Xác định tọa độ của vị trí phi hành gia (trên trục có gốc A và đi qua B, hướng AB ) sao cho tổng diện tích của phần trái đất và mặt trăng ông ta có thể quan sát được là lớn nhất[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
KỲ THI CẤP TỈNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2009-2010
Mơn : TỐN lớp 12 cấp THPT
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Chú ý : - Đề thi gồm trang, 10 bài, điểm - Thí sinh làm trực tiếp vào đề thi
ĐIỂM CỦA TOÀN BÀI THI CÁC GIÁM KHẢO
(Họ tên chữ ký)
SỐ PHÁCH (Do Trưởng ban
chấm thi ghi)
Bằng số Bằng chữ
2
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, cơng thức áp dụng, kết tính tốn vào trống liền kề tốn Các kết tính gần đúng, khơng có định cụ thể, ngầm định xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phảy
Bài Tính giá trị gần hàm số sau x= 410
3
2 2sin
( )
ln( 4) os3x
x x x
f x
x x c
+ + − =
+ + +
Cách giải Kết quả Điểm
- Chuyển sang hệ rad - Nhập biểu thức
- Sử dụng phím CALC gọi giá trị f(x) x= 410
f(x) ≈ 0,1702
Bài Tính gần giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f x( )= x2+ 3x+ +2 5x x− 2− 4
Cách giải Kết quả Điểm
- Tập xác định
[ ]
1; - Tính f’(x)- Tìm điểm tới hạn xisao cho f(xi) =
- Tính f(xi), f(1), f(4)
- Max f(x) = max {f(xi), f(1), f(4)}
- Min f(x) = {f(xi), f(1), f(4)}
+ max f(x) = 6,0966 + f(x) = 2,4495
0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 1,0
Bài Cho đồ thị hàm số y= ax3+ bx2+ cx d+
qua điểm A(-4;3), B(7;5), C(-5;6), D(-3;-8) Tính giá trị a, b, c, d tính gần khoảng cách điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị
(2)Cách giải Kết quả Điểm - Thay tọa độ điểm vào phương trình hàm số
- Giải hệ phương trình bậc ba ta giá trị a, b, c, d
- Tính y’
- Tìm tọa độ điểm cực đại A, điểm cực tiểu B - Tính khoảng cách AB
563 1320 a=
123 110 b=
25019 1320 c= −
1395 22 d = −
105,1791 AB≈
0,5 0,5 0,5 0,5
Bài Hỏi tập X =
{
1, 2,3, ,9999,10000}
có số khơng chia hết cho số số 3, 4, ?Cách giải Điểm
- Gọi Ai =
{
x X x∈ : chia hết chi i}, i = 3, 4, - Số lượng số cần đếm là:(
)
3
( ) ( ) ( )
N = n X − n A ∪ A ∪ A = n X − N − N + N
Trong đó:
10000 10000 10000
( ) ( ) ( )
3
3333 2500 1428 7261
N = n A + n A + n A = + +
= + + =
2 7
10000 10000 10000
( ) ( ) ( ) 1666
3 7
N = n A ∩ A + n A ∩ A + n A ∩ A = + + =
× × ×
(
)
3
10000
119
N = n A ∩ A ∩ A = = × ×
N= 10000 - 7261+1666 - 119= 4286
1 1 1 Bài Tìm cặp số (x;y) nguyên dương nghiệm phương trình
5x4 - 8(12 – y )2 = 2207352
Cách giải Kết quả Điểm
- Đưa phương trình 12 2207352 x
y −
− = ±
- Xét 12 2207352
8 x
y= + − ( điều kiện x > 25) - 26 STO X, ALPHA X, ALPHA =, ALPHA X+1,
ALPHA : , 12 + ((5 ANPHA X^4-2207352):8), bấm = liên
tiếp Khi x = 28 kết biểu thức nguyên y = 341 - Thế x = 28 vào biểu thức 12 2207352
8 x
y= − − ta giá
trị y = -317 ( bị loại ) (28;341)
2
(3)Bài Tìm nghiệm gần phương trình sau khoảng ;5 4 π π
osx + sinx + + = 10
sinx cosx
c
Cách giải Điểm
- Đặt t = sinx + cosx, t <
- Biến đổi đưa phương trình : 3t3 -10t2 +3t +10 =0
- Giải ta :
2 19 19
2, ,
3
t = t = + t = −
- Chọn t3, ta có : sinx + cosx = - 19
3
2 19
os(x - )
4
c π −
⇔ =
2 19
arcos
4
x π −
⇒ = +
- Tính máy ta kết : x≈ 2,9458
1 1 1
Bài Tìm chiều dài bé thang để tựa vào tường mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m, song song cách tường 0,5m kể từ tim cột đỡ ( hình vẽ)
A
I C
H B //////////////////////////////////////
Cách giải Điểm
Cho AB = l chiều dài thang , HC = m cột đỡ x góc hợp bỡi mặt đất thang Ta có :
-
sinx osx
CH CI AB AC CB
c
= + = +
4
( ) (0; )
sinx 2cos
f x AB x
x π = = + ∈ 3 2 8cos sin '( ) 2sin os x x f x xc x − + = 3
'( ) sin 8cos t anx =
f x = ⇔ x= x⇔
1
0 tan (2) 1,107148718 0;
2
x = − ≈ π
∈
Vậy ABmin = f(x) = f(x ) 5,5902( )0 ≈ m
1 1 1
Bài Cho hình chóp tam giác đều, biết khoảng cách ngắn cạnh đáy cạnh bên đối diện m = 3và góc hợp bỡi mặt bên đáy
80
(4)Cách giải Điểm Tính :
2
(tan 4)
3 tan sin
xq
m
S α
α α + =
3(tan22 4)3 27 tan m
V
α + =
Thay giá trị m= α = 800
Dùng máy tính ta : Sxq ≈ 44,8598 (đvdt) V ≈ 18,0306 (đvtt)
1,5 1,5 1 Bài Cho dãy số ( )un có u1= 1;u2 = 2;u3 = un = 2un−1+ 3un−2− un−3(n≥ 4)
Tính u20và S20 ( tổng 20 số hạng đầu tiên)
Cách giải Kết quả Điểm
Tính theo truy hồi u20 = 274456016
20
S = 417982742
3
Bài 10 Giả sử phi hành gia lơ lửng đường nối A tâm trái đất (bán kính a) B tâm mặt trăng (bán kính b) Cho l = AB Xác định tọa độ vị trí phi hành gia (trên trục có gốc A qua B, hướng AB) cho tổng diện tích phần trái đất mặt trăng ơng ta quan sát lớn tính tổng diện tích lớn Biết diện tích chỏm cầu nhìn thấy 2π rh với r bán kính hành tinh quan sát h chiều cao chỏm cầu Cho bán kính trái đất a≈ 6400km bán kính mặt trăng b≈ 1740km, khoảng cách từ mặt trăng đến mặt đất khoảng 384000km (tức khoảng cách ngắn từ điểm mặt đất đến điểm bề mặt mặt trăng, hai điểm đường thẳng AB)
Ghi chú: Khi cắt hình cầu bỡi mặt phẳng, ta hai chỏm cầu hai phía mặt
cắt Chiều cao chỏm cầu khoảng cách mặt phẳng cắt mặt tiếp diện chỏm cầu song song với mặt cắt.
Cách giải Điểm
M H
A B
(5)- Gọi AM = x tọa độ phi hành gia điểm M trục AB
Ta có : AH=a2
x
AH AC a
h a AC = AM ⇒ ⇒ = − x
- Diện tích khối chỏm cầu mà phi hành gia thấy trái đất là:
2
1 2
a
S ah a a
x
π π
= = −
- Tương tự diện tích khối chỏm cầu mà phi hành gia thấy mặt trăng :
2
2
b
S b b
l x
π
= −
−
- Diện tích khối chỏm cầu phần trái đất mặt trăng mà phi hành gia quan sát : S = S1 + S2
2
2 a b (0 )
S a a b b x l
x l x
π π
= − + − < < −
3
2
2
'( )
( )
a b
S x
x l x
π π
= −
−
3 3
'( ) ( )
S x = ⇔ a − b x − la x a l+ =
Thay giá trị a, b l≈ 384000 + 6400 +1740 = 392140 (km) Giải phương trình ta : x1 ≈ 456911,8555 ( bị loại x1 > l)
x2 ≈ 343452,1938< l
Vậy MaxS = S(x2)
Kết : x≈ 343452,1938 (km) MaxS≈ 27090684,5 (km2)
1 0,5
0,5
0,5 0,5 0,5
(6)