kỉ niệm tư liệu tham khảo bao chau thư viện tư liệu giáo dục

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục O x. 11.[r]

(1)

Chun đề

TÍCH PHÂN CƠNG THỨC

Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm những

hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số thường gặp

Nguyên hàm những hàm số hợp ∫dx=x+C

∫xαdx=x

α+1

α+1+C(α ≠1)

∫dxx =ln|x|+C(x ≠0)

∫exdx

=ex+C

∫axdx

= a

x

lna+C(0<a ≠1) ∫cos xdx=sinx+C

∫sin xdx=−cosx+C

∫

cos2x dx=tanx+C

∫

sin2x dx=−cotx+C

∫d(ax+b)=1

a(ax+b)+C ∫(ax+b)αdx=1

a

(ax+b)α+1

α+1 +C(α ≠1)

∫dxax+b=1

aln|ax+b|+C(x ≠0) ∫eax+bdx=1

ae ax+b

+C

∫cos(ax+b)dx=1

asin(ax+b)+C ∫sin(ax+b)dx=−1

acos(ax+b)+C ∫cos2(ax1

+b) dx=

1

a tan(ax+b)+C

∫sin2(ax1

+b) dx=−

1

acot(ax+b)+C

∫du=u+C

∫uαdu=u

α+1

α+1+C(α ≠1)

∫duu =ln|u|+C(u ≠0)

∫eudu

=eu+C

∫audx

= a

u

lna+C(0<a ≠1) ∫cos udu=sinu+C

∫sin udu=−cosu+C

∫

cos2u du=tanu+C

∫

sin2udu=−cotu+C

I ĐỔI BIẾN SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1 Đổi biến số dạng 2

Để tính tích phân

b

/ a

f[u(x)]u (x)dx ò

ta thực bước sau: Bước 1. Đặt t = u(x) tính dt =u (x)dx/

Bước 2. Đổi cận: x= Þa t= u(a)= a, x =bÞ t =u(b)= b Bước 3.

b

/ a

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt

b

a

=

ò ò

Ví dụ 7. Tính tích phân

2

e

dx I

x ln x =ò

Giải Đặt

dx t ln x dt

x

= Þ =

2

x= Þe t=1, x =e Þ t =2

2 1

dt

I ln t ln2

t

Þ = ị = =

(2)

4

3

cosx

I dx

(sin x cosx)

p

=

+ ò

Hướng dẫn:

4

3

0

cosx dx

I dx

(sin x cosx) (tan x 1) cos x

p p

= =

+ +

ò ò

Đặt t =tan x +1

ĐS: I

8 =

3

1

dx I

(1 x) 2x =

+ +

ò

Hướng dẫn:

Đặt t = 2x+3

ĐS:

3 I ln

2 =

1

0

3 x

I dx

1 x

-=

+ ò

Hướng dẫn:

Đặt

3 2

2

1

3 x t dt

t

1 x (t 1)

-= Þ

+ L ị +

; đặt t =tanuL

ĐS: I 3

p

= - +

Chú ý:

Phân tích

1

0

3 x

I dx

1 x

-=

+ ò

, đặt t = 1+x tính nhanh

2 Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], để tính

( ) b

a

f x dx ∫

ta thực bước sau: Bước 1. Đặt x = u(t) tính dx u t dt/( )

Bước 2. Đổi cận: x  a t , x  b t 

Bước 3.

/

( ) [ ( )] ( ) ( )

b

a

f x dx f u t u t dt g t dt

 

 

 

∫ ∫ ∫

1

2

1

I dx

1 x =

-ò

Giải

Đặt x sin t, t 2; dx costdt p p

ộ ự

= ẻ -ờ ỳị =

ë û

1

x t 0, x t

2

p

(3)

6

0

cost cost

I dt dt

cost sin t

p p

Þ = =

-ị ị 6

0

dt t

6

p

p p p

= ò = = - =

Vậy I

p =

2

I =ị 4- x dx Hướng dẫn:

Đặt x=2sin t ĐS: I = p

1

2

dx I

1 x

=

+ ò

Giải Đặt

2

x tan t, t ; dx (tan x 1)dt

2 ỉ p p÷ư ỗ

= ẻ -ỗỗố ữữữị = +

ứ

x t 0, x t

4 p

= Þ = = Þ =

4

2

0

tan t

I dt dt

4 tan t

p p

+ p

Þ = = =

+

ò ò

Vậy I

p =

3

dx I

x 2x

-=

+ +

ò

Hướng dẫn:

3

2

0

dx dx

I

x 2x (x 1)

-

-= =

+ + + +

ò ò

Đặt x+ =1 tan t

ĐS: I 12

p =

2

dx I

4 x

=

-ò

ĐS: I

p =

3

dx I

x 2x

-=

+ +

ò

ĐS: I 12

p =

3 Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lượng giác

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân

2

0

I cos x sin xdx

p

= ò

(4)

Hướng dẫn:

Đặt t =cosx

ĐS: I

15 =

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân

2

I cos xdx

p

= ò

Hướng dẫn:

Đặt t =sin x ĐS:

8 I

15 =

Ví dụ 13 (bậc sin cosin chẵn). Tính tích phân

2

4

0

I cos x sin xdx

p

= ò

Giải

2

4 2

0

1

I cos x sin xdx cos x sin 2xdx

p p

= ò = ò

2

0

1 (1 cos4x)dx cos2x sin 2xdx

16

p p

= ò - + ò

2

0

1 (1 cos4x)dx sin 2xd(sin2x)

16

p p

= ò - + ò

0

x sin 2x

sin 4x

16 64 24 32

p

ổ ửữ p

ỗ

=ỗỗố - + ÷÷ =

ø .

Vậy I 32

p =

2

dx I

cosx sin x

p

=

+ +

ò

Hướng dẫn:

Đặt

x t tan

2 =

ĐS: I = ln2

Biểu diễn hàm số LG theo tan2 a t

:

2

2 2

2

sin ; cos ; tan

1 1

t t t

a a a

t t t



  

  

3.2 Dạng liên kết

xdx I

sin x

p

=

+ ò

Giải

Đặt x= p - tÞ dx= - dt x= Þ0 t = p, x = p Þ t=

( )

0

( t)dt t

I dt

sin( t) sin t sin t

p

p - p

Þ = - =

-p - + + +

ò ò

0

dt I I dt

sin t sin t

p p

p

= p - Þ =

+ +

(5)

( )2 ( )

0

dt dt

t

t t

2 sin cos cos

2

p p

= = p

-+

ò ò

t d

2 t

tan

2 cos t 2

2

p p

ỉ p÷ư

ỗ - ữ

ỗ ữữ

ỗ ổ

ố ứ

p p ỗ pữ

= = ỗỗ - ữữữ = p

ổ pữử ố ứ

ỗ - ữ

ỗ ữữ

ỗố ứ

ũ

Vy I = p

Tổng quát:

0

xf(sin x)dx f(sin x)dx

p p

p =

ò ị

2 2007

2007 2007

0

sin x

I dx

sin x cos x

p

=

+ ò

Giải

Đặt x t dx dt

p

= - Þ =

-x t , x t

2

p p

= Þ = = Þ =

( )

( ) ( )

2007

2007 2007

2

sin t

2

I dx

sin t cos t

2

p

-Þ = - p p

- +

-ò 2007

2007 2007

0

cos t dx J

sin t cos t

p

= =

+ ò

(1)

Mặt khác

2

I J dx

2

p

+ = ò =

(2) Từ (1) (2) suy I

p =

Tổng quát:

2 n n

n n n n

0

sin x dx cos x dx ,n

sin x cos x sin x cos x

p p

+

p

= = Î

+ +

ò ò Z

6

0

sin x

I dx

sin x 3cosx

p

=

+ ò

6

0

cos x

J dx

sin x 3cosx

p

=

+ ò

Giải

I - 3J = -1 3 (1).

( )

6

0

dx dx

I J dx

2

sinx 3cosx sin x

3

p p

+ = = p

+ +

ò ò

Đặt t x dt dx

p

= + Þ =



1

I J ln3

4 + =

(2)

Từ (1) (2)

3 1

I ln , J ln3

16 16

-

-= + =

- Ví dụ 18. Tính tích phân

1

2

ln(1 x)

I dx

1 x

+ =

+ ò

Giải

(6)

x t 0, x t p

= Þ = = Þ =

( )

4

2

0

ln(1 tan t)

I tan t dt ln(1 tan t)dt

1 tan t

p p

+

Þ = + = +

+

ị ị

Đặt t u dt du

p

= - Þ =

-t u , t u

4

p p

= Þ = = Þ =

0

4

I ln(1 tan t)dt ln tan u du

4

p

ộ ỗp ữ

ờ ỳ

ị = + = - ờ + ỗỗ - ữữữỳ

ố ø

ë û

ò ò

4

0

1 tanu

ln du ln du

1 tanu tanu

p p

ổ - ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

= ỗỗ + ữữữ = ỗỗ ữữữ

ố + ø è + ø

ò ò

( )

4

0

ln2du ln tanu du ln2 I

4

p p

p

= ò - ò + =

-

Vậy I 8ln2

p =

4 x

cosx

I dx

2007

p

-=

+ ò

Hướng dẫn:

Đặt x= - t

ĐS:

2 I

2 =

Tổng quát:

Với a > 0, a >0, hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [- a a; ]

x

0

f(x)

dx f(x)dx

a

a a

- a

= +

ị ị

Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục ¡ thỏa f( x)- +2f(x)= cosx

Tính tích phân

2

I f(x)dx

p

-= ò

Giải

Đặt

2

J f( x)dx

p

-= ị

-, x= - Þt dx= - dt

x t , x t

2 2

p p p p

(7)

-[ ]

2

I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx

p p

-

-Þ = ị - = Þ = + =ị - +

2

0

cosxdx cosxdx

p p

p

-=ò = ò =

Vậy

2 I

3 =

3.3 Các kết cần nhớ

i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ liên tục đoạn [–a; a]

a

f(x)dx

-= ò

ii/ Với a > 0, hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [–a; a]

a a

a

f(x)dx f(x)dx

-=

ị ị

iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)

2

n n

0

(n 1)!! , n!! cos xdx sin xdx

(n 1)!! , n!!

p p ìïï

-ïïï

= = íï - p

ïï ïïỵ

ị ị n lẻ

n chẵn

Trong

n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn:

0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =

6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = = .

Ví dụ 21.

11

10!! 2.4.6.8.10 256 cos xdx

11!! 1.3.5.7.9.11 693

p

= = =

ò

Ví dụ 22.

10

9!! 1.3.5.7.9 63

sin xdx

10!! 2.4.6.8.10 512

p

p p p

= = =

ị

II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 Công thức

Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Ta có

(uv)/ =u v/ +uv/ Þ (uv dx)/ =u vdx/ +uv dx/

( )

b b b

a a a

d uv vdu udv d(uv) vdu udv

Þ = + Þ ị = ị +ị

b b b b

b b

a a

a a a a

uv vdu udv udv uv vdu

Þ = ị +ị Þ ị = - ị

Công thức:

b b

b a

a a

udv= uv - vdu

ò ò

(8)

b b b

/ /

a

a a

f(x)g (x)dx =f(x)g(x) - f (x)g(x)dx

ò ò

(2) 2 Phương pháp giải tốn

Giả sử cần tính tích phân

b

a

f(x)g(x)dx ò

ta thực Cách 1.

Bước 1. Đặt u =f(x), dv=g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) vi phân

/

du =u (x)dx khơng q phức tạp Hơn nữa, tích phân b

a

vdu ị

phải tính Bước 2. Thay vào cơng thức (1) để tính kết

Đặc biệt: i/ Nếu gặp

b b b

ax

a a a

P(x) sinaxdx, P(x) cosaxdx, e P(x)dx

ò ò ò

với P(x) đa thức đặt u =P(x)

ii/ Nếu gặp

b

a

P(x) ln xdx ị

đặt u=ln x

Cách 2.

Viết lại tích phân

b b

/

a a

f(x)g(x)dx= f(x)G (x)dx

ò ị

sử dụng trực tiếp cơng thức (2) Ví dụ 1. Tính tích phân

1 x

I =òxe dx

Giải Đặt

x x

u x du dx

dv e dx v e

= ì =

ì ï

ïï Þ ï

í = í

ï ï =

ï ï

ỵ ỵ (chọn C =0)

1

x x x x

0

xe dx xe e dx (x 1)e

Þ ị = - ị = - =

e

1

I =òx ln xdx

Giải

Đặt

2

dx du

u ln x x

dv xdx v x

2 ìï = ï =

ìï ï

ï Þ ï

í í

ï = ï

ï ï

ỵ ïïỵ =

e 2 e e 2

1

x e

x ln xdx ln x xdx

2

+

Þ ị = - ị =

2 x

I e sin xdx

p

=ò

(9)

Đặt

x x

u sin x du cosxdx

dv e dx v e

= ì =

ì ï

ïï Þ ï

í í

ï = ï =

ï ï

ỵ ỵ

2

x x x

0

I e sin xdx e sin x e cosxdx e J

p p

Þ = ò = - ò =

- Đặt

x x

u cosx du sin xdx

dv e dx v e

= ì =

-ì ï

ïï Þ ï

í = í

ï ï =

ï ï

ỵ ỵ

2

x x x

0

J e cosxdx e cosx e sin xdx I

p p

p

Þ = ò = +ò = - +

2

2 e

I e ( I) I

2

p

p +

Þ = - - + Þ =

Chú ý:

Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần

2

4

I cos xdx

p

=ò

Hướng dẫn:

Đặt t = x

2

0

I t costdt

p

Þ = ị = = p

-L L

e

1

I = òsin(ln x)dx ĐS:

(sin1 cos1)e I

2

- +

=

III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán 1 Dạng 1

b

a

I = ò f(x) dx

, ta thực bước sau

Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a x1 x2 b

f(x) + 0 - 0 +

Bước 2. Tính

1

b x x b

a a x x

I =ị f(x) dx=ịf(x)dx- ịf(x)dx+ịf(x)dx Ví dụ 9. Tính tích phân

2

I x 3x dx

-=ò - +

Giải

B ng xét d uả ấ

(10)

2

x - 3x+2 + -

( ) ( )

1

2

3

59

I x 3x dx x 3x dx

2

-= ò - + - ò - + =

Vậy

59 I

2 =

2

I 4cos x 4sin xdx

p

=ò -

- ĐS: I

p

= -

- 2 Dạng 2

[ ]

b

a

I = ò f(x) ± g(x) dx

, ta thực Cách 1.

Tách

[ ]

b b b

a a a

I =ò f(x) ± g(x) dx= ò f(x) dx ±ò g(x) dx

sử dụng dạng Cách 2.

Bước 1. Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) Ví dụ 11. Tính tích phân

( )

2

1

I x x dx

-=ò -

- Giải Cách 1.

( )

2 2

1 1

I x x dx x dx x dx

- -

-= ò - - = ò - ò

-0 2

1 1

xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx

-

-= - ò +ò +ò - - ò

-0 2

2 2

1 1

x x x x

x x

2 - 2 -

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ç

= - + +çç - ÷÷ - çç - ÷÷ =

è ø è ø .

Cách 2. Bảng xét dấu

x –1 x – +  +

x – – – +

( ) ( ) ( )

0

1

I x x dx x x dx x x dx

-= ò - + - +ò + - +ò - +

( 2 )

0

1

x- x x x

= - + - + = .

Vậy I =0

3 Dạng 3

Để tính tích phân

{ }

b

a

I =òmax f(x), g(x) dx

{ }

b

a

J = òmin f(x), g(x) dx

(11)

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x)=f(x)- g(x) đoạn [a; b] Bước

+ Nếu h(x)>0 max f(x), g(x){ } =f(x) f(x), g(x){ } =g(x)

+ Nếu h(x)<0 max f(x), g(x){ } =g(x) f(x), g(x){ } =f(x)

{ }

4

2

I =òmax x +1, 4x- dx Giải

Đặt h(x)=(x2 +1) - (4x- 2) = x2- 4x+3

Bảng xét dấu

x h(x) + – +

( ) ( ) ( )

1

2

0

80

I x dx 4x dx x dx

3

= ò + +ò - +ò + =

Vậy

80 I

3 =

{ }

2

x

I =òmin , 4- x dx Giải

Đặt h(x)=3x - ( 4- x) =3x + -x

Bảng xét dấu

x h(x) – +

( )

1 x 1 2 2

x

0

3 x

I dx x dx 4x

ln3 ln3

ổ ửữ

ỗ

= + - = +ỗỗố - ữữ = +

ø

ò ò

Vậy

2

I

ln3

= +

IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Phương pháp giải toán 1 Dạng 1

Để chứng minh

b

a

f(x)dx³ ò

(hoặc

b

a

f(x)dx£ ò

) ta chứng minh f(x)³ (hoặc f(x)£ 0) với

[ ]

x a; b " Ỵ .

Ví dụ 14. Chứng minh

1

3

0

1 x dx- ³ ò

Giải Với

[ ]

1

3

6 6

0

x 0; : x 1 x x dx

" ẻ Ê ị - ³ Þ ị - ³

2 Dạng 2

Để chứng minh

b b

a a

f(x)dx³ g(x)dx

ò ò

(12)

2

10 11

0

dx dx

1 sin x sin x

p p

£

+ +

ò ò

Giải Với

11 10

x 0; : sin x sin x sin x

p

é ự

" ẻ ờ ỳ Ê Ê ị Ê £

ë û

10 11

1

1 sin x sin x

Þ + ³ + > Þ £

+ + .

Vậy

2

10 11

0

dx dx

1 sin x sin x

p p

£

+ +

ò ò

3 Dạng 3

Để chứng minh

b

a

A £ òf(x)dx£ B

ta thực bước sau

Bước 1. Tìm giá trị lớn nhỏ f(x) đoạn [a; b] ta m£ f(x)£ M Bước 2. Lấy tích phân

b

a

A =m(b- a)£ ịf(x)dx£ M(b- a) =B Ví dụ 16. Chứng minh

1

2

2£ ị 4+x dx£ Giải

Với " Ỵx [0; : 4] £ 4+x2 £ 5Þ 2£ 4+x2 £ Vậy

1

2

2£ ị 4+x dx£

3

2

dx

4 2sin x

p

p £ £ p

-ò

Giải Với

2

3

x ; : sin x sin x

4 2

p p

é ù

" Î ê ú £ £ Þ £ £

ë û

2

1

1 2sin x

2 2sin x

Þ £ - £ Þ £ £

-( ) ( )

3

2

1 dx 1

2 4 2sin x 4

p

p p p p

Þ - £ £

-ò

Vậy

3

2

dx

4 2sin x

p

p £ £ p

-ị

3

4

3 cotxdx

12 x

p

£ ò £

(13)

Xét hàm số

cotx

f(x) , x ;

x

ép pù

ê ú

= Ỵ

ê ú

ë û ta có

2 /

2

x

cotx sin x

f (x) x ;

4 x

ép pù

ê ú

= < " Ỵ ê ú

ë û

( ) ( )

ff (x) f x ;

3 4

p p ép pù

Þ £ £ " Ỵ ê ú

ë û

3 cotx

x ;

x

ép pù

ê ú

Þ £ £ " Ỵ ê ú

p p ë û

3

4

3 cotxdx

3 x

p

æp pửữ ổp pửữ

ỗ ỗ

ị ỗỗ - ữữữÊ Ê ỗỗ - ữữữ

ố ứ ố ứ

p ò p

Vậy

3

4

3 cotx

dx

12 x

p

£ ò £

4 Dạng (tham khảo)

Để chứng minh

b

a

A £ òf(x)dx£ B

(mà dạng không làm được) ta thực

Bước 1. Tìm hàm số g(x) cho

[ ]

b b

a a

f(x) g(x) x a; b

f(x)dx B g(x)dx B

ỡ Ê " ẻ ùù

ùù ị Ê

íï =

ïï ïỵ

ị ị

Bước 2. Tìm hàm số h(x) cho

[ ]

b b

a a

h(x) f(x) x a; b

A f(x)dx h(x)dx A

ỡ Ê " ẻ ùù

ùù ị Ê

íï =

ïï ïỵ

ị ị

2

2007

2 dx

2 x

p

£ £

-ò

Giải Với

2007

2

x 0; : x x

2

é ù

" Ỵ ê ú £ £ £

ê ú

ë û

2 2007

2007

1 1 x 1 x 1 1 1

2 1 x 1 x

Þ £ - £ - £ Þ £ £

-

-2 2

2 2

2007

0 0

dx dx

dx

1 x x

Þ £ £

-

-ò ò ò

Đặt x= sin tÞ dx= costdt

2

x t 0, x t

2

p

(14)

2

0

dx costdt

cost

1 x

p

Þ = =

-ò ò

Vậy

2

2007

2 dx

2 1 x

p

£ £

-ò

1

3 xdx

4 x 2

+ £ £ +

+ -ò

Giải

Với " Ỵx [0; : 1] - £ x2 + -2 1£

-2

x x x

3 x 2

Þ £ £

- + -

-1 1

2

0 0

xdx xdx xdx

3 x 2

Þ £ £

- + -

-ò ò ò

Vậy

1

3 xdx

4 x 2

+ £ £ +

+ -ị

V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường y=f(x), x =a, x=b trục hoành

b

a

S= ị f(x) dx Phương pháp giải tốn

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x) dx ị

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y=lnx, x =1, x =e Ox Giải

Do ln x ³ x" Ỵ [1; e] nên

( )

e e

e

1

S=ò ln x dx=òln xdx =x ln x- =1

Vậy S=1 (đvdt)

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= - x2 +4x- 3, x =0, x=3 Ox Giải

Bảng xét dấu

x y – +

( ) ( )

1

2

0

(15)

1

3

2

0

x 2x 3x x 2x 3x

3 3

ỉ ư÷ ỉ ư÷

ỗ ỗ

= - -ỗỗ + + ữữ + -ỗỗ + + ữữ =

ố ứ ố ø .

Vậy S

3 =

(đvdt) 2 Diện tích hình phẳng

2.1 Trường hợp 1.

Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=f(x), y=g(x), x =a, x=b

b

a

S= ò f(x)- g(x) dx Phương pháp giải toán

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) đoạn [a; b] Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x)- g(x) dx ò

2.2 Trường hợp 2.

Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=f(x), y=g(x) S f(x) g(x) dx

b

a

=ị

- Trong a b, nghiệm nhỏ lớn

phương trình f(x)=g(x) (a£ a < b £ b)

Phương pháp giải tốn

Bước 1. Giải phương trình f(x)=g(x)

Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) đoạn [a b; ] Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

f(x) g(x) dx

b

a

-ò

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x3 +11x- 6, y =6x2, x= 0, x=2.

Giải

Đặt h(x)=(x3 +11x- 6)- 6x2 = x3- 6x2 +11x-

h(x)= Û0 x= Ú = Ú =1 x x 3 (loại). Bảng xét dấu

x h(x) – +

( ) ( )

1

3

0

S= - ò x - 6x +11x- dx+ò x - 6x +11x- dx

1

4

3

0

x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x

4 2

ỗ ỗ

= - ỗỗ - + - ữữ +ỗỗ - + - ÷÷ =

è ø è ø .

Vậy S

2 =

(đvdt)

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x3 +11x- 6, y =6x2 Giải

(16)

h(x)= Û0 x = Ú = Ú =1 x x 3. Bảng xét dấu

x h(x) + –

( ) ( )

2

3

1

S= ò x - 6x +11x- dx- ò x - 6x +11x- dx

2

4

3

1

x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x

4 2

ỉ ư÷ ổ ửữ

ỗ ỗ

=ỗỗ - + - ữữ - ỗỗ - + - ữữ =

ố ø è ø .

Vậy

1 S

2 =

(đvdt) Chú ý:

Nếu đoạn [a b; ] phương trình f(x)=g(x) khơng cịn nghiệm ta dùng cơng

thức

[ ]

f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx

b b

a a

- =

-ị ị

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x , y3 =4x Giải

Ta có x3 =4x Û x= - xÚ = Ú =0 x

( ) ( )

0

3

2

S x 4x dx x 4x dx

-Þ = ị - + ị

-0

4

2

x 2x x 2x 8

4 -

ỗ ỗ

= ỗỗ - ữữ + ỗỗ - ữữ =

ố ø è ø .

Vậy S=8 (đvdt)

Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2- x +3 trục hoành Giải

Ta có x2- x + = Û3 t2- 4t+ =3 0, t = x ³

t x x

= = = ±

é é é

ê ê ê

Û ê Û ê Û ê

= = = ±

ë ë ë

3

2

3

S x x dx x 4x dx

-Þ = ị - + = ò - +

( ) ( )

1

2

0

2éê x 4x dx x 4x dx ùú

= ê - + + - + ú

ê ú

ëò ò û

1

3

2

0

x x 16

2 2x 3x 2x 3x

3 3

ộổỗ ửữ ổỗ ửữ ự

ờ ỳ

= ờỗỗ - + ữữ + ỗỗ - + ÷÷ ú=

è ø è ø

ë û .

Vậy

16 S

3 =

(đvdt)

Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2- 4x+3 y= +x Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm

2

(17)

2

x

x 4x x

x

x 4x x

+ ³

ìïï é =

ïï é - + = + ê

Û í ê Û ê =

ïï ê ë

ï ê - + = -

-ïỵ ë .

Bảng xét dấu

x

2

x - 4x+3 + – +

( ) ( ) ( )

1

2 2

0

S x 5x dx x 3x dx x 5x dx

Þ = ị - +ò - + - +ò

-1

3 3

0

x 5x x 3x x 5x 109

6x

3 3

ổ ửữ ổ- ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ ỗ

= ỗỗ - ữữ +ỗỗ + - ữữ +ỗỗ - ÷÷ =

è ø è ø è ø .

Vậy

109 S

6 =

(đvdt)

Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2 - , y= x +5 Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm

2

x - = x + Û5 t - = +t 5, t = x ³

2

t x

t t x 3

t

t t

= ³

ìïï ì = ³

ï ï

ï é - = + ï

Û íï ê Û íï = Û = ±

ï ê ïỵ

ï ê - = -ïỵ ë

( ) ( )

3

2

3

S x x dx x x dx

-Þ = ị - - + = ò - - +

Bảng xét dấu

x

2

x - – +

( ) ( )

1

2

0

S x x dx x x dx

Þ = ị - - - +ò -

-1

3

0

x x x x 73

2 4x 6x

3 3

ổ- ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

= ỗỗ - - ữữ +ỗỗ - - ữữ =

è ø è ø .

Vậy

73 S

3 =

(đvdt)

Chú ý:

Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY

1 Trường hợp 1.

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y= f(x)³ x" Ỵ [a;b], y= 0,

x=a x= b (a<b) quay quanh trục Ox

b a

V = pịf (x)dx

Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu hình trịn (C) : x2 +y2 =R2 quay quanh Ox Giải

(18)

Phương trình (C) : x2 +y2 =R2 Û y2 =R2- x2

( ) ( )

R R

2 2

R

V R x dx R x dx

-Þ = pị - = pị

-R

3

2

0

x R

2 R x

3

æ ửữ p

ỗ

= pỗỗố - ữữ =

ø .

Vậy

3

4 R V

3 p =

(đvtt) 2 Trường hợp 2.

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x= g(y)³ y" Î [c;d], x=0,

y=c y=d (c<d) quay quanh trục Oy

d c

V = pịg (y)dy Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối ellipse

2

x y

(E) :

a +b = quay quanh Oy.

Giải Tung độ giao điểm (E) Oy

2

y 1 y b

b = Û = ± .

Phương trình

2 2

2

2 2

x y a y

(E) : x a

a +b = Û = - b

b 2 2 b 2 2

2

b

a y a y

V a dy a dy

b b

-æ ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

ị = p ỗỗ - ữữ = p ỗỗ - ữữ

ố ø è ø

ò ò

R

2

a y a b

2 a y

3 3b

ổ ửữ p

ỗ

= pỗỗố - ÷÷ =

ø .

Vậy

2

4 a b V

3 p =

(đvtt) 3 Trường hợp 3.

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y=f(x), y=g(x), x=a

[ ]

x =b (a<b, f(x)³ 0,g(x) ³ x" Ỵ a; b ) quay quanh trục Ox là

b

2

a

V = pò f (x)- g (x) dx

Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y=x2, y2 =x quay quanh Ox

Giải Hoành độ giao điểm

4

x x

x

x x

³ =

ì é

ïï Û ê

í ê =

ï =

ï ë

ỵ .

( )

1

4

0

V x x dx x x dx

Þ = pị - = p ò

-( )

5

0

1x 1x

5 10

p

= p - =

Vậy

3 V

10 p =

(19)

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x=f(y), x =g(y), y=c

[ ]

y= d (c<d, f(y)³ 0,g(y) ³ y" Ỵ c; d ) quay quanh trục Oy là

d

2

c

V = pị f (y)- g (y) dy

Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x= - y2 +5, x= -3 y quay quanh Oy

Giải Tung độ giao điểm

2 y

y y

y

= -é ê

- + = - Û ê =

ë .

( ) ( )

2

V y y dy

-Þ = pị - + -

-( )

2

4

1

y 11y 6y 16 dy

-= p ò - + +

2

5

2

1

y 11y 153

3y 16y

5 -

ổ ửữ p

ỗ

= p ỗỗ - + + ữữữ =

ố ø

Vậy

153 V

5 p =

(đvtt)

VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP

1. Tính I=

 

1

10

1

∫ x dx

Áp dụng kết tính tổng sau:

1 10

10 10 10

1 1

1

2 11

    

S C C C

2. Tính:

 

1

19

1

I ∫x  x dx

Áp dụng kết tính tổng sau:

0 18 19

19 19 19 19 19

1 1 1

2 20 21

S C  C  C   C  C

3. Chứng minh rằng:

1

1 1

1

2 1

n n

n n n

C C C

n n

 

    

 

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=

sin cos

x x



 , biết F ln



 

 

 

2. Tính tích phân sau:

A=

1

2 -

e x x

dx x



∫

B=

2 -2

-1

x dx

∫

C=

0

2 ln 2x dx

∫

A=

3 cos

sin x

e xdx

 ∫

B=

1

ln

e x

dx x

∫

C*=

2

5

dx x x 

∫

D*=

2

11 -1

x dx

x

 ∫

I=1

sin(ln )

e x

dx x

∫

J=

2

sin cot

dx

x x



∫

K=

10

1

lgxdx

(20)

L=

ln

ln 3

x x

dx

e e

  ∫ M= 2 sin cos sin

xdx x x   ∫ N= 2

1 -

dx x ∫ C= 2 sin (1 cos )

x dx

x





∫

A=

1

0

-dx x ∫ B= 3 dx x  ∫ C=

16 -x dx ∫ D= ln 1-1 x x e dx e  ∫ E= 2 1dx x  ∫

A= ln e x dx x ∫

B*=0

sin cos

x x dx

x





∫

C*=

2

lnxdx x

∫

D*=1cos(ln )

e x dx  ∫ E=

3x 2x

dx x  ∫ * 1 x F dx x     ∫ 7. Tính: A= cos xdx  ∫ B= cos xdx  ∫ C= x xe dx ∫ D= x e dx x ∫ E= ln x xdx ∫ F=1 ln e x dx x  ∫ G= 2

x  x dx

∫

H=

4

0

1

x  xdx

∫ I= 1 x dx x ∫ J= 01 x dx x  ∫

8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:

a x=1; x=e; y=0 y=

1 lnx x 

b y=2x; y=3x x=0

c y=sin2xcos3x, trục Ox x=0, x=3



9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) tiếp tuyến với đường

cong (C) điểm có hồnh độ

10.Cho hình phẳng D giới hạn đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0

a Tính diện tích hình phẳng D

b Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox

11.Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 y=0, x=1

khi quay quanh:

a)Trục Ox

b)Trục Oy

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	2,63 MB