CHUYÊN ĐỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỞ ĐẦU Đa thức là một đề tài khá rộng, đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện ỏ các đề thi trong các Kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia. Trong bài viết này, tôi giới thiệu một số bài toán liên quan đến vấn đề: Sử dụng các tính chất nghiệm của đa thức vào việc giải quyết các bài toán đa thức. CÁC BÀI TOÁN Bài 1. Cho đa thức p(x) = x3 + ax2 + bx + c có 3 nghiệm phân biệt trên R và đa thức p(q(x)), trong đó q(x) = x2 + x + 2011 không có nghiệm thực.
NGHIỆM PHỨC CỦA ĐA THỨC Đa thức đề thi học sinh giỏi thường phức tạp thí sinh, dùng số phức để giải tốn khơng lựa chọn nhiều học sinh em khơng có nhiều điều kiện tiếp xúc Bài viết cố gắng làm nhẹ phức tạp làm tăng điều kiện tiếp xúc cho em qua việc xét nghiệm phức đa thức Bài viết sử dụng kiến thức quen thuộc : định lý Bezout, định lý Viette, kiến thức số phức sách giáo khoa mơn Tốn lớp 12 nâng cao,…, cần lưu ý thêm vài ý sau Đa thức bậc n có khơng q n nghiệm thực Đa thức bậc lẻ ln có nghiệm thực Khi số phức z = a + bi có phần ảo b = mođun z giá trị tuyệt đối phần thực a Cho hai đa thức f(x) g(x) (g(x) không đa thức 0) (tương ứng , , )thì có hai đa thức q(x) r(x) thuộc (tương ứng , , ) cho f(x) = g(x)q(x) + r(x) với deg r(x) < deg g(x) Nếu r(x) = 0, ta nói f(x) chia hết cho g(x) Nếu z nghiệm phức đa thức hệ số thực f(x) nghiệm phức đa thức f(x) Tích hai số phức liên hợp số thực không âm Bài toán mở đầu quen đề thi quốc gia Rumani lâu Bài toán Chứng minh với mà sinthì đa thức chia hết cho đa thức Ta có cách giải quen thuộc chứng minh quy nạp theo n Xét cách giải dùng số phức sau Giải Có Q(x)= (x – x1)(x – x2) với x1 = cos + i sin, x2 = cos – i sin nên ta chứng minh x1, x2 hai nghiệm P(x) Ta có P(x1) = (x1)n sin – x1sinn + sin(n – 1) = (cosn + i sinn)sin – (cos + i sin)sinn + sinncos – cosnsin = .Vì x2 = nên P(x2) = Vậy P(x) Q(x): điều phải chứng minh Phức tạp chút, ta có tốn sau Bài tốn Chứng minh , n khơng chia hết cho đa thức P(x) = chia hết cho đa thức Q(x) = x3 + 2x2 + 2x + Giải 1 + i Đa thức Q(x) = (x + 1)(x2 + x + 1) có nghiệm x1 = – 1, x2 = , 1 i x3 = nên ta chứng minh P(xi) = 0, i = 1,3 Có xP(x) = xP(x) + xn + = (1 + x)n xP(x) = (1 + x)n – xn – từ n lẻ, ta có + x1P(x1) = P(x1) = n n �1 � �1 � i � � � �2 � � 2 i � � � � � � + x2P(x2) = Vì n không chia hết cho 2, n = 6k �1, k�N* Do π π = cos( � ) = 3 2, + 2π 2π cosn = cos( � ) = 3 2, + π π 2π n2π sinn = sin(± ) = sin(± ) = sin 3 3 + 1 x2P(x2) = 2 + Lại có x2 �0 nên P(x ) = cosn nên Vì x3 = nên P(x3) = Vậy P(x) Q(x): điều phải chứng minh Mở rộng chút tốn này, ta có tốn Bài tốn Tìm số ngun dương n để đa thức P(x) = chia hết cho đa thức Q(x) = x3 – 2x2 + 2x – Giải Đa thức Q(x) = (x – 1)(x2 – x + 1) có nghiệm x1 = 1, x2 = 1+2 1 i 2 nên ta tìm để P(xi) = 0, i = , x3 = Có xP(x) = xP(x) + xn +(- 1)n = xP(x) = (x – 1)n – xn – (–1)n Ta có + x1P(x1) = P(x1) = (do x1 = 1) Do P(x1) = n lẻ Lúc xP(x) = (x – 1)n – xn + n n �1 � �1 3 � i � � � �2 � �2 i � � � � � � + x2P(x2) = n n �1 � �1 � i� � i � � � � � 2 � �2 � � � = Do P(x2) = + Vì nên Vậy số n cần tìm số nguyên dương chia cho dư dư Kết hợp với dãy số, ta có thứ (bài đầu ngày thứ hai) VMO 2015 Bài toán Cho dãy đa thức (fn(x) )được xác định f0(x) = 2, f1(x) = 3x, fn(x) = 3xfn-1(x) + (1 – x – 2x2) fn-2(x) với Tìm tất số nguyên dương n để đa thức f n(x) chia hết cho đa thức x3 – x2 + x Bài cách giải đặt dãy hàm phụ đồng dư, cịn có cách giải khác, nhẹ hơn, cách dùng dãy số số phức Giải Xét dãy số với x tham số thực Ta có phương trình đặc trưng u2 – 3xu + (2x2 + x – 1) = có hai nghiệm u1 = x + 1, u2 = 2x – nên Có nên Đặt g(x) = x3 – x2 + x g(x) = x(x2 – x + 1) có ba nghiệm x1 = 0, x2 = , x3 = nên ta tìm để fn(x1) = 0, fn(x2) = ( lúc fn(x3) = ) Ta có + fn(x1) = 0n lẻ n �3 � � �2 i � � � � + fn(x2) = 3i n n �3 � n n � i i � �2 � � � n n n � � � �� � � cos i sin cos i sin � � � �� 6� � 2 �� � � n � n � � n n � � � n � cos i sin cos i sin � � � � � �� 2 � � � � n n � n � � n n � � � n � cos cos sin sin � � i � � � � � � � � � n � n � � n n � � � n 2 � cos cos sin cos � � i � � � � � � � � � n n � n n � cos cos i sin � � � 3 � Do + Kết hợp với n lẻ, chọn Vậy tất giá trị cần tìm Ta xét vài dạng toán khác đa thức sử dụng đến số phức nghiệm phức Bài toán Gọi x1, x2, , xn n nghiệm đa thức với hệ số thực P(x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an Chứng minh Đa thức x2 + có hai nghiệm i –i nên x2 + = (x – i)(x + i) = (i – x)(-i – x) Do cần viết lại P(x) dạng tích thay x i –i để xuất nhân tử Giải Theo gỉa thiết, nên Lại có P(i).P(-i) =( in + a1in-1 + a2in-2 + + an-1i + an)((- i)n + a1(-i)n-1 + a2 (-i)n-2 + + an-1 (-i) + an) = -i2 = -(-i)2 = i4 = (-i)4 = -i6 = -(-i)6 = nên Do P(i).P(-i) = (i n)(-i)n(1 – a1i – a2 + a3i + a4 – a5i – a6 + )(1 – a1(-i) – a2 + a3(-i) + a4 – a5(-i) – a6 + ) = [(1 – a + a4 – a6 + ) – i(a1 –a3 + a5 – )][(1 – a2 + a4 – a6 + ) – (-i)(a1 – a3 + a5 – )] = (1 – a2 + a4 – a6 + )2 – [ i(a1 –a3 + a5 – )]2 = (1 – a2 + a4 – a6 + )2 – (a1 –a3 + a5 – )2 (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Bài tốn sử dụng số phức khía cạnh khác : mơt đa thức hệ số thực có nghiệm phức (thật sự) z có nghiệm , có số chẵn nghiệm phức tích hai nghiệm liên hợp số thực dương Bài toán ( IMO lần thứ 34, năm 1993) Cho f(x) = x n + 5xn-1 + 3, n nguyên, n > Chứng minh f(x) biểu diễn thành tích hai đa thức ( khác số) với hệ số nguyên Giải Khi n = f(x) = x2 + 5x + bất khả quy Khi n 3, giả sử f(x) = g(x).h(x) với g(x), h(x) thuộc có bậc Vì deg g + deg h = n nên hai số deg g, deg h có số lớn Lại có f(0) = số nguyên tố nên Giả sử g(x) = xk + a1xk-1 + a2xk-2 + … + ak (k > 1) Gọi x1, x2, …,xk nghiệm ( nói chung ) g(x) Vì nên (*) Có g(xi) = nên f(xi) = 0, i = Do nên Nhân k đẳng thức dùng (*), ta ( **) Lại có = f(-5) = g(-5)h(-5) (***) Vì k > nên 3k > từ ( **) (***) ta có mâu thuẫn Vậy ta có điều phải chứng minh Kết hợp với kỹ thuật thường dùng toán xác định đa thức xét nghiệm số nghiệm, đồng hai vế, , ta có tốn tương đối phức tạp sau Bài tốn Tìm tất đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn điều kiện (1) Giải Nếu P(x) a (a số) từ (1) ta có Thử lại, chọn hai đa thức P(x) 0, P(x) Xét P(x) không đa thức + Nếu x0 nghiệm thực P(x) nên nghiệm P(x) Tương tự, nên x2 nghiệm P(x) Cứ ta có nghiệm P(x) nên P(x) có vơ số nghiệm ( điều vơ lý) Do P(x) khơng có nghiệm thực + Ta Thay vào (1), Đồng hệ số x4n hệ số tự do, ta có Gọi x1, x2, ,x2n 2n nghiệm phức P(x) Vì nghiệm P(x) nghiệm P(x) nên từ ta có - Nếu , suy P(x) có vơ số nghiệm : loại - Nếu số phức thỏa nghiệm P(x) ta có, suy P(x) có vơ số nghiệm : loại Như phải có hay Vì nên Lại có nên ( thỏa (1)) Vậy tất đa thức cần tìm Để rèn luyện, em học sinh giải tốn sau Chứng minh đa thức P(x) = (x + 1) 4n+2 + (x – 1)4n+2 chia hết cho đa thức Q(x) = x2 + với số tự nhiên n Tìm số nguyên dương n cho đa thức P(x) = x 2n + xn + chia hết cho đa thức Q(x) = x2 + x + ( Kết n số nguyên dương không chia hết cho 3) Có tồn hay khơng số nguyên dương n cho đa thức P(x) = (x + 1) 2n + (x – 1)2n – (2x)2n chia hết cho đa thức Q(x) = x4 – ( Kết không tồn số nguyên dương n) Cho dãy đa thức (fn(x) )được xác định Tìm tất số nguyên dương n để đa thức f n(x) chia hết cho đa thức x3 – 2x2 + 4x ( Kết n số nguyên dương chia dư 3) Cho đa thức hệ số phức P(x) = x n + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an có n nghiệm x1, x2, ,xn , Q(x) = xn + b1xn-1 + b2xn-2 + + bn-1x + bn có n nghiệm x12, x22, ,xn2 Chứng minh tổng a1 + a3 + a5 + a2 + a4 + a6 + số thực tổng b1 + b2 + b3 + +bn số thực (Hướng dẫn: Xét tích P(1).P(-1) xét Q(1)) Cho đa thức Chứng minh (Hướng dẫn: Xét tổng P()+P(-)với ) Mong viết giúp thầy có thêm tài liệu cho em đọc làm tập Những ý kiến trao đổi xin gởi về: Phạm Ngọc Châu, giáo viên Toán trường THPT chuyên Lê Khiết, thành phố Quảng Ngãi, tỉnh Quảng Ngãi ... toán khác đa thức sử dụng đến số phức nghiệm phức Bài toán Gọi x1, x2, , xn n nghiệm đa thức với hệ số thực P(x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an Chứng minh Đa thức x2 + có hai nghiệm i... điều phải chứng minh Bài toán sử dụng số phức khía cạnh khác : mơt đa thức hệ số thực có nghiệm phức (thật sự) z có nghiệm , có số chẵn nghiệm phức tích hai nghiệm liên hợp số thực dương Bài toán... Thử lại, chọn hai đa thức P(x) 0, P(x) Xét P(x) không đa thức + Nếu x0 nghiệm thực P(x) nên nghiệm P(x) Tương tự, nên x2 nghiệm P(x) Cứ ta có nghiệm P(x) nên P(x) có vơ số nghiệm ( điều vơ lý)