Bài giảng Toán cao cấp C

Sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về hàm số, các hàm số thường dùng trong ngành kinh tế, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục,.. Chương II: Đạo hàm và vi phân của hàm số một [r]

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG -

-BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP C

NGƯỜI BIÊN SOẠN: NGUYỄN VIẾT TRÍ ĐƠN VỊ: KHOA CƠ BẢN

GIỚI THIỆU HỌC PHẦN

Toán cao cấp C chương trình Tốn dành cho sinh viên khối ngành kinh tế Nội dung toán cao cấp C gồm phần: Giải tích Đại số Phần giải tích gồm kiến thức hàm số, giới hạn liên tục, đạo hàm vi phân, nguyên hàm tích phân hàm biến số Các khái niệm hàm số nhiều biến số thực Phương trình vi phân Phần đại số gồm ma trận, định thức, hệ phương tuyến tính Đặc biệt ứng dụng nội dung nêu chuyên ngành kinh tế

Tập giảng biên soạn theo chương trình qui định năm 2014 Trường Đại học Phạm Văn Đồng cho khối ngành kinh tế theo học chế tín

Chương trình có chương ứng với tín (45 tiết lên lớp, 90 tiết tự học) Chương I: Hàm số, giới hạn liên tục hàm số biến

Sinh viên cần nắm khái niệm hàm số, hàm số thường dùng ngành kinh tế, giới hạn hàm số hàm số liên tục,

Chương II: Đạo hàm vi phân hàm số biến

Sinh viên nắm khái niệm, cách tính ý nghĩa đạo hàm, vi phân cấp hàm số Áp dụng đạo hàm vi phân chuyên ngành kinh tế

Chương III: Tích phân hàm số biến

Sinh viên nắm vững định nghĩa, phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định hàm số (Hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ ) Nắm biết khai thác ứng dụng tích phân ngành kinh tế cuối nắm tích phân suy rộng

Chương IV: Hàm số nhiều biến số

Sinh viên nắm vững khái niệm hàm nhiều biến số, vấn đề tính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số nhiều biến số Áp dụng kinh tế

Chương V: Phương trình vi phân

Sinh viên nắm vững định nghĩa, cách giải phương trình vi phân cấp 1, thường gặp

Chương VI: Định thức - Ma trận

Sinh viên nắm định nghĩa, tính chất, cách tính định thức, phép tốn tìm hạng ma trận

Chương VII: Hệ phương trình tuyến tính

Sinh viên nắm khái niệm hệ phương trình tuyến tính, điều kiện tồn nghiệm phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Các mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế,

Trong chương sau việc trình bày lý thuyết có nêu lên thí dụ để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý thuật toán để giúp sinh viên dễ dàng tiếp thu học, tự học Cuối chương có câu hỏi tập luyện tập, giúp sinh viên nắm lý thuyết kiểm tra mức độ tiếp thu học Sinh viên cần trả lời câu hỏi làm đầy đủ tập sau chương

+ Thu thập đầy đủ tài liệu tham khảo - Tài liệu bắt buộc:

[1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đơng, Giáo trình toán

cao cấp B C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM

[2] Lê Đình Thúy, Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Kinh tế Quốc dân - Tài liệu tham khảo:

[3] Đỗ Cơng Khanh, Tốn cao cấp 1, ĐHQG Tp HCM

[4] Nguyễn Đình Trí nhiều tác giả khác (2003), Bài tập tốn cao cấp tập II , NXBGD

+ Nắm vững lịch trình giảng dạy, nghiên cứu nắm kiến thức cốt lõi giảng trước lên lớp học

MỤC LỤC

GIỚI THIỆU MÔN HỌC

Chương HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC 6

1.1. Hàm số 6

1.3 Các hàm số đặc biệt 8

1.4 Các hàm số sơ cấp 10

1.5 Giới hạn hàm số 11

1.6 Sự liên tục hàm số 19

Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN 24

2.1 Đạo hàm 24

2.2 Sự khả vi vi phân hàm số 29

2.3 Các định lý hàm số khả vi 31

2.4 Ứng dụng đạo hàm 37

Chương TÍCH PHÂN 46

3.1 Ngun hàm tích phân khơng xác định 46

3.2 Các phương pháp tính tích phân 47

3.3 Tích phân hàm số thường gặp 49

3.4 Tích phân xác định 53

3.6 Ứng dụng tích phân kinh tế 61

Chương HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 68

4.1 Các khái niệm 68

4.2 Giới hạn tính liên tục hàm số nhiều biến 69

4.3 Đạo hàm riêng 71

4.4 Sự khả vi vi phân toàn phần 73

4.5 Cực trị hàm số hai biến 75

Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 85

5.1 Các khái niệm 85

5.2 Phương trình vi phân cấp 86

CHƯƠNG 6: MA TRẬN- ĐỊNH THỨC 99

6.1 Ma trận 99

6.2 Định thức 103

CHƯƠNG 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 113

7.1 Hệ phương trình tuyến tính 113

7.2 Các mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 117

HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 Hàm số

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1 Cho tập X  R

Hàm số biến xác định tập X ( X  R) một quy tắc cho ứng với giá trị biến x thuộc X có giá trị thực biến y

Kí hiệu y = f(x)

· x gọi biến số độc lập, y gọi biến số phụ thuộc · X gọi miền xác định hàm số, kí hiệu Df

TậpY  f X( ) y R x X y  ;  f x( ) gọi tập giá trị hàm số Nếu x x0 X y0 f(x0) gọi giá trị hàm số x0

1.1.2 Các phương pháp cho hàm số 1.1.2.1 Phương pháp giải tích

Cho hàm số đẳng thức mà vế thứ giá trị y hàm x, vế thứ hai nhiều biểu thức giải tích x Tập xác định hàm số tập giá trị đối số x để biểu thức có nghĩa

Thí dụ 1.2.1 a Hàm số y 4x2 có tập xác định tập giá trị x sao

cho 4x2     0 2 x 2



 

 

 



   





 



sinx x

2

b y 3x x

2

cosx x

2

có tập xác định R

1.1.2.2 Phương pháp bảng

Phương pháp giải tích thường dùng nghiên cứu lý thuyết, nhiều khơng tiện lợi thực hành phải tính đủ phép tốn tính giá trị hàm số Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho theo bảng Phương pháp thường dùng vật lý, kỹ thuật

Thí dụ 1.2.2 Người ta lập bảng giá trị hàm số

, , lg , , s inx, t anx,

y x x x

x



1.1.2.3 Phương pháp đồ thị

Tập G( , )x y R2 xX y,  f x( )

lưới điện, đồ thị biểu diễn nhịp tim Nhược điểm phương pháp cho hàm số đồ thị không thật xác

1.1.3 Các phép tốn hàm số 1.1.3.1 Cộng trừ nhân chia hàm số

Định nghĩa 1.2.2 Cho hai hàm số f, g có tập xác định tương ứng tập D G Khi f + g, f – g, f.g, gf (g x( ) 0 ) hàm số xác định X  D G

Thí dụ 1.2.3 Hàm số y x 1 3x tổng hàm số f x( ) x1và hàm số 3x có tập xác định 1,    ,3   1,3

1.1.3.2 Hàm số hợp

Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm số y = f(x) xác định tập X, nhận giá trị tập Y hàm z = g(y) xác định tập Y Khi z hàm x xác định tập X

 ( )

zg f x

z gọi hàm số hợp hai hàm số f g Ký hiệu: g fo

Vậy z x( )g f0 ( )x g f x ( )

Thí dụ 1.2.4 Cho hai hàm số f(x)2x g x( ) x Khi đó:

 g f( )x g f x   g 2x  2x

 

o

  f g x( ) f g x   f  x 2 x

 

o

1.1.3.3 Hàm số ngược

Định nghĩa 1.2.4 Cho hàm số: f X: Y

xa y f x( ) Nếu tồn hàm số :Y X

( )

ya x y cho f x( ) y

thì hàm số  gọi hàm số ngược hàm số f Ký hiệu:

f

   . Ta có: ( )y  f1( )y  f1 f x   x

Chú ý: Người ta thường viết lại hàm số ngược hàm số y f x ( ) y f1( )x

thay cho hàm x f1( )y

Đồ thị hai hàm số ngược đối xứng qua đường phân giác thứ

Thí dụ 1.1.5 Hàm số y = 3x có hàm số ngược x y

1.3 Các hàm số đặc biệt 1.3.1 Hàm số đơn điệu

- Tăng (hoặc giảm) khoảng  a b, x x1, 2( , ) :a b x1  x2 thì

1

( ) ( )

f x  f x ( f x( )1  f x( )2 )

- Tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) khoảng  a b, nếu

1, ( , ) :

x x a b x x

   f x( )1  f x( )2 (hoặc f x( )1  f x( )2 )

Hàm tăng giảm gọi hàm số đơn điệu Thí dụ 1.3.1

- Hàm số

y x hàm giảm nghiêm ngặt khoảng ,0 tăng nghiêm ngặt khoảng 0,

- Hàm số y x3

hàm tăng nghiêm ngặt khoảng  , 

1.3.2 Hàm số bị chặn

Định nghĩa 1.3.2 Hàm số f x( ) gọi bị chặn (hoặc dưới) tập D X (X miền xác định), tồn MR cho ta có: f x( )M (hoặc

( )

f x M ) với  x D

Hàm số y f x( ) gọi bị chặn tập D vừa bị chặn trên, vừa bị chặn tập D Nghĩa tồn MR M: 0 cho f x( ) M; x D

Thí dụ 1.3.2 Hàm số ysinxlà hàm số bị chặn R sinx 1; x R

1.3.3 Hàm số chẵn lẻ

1.3.3.1 Định nghĩa 1.3.3 Cho hàm số y f x( ) xác định tập đối xứng D Hàm số y f x( ) gọi hàm số chẵn (hoặc hàm số lẻ) tập D

D x

 ln có:  xD f( x) f x( ) f( x) f x( ) (hoặc f(  x) f x( )) Thí dụ 1.3.3 Hàm số

yx hàm số chẵn R vì    x R x Rvà ( ) ( )

f  x f x

Hàm số y x3

hàm số lẻ R     x R x R f(    x) x3 f x( )

1.3.3.2 Tính chất

- Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng - Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

1.3.4 Hàm số tuần hoàn

1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4 Cho hàm số y f x( ) xác định tập D

Hàm số y  f x( ) gọi hàm số tuần hoàn D  [ x D,

:

L R L x L D

      cho f x L(  ) f x( )]

1.3.4.2 Chu kỳ hàm tuần hoàn

Định nghĩa 1.3.5 Giả sử y f x( ) hàm số tuần hoàn tập D Nếu tồn số dương T nhỏ cho: f x kT(  ) f x( ); x D; k Z T gọi chu kỳ

Thí dụ 1.3.4 Hàm số y tanx hàm số tuần hoàn với chu kỳ T 

1.3.5 Một số hàm số thường dùng kinh tế

Trong thực tiễn ngành kinh tế người ta thường xét đến nhiều hàm số hàm cung, hàm cầu, hàm sản xuất, hàm tiêu dùng, hàm thu nhập, hàm lợi nhuận,

1.3.5.1 Hàm cung hàm cầu

- Hàm cung hàm biểu thị phụ thuộc lượng hàng cung loại hàng hóa vào giá hàng hóa Hàm cung có dạng: Qs S p 

Khi giá cao người bán thi bán hàng, nên hàm cung hàm đồng biến

- Hàm cầu hàm biểu thị phụ thuộc lượng hàng mua loại hàng hóa vào giá hàng hóa Hàm cầu có dạng: Qd D p 

Khi giá cao người mua mua hàng, nên hàm cầu hàm nghịch biến

- Đồ thị hàm cung hàm cầu (đường cung đường cầu) cắt điểm điểm cân thị trường: Điểm cân thị trường điểm  Q p, trong Q lượng hàng hóa cân p giá cân

1.3.5.2 Hàm sản xuất ngắn hạn

Trong kinh tế “Ngắn hạn khoảng thời gian mà yếu tố sản xuất thay đổi Dài hạn khoảng thời gian mà tất yếu tổ sản xuất thay đổi”

Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng vốn lao động ký hiệu tương ứng K L Trong ngắn hạn K khơng đổi, hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q f L 

1.3.5.3 Hàm doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận

Tổng doanh thu, tổng chi phí tổng lợi nhuận nhà sản xuất phụ thuộc vào sản lượng hàng hóa Khi phân tích sản xuất nhà kinh tế học sử dụng hàm số:

 Hàm doanh thu hàm số biểu thị phụ thuộc tổng doanh thu (ký hiệu TR) vào sản lượng (ký hiệu Q): TR TR Q  

Chẳng hạn, tổng doanh thu nhà sản xuất cạnh tranh hàm bậc nhất: TR p Q

 Hàm chi phí hàm biểu diễn phụ thuộc tổng chi phí sản xuất (ký hiệu TC) vào sản lượng (ký hiệu Q): TC TC Q  

 Hàm lợi nhuận hàm số biểu thị phụ thuộc tổng lợi nhuận (ký hiệu

Hàm lợi nhuận xác định thơng qua hàm doanh thu hàm chi phí (Chưa tính thuế):  TR Q( )TC Q( )

1.4 Các hàm số sơ cấp bản

1.4.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.4.1 Các hàm số sau gọi hàm số sơ cấp + y = C ( C số)

+ Hàm số luỹ thừa y  x , R + Hàm số mũ yax; (0 a 1)

+ Hàm số lôgarit yloga x; (0 a 1)

+ Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx

+ Các hàm số lượng giác ngược: Có bốn hàm số ngược hàm số lượng giác sau đây:

1.4.1.1 Hàm số y = arcsinx hàm số ngược y = sinx

sin arc sinx = y

, 2

y x y  

 



      

Hàm số y = arc sinx có tập xác định [-1,1] có miền giá trị , 2

 



 

 

 

1.4.1.2 Hàm số y = arccosx

 

os arc cosx = y

0,

c y x

y 

 

  



Hàm số y = arccosx có tập xác định [-1,1] có miền giá trị 0,

1.4.1.3 Hàm số y =arctanx hàm số ngược hàm số y= tan x

arc tanx=y  x = tan y với y  ; 2

 

 

 

 

Hàm số y = arc tanx có tập xác định ( , ) có miền giá trị là

; 2

 

 

 

 

1.4.1.4 Hàm số y = arccotx hàm số ngược hàm số y = cotx

arc cot x = y  cot y = x với y 0; .

Hàm số y = arccotx có tập xác định ( , )và có miền giá trị 0,

1.4.2 Hàm số sơ cấp

Thí dụ 1.4.1 Hàm số

2x log ( 5)

y   x  x  hàm số sơ cấp

1.5 Giới hạn hàm số. 1.5.1 Các khái niệm

1.5.1.1 Lân cận điểm

Định nghĩa 1.5.1 Cho điểm x0 R và  0 Lân cận điểm x0 bán kính là tập

tất điểm xR cho x x  Ký hiệu: U( )x0 U(x0)

Vậy: U x( )0  x R x0    x x0  x0,x0

Do lân cận điểm x0 khoảng nhận x0 làm tâm bán kính 

Thí dụ 1.5.1 Lân cận điểm x = bán kính khoảng 1 2,1 2     1,3

1.5.1.2 Các định nghĩa giới hạn hàm số.

Định nghĩa 1.5.2 (Theo ngôn ngữ  )

Cho hàm số y f x( ) xác định lân cận U(x0), (có thể trừ x0)

Số L gọi giới hạn hàm số f x( ) x dần x0  0 cho trước bé tùy ý,    ( ) 0 cho  x U x( ) : 00  x x0   f x( ) L 

Ký hiệu:x xlim ( )0 f x L hay f x( )L x x0

Thí dụ 1.5.2 Dùng định nghĩa chứng minh lim(4x2 x 1)

Giải: Xét 4 1 2

x   x     x  Khi đó:   ta chọn

4

   cho  x U(2) : 0  x   4x  1 x  2  lim(42 1)

x x  Định nghĩa 1.5.3 (Theo ngôn ngữ dãy số)

Cho hàm số y f x( ) xác định lân cận U(x0), (có thể trừ x0)

Số L gọi giới hạn hàm số f x( ) x dần x0 với dãy số

 xn mà xn U x( )0 xn x0 n  dãy giá trị tương ứng hàm

là  f(xn) dần đến L.

Vậy  

0

lim ( ) n , n ( )

xx f x   L  x x U x mà xn x0 f x( )n L

Chú ý: 1) Định nghĩa 1.5.2 (Theo ngôn ngữ    ) tương đương với định nghĩa 1.5.3 (Theo ngôn ngữ dãy số)

2) Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm theo ngôn ngữ dãy số ta áp dụng kết giới hạn dãy số để nghiên cứu giới hạn hàm số thường áp dụng để chứng minh hàm số khơng có giới hạn

Thí dụ 1.5.3 Chứng minh hàm f x( ) sin1 x

Giải: Thật lấy dãy  xn ,  

/

n x với

/

1

;

2 2

2

n n

x x

n n 

 

 xn 0;

/ 0

n

x  dãy giá trị tương ứng hàm dãy ( ) 0 0; ( ) 1/ 1

n n

f x   f x  

Vậy x0 f(x) khơng có giới hạn

1.5.1.3 Giới hạn phía

Định nghĩa 1.5.4 Cho hàm số y f x( ) xác định lân cận trái x0 (có thể

trừ x0) Số L gọi giới hạn trái hàm số f x( ) x dần x0 từ bên trái

nếu  0 cho trước bé tùy ý,    ( ) 0 cho x thuộc lân cận trái của

0

x thỏa mãn 0x0   x  f x( ) L 

Ký hiệu: xlim ( )x0 f x  L hay f x( )L xx0

Tương tự cho hàm số y  f x( ) xác định lân cận phải x0 (có thể trừ x0)

Số L gọi giới hạn phải hàm số f x( ) x dần x0  0 cho

trước bé tùy ý,    ( ) 0 cho x thuộc lân cận phải x0 thỏa mãn

0

0 x x   f x( ) L 

Ký hiệu: xlim ( )x0 f x L hay f x( )L x x0





Định lý 1.5.1 lim ( )xx0 f x L  0

lim ( ) lim ( ) xx f x xx f x L

Thí dụ 1.5.3 0 0

1

( ) 0 lim ( ) 1; lim ( )

1 x x

khi x

f x khi x f x f x

khi x

 

 

 



     

 



Vậy f(x) khơng có giới hạn x0

1.5.2 Giới hạn vô tận giới hạn vô tận: 1.5.2.1 Giới hạn vô tận

Định nghĩa 1.5.5 Cho hàm số y f x( ) xác định x có x lớn

Hàm f(x) gọi có giới hạn L x  ,  0 cho trước bé tuỳ ý, luôn tồn số M 0 lớn tùy ý cho xM f(x) L  Ký hiệu: lim ( )x f x  L

Hàm f(x) gọi có giới hạn L x  ,  0 cho trước bé tuỳ ý, luôn tồn số M 0 lớn tùy ý cho x M f(x) L .

Ký hiệu: xlim ( )f x L

Thí dụ 1.5.4 Chứng minh lim

Với  0 cho trước, muốn có x

x    Do  0 cho trước nhỏ

tuỳ ý ta chọn M



  lớn tùy ý, cho x M

x 

    Vậy lim

xx 

1.5.2.2 Giới hạn vô tận

Định nghĩa 1.5.6 Cho hàm số y f x( ) xác định lân cận U(x0), ( trừ tại

điểmx0) Hàm số f x( ) gọi có giới hạn  x x0, với số A0

lớn tuỳ ý, luôn    A 0 cho xU(x0): 0 x x0 

thì f x( ) A Ký hiệu: lim ( )xx0 f x  

Hàm số f x( ) gọi có giới hạn  x x0, với số A0 lớn

bao nhiêu tuỳ ý, luôn    A 0 cho xU(x0):0 x x 0  thì ( )

f x  A Ký hiệu:lim ( )xx0 f x   Thí dụ 1.5.5 Chứng minh 0

1 lim

x x  

Với số A0 cho trước lớn tùy ý ta có 12 A

x  

2 x

A

   hay x

A

 

Do cần chọn   1A

1.5.3 Một số tính chất hàm số có giới hạn

Định lý 1.5.2

1 Giới hạn hàm số (nếu có) Nếu f x( )C (hằng số) xlim ( )x0 f x C

3 Nếu f x( )g x( ) lân cận x0 xx0 hàm f(x),

g(x) hội tụ xlim ( ) lim ( )x0 f x xx0g x

4 Nếu lim ( )x x 0 f x L tồn lân cận U(x0) thoả

 0

( ) ; :

f x x U x x x

        L 

5 Nếu lim ( ) lim ( )xx0 f x xx0g x tồn lân cận U(x0), xU(x0), xx0:

( ) ( ) f x  g x

Nếu lim ( )xx0 f x L

0

lim ( ) lim ( ) xx f x  xx f x  L

1.5.4 Các phép toán giới hạn

Định lý 1.5.3 Nếu f(x) g(x) hội tụ xx0

( ) ( ) ( ); ( ) ( );

( ) f x

f x g x f x g x

g x



cũng hội tụ xx0

a)  

0 0

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

x x f x g x xx f x x x g x

b) 

 ( ) ( ) lim x g x f x

x 0

lim ( ) lim ( )

xx g x xx f x

c)

0

0

lim ( ) ( )

lim

( ) lim ( )

x x x x

x x f x f x

g x g x

 



 ; với

0

lim ( )

xx g x 

Hệ Nếu tồn lim ( )x x0 f x k c onst 0 lim ( ) lim ( )

xx k f x k xx f x

Hệ Nếu f x f x1( ), 2( ), , f xn( ) số hữu hạn hàm số có giới hạn

0

xx ta có:

a) xlimx0 f x1( ) f x2( )   f xn( )lim ( ) limx x0 f x1 xx0 f x2( ) lim xx0 f xn( )

b) xlimx0 f x f x1( ) ( ) ( )2 f xn lim ( ) limx x0 f x1 xx0 f x2( ) limxx0 f xn( )

1.5.4.2 Giới hạn hàm số hợp

Định lý 1.5.4 (Giới hạn hàm số hợp) Cho hàm số hợp fo Nếu  

0

lim

xx  x u ,

lim ( )

u u f u L   lim

x x f  x   L Thí dụ 1.5.6 Tính 1

2 lim arctan x x x x    

Đặt

2 x u x x  

  u1 1 1

2

1 lim arctan lim arctan x u x x u x x          

1.5.4.3 Giới hạn hàm số sơ cấp

Định lý 1.5.5 (Giới hạn hàm số sơ cấp)

Nếu f(x) hàm số sơ cấp xác định x0 lân cận x0 lim ( )xx0 f x  f x( )0

Thí dụ 1.5.7 lim1 5

4

x x x         

1.5.5 Tiêu chuẩn tồn giới hạn 1.5.5.1 Tiêu chuẩn (Nguyên lý kẹp)

Định lý 1.5.6 Nếu g x( ) f x  h x ; x U x 0 lim ( ) lim ( )x x0g x x x0h x L f(x) hội tụ xx0 lim ( )xx0 f x L

- Áp dụng tiêu chuẩn1 ta chứng minh lim0sinx x x  (1) - Áp dung (1) ta chứng minh ( ) 0lim sin u(x)

( )

Thí dụ 1.5.8 Tính giới hạn sau

0

sin5x-sin3x lim

sin

x x

Giải: 0 0

sin5x sin3x

5 -3

sin5x-sin3x 5 3

lim lim

sin sin x x x x x x x      

1.5.5.2 Tiêu chuẩn (đơn điệu bị chặn)

Định lý 1.5.7 Nếu hàm f(x) hàm số tăng bị chặn khoảng (a,b) hàm f(x) có giới hạn bên trái xb

Định lý 1.5.8 Nếu hàm f x( ) hàm số giảm bị chặn khoảng (a,b) thì hàm f x( ) có giới hạn bên phải xa

- Áp dụng tiêu chuẩn chứng minh tồn giới hạn 1 x x

  

 

 

x  lim 1 x

x  x

  

 

  = e (3)

- Áp dụng giới hạn (3) ta chứng minh được:

( )

( )

lim e ; (k 0)

( ) u x k u x k u x        

  (4)

 1

0

lim x x

x  e (5)  

1 ( ) ( )

lim ( ) x e ; (kk 0) x k x 

      (6)

Thí dụ 1.5.9 Tính giới hạn sau

2 lim x x x x          

2 3

2

1

1 2

lim lim lim

1 1

x x x

x x x

x x

e

x x x x

                                              

1.5.6 Vô bé, vô lớn 1.5.6.1 Định nghĩa:

Định nghĩa 1.5.7 Hàm  x gọi vô bé xx0

0

lim ( )

xx  x 

Hàm  x gọi vô lớn xx0 xlim ( )x0 x   Thí dụ 1.5.10 Khi x 0 ( ) x  sinx VCB Vì

0

lim sinx

x 

Khi x  ( )x x

  VCB Vì lim

x

x  Khi x0 ( )x

x

  VCL Vì lim01

x x  

Định lý 1.5.9

0 0

( ) ( ) lim ( )

( )

x x

f x l x f x l

x VCB x x

 



  

   



1.5.6.3 Các tính chất vơ bé

Định lý 1.5.10 Trong q trình tổng VCB VCB

Tích VCB đại lượng bị chặn VCB nghịch đảo VCB VCL Thí dụ 1.5.11

0

1

lim sin

x x x 

vì xx0 x2 VCB sinx đại lượng bị chặn

1.5.6.4 So sánh vô bé

Định nghĩa 1.5.8 Giả sử ( ) , ( )x  x hai VCB q trình

Khi đó: + Nếu

) (

) (

lim 

x x

 

ta nói (x) VCB bậc cao VCB (x)

hay (x) VCB bậc thấp VCB ( ) x trình đó.

+ Nếu lim ( ) ( )

x k x



   ta nói (x) (x) hai VCB bậc

q trình Đặc biệt:

+ Nếu k 1 ta nói (x) (x) hai VCB tương đương q

trình đó, ký hiệu ( )x :( )x xx0 ( x )

Thí dụ 1.5.12 Khi x0 sinx : x lim0sinx x x 

Khi x ta chứng minh VCB sau tương đương sau:

sinax ax~ ; (a 0) ; arctanax ax~ ; (a 0)

1 ln

log (1a ) ~ ;(0 1)

a

x x a

   ln(1x) ~ x;

2

1

1 cos ~ x x ; ; (1x) 1 ~x; (R); ~ ln ; (0 1)

x

a  x a  a ;

arcsinax ax~ ; (a 0)

1~

x

e  x

1.5.6.5 So sánh VCL

Định nghĩa 1.5.9 Giả sử ( ) , ( )x  x hai VCL q trình ( Chẳng hạn xx0) Khi đó:

+ Nếu lim ( ) ( )

x x



  ta nói ( )x VCL bậc thấp VCL ( )x hay

( )x

+ Nếu )

( ) (

lim L

x x  

ta nói ( )x ( )x hai VCL bậc trong

q trình Đặc biệt, L1 ta nói ( )x ( )x hai VCL tương đương trình

Thí dụ 1.5.13 Khix   x5là VCL bậc cao VCL x x x x4, 3, 2, 1.5.6.6 Áp dụng VCB VCL tìm giới hạn

a Thay tương đương:

Định lý 1.5.11 Nếu    x , x VCB x x0 (x)~1(x); )

( ~ )

(x 1 x

 xx0  

    

0

1

lim lim

x x x x

x x

x x

 

 

  

0 1

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) xx  x  x xx  x  x

Thí dụ 1.5.14 Tìm

0

1 cos tan lim sin x x x x x 

  ( có dạng vơ định

0

) Giải:Khi x ta có  

2

2 2

2

1 cos ~ ; tan ~

2

x

x x x x

  sinx ~ x

Suy ra: 2 2

0 0 0

1 cos tan cos tan 2x

lim lim lim lim lim

sin sin sin

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x

    

       

b Ngắt bỏ VCB bậc cao

Định lý 1.5.12 Nếu  x VCB bậc cao VCB  x q trình nào

đó  x  x : x q trình Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao

Nếu  x 1 x 2 x   n   x ; x 1 x 2 x   m x ;

một trình 1(x); 1(x) VCB bậc thấp tổng

   x , x

  Thì      

0

1

lim lim

x x x x

x x

x x

 

 

   Thí dụ 1.5.15

3

4

0

sin t an x

lim lim

3

3

x x

x x x

x

x x x

 

   

 

Vì x0 sin , tan ,3 x x4, 6 x8

VCB bậc cao x ngắt bỏ c Quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp

Nếu f x   f x1   f x2    f xn  ; g x  g x1 g x2    gm x

các tổng VCL trình f1(x); g1(x) VCL bậc cao tương ứng tổng f x g x( ), ( )

1 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) f x f x

Thí dụ 1.5.16

3 3 3 3

3

2 2

3x 2x 7x 3x 2x 3x

lim lim lim

2

x x x x x x x

        

   

Vì x  37x2 8 VCL bậc thấp 33x3 2x1 3 x1 là

một VCL bậc thấp x2 2, nên vô lớn bậc thấp tử mẫu bị lược

bỏ

1.5.6.7 Một số ứng dụng khử dạng vô định 0; ; ; ; ;1 ; ;0 0

0

 

    



Thí dụ 1.5.17 Tính giới hạn:

1 2

2 2x lim x x x x x     

  2

cot

lim x

x x

2 2x2 3x

5 lim

x x

 

  xlim 1 x x Giải

1

3 2

2

2

3 2x ( 2)( ) ( 1)

6 ( 2)( 3)

lim lim lim

2

x x x x x x

Dang

x x x x x

x

x  x x

          

 

      

  

2 Khi x  ta có 2x2 3x ~ 2x2 ~ 2.

5 5x 5

x

x x

   



Vậy 2x2 3x

5

lim

x x  

Tương tự 2x2 3x

5

lim

x x  

3  2cot2

0

lim x

x x Dạng



Ta có lim 1 2cot2

x

x

x  =  

2 2 tan 2 lim tan0 lim x x x x x x e

x x e e

                  lim 

x  x x (Dạng   ) Ta biến đổi khử dạng vô định

         

lim lim lim

1

x x x

x x x x

x x

x x x x

  

   

    

   

1.6 Sự liên tục hàm số. 1.6.1 Định nghĩa

1.6.1.1 Sự liên tục hàm số điểm

Định nghĩa 1.6.1 Hàm số f(x) gọi liên tục x0 thoả mãn

+ f x( ) xác định x0và lân cận x0

+ lim ( ) ( 0)

0

x f x f

x

x 

Thí dụ 1.6.1

s inx

0 ( )

1

khi x

f x x

khi x

 

  

 



liên tục x = Vì f(x) xác định lân cân x=0

0

s inx

lim ( ) lim (0)

x f x  x x   f

Chú ý: Một hàm không liên tục điểm gọi hàm số gián đoạn điểm

Thí dụ 1.6.2

1

( ) 0

1

khi x f x khi x

khi x

 



 

 



gián đoạn x =

1.6.1.2 Sự liên tục phía

Định nghĩa 1.6.2 Hàm số y  f x( ) gọi liên tục trái x0

+ f x( ) xác định x0và lân cận trái x0

+ lim ( ) ( 0)

0

x f x f x

x  



Tương tự hàm số f x( ) gọi liên tục phải x0

+ f x( ) xác định x0 lân cận phảix0 + lim ( ) ( 0)

0

x f x f x

x  



Định lý 1.6.1 Điều kiện cần đủ để hàm số y f x( ) liên tục x0 y f x( )

liên tục trái liên tục phải x0 1.6.1.3 Sự liên tục khoảng và đoạn

Định nghĩa 1.6.3 Hàm số y f x( ) gọi liên tục khoảng

a;b liên tục mọi

 ;

x a b

Hàm số y f x( ) gọi liên tục đoạn a;b liên tục khoảng a;b liên tục

trái b, liên tục phải a

1.6.1.4 Ý nghĩa hình học hàm số liên tục

A

B A

Nếu hàm số y f x( ) liên tục đoạn a;b đồ thị đường liền nét

nối điểm Aa;f(a) Bb;f(b) (Hình 1.1)

1.6.2 Các phép toán hàm số liên tục

1.6.2.1 Tổng, hiệu, tích, thương hàm số liên tục

Định lý 1.6.2 Nếu hàm số f x g x( ); ( )liên tục x0

( ) ( ) ( ), ( ) ( ),

( )

f x f x g x f x g x

g x



với g(x)0 hàm số liên tục x0 1.6.2.2 Sự liên tục hàm số hợp

Định lý 1.6.3 Nếu hàm u ( )x liên tục x0 hàm f u( ) liên tục u0  x0

thì hàm hợp z fo( )x hàm số liên tục x0

Nếu hàm xlim ( )x0 x L f liên tục L lim (xx0 f0)( )x   f xlim ( )x0 x  f L 

1.6.2.3 Sự liên tục hàm số ngược

Định lý 1.6.4 Hàm số liên tục đơn điệu khoảng có hàm số ngược hàm số ngược đơn điệu, liên tục

1.6.3 Sự liên tục hàm số sơ cấp

Định lý 1.6.5 Mọi hàm số sơ cấp liên tục miền xác định

Thí dụ 1.6.3 Hàm số y s inx 3 hàm sơ cấp xác định R nên liên tục tồn trục số

1.6.4 Các tính chất hàm số liên tục đoạn 1.6.4.1 Tính bị chặn cuả hàm số liên tục

Định lý 1.6.6 (Weierstrass) Nếu f x( )liên tục đoạn  a b, bị chặn trên

đoạn đó, tức M, mR cho m f x( )M; x [ , ]a b

1.6.4.2 Đạt giá trị lớn bé nhất

Định lý 1.6.7 (Weierstrass) Nếu f x( )liên tục đoạn  a b, đạt giá trị lớn

nhất nhỏ đoạn đó, tức là: x x1, 2 a b, cho:

M x f x f x f

m ( 1) ( ) ( 2) ;  x  a b,

1.6.4.3 Nhận giá trị trung gian

Định lý 1.6.8 (Bolzano-Cauchy) Nếu f x( )liên tục đoạn  a b, có

M

m   với m; M giá trị nhỏ lớn f x( ) đoạn tồn điểm c a b, cho f c( )