyết điểm chuyển pha spin Ising -1/2 giá trị nhiệt độ chuyển pha phụ thuộc vào số phối vị q độ lớn tích phân trao đổi J spin (S = 1/2) Luận văn Thạc sỹ 22 Mẫu Ising số ứng dụng