Mẫu ising và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỒNG MINH SƠN HUYỀN TRANG MẪU ISING VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Mã số: 60.44.01.04 HÀ NỘI - 2016 Công trình đƣợc hoàn thành tại: Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Bạch Hƣơng Giang GS TS Bạch Thành Công Phản biện 1: TS Phạm Ngọc Anh Huy Phản biện 2: TS Nguyễn Tiến Cường Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ tại: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Thư viện Đại học Quốc gia Hà Nội TÓM TẮT LUẬN VĂN MẪU ISING VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Mẫu Ising mô hình toán học đơn giản mô tả tượng học thống kê Mục đích ban đầu mẫu Ising, chủ đề luận án tiến sĩ Ising giải thích cấu trúc tính chất chất sắt từ Ở đây, Ising cố gắng giải thích số liệu thực nghiệm quan sát vật liệu sắt từ cách sử dụng mô hình người thầy Lenz đề xuất năm 1920 Kể từ mẫu Ising cho phép đơn giản hóa tương tác phức tạp ứng dụng thành công lĩnh vực khoa học Thống kê cho thấy khoảng năm từ 1969 đến 1997 có 12.000 báo mẫu Ising công bố, số tăng không ngừng Có thể kể đến biến thể mẫu Ising giúp hiểu chất sâu xa nhiều tượng lý sinh đường cong bão hòa Hemoglobin, tốc độ phản ứng ban đầu enzyme allosteric hay mô hình mạng thần kinh đặc trưng quan trọng màng lipid Ngoài mô hình Ising ứng dụng lĩnh vực khác kinh tế học (nghiên cứu ảnh hưởng kinh tế - xã hội đến số kinh doanh, phân tích chuỗi thời gian tài thị trường kinh doanh), xã hội học (hành vi xã hội cá nhân thay đổi để phù hợp với hành vi cá nhân khác vùng lân cận họ) hay ngôn ngữ học (sự thay đổi ngôn ngữ), … Đối với ngành Vật lý, nhiều thập kỷ qua, mẫu Ising chủ yếu áp dụng để nghiên cứu vật liệu từ Gần đây, phát triển kỹ thuật màng mỏng mở nhiều hướng nghiên cứu mẫu Ising hai chiều, mẫu Ising cho màng mỏng sắt điện sắt từ trường Những hướng nghiên cứu thu hút nhà vật lý lý thuyết vật lý thực nghiệm Về mặt lý thuyết giúp xác định tính chất vĩ mô hệ vật chất Về mặt thực nghiệm, ứng dụng nhiều lĩnh vực công nghệ khác nhau, chẳng hạn lưu trữ liệu, xúc tác, điện tử, tạo bước ngoặt lớn tiến khoa học công nghệ Trong luận văn này, tiếp tục nghiên cứu phát triển mô hình Ising mặt lý thuyết, ứng dụng việc khảo sát tham số nhiệt động mẫu Ising chiều, mẫu Ising trường dọc, cho màng mỏng có trật tự so sánh kết lý thuyết với thực nghiệm cho điểm Curie màng mỏng sắt điện Các tính toán thực gần phương pháp trường trung bình lý thuyết Landau cho mẫu Ising đồng thời so sánh với kết dựa phương pháp Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D (màng mỏng lớp) Mục tiêu nghiên cứu - Xây dựng lý thuyết Landau cho màng mỏng có chuyển pha trật tự - không trật tự, tham số xuấ t phát từ mô hình Ising với spin tùy ý theo phương pháp trường trung bình - So sánh phương pháp trường trung bin ̀ h phương pháp Monte - Carlo cho màng đơn lớp - Áp dụng lý thuyết trường trung bìn h giải thić h sự phu ̣ thuô ̣ccủa nhiê ̣t đ ộ Curie vào độ dày màng Phƣơng pháp nghiên cứu - Dựa mô hình Ising lý thuyết trường trung bình, lý thuyết chuyển pha Landau thực bước biến đổi giải tích theo học thống kê để xây dựng biểu thức cho lượng tự do, độ từ hóa nhiệt dung hệ spin đặc trưng cho hệ có trật tự xa, khảo sát tượng chuyển pha xảy hệ không vàkhi có trường tác dụng Từ sử dụng phần mềm hỗ trợ tính toán số thu kết áp dụng để phân tích kết thực nghiệm khác cho đại lượng nhiệt động tương ứng - Sử dụng phương pháp Monte – Carlo áp dụng cho số trường hợp màng lớp (mẫu 2D)có trật tự xa để so sánh với phương pháp giải tích gần trường trung bình Cấu trúc luận văn Bên cạnh phần mục lục mở đầu, cấu trúc luận văn gồm ba phần sau: Chương 1: Mẫu Ising lý thuyết chuyển pha Landau Chương 2: Áp dụng mẫu Ising lý thuyết chuyển pha Landau cho màng mỏng có trật tự xa Chương 3: Tính toán Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D (màng mỏng lớp) Kết luận CHƢƠNG 1: MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU 1.1 Mẫu Ising hai trạng thái (S = 1/2) Mẫu Ising cách biểu diễn lý thuyết đơn giản cho tượng sắt từ, nhiên dùng để mô tả hệ có trật tự khác trật tự sắt từ, sắt điện, hợp kim có trật tự,… Xuất phát toán học mẫu Ising: Coi nút mạng có spin σivà có hai định hướng lên (spin up σi = +1) xuống (spin down σi = -1) Đối với vật liệu có trật tự khác nhau, spin đặc trưng cho độ phân cực từ (vật liệu từ) hay độ phân cực điện (vật liệu sắt điện) hay tỷ số nồng độ thành phần hợp kim đôi trật tự 1.2 Lý thuyết chuyển pha Landau 1.2.1 Lý thuyết chuyển pha Landau trường Lý thuyết chuyển pha Landau lý thuyết tượng luận cho chuyển pha trật tự - trật tự tham số trật tự  pha trật tự khác không không pha trật tự Biểu thức lượng tự Landau gần điểm chuyển pha có dạng: F = a(T – TC) 𝜂2 +β 𝜂4 +… (ở đây, η tham số trật tự độ từ hóa trung bình, trật tự xa, mật độ dòng siêu lỏng mật độ dòng siêu dẫn) Đặt: A = mω02 = a(T - TC) ; B =   2d c' ; C = γ > ta biểu thức lượng tự hệ với trật tự đặc trưng tham số  chủ yếu: F B A 6  sgn  B    C Đặt: F0  B C ;  (1.13) AC B2 ; f  F F0 ta biểu thức lượng tự không thứ nguyên: f   2  sgn  B  4  6 (1.17) Biểu thức (1.17) thuận lợi cho việc khảo sát phụ thuộc lượng tự vào tham số trật tự không thứ nguyên  cách thay đổi giá trị α Hình 1.1: Đường biểu diễn phụ thuộc lượng tự không thứ nguyên f theo tham số trật tự không thứ nguyên  với giá trị khác tham số  1.2.2 Lý thuyết chuyển pha Landau có trường Biểu thức lượng tư F có dạng: F B A 6  sgn  B    C  h ' 12 (1.24)  B B  B Đặt   ; 0       0     ; F0  C 0 C C Với α = f   AC C3 ; h = ta thu lượng tự không thứ nguyên: h ' 52 B2 B 2  sgn  B      h (1.27) Trong đó: ξ độ từ hóa tỉ đối không thứ nguyên η độ từ hóa η0 độ từ hóa bão hòa Dựa vào biểu thức (1.27) ta khảo sát phụ thuộc lượng tự vào tham số trật tự không thứ nguyên ξ Hình 1.2: Đường biểu diễn phụ thuộc tham số trật tự không thứ nguyên ξ theo từ trường h, tham số α = 0.1, sgn(B) = -1 Hình 1.2 đường biểu diễn phụ thuộc tham số trật tự không thứ nguyên ξ vào từ trường h tham số α = 0.1 vàsgn(B) = -1.Trạng thái giả bền (đường nét đứt) tồn trường bé 1.3 Lý thuyết trƣờng trung bình cho mẫu Ising spin -1/2 trƣờng dọc Xét hệ spin mạng tinh thể với Hamiltonian Ising sau: H=-J Nq /2 N ij k 1   i j - h   k (1.32) đó: σi = ±1/2 giá trị hình chiếu spin nguyên tử từ tính nút mạng thứ i Biến spin σi = ±1/2 xem thành phần z spin -1/2 chuẩn (ma trận Pauli) với giá trị riêng σzi = ±1/2 Số hạng bên vế phải phương trình (1.32) tổng lượng liên kết cặp spin lân cận gần nhất, số hạng thứ hai lượng Zeeman momen từ riêng ứng với momen spin σk trường h (ở h = g µB H, H cường độ từ trường ngoài, g nhân tử Lande, µB magneton Bohr), N tổng số spin (hay nút mạng) q số phối vị (hay số lân cận gần nhất) Mô hình Ising cho Hamiltonian phương trình (1.32) bán cổ điển Để tính Hamiltonian mẫu Ising theo công thức (1.32) cần thuật toán tinh vi Lý thuyết trường trung bình đưa để tránh phức tạp này, cách coi spin lại tập hợp không tương tác với thay giá trị kỳ vọng, gọi giá trị trung bình Do đó, Hamiltonian cho spin trường trung bình là: q Hi = - J σi    j   h i j 1 (1.33) Giá trị từ trường hiệu dụng lý thuyết trường trung bình là: Hm f = h + Jq Trong đó: m.f ký hiệu cho trường trung bình (mean field) Ta có ước tính trường trung bình cho lượng tự xác Gibbs spin Ising -1/2 trường dọc là:   Nq F   NkBT ln  NkBT ln cosh   qJm  h   Jm 2  m     qJm  h   2  (1.41) (1.42) Trong trường hợp từ trường (h = 0) thì: m   qJm      (1.43) Ta tìm nhiệt độ chuyển pha từ phương trình (1.43) k BTC  qJ (1.44) Trong đó: TC nhiệt độ chuyển pha C  nghịch đảo nhiệt độ k BTC chuyển pha Khai triển lượng tự theo bậc bé độ từ hóa gần điểm Curie có dạng: F(h = 0, m→0) = N (A0+ A2m2 + A4m4 + … ) (1.47.a) Năng lượng tự tính hạt là: f = F/N = A0+ A2m2 + A4m4 + … (1.47.b) Trong công thức trên: A0  kBT ln A2  qJ   qJ  1     (1.48) qJ   qJ  A4    24   (1.49) Tại nhiệt độ chuyển pha loại 2, T = TC , β = βC = 1/kBTC ; A2(βC) = Từ (1.48) ta lại nhận biểu thức (1.44) cho nhiệt độ Curie dùng khai triển Landau cho lượng tự do: TC  qJ 4k B (1.50) Trong lý thuyết chuyển pha Landau, chuyển pha liên tục bị ràng buộc điều kiện A2 = 0, A4 > Và theo lý thuyết điểm chuyển pha spin Ising -1/2 giá trị nhiệt độ chuyển pha phụ thuộc vào số phối vị q độ lớn tích phân trao đổi J spin (S = 1/2) 10 CHƢƠNG 2:ÁP DỤNG MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU CHO MÀNG MỎNG CÓ TRẬT TỰ XA 2.1 Mẫu Ising cho màng mỏng có trật tự xa, lời giải lý thuyết trƣờng trung bình Xét màng mỏng có trật tự xa gồm n lớp song song xếp chồng lên nhau, lớp có N spin 11 Hamiltonian Ising cho hệ spin màng mỏng cấu trúc lập phương gồm n lớp viết sau: H=-    J j , ' j ' Sz j Sz j ' - hμ  Sz j Với: (2.1) j j, ' j ' Sz j toán tử spin nút rνj μ magneton Bohr J j , ' j ' tích phân trao đổi spin Sz j Sz' j ' hai nút mạng rνjvà rν’j’ Trong gần trường trung bình, Hamiltonian biểu thức (2.1) viết dạng sau:  H m f     J j , ' j ' Sz ' j '  j  ' j '  z z S j  h  S j j  (2.3) ký hiệu trung bình thống kê lấy theo Hamiltonian H m f 12 Ta thu biểu thức tổng thống kê hệ spin gần trường trung bình sau: n Z       sh    sh   S    1    (2.9)    Năng lượng tự hệ spin màng mỏng là: F  k BT ln Z  Trong đó:   N J (0) m m   ' ' ' (với kB số Boltzmann, T nhiệt độ tuyệt đối) k BT r J ' (0) ảnh Fourier tích phân trao đổi k = Năng lượng tự màng mỏng spin n lớp phép gần trường trung bình là: F n n N N J ' (0) m m '   ln   '   1    sh   S       (2.10)   sh      Giá trị trung bình thống kê momen từ nút mạng νj với spin Sz j phép gần trường trung bình là:     1   m  cth   S     S    cth      2  2   Trong đó:    𝛼𝜈 =  h  J ' (0)      J ' (0) m '   uur J ' ( R j ) j 2.2 Phƣơng trình xác định điểm Curie cho màng mỏng trật tự lý thuyết trƣờng trung bình 13 Phương trình xác định điểm Curie cho màng mỏng có trật tự xa: kBTC 2S (S 1)  JP    cos 2  JS JS n 1   Đặt  = (2.22.a) JP tham số đặc trưng cho dị hướng tương tác trao đổi spin JS lân cận lớp ( J S ) lớp ( J P ) ta được: kBTC 2S (S 1)        cos  JS n 1   (2.22.b) Hình 2.2: Đường biểu diễn phụ thuộc nhiệt độ Curie ‫ ح‬C  k BTC vào số lớp màng JS 14 Hình 2.3: Đồ thị so sánh kết lý thuyết trường trung bình thực nghiệm phụ thuộc nhiệt độ Curie sắt điện perovskite PbTiO3 vào độ dày màng mỏng Hình 2.2 biểu diễn phụ thuộc nhiệt độ Curie vào độ dày màng mỏng (số lớp spin n) S = Đồ thị cho thấy trao đổi dị hướng tăng  lớn nhiệt độ Curie tăng theo xu hướng chung nhiệt độ Curie giảm độ dày màng giảm Hình 2.3 thể kết tính toán cho điểm Curie theo lý thuyết trường trung bình so sánh với kết thực nghiệm cho điểm Curie sắt điện xác định từ thực nghiệm cho màng mỏng có độ dày khác Trong đó, đường liền nét đường biểu diễn tỉ số k BTC theo số lớp màng n Các điểm rời rạc màu đỏ điểm thực nghiệm JS Kết lý thuyết thực nghiệm tương đối phù hợp.Kết tốt cho mô hình Ising trường dọc ngang 2.3 Khai triển Landau cho màng mỏng có trật tự mô tả mô hình Ising Khai triển Landau cho lượng tự có dạng: 15 F  N   n  1 N = J ' (0) m m '   '   S  S  1   3 S  S  1 2S  2S     4S  4S        ln  2S  1  S  S  1   90 6!63        Năng lượng tự tính nút mạng (hay spin): f   n   F 1  ln  2S  1  Nn n 2n  J ' (0) m m '  ' 1  S (S 1) S ( S  1)  3 2S  2S  4  (4S  4S  )2   6    S  S  1    90 6!63  4 6    (2.28) Đặt: A  B  2n  m S  S  1     (2.29)      S (S 1)  2S  2S    n  90  C      S ( S  1)  3  (4S  4S  )      n  6!63   Khi biểu thức lượng tự tính nút mạng có dạng:  n f  f  1 (2.30.a) với f lượng tự tính spin lớp mạng spin f có dạng: f   1 ln  2S  1  n 2n  J '   m m '  A 2  B 4  C 6  (2.30.b)  ' Các hệ số A , B , C cho (2.29) Đặt A (  C ) = trường h = 0,   4 Jm ta nhận lại phương trình (2.15) xác định điểm Curie cho màng mỏng lớp 16 kBTC 4S  S  1  J (2.31) 2.4 Nhiệt dung đẳng tích cho màng mỏng Công thức chung cho nhiệt dung đẳng tích vật liệu mà Hamiltonian H cho biểu thức sau: £V   H T  kB  H  với   kBT (2.32) Công thức chung cho nhiệt dung đẳng tích màng mỏng spin gồm n lớp   m m m '  2 CV     J '    m '    kB n  '    n      2    B '   B    S       S     n   2  B       S    (2.36) 2.5 Tính toán số cho màng mỏng đơn lớp có trật tự 2.5.1 Phương trình xác định phụ thuộc vào nhiệt độ tham số trật tự Biểu thức độ từ hóa tính cho màng mỏng lớp sau:   2m  1  4m   m   S   cth  S    cth    2 2 ‫ ح‬    ‫ ح‬ (2.39) Với ‫ = ح‬kBT J nhiệt độ không thứ nguyên đo đơn vị tích phân trao đổi J lân cận gần 17 Hình 2.4: Đường biểu diễn phụ thuộc momen từ nút mạng m vào nhiệt độ không thứ nguyên ‫ ح‬ kBT J TÀI LIỆU THAM KHẢO A- Tài liệutiếng Việt [1] Nguyễn Thị Kim Oanh, luận văn Thạc sĩ khoa học “Mô hình Ising ứng dụng cho chất sắt từ”, ĐH Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, 2014 B- Tài liệu tiếng Anh [2] Clarendon Press, Statistical Mechanics of Phase Transitions, Oxford,1992 [3] C Kittel, Introduction to Solid State physics, chapter 16, eighth edition, John Wiley & Sons, Inc 2005 [4]Dillon D Fong, G Brien Stephenson, Stephen K Streiffer,Jeffrey A Eastman, Orlando Auciello, Paul H Fuoss, Carol Thompson ,Science304 (2004) 1650 [5] D K Khudier, Nabeil A Fawaz, Two dimensional Ising model application with Monte Carlo method7(2013) [6] J A Krumhansl, Solid State communication 84 (1992) 251 [7] J Borowska, L Lacinska, Jour of Appl Math Comput.Mech.14(2015) 11 18 [8]J Strecka, M Jascur, Acta physica slovaca65 (2015) 235 [9] K Binder and D W Heermann, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics, Springer, Berlin, 1997 [10] M Hjorth Jensen, Computational physics, University of Oslo, 2003 [11] N Metropolis, A W Rosenbluth, M N Rosenbluth, A H Teller and E Teller,Journal of Chemical Physics, 1953 [12]Nguyen Tu Niem, Bach Huong Giang, Bach Thanh Cong,Journal of Science: Advanced Materials and Devices1 (2016) 531 [13] Onsager Lars, Physical Review, Series II, 65 (3–4): 117–149, (1944) [14] Sergio A Cannas, Pablo M Gleiser, Francisco A Tamarit, Two dimentional Ising model with long-range competing interactions, Transworld Research Network 2004 [15]S V Tyablikov, Method in the quantum theory of magnerism, Plenumpress NewYork 1967 [16] W Nolting, A Ramakanth, Quantum theory of Magnetism, Springer 2009 19 ... gia Hà Nội TÓM TẮT LUẬN VĂN MẪU ISING VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Mẫu Ising mô hình toán học đơn giản mô tả tượng học thống kê Mục đích ban đầu mẫu Ising, chủ đề luận án tiến sĩ Ising giải thích cấu trúc... không vàkhi có trường tác dụng Từ sử dụng phần mềm hỗ trợ tính toán số thu kết áp dụng để phân tích kết thực nghiệm khác cho đại lượng nhiệt động tương ứng - Sử dụng phương pháp Monte – Carlo áp dụng. .. 0, A4 > Và theo lý thuyết điểm chuyển pha spin Ising -1/2 giá trị nhiệt độ chuyển pha phụ thuộc vào số phối vị q độ lớn tích phân trao đổi J spin (S = 1/2) 10 CHƢƠNG 2:ÁP DỤNG MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT