Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm.. c) Cực trị hàm số: Các ñiểm cực tiểu và cực ñại của hàm số ñược gọi là ñiểm cực. trị hay cực trị của hàm số.[r]
(1)Chng 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
A Lý thuyết:
I Đo hàm cp mt ño hàm cp cao:
1 Đạo hàm: Cho hàm số y= f x( ) xác ñịnh (a b, ), x0∈(a b, ), x∆ số gia ñối số x0 Đặt ∆ =y f x( 0 + ∆x)− f x( )0 gọi số gia hàm số Nếu
0 lim
x
y x
∆ → ∆
∆ tồn hữu hạn ta nói hàm số f có đạo hàm x0 giới hạn gọi đạo hàm f x0, kí hiệu f′( )x0 (hay
0
x x
dy
dx = )
2 Đạo hàm trái: Nếu
0 lim
x
y x −
∆ → ∆
∆ tồn hữu hạn ta gọi đạo hàm trái hàm số x0 kí hiệu f′( )x0−
3 Đạo hàm phải: Nếu
0 lim
x
y x +
∆ → ∆
∆ tồn hữu hạn ta gọi đạo hàm phải hàm số x0, kí hiệu f′( )x0+
4 Đạo hàm khoảng: Nếu hàm số f có đạo hàm điểm x∈(a b, ) ta nói f có đạo hàm (a b, )
5 Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f′( )x xác ñịnh (a b, ) Nếu tốn đạo hàm f′( )x đạo hàm ñược gọi ñạo hàm cấp hai f kí hiệu f′′( )x Ta có f′′( )x =( f′( )x ′)
6 Đạo hàm cấp cao: Đạo hàm cấp n hàm số f x( ), kí hiệu f ( )n ( )x Ta có: f( )n ( )x =( f(n−1)( )x )′
Cơng thức tính đạo hàm bậc cao tổng, tích
( )( ) ( ) ( )
1) f x( )+g x( ) n = f n ( )x + g n ( )x
( )
0
( ) ( ) ( )
2) ( ) ( ) ( ) ( ),
n k n k
n k n k
f x g x C f x g x
=
−
= ∑ với !
!( )!
k n
n C
k n k
=
− (Công thức: 2) gọi công thức Leibnitz)
Cơng thức đạo hàm bậc cao số hàm số
( )
(2)( )
2
2) (sinax)n =an sin(ax +n π)
( )( ) 2
3) cosax n =an cos(ax +n π)
( )( )
4) xm n =m m.( −1)(m−2) (m− +n 1)xm n− ( )( ) ( 1) 1( 1)!
5) ln
n n
n
n x
x
−
− −
=
7 Quy tắc ñạo hàm:
- Đạo hàm tổng, hiệu: (u±v)′ =u′±v′ - Đạo hàm tích: ( )uv ′ =u v′ +v u′
- Đạo hàm thương: u u v 2v u v2
v v v v
′ ′ − ′ ′ − ′
= ⇒ =
- Đạo hàm hàm hợp: (f u x( ( )))′= f′( ) ( )u u x ′
- Đạo hàm hàm ngược: Nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm x0 ( )0
f′ x ≠ , x= g y( ) hàm ngược hàm f x( ) Khi đó: ( )
( )
0
1
g y
f x
′ =
′ Vì x0 = g y( )0 nên ( )
( )
( )
0
0
1
g y
f g y
′ =
′ Từ suy ra: ( )
( )
( )
1
g x
f g x
′ =
′
- Đạo hàm hàm phụ thuộc tham số: Nếu hàm số y =f x( )cho phương trình ( ) & ψ( ); ( , ) ( ) t
t
y
x t y t t f x
x
ϕ α β ′ ′
= = ∈ ⇒ =
′ ( )
1
t
t t t
y f x
x x
′ ′ ′′ =
′
′
- Đạo hàm hàm số dạng y=f x( )g( )x
( ) ( )
( )
ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( )
( )g x
y= f x ⇒ y=g x f x ⇒ y ′= g x f x ′
( )
( ) ln ( ) ( ) ln ( ) y
g x f x g x f x y
′ ′
′
⇔ = + ( ) ln ( ) ( ) ( )
( )
g x f x
y y g x f x
f x
′
′ ′
⇔ = +
( )
( )
( )g x ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( )
y′ f x − g x f x′ f x g x f x
⇔ = +
8 Các công thức tính đạo hàm:
(3)xα
1
xα
α − tan x
2
1 cos x
0 1)
(
x
a
a < ≠ ax lna cot x
2
1 sin x −
x
e ex arcsin x
1 1 x−
loga x
ln
x a arccos x
1 1 x −
−
ln x
x arctan x
1 1+x
sin x cos x arccotx 2
1 x
− +
II Vi phân hàm mt bin:
1 Vi phân hàm biến: Ta nói hàm số y= f x( ) khả vi x viết 0
( )
y A x x
∆ = ∆ + ∆ , A số, 0( )∆x VCB bậc cao x∆ Khi biểu thức A x∆ ñược gọi vi phân hàm số y= f x( ) x0, kí hiệu
0
|x x
dy = hay df x( )0
2 Tính chất: Hàm số y= f x( ) khả vi x0 có ñạo hàm x0 Khi ñó df x( )0 = f′( )x0 ∆ x
Thật vậy, Giả sử hàm số y= f x( ) khả vi x0 ∆ =y A x.∆ +0( )∆x chia hai vế cho x∆ ta ñược y A 0( )x
x x
∆ ∆
= +
∆ ∆
Suy ( )0 ( )
0
0
lim lim
x x
x y
f x A A
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆
′ = = + =
∆ ∆
Ngược lại, tồn ( )0
0
lim
x
y
A f x
x
∆ →
∆ ′
= =
∆ ( )
( )
x y
A y A x x
x x
∆ ∆
⇒ = + ⇒ ∆ = ∆ + ∆
(4)Lưu ý: Ta gọi dy hay df vi phân hàm số y= f x( ) điểm x Khi dy= y′.∆ hay x df = f′( )x ∆ Nếu yx = x dy =dx = f′( )x ∆ = ∆ x x
đó ta đồng dx với x∆
Vậy, vi phân hàm số y= f x( ) là: ( )
df = f′ x dx hay dy = y dx′
Ví dụ: Hàm số y=x3 có vi phân dy=3x dx2
Hàm số y=sinx có vi phân dy=cos x dx
3 Vi phân cấp cao: Cho hàm số y= f x( ) có vi phân dy = f′( )x dx Khi đó, dy có dạng hàm theo biến x với tham số dx
- Vi phân cấp hai: ta gọi vi phân dy vi phân cấp hai hàm số y= f x( ), kí hiệu d y2 = f′′( )x dx2
- Vi phân cấp ba hàm số y= f x( ) vi phân d y2 , kí hiệu ( )
3
d y= f′′′ x dx
- Vi phân cấp n của hàm số y= f x( ) vi phân dn−1y kí hiệu ( )n ( )
n n
d y= f x dx
4 Các quy tắc lấy vi phân
Nếu u v, hai hàm số có đạo hàm khoảng ( , )a b : 1) dc=0 với c=const
2) d u( ±v)=du ±dv 3) d cu( )=c du với c=const
4) d uv( ) = vdu+udv 5)
2
u vdu udv
d
v v
−
=
v≠0
III ng dng c a ño hàm vi phân:
1 Khử dạng vơ định tình giới hạn (Quy tắc L’Hospital):
Tính chất 1: Nếu ( )
( )
0
lim
x x
f x g x
→ có dạng
0 ∞ ∞ mà
( ) ( )
0
lim
x x
f x A g x
→ ′
=
′ ( )
( )
0
lim
x x
f x A g x
→ =
Ví dụ: Tìm
0 lim ln
(5)Ta có
0
ln lim ln lim
1
x x
x x x
x
+ +
→ = → có dạng
∞
∞ Theo Quy tắc L’Hospital ta có
( )
( ) ( )
0 0
ln ln
lim ln lim lim lim
1
1
x x x x
x x
x x x
x
x
+ + + +
→ → → →
′
= = = − =
′
2 Tìm cực trị hàm số:
Cho hàm số y= f x( ) xác ñịnh (a b, )
a) Cực ñại hàm số: Điểm x0∈(a b, ) ñược gọi ñiểm cực ñại có khoảng I chứa x0sao cho f x( )< f x( )0 ,∀ ∈x I \{ }x0
b) Cực tiểu hàm số: Điểm x0∈(a b, ) ñược gọi ñiểm cực tiểu có khoảng I chứa x0sao cho f x( )> f x( )0 ,∀ ∈x I \{ }x0
c) Cực trị hàm số: Các ñiểm cực tiểu cực ñại hàm số ñược gọi ñiểm cực
trị hay cực trị hàm số
d) Cách tìm cực trị hàm số:
(B1) Tính f′( )x ;
(B2) Giải phương trình f′( )x = , tìm điểm dừng xi;
(B3) Tính f′′( )x
(B4) Nếu f′′( )xi > xi ñiểm cực tiểu Nếu f′′( )xi < xi
là điểm cực đại
Ví dụ: Xét hàm
3
y=x − x+
Ta có
' 3
y = x −
2
' 3
1
x
y x
x
=
= ⇔ − = ⇔
= −
Ta có y′′=6 ;x y′′( )1 =6>0; y′′( )−1 = − <6 Vậy, x= cực tiểu; x= − cực đại
3 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:
Cho hàm số y= f x( ) xác ñịnh [a b, ] khả vi khoảng (a b, ) Khi ñó tốn giá trị lớn nhỏ f x( ) [a b, ] cách tìm sau:
(B1) Tính f a( ), f b( );
(6)(B4)
[ , ] ( ) ( ) ( ) ( )
max max{ , ; i }
x∈a b f x = f a f b f x
[ ,] ( ) ( ) ( ) ( )
min min{ , ; i }
x∈a b f x = f a f b f x 4 Tính gần ñúng:
Theo ñịnh nghĩa vi phân ta có:
( ) ( )0 ( ) ( )
f f x x f x f′ x x o x
∆ = + ∆ − = ∆ + ∆
Từ f x( 0 + ∆x)= f x( )0 + f′( )x0 ∆ +x o( )∆x
Vậy, f x( 0+ ∆x)≈ f x( )0 + f′( )x0 ∆x
Ví dụ: Tính gần ñúng sin 65o
Giải: Ta có sin 65 sin 65 sin sin cos
180 36 3 36 2 36
o π π π π π π π
= = + ≈ + = +
B Bài t p
I Bài t p có l i gii: Tính ñạo hàm ñịnh nghĩa: Cho f x( ) = x Tính f x ′( )
Giải
Lấy x0 Theo ñịnh nghĩa ñạo hàm điểm ta có:
0
0
0
0
0
( )
( ) ( )
( ) lim lim lim
o
x x x x x x
x x
f x f x x x
f x
x x x x
→ → →
−
− −
′ = = =
− −
0
(x−x )( x + x0)
( ) ( )
0
0
0
1 1
lim lim ( )
2
o
x→x x x x→x x x x f x′ x
= = = ⇒ =
+ +
2 Cho hàm số
π
≠
= −
=
2
sin
1
( ) 1
0
x
khi x
f x x
khi x
Hãy xét xem điểm x0 =1, hàm số f x( ) có ñạo hàm hay không?
Giải
Xét:
2
1
( ) (1) sin
lim lim
1 ( 1)
x x
f x f x
x x
π
→ →
−
=
− − Đặt
2
1 sin
1 lim
1
x t x
t x
x t
π
= +
= − ⇒ ⇒
(7)2
2 2
0
sin
sin ( )
lim lim
t t
t t
t t
π π π
π π
π
→ →
+
= = =
Vậy f x có đạo hàm điểm ( ) x0 = f′(1)= π2
3 Cho: y = sin ,t x =cos2t với 0, ( ), ( )
t ∈ π Tính y x′ y x′′
Giải
Tacó:yt′ = cos ,t xt′ = −2 cos sint t cos
( ) t
t
y t
y x x
′ ′
⇒ = =
′ −2 cos t
1 sint = −2 sint
2
(sin )
1 1
( )
2 sin cos sin sin cos sin
1
t t
t t t t
y t
y x
x x t t t t t t
′ ′
′ ′
′′ = = − × =− − ×
′
− −
′
1 cos
.(
t
= − −
2
1 )
2 cos
sin t ×− t
1 sint = −4 sin t
4 Tính vi phân hàm số sau : a) y = arctanx3; b) s =et3
Giải
a) ( )
2
6
3
arctan ;
1
x
dy x dx dx
x
′
= =
+
b) ds = ( )et3 ′dt = t e dt2 t3 a) Cho y = x e2 x.Tính y(20)(0) b) y = x cos x Tính d y10
Giải
a) Theo cơng thức Lepnit ta có : ( )
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n k n k
n k n k
f x g x C f x g x
=
−
= ∑ , ta có :
( )(20) ( ) (20) (19)
(20) 2
20 20
(18)
2 2
20 20 20
( ) x o( ) o( )x ( ) ( )x ( ) ( )x o x (2 ) x
y x = x e =C x e +C x ′e +C x ′′ e =C x e +C x e
2 (20) 2
20 20 20 20 20
18 ! 20 !
.2 (0) (2.0) .2
2 !18 !
x o
C e y C e C e C e C
+ ⇒ = + + = = = 19.20.2
18 ! =38
(8)( )(10)
10 cos 2 10
d y = x x dx
( ) ( ) ( )
( ( ) (10) (9 ) ( )) 10
10 cos 10 cos 10 cos
o o
C x x C x′ x C x′′ x dx
= + +
10 10
10
2 cos 10 cos
2
x x π C x π dx
= + + +
( 210x cos 2x 2 10.sin 29 x dx) 10
= − − = −( 210x cos 2x −2 2.5 sin 29 x dx) 10
( )
10 10
2 x cos 2x sin 2x dx
= − +
6 Tìm giới hạn sau ñây :
→ − = − tan ) lim sin x x x a A
x x ;
1 cos ) lim x x b B x → − = ; tan ) lim tan x x c C x π → = Giải: → → → ′ − − + + = = = = = = ′
− − 2
0 0
tan (tan ) cos 1
) lim lim lim
sin ( sin ) cos 1
x x x
x x x x x
a A
x x x x x
( )
0 2 0
1 cos (1 cos ) sin (sin )
) lim lim lim lim
2 (2 )
x x x x
x x x x
b B x x x x → → → → ′ ′ − − = = = = ′ ′ cos lim 2 x x → = =
2 2
1 cos cos
tan (tan )
) lim lim lim
tan (tan )
x
x x x
x x x c C x x π π π → → → ′ = = = ′ 2 2
1 (cos ) lim
3x (cos )
x x π → ′ = ′ 2
1 cos
lim 3x cos
x x π → =
1 sin
lim
3x sin
x x π → − = − sin lim sin x x x π → =
(sin ) lim
(sin )
x x x π → ′ = ′
6 cos lim
2 cos
x
x x
π
→
= 6.( 1)
2.( 1) −
= =
−
II Bài tập không lời giải: Câu 1: Cho hàm số
2sin1 khi 0,
( )
0
x x
f x x
x ≠ = = Tính đạo hàm hàm số ñiểm x =
Câu 2: Chứng minh hàm số sau khơng có đạo hàm x =
2
5
( )
f x = x − x +
(9)( 2 1)
ln sin sin
y = + x + x −
Câu 4: Tìm vi phân cấp hai hàm số
2
1
ln( )
y = x + x +
Câu 5: Tìm vi phân cấp hàm số
1
lnx
y
x x
−
= +
tại ñiểm x = −1
Câu 6: Tính y′x y′′xx hàm số cho hệ phương trình tham số
2
2 ,
x = t −t y = t −t
Câu 7: Tính y′x y′′xx hàm số cho hệ phương trình tham số cos , sin
x =a t y =a t
Câu 8: Tính y′x y′′xx hàm số cho hệ phương trình tham số
2
1
ln( ),
x = +t y = t
Câu 9: Tính y′x y′′xx hàm số cho hệ phương trình tham số
( sin ), ( cos )
x =a t− t y =a − t
Câu 10: Tính y′x y′′xx hàm số cho hệ phương trình tham số
2
1
arcsin ,
x = t y = −t
Câu 11: Chứng minh hàm số y =cosex +sinex thỏa hệ thức
2
0
x
y′′−y′+ye =
Câu 12: Chứng minh hàm số y = 2x −x2 thỏa hệ thức
3
1
y y′′+ =
Câu 13: Chứng minh hàm số y =acos(ln )x +bsin(ln )x thỏa hệ thức
2 0.
x y′′+xy′+ =y
(10)2
2
lim(tan )x
x
x π
−π →
Câu 15: Dùng quy tắc L’Hospital tìm giới hạn sau
( )1
0
lim x x
x→ e +x
Câu 16: Dùng quy tắc L’Hospital tìm giới hạn sau
( )1
lim 2x x
x→+∞ x +
Câu 17: Dùng quy tắc L’Hospital tìm giới hạn sau
2
tan
lim
tan
x
x x
π →
Câu 18: Dùng quy tắc L’Hospital tìm giới hạn sau
1
lim tan
2
x
x
x x
→ +∞
π
+
... x0 =1, hàm số f x( ) có đạo hàm hay khơng?Giải
Xét:
2
1
( ) (1) sin
lim lim
1 ( 1) ... ) (10 ) (9 ) ( )) 10
10 cos 10 cos 10 cos
o o
C x x C x′ x C x′′ x dx
= + +
10 10 ...
x ≠ = = Tính đạo hàm hàm số ñiểm x =
Câu 2: Chứng minh hàm số sau khơng có ñạo hàm x =
2
5
( )