Đa thức là một nội dung rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông và được bắt đầu giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp trung học cơ sở.Các bài toán về đa thức thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế và luôn được đánh giá là bài toán khó.Hiện nay, đa thức đã được trình bày ở mức độ hệ thống, các bài tập về đa thức đã được phân loại và khái quát một cách tương đối chi tiết theo các tiêu chí cụ thể. Tài liệu về đa thức tuy có nhiều nhưng thường chỉ dừng lại ở phân loại theo dạng toán như: Nghiên cứu tính chất về các hệ số của đa thức, tính chất về nghiệm của nó hoặc những bài toán về đa thức nguyên, đa thức bất khả quy. Đa thức hai biến cũng được đề cập, nhưng không có nhiều tài liệu và bài toán về đa thức hai biến.Với mong muốn cùng chia sẻ, tìm hiểu và khảo sát sâu hơn các đặc trưng đại số và số học của đa thức hai biến, tôi mạnh dạn viết chuyên đề nhỏ này để bạn bè, đồng nghiệp tham gia, trao đổi góp phần hoàn thiện hơn về đa thức hai biến.
ĐA THỨC HAI BIẾN A - MỞ ĐẦU Đa thức nội dung quan trọng chương trình tốn phổ thơng bắt đầu giảng dạy chương trình đại số cấp trung học sở Các toán đa thức thường xuất kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế ln đánh giá tốn khó Hiện nay, đa thức trình bày mức độ hệ thống, tập đa thức phân loại khái quát cách tương đối chi tiết theo tiêu chí cụ thể Tài liệu đa thức có nhiều thường dừng lại phân loại theo dạng toán như: Nghiên cứu tính chất hệ số đa thức, tính chất nghiệm tốn đa thức nguyên, đa thức bất khả quy Đa thức hai biến đề cập, khơng có nhiều tài liệu toán đa thức hai biến Với mong muốn chia sẻ, tìm hiểu khảo sát sâu đặc trưng đại số số học đa thức hai biến, mạnh dạn viết chuyên đề nhỏ để bạn bè, đồng nghiệp tham gia, trao đổi góp phần hồn thiện đa thức hai biến B - NỘI DUNG Ta xét hàm số hai biến số thực Định nghĩa1: thực với đa thức hai biến số tồn họ số cho có hữu hạn số Tập hợp đa thức nghĩa bậc ký hiệu ta có định : Định nghĩa 2: Đa thức khơng thay đổi đổi chỗ Định nghĩa 3: Giả sử cặp số đa thức bậc gọi đối xứng, và nghĩa ; với gọi Khi Định lý: Hai khẳng định sau tương đương i) đa thức bậc ii) Tồn số thực không đồng thời cho ; Chứng minh dễ thấy Ta có Mà theo giả thiết Với cố định, vế (1) đa thức biến số suy hệ số tương ứng ta So sánh hệ số (đpcm) Định lý Bơ du cho đa thức Giả sử đồng thời bậc đa thức bậc thỏa mãn cho (nếu hai số thực không Khi tồn đa thức ) Chứng minh Do vai trò nhau, giả sử Chú ý đa thức đa thức biến với bậc nhỏ Theo định lý Bơdu cho đa thức biến số, tồn đa thức bậc không vượt cho: Mà Thay vào ta có với , Bài 1: ( IMO -1975) Cho bậc tìm tất đa thức thỏa mãn 1) 2) Giải Nếu Nếu Từ 2) cho , giả sử đa thức bậc thỏa mãn đề Theo định lý Bơdu đa thức hai biến tồn đa thức bậc thỏa mãn +) +) đa thức bậc 2) thỏa mãn điều kiên 1), Nếu Nếu đa thức bậc với thỏa mãn 1), 2) Lập luận tương tự ta Cứ ta (1) Thử lại trực tiếp đk 1), 2) thỏa mãn Vậy Ta xác định (1) có khơng thỏa mãn điều kiện 1), 2) Nhưng Bài : Tìm tất đa thức thỏa mãn Giải Từ (1) suy Giả sử đa thức thỏa mãn đầu Với cố định, ta xét đa thức biến nhận giá trị vô số điểm, suy với Thử lại với đa thức thỏa mãn đề Bài 3: (VMO -2011) tùy ý, Cho số nguyên dương Chứng minh đa thức khơng thể viết dạng hệ số thực, khác đa thức đa thức với Giải Nhận xét tích khơng thể phân Giả sử tồn đa thức , cho thỏa mãn (*) , từ giả thiết có Tồn Với , cố định ta có (1) (2), Thay (1), (2) vào (*) Hay (**) Cho : (3) Nếu +) Cả hai đa thức (vô lý) +) Một hai đa thức lớn Xảy trường hợp sau đồng 0, suy có bậc Giả sử , bậc hạng tử cao đa thức vế phải (3) 1, cịn vế trái (3) (vơ lý) Do hai số Nếu phải có số nhỏ Giả sử từ (3) suy nên vơ lý Nếu từ (3) suy nên (vì +) ; suy lý) Vậy Sử dụng (vô đa thức bất khả quy kết quả: Đa thức biến Bài 4: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng, tồn đa thức Giải cho Nếu với cố định: nên đa Mà thức hằng, với thỏa mãn đầu Nếu Giả Ta chứng minh toán quy nạp theo số bậc sử toán với đa thức (nghĩa đa tồn thỏa mãn có thức đa thức Thật vậy, cho cho tồn cho ; Ta chứng minh thỏa mãn điều kiện +) Với cố định, ta có bậc suy suy cố định, theo biến bé bậc chia hết cho với mà bậc bậc theo biến nhỏ hay biến chia hết bé bậc , mà bậc theo nên ( +) suy nên chia hết hay chia hết Với cố định, suy chia hết với + thỏa mãn giả thiết quy nạp, suy tồn Xét đa thức Khi Bài 5: (Chọn đội tuyển VN - 2008) xác định mà Hãy xác định tất số nguyên dương thực cho tồn đa thức với hệ số thỏa mãn: Với số thực mà Giải Với , xét hai trường hợp Nếu chẵn: ; Ta tìm điều kiện cho đa thức thỏa mãn hai Xét đa thức biến (1) Giả Từ sử (1) suy Mà , suy ; Nhưng theo điều kiện đầu trường hợp không thỏa mãn Hoặc từ (2) ta suy (2) thỏa mãn Mâu thuẫn cho thấy giá trị (vô lý) nên chẵn không thỏa mãn đề Nếu lẻ: Xác định thỏa mãn Đặt +) (*) +) mà m lẻ, suy Từ (*), suy lẻ Đa thức , bậc đạt giá trị nhỏ , Ta chứng minh giá trị thỏa mãn đề Xét , Vậy giá trị cần tìm Bài : Cho đa thức đa thức hằng, thỏa mãn Chứng minh đa thức chia hết cho hai đa thức ; Giải Nếu Nếu khơng chi hết cho tốn ln , giả , với sử đa thức (1) Ta có (2) Từ (2) cho ta (3) Giả sử với thay vào (2) ta (4) Nếu có mà mà nên mâu thuẫn với (1) Nếu mà Nên từ (4) suy mâu thuẫn (1) Chứng tỏ giả sử sai , từ (3) ta Do Vì khác đa thức nên Suy chia hết cho hai đa thức Bài Cho đa thức hai biến thỏa mãn Chứng minh tồn đa thức cho Giải +) Ta cố định , hệ số chứa , xét đa thức biến Đặt )=0 có nghiệm có nghiệm đa thức biến , hệ số phụ thuộc Tương tự ta cố định biến hệ số chứa Xét đa thức , đa thức biến , hệ số phụ thuộc , với đa thức với vơ hạn giá trị Bài Tìm tất đa thức đa thức cho tồn tương ứng thỏa mãn đa thức đối xứng hai biến Giải: đa thức đối xứng hai biến nên ; (1) Với thay (1): ; Giả sử So sánh bậc hai vế (2) + Nếu (1) , (2) mà Vậy với tồn + Nếu Từ thỏa mãn toán (a số) (2) : (1) ; Vậy + Nếu tồn thỏa mãn toán Giả sử So sánh hệ số lũy thừa cao hai vế (2) ta +) Với Vô lý (2) +)Với (2) Đặt (2) suy với hàm chẵn Do Mà Với cho tồn , Ta chứng minh Xét đa thức chứa tồn bậc chẵn khơng trường hợp này, chẳng hạn thỏa mãn Xét thỏa +)Với mãn xác định Vậy với tồn thỏa mãn đề C TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, 2004, Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Sinh Nguyên - Nguyễn Văn Nho - Lê Hồnh Phị, 2003, Tuyển tập dự tuyển Olynpic Toán học quốc tế 1991 - 2001, NXB Giáo dục [3] Tủ sách Toán học Tuổi trẻ, Các thi Olympic Tốn trung học phổ thơng (1990 - 2006), NXB Giáo dục [4] Titu Andresscu, Problem from the book, 2007 [5] Các nguồn tài liệu từ Internet: www.mathscope.org, www.mathlinks.org, www.imo.org.yu ... khác đa thức nên Suy chia hết cho hai đa thức Bài Cho đa thức hai biến thỏa mãn Chứng minh tồn đa thức cho Giải +) Ta cố định , hệ số chứa , xét đa thức biến Đặt )=0 có nghiệm có nghiệm đa thức. .. Nếu Nếu Từ 2) cho , giả sử đa thức bậc thỏa mãn đề Theo định lý Bơdu đa thức hai biến tồn đa thức bậc thỏa mãn +) +) đa thức bậc 2) thỏa mãn điều kiên 1), Nếu Nếu đa thức bậc với thỏa mãn 1),... nghiệm đa thức biến , hệ số phụ thuộc Tương tự ta cố định biến hệ số chứa Xét đa thức , đa thức biến , hệ số phụ thuộc , với đa thức với vô hạn giá trị Bài Tìm tất đa thức đa thức cho tồn tương