hàm biến số phức

y n tại thời điểm n phụ thuộc vào các thành phần tại các thời điểm khác. Phép biến đổi Z có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết xử lý tín hiệu và lọc số, vì nói chung việc khảo sát cá[r]

CHƢƠNG I

HÀM BIẾN SỐ PHỨC

Số phức khởi đầu sử dụng để tính tốn cách đơn giản, nhiên lý thuyết hàm biến phức ngày chứng tỏ công cụ hiệu nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Hầu hết lời giải độc đáo toán quan trọng lý thuyết truyền nhiệt, truyền dẫn, tĩnh điện, thủy động lực sử dụng phương pháp hàm biến phức Đối với vật lý đại, hàm biến phức trở thành phận thiết yếu vật lý lý thuyết Chẳng hạn hàm sóng học lượng tử hàm biến phức

Dĩ nhiên thực thí ngiệm phép đo kết mà nhận giá trị thực, để phát biểu lý thuyết kết thường phải sử dụng đến số phức Có điều kỳ lạ lý thuyết xác phân tích tốn học với hàm biến phức ln dẫn đến lời giải thực Vì hàm biến phức thực công cụ thiếu khoa học kỹ thuật đại

Trong chương tìm hiểu vấn đề giải tích phức: Lân cận, miền, giới hạn, liên tục, đạo hàm hàm biến phức, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent … Để nghiên cứu vấn đề thường liên hệ với kết ta đạt hàm biến thực Mỗi hàm biến phức f z( ) tương ứng với hai hàm hai biến thực u x y( , ), v x y( , ) Hàm biến phức f z( ) liên tục u x y( , ), v x y( , ) liên tục Hàm f z( ) khả vi u x y( , ), v x y( , ) có đạo hàm riêng cấp thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann Tích phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại hàm

( , )

u x y , v x y( , )… ta chuyển tính chất giải tích hàm biến phức tính chất tương ứng hàm thực hai biến tính chất học giải tích

Ngồi xuất phát từ tính chất đặc thù hàm biến phức cịn có cơng thức tích phân Cauchy, khai triển hàm biến phức thành chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, tính thặng dự hàm số điểm bất thường cô lập ứng dụng lý thuyết thặng dư để giải toán cụ thể Cuối ta xét phép biến đổi Z ứng dụng cụ thể khai triển Laurent

1.1 TẬP SỐ PHỨC

1.1.1 Các dạng số phức phép toán số phức

Rất nhiều toán khoa học kỹ thuật thức tế qui giải phương trình đại số cấp hai:

2 0 ( 0)

ax bx c a 

Phương trình có nghiệm thực  b2ac0, nhiên trường hợp phương trình khơng có nghiệm thực, ứng với  b2ac0, thường gặp có nhiều ứng dụng Vì người ta mở rộng trường số thực có lên trường số cho trường số phương trình cấp hai ln có nghiệm

  

2 1 2 0.

x  x i  xi x  i Vậy phương trình có nghiệm: x  i

Mở rộng trường số thực  để phương trình có nghiệm ta trường số phức , phần tử gọi số phức Trường số phức  có cấu trúc trường với phép cộng, phép nhân mở rộng từ phép toán trường số thực

A. Dạng tổng quát số phức

z  x iy, x y, số thực

x phần thực z, ký hiệu Rez

y phần ảo z, ký hiệu Imz

Khi y 0 z x số thực; x 0, z iy gọi số ảo

Số phức xiy, ký hiệu z, gọi số phức liên hợp với số phức z  x iy Nhận xét 1.1: Một số tài liệu ký hiệu phần tử đơn vị ảo j, lúc số phức viết dạng tổng quát z  x jy số phức liên hợp tương ứng z* x jy

Hai số phức z1 x1iy1 z2 x2 iy2 phần thực phần ảo chúng

1

1 1 2 2

1

, ; x x

z x iy z x iy z z

y y

  

       

 (1.1)

Mở rộng phép toán trường số thực ta có phép tốn tương ứng sau số phức

B. Các phép toán số phức

Cho hai số phức z1 x1iy1 z2 x2 iy2, ta định nghĩa:

a) Phép cộng: Tổng hai số phức z1 z2, ký hiệu z z1z2 xác định sau:

   

1 2 2

(x iy )(x iy ) x x i y y (1.2) b) Phép trừ: Ta gọi số phức    z x iy số phức đối z  x iy

Số phức z z1 ( z2) gọi hiệu hai số phức z1 z2, ký hiệu

1

z z z

   

1 2 2

(x iy ) ( x iy ) x x i y y (1.3) c) Phép nhân: Tích hai số phức z1 z2 số phức ký hiệu z z1 2 xác định sau:

d) Phép chia: Nghịch đảo số phức z  x iy 0 số phức ký hiệu z hay

1

z , thỏa mãn điều kiện zz1 1

Đặt z1  a ib, theo công thức (1.1) (1.4) ta

2 2

1

,

xa yb x y

a b

ya xb x y x y

   

   

    



Vậy

2 2

1 x y

i

xiy  x y  x y (1.5)

Số phức z z z1 21 (z2 0) gọi thương hai số phức z1 z2, ký hiệu

1 z z

z

 Áp dụng công thức (1.4)-(1.5) ta có

1 1 2 2

2 2

2 2 2 2 2

x iy x x y y y x x y

i

x iy x y x y

  

 

   (1.6)

Ví dụ 1.1: Cho z  x iy, tính z2, zz

Giải: z2 (xiy)2 (x2y2)i xy(2 ), zz x2 y2 Ví dụ 1.2: Tìm số thực x y, nghiệm phương trình

     

5 xy 1 i x 2i 3  i 11i

Giải: Khai triển đồng phần thực, phần ảo hai vế áp dụng công thức (1.1) ta

2 7

3,

4 11

x y

x y

x y

   

    

    



Tính chất 1.1:

 z1z2 z2z1 ; z z1 2 z z2 1 tính giao hốn

 z1z2 z3  z1z2z3 ; z z z1   2 3  z z z1 2 3 tính kết hợp

 z z1 2 z3z z1 2z z1 3 tính phân bố phép nhân phép cộng

 z z1 2  0 z1 0 z2 0

 zz , zz 0 zz   0 z

 1

2 2 2

; z z z

z

z  zz z  z z (1.7)

 1

1 2 2

2 2

; ; z z

z z z z z z z z

z z

    

     

 Re ; Im

2

z z z z

z z

i

 

  (1.9)

 z  z z (1.10) Ví dụ 1.3: Viết số phức sau dạng z  x iy

a) 32 1i 3i, b) 5

4

i i

   ,

c)

2

1

i i i i i

i

   

 ,

d)

1 i

i 

 

Giải:

a) 32 1i 3i    3 i 9 9 7i,

b) 5 1 4  (4 3) ( 3)

4 16 25 5

i i i

i i

i

       

  

   

  ,

c)  

2 1 1 1 1

1 1 2

i i

i i i i i i i i i i

i i i



       

    

  

hoặc  

2

2 1 1

1 1 2

i i i i i

i i i i i i i i i i

i i i i

   

          

   

d) (3 )( ) 5

1 ( )( ) 2

i i i i i

i i i

     

    

     

Ví dụ 1.4: Giải hệ phương trình

2

z iw

z w i

   

   



Giải: Nhân i vào phương trình thứ cộng vào phương trình thứ hai ta

2  2 1 2 

2 5

i i

i i

i z i z

i

 

 

      

 ,

 1 3

5

i i

w i z i          

 

Ta giải hệ phương trình phương pháp Cramer sau

1 2

i

D    i;

1

z

i

D i

i

  

 ;

1

1

w

D i

i

  



2 (2 )(1 )

1 5

i i i i

z

i

   

   

 ,

1 ( 1)(1 )

1 5

i i i i

w

i

    

  

Ví dụ 1.5: Giải phương trình z22z 5 0

Giải: z22z  5 z12 4 z1   2 2i  z 1 2i z  1 2i Vậy phương trình có hai nghiệm z1   1 ,i z2   1 2i

C. Biểu diễn hình học số phức, mặt phẳng phức

Xét mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy, véc tơ đơn vị hai trục tương ứng

i

 j



Mỗi điểm M mặt phẳng hoàn toàn xác định tọa độ ( ; )x y xác định OM x iy j (Hình 1.1)

Số phức z  x iy hoàn toàn xác định phần thực x phần ảo y Vì có tương ứng 1-1 số phức điểm mặt phẳng

Người ta đồng điểm có tọa độ ( ; )x y với số phức z  x iy, lúc mặt phẳng gọi mặt phẳng phức Trục hoành Ox biểu diễn số thực nên gọi trục thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo nên gọi trục ảo

Tập hợp véc tơ mặt phẳng với phép toán cộng véc tơ, phép nhân số thực với véc tơ tạo thành không gian véc tơ Khi ta đồng điểm M hay véc tơ OM có tọa độ ( ; )x y với số phức z  x iy hai phép tốn hồn tồn tương thích với phép cộng hai số phức phép nhân số thực với số phức

1 ( , )1

OM  x y tương ứng với số phức z1 x1 iy1

2 ( , )2

OM  x y tương ứng với số phức z2 x2iy2

Thì OM1OM2

 

tương ứng với số phức z1 z2 k OM 1



tương ứng với số phức kz1 Ngồi tập hợp số phức cịn có phép nhân phép chia hai số phức, điều cho phép biểu diễn thêm nhiều phép biến đổi hình học mà khơng có phép tốn véc tơ

Hình 1.1: Mặt phẳng phức

x x

M y

y

O i

D. Dạng lƣợng giác dạng mũ số phức

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy, ta chọn Ox làm trục cực điểm ( ; )

M x y có tọa độ cực  r; xác định

 

, ,

r OM  Ox OM  thỏa mãn cos sin x r y r

 

    

 (1.11)

Ta ký hiệu gọi

2

z  r OM  x y (1.12) mô đun

Argz   k2 , k (1.13) argument số phức z  x iy

Góc  số phức z  x iy 0 xác định theo công thức sau

2

tan /

cos /

y x

x x y

 

 



  

 (1.14)

Giá trị Argznằm   gọi argument chính, ký hiệu argz Vậy argz

 

  

Từ công thức (1.11) ta có

cos sin 

z  x iy r i  (1.15) gọi dạng lượng giác số phức

Áp dụng khai triển Mac Laurin

   2    1

0

cos , sin

2 ! !

n n

n n

n n n n

 

    

 

   



 

   2    1

0

cos sin 1

2 ! !

n n

n n

n n

i i

n n

 

    

 

     



 

r 

x x

M y

y

O i j



   

 

 

 

2

0 ! ! !

n n n

i

n n n

i i i

e n

n n



   

  

  

   



  

Vậy ta có cơng thức Euler

cos sin

i

e  i  (1.16)

cos , sin

2

i i i i

e e e e

i

   

      (1.17)

Từ (1.15)-(1.16) ta viết số phức dạng mũ i

z  z e (1.18)

Tính chất 1.2:

 1 2 2

1 2

arg arg Arg Arg ,

z z z z

z z

z z z z k k

 

   

 

 

        

 

 

  

(1.19)

 zz  z2, 1 2

2

z z z

z  z (1.20)

 1 2 1 2 1 1 2 1 2

2

, z z ,

z z z z z z z z

z z

     (1.21)

  

1 2

2

Arg z z Argz Argz , Arg z Argz Argz z

    

    

  (1.22)

 z  x iy x z

y z

     

 z  x  y (1.23)

Ví dụ 1.6:

Hình 1.3: Dạng cực số phức Đƣờng tròn đơn vị mặt phẳng phức đƣợc biểu diễn ei Số phức có dạng rei

a. Tập số phức z thỏa mãn z 2 tương ứng với tập điểm có khoảng cách đến I(2; 0) 3, tập hợp đường trịn tâm I bán kính

b.Tập số phức z thỏa mãn z  2 z i tương ứng với tập điểm cách (2; 0)

A B(0;1) đường trung trực đoạn AB có phương trình 4x2y 3 c. Tập số phức z thỏa mãn z   3 z 10 tương ứng với tập điểm có tổng khoảng cách đến F1( 3;0) F2(3;0) 10, đường elip có phương trình

2

1 25 16

x y

 

Ví dụ 1.7: Áp dụng công thức (1.22) số phức viết dạng mũ (1.18) ta kiểm chứng lại cơng thức cộng góc hàm lượng giác:

1 ( 2)

1 2

cos( ) sin( )

i i i

e e  e     i  

Mặt khác

1

1 2

cos sin cos sin

i i

e e     i       i  

cos1cos2sin sin1 2 i cos sin1 2sin1cos2, Đồng phần thực phần ảo tương ứng theo công thức (1.1) ta

1 2

cos(  )cos cos sin sin 

1 2

sin(  )cos sin  sin cos 

E. Lũy thừa số phức 1) Lũy thừa

Lũy thừa bậc n số phức z số phức

l n n

n

z zzz

Ç

; n *

Từ cơng thức (1.21)-(1.22) ta có

cos sin 

n n

z  z ni n với Argz k2 (1.24)

2 1

 x

y



a)

A B

x y

b)

5 4

x y



Đặc biệt, z 1 ta có

cosisinn cosnisinn (1.25) Gọi (1.25) Công thức Moivre

Ví dụ 1.8: Tính (1i)8

Giải: Ta có i 2ei4



  , (1 i)8  2 8ei84 16ei2 16





    

Ví dụ 1.9: Tính   10

1 3i

 

Giải:

 10 10 10

10

1 2 20 20

1 2 cos sin cos sin

2 3 3

i i  i   i 

       

       

              

    



    

 

210 cos2 sin2 210 ( 19 3)

3 i 2 i i

   

   

   

         

   

Vậy ta có  1 3i9 29  Ví dụ 1.10: Tính tổng

cos cos2 cos

S    n, T sinsin2sinn

Giải: Đặt z cosisin, trường hợp z 1 ta có

1

2 (1 1)

1

n n

n n z z z

S iT z z z z z z z

z z



  

          

 

 

  

      

1 1 1 1

1

1 1 1

n n n n n

z z z z zz zz z z z z z

z z zz z z z z



 

       

  

       

   

 

cos cos( 1) cos sin sin( 1) sin

2 cos

n n   i n n  



       





 

cos cos( 1) cos

2 cos

n n

S   



   

 

 ,  

sin sin( 1) sin

2 cos

n n

T   



  





2) Căn số phức

Số phức  gọi bậc n z n z, ký hiệu nz hay

1 n

z

2

2 , ,

n n

n r r

z k

n k k k

n

 

  

   

 

 

  

 

     

    

 

   

(1.26)

Vì Argument số phức xác định sai khác bội số nguyên 2 nên với số phức z 0 có n bậc n Các bậc n có mơ đun Argument nhận giá trị ứng với k 0, 1, ,n1 Vì bậc n nằm đỉnh n-giác nội tiếp đường trịn tâm O bán kính nr

Ví dụ 1.11: Tính 41i

Giải: cos sin

4

i   i      

 

Các bậc tương ứng là:

0 cos16 isin16

 

    

 ,

8

1 cos(16 2) isin(16 2) i

   

       

  ,

8

2 cos(16 ) isin(16 )

 

       

  ,

8

3

3

2 cos( ) sin( )

16 i 16 i

   

       

 

Ví dụ 1.12: Giải phương trình z4 1 Giải: Nghiệm phương trình bậc  1 cosisin tương ứng là:

0

1

cos sin

4 2

i i

 

     ,

1

1

i i

     , 2 0

2 i

      , 3 0

2 i i

    

1.1.2 Tập số phức mở rộng, mặt cầu phức

Trong 1.1.1.3 ta có biểu diễn hình học tập số phức  cách đồng số phức z  x iy với điểm M có tọa độ ( ; )x y mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy

Mặt khác ta dựng mặt cầu ( )S có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng Oxy O, điểm z thuộc mặt phẳng Oxy tương ứng với điểm  giao điểm

x y

0



1



2



3



O

Hình 1.5: Các bậc bốn 41i

x y

0



1



2

 3

O 1

i

4



của tia Pz mặt cầu ( )S , P điểm cực bắc ( )S

Vậy điểm mặt phẳng Oxy xác định điểm mặt cầu ( )S ngoại trừ điểm cực bắc P

Ta gán cho điểm cực bắc số phức vô  Tập hợp số phức  thêm số phức vô gọi tập số phức mở rộng  Như toàn mặt cầu ( )S biểu diễn hình học tập số phức mở rộng

Quy ước: ( 0), ( 0), ,

0 z

z z z z z

               

1.1.3 Lân cận, miền A.Lân cận

Khái niệm lân cận điểm mặt phẳng phức định nghĩa hoàn toàn tương tự với lân cận 2, hình trịn có tâm điểm bán kính 

lân cận z0  Nlân cận  

 0  

B z  z  zz  (1.27)

     

N

B   z z N   (1.28) B.Điểm trong, tập mở

Giả sử E tập điểm mặt phẳng phức mặt cầu phức Điểm z0 gọi điểm trong E tồn lân cận z0 nằm hoàn toàn E

Tập gồm điểm gọi tập mở C.Điểm biên

Điểm z1, thuộc không thuộc E , gọi điểm biên E lân cận z1 có chứa điểm thuộc E điểm không thuộc E

Tập hợp điểm biên E gọi biên E , ký hiệu E

 



z

x

O y

P

) (S

Hình trịn mở z  zz0 r phần bù hình trịn đóng

z  zz0 r tập mở có biên z  zz0 r

z  zz0 r  

Hình trịn đóng z  zz0 r khơng phải tập mở điểm biên

zz r điểm D.Tập liên thông, miền

Tập D mặt phẳng phức hay mặt cầu phức gọi tập liên thông với điểm D nối chúng đường liên tục nằm hoàn tồn trongD

Một tập mở liên thơng gọi miền

Miền D biên D gọi miền đóng, ký hiệu D, D D D Miền có biên gọi miền đơn liên, trường hợp ngược lại gọi miền đa liên

Ta xét miền miền đóng có biên đường cong trơn trơn khúc Qui ước hướng dương biên miền hướng mà ta biên theo hướng miền D bên tay trái

Miền D gọi miền bị chặn tồn R0 cho z R,  z D 1.2 HÀM BIẾN PHỨC

1.2.1 Định nghĩa hàm biến phức

Định nghĩa 1.1: Một hàm biến phức xác định tập D   quy luật cho tƣơng ứng số phức z D với nhiều số phức w, ta ký hiệu

( ),

w  f z z D

Biến z gọi biến độc lập hay đối số, w biến phụ thuộc hay giá trị hàm Nếu với z cho tương ứng giá trị w f z( ) gọi hàm đơn trị, lúc f ánh xạ từ D vào   Trường hợp ngược lại f gọi hàm đa trị

Hàm số w f z( )z23 hàm đơn trị, hàm số w  f z( ) 3z hàm đa trị

Tập D định nghĩa gọi tập xác định Ta xét tập xác định D miền, D gọi miền xác định

Thông thường người ta cho hàm biến phức dạng công thức xác định ảnh f z( ), miền xác định D tập số phức z cho biểu thức f z( ) có nghĩa

Hàm số ( ) 2 z w f z

z

 

Một hàm biến phức biểu diễn hai hàm thực hai biến ( , )x y sau:

( ) ( )

  ( , ) ( , )

w f z f x iy

w u iv u x y iv x y

   



    

 ;

( , ) ( , ) u u x y v v x y

    

 (1.29)

Chẳng hạn, hàm số wf z( )z2 3 (xiy)2 3 (x2y23)i xy2 có

2 3

2

u x y

v xy

    

 



Trường hợp hàm biến phức biến số thực, nghĩa miền xác định D, ta ký hiệu ( )

w  f t , biến số t thay cho biến số z

Trường hợp miền xác định D tập số tự nhiên tập tập số tự nhiên 

ta có dãy số phức zn  f n n( ), , ta ký hiệu dãy số  zn nhay   n n

z 

 Nếu zn f n n( ); ,n n0, ta ký hiệu  

0 n n n z 

 1.2.2 Giới hạn, liên tục

Định nghĩa 1.2: Dãy số phức   n n

z 

 hội tụ số phứcL, ký hiệu lim n n

z L



 ,

lim n

n

z L



  , nghĩa

0, N :n N zn L

 

        (1.30)

Dãy số  

0 n n

z 

 có giới hạn , ký hiệu lim n n

z 

 ,

0, : n

A N n N z A

        (1.31) Giả sử zn xn iyn, L a ib Khi từ (1.23) suy

lim lim

lim

n n n

n n

n

x a

z L

y b

 



 



   

 

(1.32)

Thật vậy:

Từ bất đẳng thức zn L xn  a yn b suy

lim

lim lim

n n

n

n n

n

x a

z L

y b



 

 

  

 

 

Bất đẳng thức n n

n n

x a z L

y b z L

   



   

 suy

lim lim

lim

n n n

n n

n

x a

z L

y b

 



 



   

 

Định nghĩa 1.3: Ta nói hàm biến phức w f z( ) xác định lân cận z0 có giới hạn L z tiến đến z0, ký hiệu

0 lim ( ) z z

f z L 

 , với lân cận B L  tồn lân cận B z 0 cho với zB z 0 , z z0 f z( )B L 

Định nghĩa phát biểu cho tất trường hợp z0, L số phức hữu hạn  Cụ thể:

 Trường hợp z0,L hai số phức hữu hạn:

   

0

0

lim 0, : ,

z z

f z L   z z z  f z L 



             (1.33)

Từ (1.23), (1.27) tương tự (1.32) ta có:

  0

0

0

0 ( , ) ( , )

0 ( , ) ( , )

lim ( , ) lim

lim ( , ) x y x y

z z

x y x y

u x y u

f z L

v x y v 





 

 

   

 

(1.34)

Trong z  x iy z, 0 x0iy0, Lu0iv0

 Trường hợp z0  , L:

   

lim 0, : ,

z

f z L  N z z N f z L 



           (1.35)

 Trường hợp z0 , L :

   

0

0

lim 0, : ,

z z

f z N  z z z  f z N



             (1.36)

 Trường hợp z0  , L :

lim   0, : ,  

z

f z M N z z N f z M



           (1.37)

Định lý 1.1:  

0

lim

z z

f z L



 với dãy   n n

z 

 , zn z0 f z n L Như giới hạn hàm số z z0 không phụ thuộc vào đường z tiến đến z0 Định nghĩa 1.4: Hàm biến phức w  f z  xác định miền chứa điểm z0 đƣợc gọi

liên tục z0    

0

0

lim

z z

f z f z



Hàm biến phức w  f z  liên tục điểm miền D đƣợc gọi liên tục D Từ (1.34) suy hàm biến phức liên tục hai hàm thực hai biến xác định (1.29) liên tục Do ta áp dụng tính chất liên tục hàm thực hai biến cho tính chất liên tục hàm biến phức

1.2.3 Hàm khả vi, phƣơng trình Cauchy-Riemann

Giả sử z  x iy điểm thuộc miền xác định D hàm biến phức đơn trị  

w  f z

Với số gia biến     z x i y thỏa mãn z   z D, ta số gia hàm

( ) ( )

w f z z f z

    

Định nghĩa 1.5: Nếu w z



 có giới hạn hữu hạn  z 0 ta nói hàm w  f z  khả vi

(hay có đạo hàm) z, giới hạn đƣợc gọi đạo hàm z, ký hiệuf z'  w z'  Vậy

 

0

( ) ( )

' lim

z

f z z f z

f z

z  

   

 (1.38)

Rõ ràng hàm số có đạo hàm z liên tục z Ví dụ 1.13: Cho w z2C , tính w z' 

Giải: w z z2 C (z2 C) 2z z z2 w 2z z z

  



              

  ,

Do    

0

' lim lim 2

z z

w

w z z z z

z

   



    



Định lý 1.2: Nếu hàm biến phức wf z( )u x y( , )iv x y( , ) khả vi z  x iy phần thực u x y( , ) phần ảo v x y( , ) có đạo hàm riêng cấp ( , )x y thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann:

( , ) ( , )

( , ) ( , )

u v

x y x y

x y

u v

x y x y

y x

  

 

  



  

  

  



(1.39)

Ngược lại, phần thực u x y( , ), phần ảo v x y( , ) khả vi ( , )x y thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann w f z( ) khả vi z  x iy

 

' u( , ) v( , ) v( , ) u( , )

f z x y i x y x y i x y

x x y y

   

   

    (1.40)

Chứng minh: Hàm biến phức w f z( ) có đạo hàm z  x iy, tồn giới hạn  

0

' lim

z

w f z

z  

 

không phụ thuộc đường z tiến đến Xét trường hợp   z x ta có:

  0 ( , ) ( , )  ( , ) ( , )

' lim

x

u x x y u x y i v x x y v x y

f z

x

 

      





 ,  ,

u v

x y i x y

x x

 

 

  (1.41)

Tương tự   z i y thì:

     

0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

' lim

y

u x y y u x y i v x y y v x y f z

i y  

      





1

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

u v v u

x y x y x y i x y

i y y y y

   

   

    (1.42)

So sánh (1.41)-(1.42) ta có điều kiện (1.39)

Ngược lại, từ giả thiết u x y( , ), v x y( , ) khả vi ( , )x y suy

u u

u x y z

x y 

 

      

 

2

v v

v x y z

x y 

 

      

 

trong   z x2  y2

1,

    z

Do

 2

u u v v

x y i x y i z

x y x y

w u i v

z x i y x i y

 

     

           

   

   

   

         

      

Thay u( , )x y v( , ),x y u( , )x y v( , )x y

x y y x

   

  

   

Ta w u i v  1 i 2 z u i v

z x x   z x x

  

     

     



       ,  z

Ví dụ 1.14: Hàm wz2C (x2y2) C i xy(2 ) ví dụ 1.13 có

2

u v

x

x y

u v

y

y x

  

  

  



  

    

  



,

do hàm khả vi điểm w z' 2xi y2 2z Ví dụ 1.15: Hàm w   z x iy có u 1, v

x y

    

  , đạo hàm riêng không thỏa

Định nghĩa 1.6: Hàm đơn trị w f z( ) khả vi lân cận z đƣợc gọi giải tích (analytic) hay chỉnh hình (holomorphe) z

Nếu f z( ) khả vi điểm D ta nói f z( ) giải tích D ( )

f z giải tích miền đóng D giải tích miền chứa D

Khái niệm khả vi đạo hàm hàm biến phức định nghĩa tương tự trường hợp hàm thực công thức tính đạo hàm biến phức tính qua đạo hàm riêng (1.40), tính chất quy tắc tính đạo hàm biết hàm thực hàm biến phức Cụ thể

f z( )g z( )  f z( )g z( ) (1.43) f z g z( ) ( ) ' f z g z'( ) ( )f z g z( ) '( ) (1.44)

 2

( ) '( ) ( ) ( ) '( )

, ( )

( ) ( )

f z f z g z f z g z

g z

g z g z



  

   

 

 

  (1.45)

 

f u z( ) f u u z'( ) '( ) (1.46) 1.2.4 Các hàm biến phức sơ cấp

A. Hàm lũy thừa w zn, n nguyên dƣơng 

Hàm số lũy thừa xác định giải tích với z, có đạo hàm wnzn1 Nếu z rcosisin w rncosnisinn

Vậy ảnh đường trịn z R đường tròn w Rn Ảnh cúa tia Argzk2 tia Argw nk2 Ảnh cúa hình quạt argz

n



  mặt phẳng w bỏ trục thực dương

n



2

x y

O

Mặt phẳng Z

u v

Mặt phẳng W

B. Hàm w nz

Hàm bậc n : w nz hàm ngược hàm lũy thừa bậc n Mọi số phức khác có n bậc n, hàm hàm đa trị

C. Hàm mũ w ez

Từ công thức Euler (1.16) ta định nghĩa hàm mũ xác định sau cos sin 

z x iy x iy x

w e e  e e e yi y (1.47)

 ez ex, Arg( )ez  y k2

 Hàm mũ giải tích điểm  ez  ez

 e ez z1 ez1z2,

1

1 2

z

z z z

e e e



 ,   n

z nz

e e , ez ik 2 ez, k  (1.48)

 e0 1 , ei2 i e, i 1





   

 Qua phép biến hình w ez, ảnh đường thẳng x a đường tròn w ea, ảnh đường thẳng y b tia Argw  b k2

Ảnh băng 0 y 2 mặt phẳng w bỏ nửa trục thực dương D. Hàm lôgarit

Hàm lôgarit hàm ngược hàm mũ xác định sau: w Lnz z ew

 

Ln cos sin

arg

u

w u iv u e z

w z u iv z e e e v i v

v z k 

  

         

  



Re ln

Ln

Im arg

w z

w z

w z k 

 



  

 

 (1.49)

x y

O

a

x

b y

O ea u

v

b

Mặt phẳng Z Mặt phẳng W

Điều chứng tỏ hàm lôgarit phức hàm đa trị Ứng với z có vơ số giá trị w, giá trị có phần thực cịn phần ảo bội số nguyên 2

Ứng với k ta có nhánh hàm lôgarit

Để tiện cho việc khảo sát, người ta tách hàm w Lnz thành nhánh đơn trị sau Trong công thức (1.49) ta cố định k k0

 0 

ln arg

w  z i zk 

trở thành nhánh đơn trị hàm lôgarit Nhánh biến miền   argz mặt phẳng Z thành băng 2k01Imw2k0 1 mặt phẳng W Nhánh đơn trị ứng với k 0 gọi nhánh đơn trị ký hiệu lnz Vậy

lnz lnz iargz

trong lnở vế trái hàm lơgarit biến phức ln vế phải hàm lôgarit biến thực

 Ln  1 ln 1 iarg( 1) k2  2k1i ln  1 i

          

1 2

2

Ln z z Ln z Ln z , Ln z Ln z Ln z , Lnzn nLnz z

    

     

 

Các nhánh đơn trị hàm lôgarit giải tích nửa mặt phẳng phức Z bỏ nửa trục thực âm (x 0)

Ví dụ 1.16: Tìm lơgarit 1i

Giải: Vì i 2ei4



  , do ln(1 ) ln

i i

   .

E. Các hàm lƣợng giác phức

Mở rộng công thức Euler (1.17) cho đối số phức ta hàm lượng giác phức

cos , sin ;

2

iz iz iz iz

e e e e

z z z

i

 

 

    (1.50)

 

sin cos

tan , ; cot ;

cos sin

z z

z z k z z k

z z

 

    

Tính chất 1.3:

Các hàm lượng giác phức cịn giữ nhiều tính chất hàm lượng giác thực

 Hàm cos , sinz z tuần hoàn chu kỳ 2, hàm tan , cotz z tuần hoàn chu kỳ 

 Các hàm lượng giác phức giải tích miền xác định sinz  cos , cosz  z  sinz tan  12 , cot  21

cos sin

z z

z z



   

 Các cơng thức cộng góc, hạ bậc, tổng thành tích, tích thành tổng cịn

Tuy nhiên có tính chất hàm lượng giác thực khơng cịn hàm lượng giác phức Chẳng hạn hàm lượng giác thực bị chặn hàm lượng giác phức khơng bị chặn (ta chứng minh điều cách áp dụng định lý Louville):

Từ đẳng thức cos2xsin2x 1suy cosx 1, sinx 1,  x 

nhưng cos 1, sin

2

n n n n

e e e e

ni ni

i

   

    n1

F. Các hàm lƣợng giác hyperbolic phức

sinh cosh

cosh , sinh , , coth

2 cosh sinh

z z z z z z

e e e e

z z z z

z z

 

 

    (1.51)

Tính chất 1.4:

 Các hàm lượng giác hyperbolic phức giải tích miền xác định

sinhz cosh , coshz  z sinhz,

  12   12

tanh , coth

cosh sinh

z z

z z



   

 coshzsinhz ez, coshzsinhz ez, siniz isinh , cosz iz coshz

 cosh2zsinh2z 1, sinh 2z 2cosh sinh , cosh 2z z z cosh2z sinh2z

1.3 TÍCH PHÂN PHỨC, CƠNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Trong mục ta nghiên cứu tích phân phức hàm đơn trị 1.3.1 Định nghĩa tính chất

Khái niệm tích phân phức dọc theo đường cong định nghĩa tương tự tích phân đường loại

Giả sử hàm biến phức đơn trị wf z( )u x y( , )iv x y( , ) xác định miền D L đường cong (có thể đóng kín) nằm D có điểm mút đầu A mút cuối B

Chia L thành n đoạn điểm Az z z0, ,1 2, ,zn B nằm L theo thứ tự tăng dần số

Chọn cung zk1,zk đường cong L điểm k k ik Đặt zk xk iyk,

1, 1, 1; 1,2, ,

k k k k k k k k k

z z z  x x x  y y y  k n

         

1 ( ) n

n k k

k

S f  z



được gọi tổng tích phân hàm f z( ) L ứng với phân hoạch z z0, , ,1 zn cách chọn điểm k k ik Tổng nói chung phụ thuộc vào hàm f z( ), đường L, cách chia L điểm zk cách chọn điểm k (xem hình 1.7)

Khi

1max k n zk  tổng Sn tiến tới giới hạn I  không phụ thuộc cách chia đường

L chọn điểm k ta nói hàm f z( ) khả tích cung AB I gọi tích phân hàm f z( ) dọc theo đường cong L từ A đến B, ký hiệu



( ) AB

f z dz

 Vậy



  1max

( ) lim

k k n

n

k k

z k

AB

I f z dz f  z

    

     (1.53) Mặt khác, tổng tích phân (1.52) phân tích thành tổng tổng tích phân đường loại

       

1

, ,

n n

k k k k k k k k

k k

f  z u   iv   x i y

 

 

       

 

       

1

, , , ,

n n

k k k k k k k k k k k k

k k

u   x v   y i v   x u   y

 

   

           (1.54) Tương tự (1.32), áp dụng (1.23) ta có

1

1

max

max

max

k k n k

k n

k k n

x z

y    

 

  

    

 



Vì tích phân phức (1.53) tồn hai tích phân đường loại có tổng tích phân (1.54) tồn có đẳng thức

 

  

AB AB AB

f z dz  udx vdyi vdx udy

   (1.55)

Mặt khác, hàm wf z( )u x y( , )iv x y( , ) liên tục D đường L trơn khúc tồn hai tích phân đường loại vế phải (1.55) (ta biết Giải tích 2), tồn tích phân phức tương ứng

x y

0

z

A

n z

B

1



k

z zk





 k



O

Từ đẳng thức (1.55) suy tích phân phức có tính chất tương tự tính chất tích phân đường loại

     



 



 



AB AB AB

f z g z dz  f z dz  g z dz

   , (1.56)

  



 



AB AB

kf z dz k f z dz

  ; kconst, (1.57)

  



 



AB BA

f z dz   f z dz

  , (1.58)

    

L L

f z dz  f z ds

  (1.59)

vế phải bất đẳng thức (1.59) tích phân đường loại dọc theo cung L có vi phân cung:

2

ds  dz  dx dy

Đặc biệt, f z  M,  z L l độ dài đường cong L  

L

f z dz M 

 l (1.60)

Khi A trùng với B L đường cong kín (ta xét đường cong kín khơng tự cắt, gọi đường Jordan) Tích phân đường cong kín L lấy theo chiều dương L ký hiệu  

L

f z dz

 , trường hợp lấy theo chiều âm ta ký hiệu   L

f z dz

 Ví dụ 1.17: Tính tích phân



2 AB

I   z dz; A0,B  2 4i Dọc theo parabol y x2, 0 x

2 Dọc theo đường thẳng nối A B

Giải:

x y

A

B

2

i

4

   

2 ( ) (2 ) ( 2) 2 2 ( 2)

AB AB AB AB

I   z dz   xiy dx idy   x y dx xydyi xydx  x y dy

1 Nếu lấy tích phân dọc theo y x2 dy 2xdx

   

2

2 4

0

88 16

4 2

3

I  x x x dx i  x x x x dx i

             

   

 

2 Nếu lấy tích phân dọc theo đường thẳng nối từ A đến B y 2x, dy 2dx

       

2

2

2

0

88 16

2 2 2 2

3

I  x  x  x x dx i  x x  x  x dx    i

   

 

Qua ví dụ ta nhận thấy giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B Các định lý sau cho điều kiện cần đủ để tích phân phức khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân nối hai đầu mút đường

1.3.2 Định lý tích phân Cauchy tích phân không phụ thuộc đƣờng

Định lý 1.3: Điều kiện cần đủ để tích phân hàm f z( ) miền D không phụ thuộc vào đường lấy tích phân tích phân f z( ) dọc theo đường cong kín (không tự cắt nhau) D phải

Chứng minh: Giả sử L1, L2 hai đường cong nối A, B D Ta xét đường cong kín L gồm L1, L2, L2 cung ngược chiều L2

         

1 2

0

L L L L L

f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz

   

      

   

1

L L

f z dz f z dz

 

   

Ngược lại, giả sử L đường cong kín nằm D Chọn hai điểm khác A, B nằm L, ký hiệu L1, L2 cung L nối từ A đến B





A

B

1

L

2

L

     

1

0

L L L

f z dz f z dz f z dz

 

  

  

Định lý 1.4: Nếu hàm biến phức w f z( ) giải tích miền đơn liên D tích phân ( )

f z dọc theo đường cong kín L D

Chứng minh: Áp dụng định lý Green chuyển tích phân đường loại tích phân kép cơng thức (1.55) ta có

 

L L L

v u u v

f z dz udx vdy i vdx udy dxdy i dxdy

x y x y

 

      

   

           

    

   

    

trong  hình phẳng giới hạn đường cong kín L nằm D

Vì w f z( ) giải tích miền đơn liên D nên hàm dấu tích phân hai tích phân kép vế phải thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann Vậy  

L

f z dz 



Hệ 1.1: Nếu w f z( ) giải tích miền kín đơn liên D khả tích biên D

 

D

f z dz 





Chứng minh: Tồn miền đơn liên G D f z( ) giải tích G Áp dụng định lý 1.4 cho hàm f z( ) G tích phân lấy đường cong kín  D G

Hệ 1.2: Giả sử hàm f z( ) giải tích miền kín đa liên D có biên 0 biên 1, ,n khả tích biên

   

0 k

n k

f z dz f z dz 

 

 

  (1.61)

Chứng minh:

Cắt D theo lát cắt nối 0 với 1, , n ta miền đơn liên (xem hình 1.10) Theo hệ 1.1 tích phân biên miền ý lúc tích phân

0



1



n



trên đường nối 0 với 1, , n lấy hai lần ngược chiều tích phân

biên    

0

0

k

n k

f z dz f z dz 

 

 

  Chuyển vế ta đẳng thức cần chứng minh Có thể chứng minh hệ 1.1 hệ 1.2 f z( ) giải tích D liên tục D

Ví dụ 1.18: Tính tích phân

  ;

n n

L dz

I n

z a

 



 

trong L đường cong kín khơng qua a

Giải: Gọi D miền giới hạn L

 Nếu a D  

 

1 n f z

z a



 giải tích D nên

0 n I 

 Nếu aD Gọi Cr z  za r đường trịn tâm a bán kính r Chọn r đủ bé để Cr D Xét D' miền nhị liên có cách lấy miền D bỏ hình trịn tâm a bán kính r D' có biên ngồi L, biên Cr

 

 

1 n f z

z a



 giải tích D'

Theo hệ 1.2 ta có

  r  

n n n

L C

dz dz

I

z a z a

 

 

 

Phương trình tham số Cr : z  a reit; 0 t 2 Do

2

0 int

(1 )

1

khi

2

0

1

khi

it

n n

i n t n

idt n

i n

rie

I dt

n r e

e dt n

r

 





 



 

 

  

 



   

 

 

 

 



(1.62)  a

r

C L

1.3.3 Nguyên hàm tích phân bất định

Hàm F z( ) gọi nguyên hàm hàm biến phức f z( ) F z'( ) f z( ) Tương tự hàm thực, ta chứng minh F z( ) nguyên hàm f z( ) F z C (với số C tùy ý) nguyên hàm f z( ) nguyên hàm f z( ) có dạng

Tập hợp nguyên hàm f z( ) gọi tích phân bất định f z( ), ký hiệu ( )

f z dz



Định lý 1.5: Giả sử hàm f z( ) giải tích miền đơn liên D, z0 D, tích phân dọc theo cung nối điểm z0 đến điểm z không phụ thuộc đường nằm D Hàm biến phức xác định sau

 



0 0

( ) : ( )

z

z z z

F z   f z dz   f z dz

là nguyên hàm f z( ) Trong vế phải đẳng thức tích phân phức lấy theo đường cong nằm D nối z0 đến z

Định lý 1.6 (Công thức Newton - Lepnitz): Giả sử F z( ) nguyên hàm f z( ) miền đơn liên D Khi đó, với z z0, 1 D ta có:

       

1

1 0

1

z

z z z

f z dz F z F z F z

 (1.63)

Ví dụ 1.19: e dzz ez C,

1 n

n z

z dz C

n 

 



 ,  sinzdz  coszC ;

2 3 4

2

0

8 88 16

(1 )

3 3

i

i

z

z dz i i





     

 (xem ví dụ 1.17)

Hàm f z( )zsin( )z2 có nguyên hàm 1cos( )2

2 z



   

2 2

0

1 1

sin( ) cos( ) cos cos( ) cos( )

2 2

i i

z z dz z

 

 

      



1.3.4 Cơng thức tích phân Cauchy

Định lý 1.7: Giả sử f z( ) giải tích miền D (có thể đa liên) khả tích biên D Khi đó, với aD ta có:

1 ( )

( )

2 D

f z

f a dz

i z a

 





Hoặc

( ) ( ) D

f z

dz if a

z a 



 

 (1.65)

Chứng minh: Với 0 chọn r đủ bé để đường trịn tâm a bán kính r: Cr D

( ) ( )

f z f a  với z z:|  a| r (điều có vìf z( ) liên tục a) Gọi Dr miền có cách bỏ hình trịn Cr z  za r từ miền D Biên Dr gồm biên D D Cr

Hàm f z 

z a giải tích miền Dr , áp dụng hệ 1.2 ta

1 ( ) ( ) ( ) ( )

0

2 2

r r

D C D C

f z f z f z f z

dz dz dz dz

i z a i z a i z a i z a

               

Mặt khác, từ (1.62) ta có

           

1 1

2 2

r r r

D C C C

f z f z f a f z f a

dz f a dz dz dz

i z a i z a i z a i z a

    



   

   

   

   

1

2

2

r

C

f z f a

dz r

z a r



 

 



    





Vì 0 bé tuỳ ý cho trước nên  

     

1

0

2 D D

f z f z

dz f a f a dz

i z a i z a

         

Nhận xét 1.2: Công thức (1.64) đƣợc gọi cơng thức tích phân Cauchy

1 Cơng thức tích phân Cauchy nói lên giá trị hàm giải tích f z( ) hồn tồn xác định giá trị biên

2 Cơng thức (1.64) cịn f z( ) giải tích miền D liên tục D  a

r

C

r D

Hình 1.12: Chuyển tích phân biên D đƣờng Cr

D

3 Khi f z( ) giải tích D có biên D đường cong trơn khúc, a D  

f z

z a giải tích D

1 ( )

0

2 D

f z dz

i z a

   

Kết hợp với công thức (1.65) ta có

( ) ( ) D

if a a D

f z dz

z a a D





 

  

  

 nÕu nÕu (1.66) 1.3.5 Đạo hàm cấp cao hàm giải tích

Định lý 1.8: Hàm f z( ) giải tích D có đạo hàm cấp D với aD ta có:

 

( )

1

! ( )

( ) n

n C

n f z

f a dz

i z a

 





 (1.67) Hoặc

 

( )

( ) ( )

2

! n n

C

f z f a

dz i

n z a



 



 (1.68) C đường cong kín bao quanh a nằm D

Chứng minh: Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp Ta chứng minh công thức với trường hợp n 1

Áp dụng cơng thức (1.64) ta có

       

  

1 1

2

C C

f a z f a f f

d d

z i z a z a i a z a

 

 

     

 

    



    

             

Đặt

C

d a

 

  ; cho z d 1, 1

d d

a a z

 

    

   

     

 

 

  

2

1

2 2

C C

M

f a z f a f zf

d d z

z i a a z a d

 

 

     

   

     

       

l

trong f  M,   C ; đường cong kín C có độ dài l Cho  z ta    

 2

1 '

2 C

f z

f a dz

i z a









     

( 1) ( 1)

( 1)! 1

2 ( ) ( )

n n

n n

C

f a z f a n f

d

z i z a z a

                            

 

1

( 1)!

( ) ( )

2 ( ) ( )

n

k n k

n n

k C

f n

a z a d

i a z a

                                      

( 1) ( 1)

1 !

2 ( )

n n

n C

f a z f a n f

d

z i a

                 1 ( ) ( ) ( 1)!

2 ( ) ( ) ( )

n

k n k

k

n n n

C

a z a

n n

f d

i a z a a

                                                      1 ( ) ( ) ( ) ( 1)!

2 ( ) ( )

n

k n k n

k

n n

C

a z a a z

n

f d

i a z a

                           

Chọn zn dn 2n nd  an     a zn  zn

a zn 2n nd zn 2n nd dn 2dn dn n 1n d a z                   Do     1 ( ) ( ) ( ) ( 1)!

2 ( ) ( )

n

k n k n

k

n n

C

a z a a z

n

f d

i a z a

                             ( 1)!

( ) ( ) ( )

2

n

k n k n

n k C

n M

a z a a z d

i d    

     

              z

Trong M chặn f z( ) C

Theo nguyên lý quy nạp công thức với n Nhận xét 1.3:

1 Định lý suy đạo hàm hàm giải tích hàm giải tích

2 Kết hợp định lý 1.5 định lý 1.8, ta suy rằng: điều kiện cần đủ để hàm đơn trị có nguyên hàm miền D giải tích D

3 Tương tự cơng thức (1.66) ta có cơng thức tương ứng với (1.68)

  ( )

1

( )

!

( ) 0

n n

D

f a

f z i a D

dz n

z a a D

            

 nÕu

nÕu

Ví dụ 1.20: Tính tích phân

 

cos

C

z

I dz

z z







 , C đường tròn: z 1 Giải: Bằng phương pháp đồng hệ số, ta phân tích

 

1

z  z thành tổng phân

thức hữu tỷ tối giản

  2

1 1

1

1 z z

z  z   z  

Do

  2

cos cos cos cos

1

C C C C

z z z z

I dz dz dz dz

z z

z z z

   

    

 

   

Các điểm z 0 z  1 nằm hình trịn giới hạn C Áp dụng công thức (1.66) (1.69) ta có:

 

0

2 cos z cos ' z cos z

I   i z   i z   i z    i

Ví dụ 1.20: Tính tích phân phức



cos

AB

z z

I dz

z





 ,

cung AB nửa đường tròn z 2

nối điểm A(2;0) đến điểm B( 2;0) (Xem hình bên)

Giải: Đặt

2

cos cos ( )

( )( )

z z z z

f z

z i z i z

 

 



Gọi C đường khép kín tạo cung AB đoạn thẳng BA theo chiều dương Theo tính chất tích phân phức ta có:

2

2

( ) ( )

C

I f z dz f z dz



  

2

cos

(1 )

( )

2

iz iz

C C

z i

z z e e

z

e i z i

f z dz dz i

z i z i e

 







 

  

 

 

 

2

( )

f z dz





 I (12 e i2)

e

 

 

1.3.6 Bất đẳng thức Cauchy định lý Louville

Từ công thức (1.69) suy rằng, đường tròn CR : z a R nằm D

( )

f z M với z C R

   

 

( )

1

! !

2

R

n

n n

C

f z

n n M R

f a dz

R z a



   

  





hay ( )n   ! ; 0, 1,

n n M

f a n

R

  (1.70)

A B

2

Bất đẳng thức (1.70) đƣợc gọi bất đẳng thức Cauchy

Định lý 1.9 (định lý Louville): Nếu f z( ) giải tích tồn mặt phẳng bị chặn hàm

Chứng minh: Theo giả thiết, tồn M 0 cho f z( ) M với z  Áp dụng bất

đẳng thức Cauchy (1.70) với n 1, ta f a'  M R

 với R0 suy f a' 0 với a

Áp dụng công thức Newton - Leibniz, ta có

         

0

0 0 ,

z

z

f z f z   f z dz   f z f z  z 

Nhận xét 1.4: Hai hàm lượng giác phức cosz sinz giải tích điểm khơng phải hàm khơng bị chặn

1.4 CHUỖI BIẾN SỐ PHỨC 1.4.1 Chuỗi số phức

Cho dãy số phức   n n

u 

 , tổng n n

u 



 gọi chuỗi số phức có số hạng tổng quát thứ n1 un

Tổng Sn u0u1un gọi tổng riêng thứ n1 chuỗi

Nếu dãy tổng riêng   n n

S 

 có giới hạn hữu hạn S  ta nói chuỗi n n

u 

  hội tụ S gọi tổng chuỗi, ký hiệu

0 n n

S u

 

  Trong trường hợp ngược lại, dãy  

0 n n

S 

 khơng có giới hạn có giới hạn  ta nói chuỗi phân kỳ

Tương tự hội tụ dãy số phức (công thức 1.32), chuỗi số phức n n

u 



 hội tụ hai chuỗi số thực tương ứng

0

,

n n

n n

a b

 

 

  hội tu; un an ibn Đồng thời ta có đẳng thức

0 0

( n n) n n

n n n

a ib a i b

  

  

  

 Điều kiện cần để chuỗi n n

u 



 hội tụ lim n nu  Thật vậy, Chuỗi

0 n n

u 



 hội tụ suy hai chuỗi số thực tương ứng

0

,

n n

n n

a b

 

 

  hội tụ Theo điều kiện cần hội tụ chuỗi số thực ta có lim n

na  nlimbn 0, lim n

nu 

 Nếu chuỗi môđun n n

u 



 hội tụ chuỗi n n

u 



 hội tụ Khi ta nói chuỗi

0 n n

u 



 hội tụ tuyệt đối Vì an  un bn  un , từ chuỗi

0 n n

u 



 hội tụ suy hai chuỗi số dương n n

a 



 ,

0 n n

b 



 hội tụ Theo tính chất hội tụ tuyệt đối chuỗi số thực ta có

0

,

n n

n n

a b

 

 

  hội

tụ, chuỗi n n

u 



 hội tụ

 Nếu chuỗi n n

u 



 hội tụ chuỗi môđun

0 n n

u 



 khơng hội tụ ta nói chuỗi bán hội tụ

1.4.2 Chuỗi luỹ thừa Chuỗi có dạng

0

( )n n

n

c z a 





 (1.72) c an, số phức z biến số phức, gọi chuỗi luỹ thừa tâm a

Rõ ràng chuỗi luỹ thừa tâm a đưa chuỗi luỹ thừa tâm cách đặt Z  z a

0 n n n

c Z 



 (1.73) Tập hợp điểm z cho chuỗi hội lũy thừa tụ gọi miền hội tụ

Ví dụ 1.21: Xét chuỗi luỹ thừa cấp số nhân

n n

z 





2 1

1 1

1 n

n n

z

z

S z z z z

n z

   

       

 



 nÕu

nÕu

Nếu z 1 zn 1 với n, dó zn khơng thể tiến đến n  , z 1 zn tiến đến n  Vậy

0

1

khi

1

khi

n n

z

z z

z 



 

   

 





ph©n kú

(1.74)

Ví dụ 1.22: Với r 1, chứng minh

2

2

2

0

1

cos sin

1 cos

n n

n n

r n r n

r r

 



 

 

   

   

    

   

   

   

   

Giải: Xét 2 2

0 0

cos sin (cos sin )

n n n n in

n n n n

Z  r n i  r n  r n i n  r e 

   

        

Đặt z r e2 i

, r 1 z 1 Áp dụng cơng thức (1.74) ta

2

1 i

Z

r e





2 2

1 1

1 i i i i

ZZ

r e r e r e r e

   

   

2 4

1

1 r e( i ei) r cosr  r

 

     ,

Mặt khác

2

2 2 2

0

cos sin

n n

n n

ZZ Z  r n  r n

 

   

   

 

    

   

 

   

Vậy

2

2

2

0

1

cos sin

1 cos

n n

n n

r n r n

r r

 



 

 

   

   

    

   

   

   

   

Định lý 1.10 (định lý Abel):

1 Nếu chuỗi (1.73) hội tụ z0 0 hội tụ tuyệt đối hình trịn z z:  z0 Từ suy chuỗi (1.73) phân kỳ z1 phân kỳ điểm z : z  z1

Chứng minh: Chuỗi 0

0 n n n

c z 



 hội tụ suy lim n 0n

nc z  , tồn M 0 cho

0 ,

n n

0

0

n n

n n

n n n n

z z

c z c z M

z z

  

Chuỗi

0 0

n n n

z M

z

 



 hội tụ z  z0 Suy chuỗi

0 n n n

c z 



 hội tụ tuyệt đối z  z0 ,

Từ định lý ta thấy với chuỗi (1.73) có ba khả sau:

1) Không tồn z0 0 để chuỗi (1.73) hội tụ z0, trường hợp chuỗi (1.73) hội tụ z 0 Ta đặt

0

R (75)

2) Không tồn z1 để chuỗi (1.73) phân kỳ z1, trường hợp chuỗi (1.73) hội tụ z Ta đặt

R  (1.76) 3) Tồn z0 0 để chuỗi (1.73) hội tụ z0 tồn z1 để chuỗi (1.64) phân kỳ

1

z Theo định lý 1.10 ta suy chuỗi (1.73) hội tụ z  z0 R0, phân kỳ

1

z  z R Trong hình vành khăn z R: 0  z R1, chuỗi (1.73) hội tụ phân kỳ

 Nếu R0 R1 ta đặt RR0 R1

 Nếu R0 R1, ta xét 2 2

2

R R

z   R

 Nếu chuỗi (1.73) hội tụ z2, ta z2 xem đóng vai trị z0

 Nếu chuỗi (1.73) phân kỳ z2, ta z2 xem đóng vai trị z1

Trong hai trường hợp ta thu hẹp hình vành khăn mà ta chưa biết chuỗi (1.73) hội tụ hay phân kỳ xuống nửa

Tiếp tục trình này, cuối ta tìm số R cho:

Chuỗi (1.73) hội tụ z R, phân kỳ z R (1.77) Số R xác định theo công thức (1.75) (1.76) (1.77) đƣợc gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (1.73)

Định lý sau cho ta tiêu chuẩn để tìm bán kính hội tụ R Định lý 1.11: Nếu

0

z



1

z

1

R

0

1 lim n n

n c

c

 



 (tiêu chuẩn D'Alembert)

hoặc

lim n n

n c





 (tiêu chuẩn Cauchy)

thì

0 n u

n u n u R

  



  

 

   



  



Õ Õ

Õ

(1.78)

là bán kính hội tụ chuỗi (1.73)

Nhận xét 1.5: Giả sử chuỗi (1.73) có bán kính hội tụ R0:

1 Có thể chứng minh chuỗi (1.73) hội tụ hình trịn z R1, với R1 thỏa mãn R1 R

2 Tại điểm đường trịn z R chuỗi (1.73) hội tụ hay phân kỳ

3 Như để tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa tâm a dạng (1.72) ta thực bước sau:

 Đổi biến Z  z a để đưa chuỗi lũy thừa tâm dạng (1.73),

 Tìm bán kính hội tụ R theo cơng thức (1.78),

 Xét hội tụ Z R, từ suy miền hội tụ Ví dụ 1.23: Tìm miền hội tụ chuỗi  

0

n n n

z i

b n

 

 

 ; b1

Giải: Đặt Z  z i, ta chuỗi

n n n

Z

b n



 

 chuỗi lũy thừa tâm có dạng (1.73)

1

1

1

1 1

( 1)

1 ( 1) 1

n n

n n n

n

n

n n

n n n

n n

b

c b n b n b b

n

c b n b b n b

b n b b

 



 

  

  

 

 

   

   

   

     



 

 



Do lim n 1 n

n c

b c

 



  Vậy bán kính hội tụ Rb

Khi Z b

n

n n

n

n n n

Z

Z b

b n b n b n  , n n

Z

Vậy miền hội tụ chuỗi cần tìm hình trịn mở tâm i bán kính b: z  i b Định lý 1.12: Giả sử chuỗi (1.72) có bán kính hội tụ R Khi tổng chuỗi

 

( )n n

n

f z c z a

 

  

là hàm giải tích hình trịn hội tụ z a R,

có đạo hàm f z( ) nhận cách lấy đạo hàm số hạng chuỗi

1

0

'

( ) n( )n n( )n

n n

f z c z a nc z a

 



 

 

 

     

 

   (1.79)

và nguyên hàm xác định cách lấy tích phân số hạng chuỗi

  ( )

z a

F z  f z dz;

0

( ) ( ) ( )

1

z

n n n

n

n a n

c

F z c z a dz z a

n

 



 

   



   (1.80)

   

' ,

f z F z có bán kính hội tụ R

Định lý chứng minh tương tự trường hợp chuỗi lũy thừa biến số thực Giải tích

1.4.3 Chuỗi Taylor, Chuỗi Mac Laurin 1.4.3.1 Khái niệm tính chất

Cho hàm f z( ) giải tích a, theo Định lý 1.8 hàm f z( ) có đạo hàm cấp a Xét chuỗi lũy thừa dạng

  ( )

( )

! n

n n

f a

z a n

 



 (1.81)

được gọi chuỗi Taylor hàm f z( ) a

Chuỗi Taylor điểm a 0 gọi chuỗi Mac Laurin của hàm f z( ) ( )

0

(0) ! n

n n

f

z n 



 (1.82) Định lý 1.13:

1 Chuỗi luỹ thừa chuỗi Taylor hàm tổng hình tròn hội tụ

Nghĩa  

( ) n

n n

c z a f z

 

 

  

( ) ! n n

f a

c

n



2 Ngược lại, hàm f z( ) giải tích a khai triển thành chuỗi Taylor lân cận z a R

Nghĩa     ( )

( ) ; :

! n

n n

f a

f z z a z z a R

n 



Bán kính hội tụ R số thực dương lớn cho f z( ) giải tích lân cận z a R

Chứng minh:

1 Giả sử chuỗi luỹ thừa tổng quát  

n n

n

c z a 





 có bán kính hội tụ R, theo định lý 1.12 ta có hàm tổng    

0

n n

n

f z c z a

 

   giải tích hình trịn hội tụ z a R Lấy đạo hàm cấp hàm tổng theo công thức (1.79) ta

     

1 2

n n

f z c  c za nc za  

     

2

2 ( 1)n n

f z  c   c za n n c za  

   

( )

1

! ( 1)!

n

n n

f z n c  n c  za 

Thay z a ta được:

      ( ) 

0 , , 2! , , ! ,

n n

f a f a

c f a c f a c c

n

 

   

2 Để chứng minh phần định lý ta giả sử hàm f z( ) giải tích hình trịn tâm a bán kính R: BR z  za R

Với z BR, chọn R1 cho: z a R1 R (xem hình 1.13) Ký hiệu

1 R

C đường trịn tâm a bán kính R1

Áp dụng cơng thức tích phân Cauchy (1.64) cho hàm f z( ) điểm z nằm đường trịn

1 R

C , ta có

1

1 ( )

( )

R

C f

f z d

i z

   







Mặt khác

1

( ) ( )

z a z a

    

1

( a) z a a





  

 

 

    

 

 

 

0

1

( )

n n

n

n n

z a

z a

a a a

  

 



 

   

 

   

     

 a

1

R

C

z

Hình 1.13 R

B

1 R

R

Vì 1 z a z a a R     

 với CR1 chuỗi lũy thừa

 

 

0 n n n z a a      

 hội tụ

đều với

1 R C

  Vì chuyển dấu tích phân vào dấu tổng chuỗi, đồng thời sử dụng công thức (1.69) ta được:

              1 1 0 1 2 R R n n n n n n C C

z a f

f z f d d z a

i a i a

                                                           ( ) ( ) ! n n n f a z a n     

Nhận xét 1.6:

1. Nếu hàm f z( ) giải tích a hàm khai triển thành chuỗi luỹ thừa tâm a, chuỗi Taylor f z( ) a Vì vậy, phương pháp khác, ta có khai triển

0

( ) n( )n

n

f z c z a

 

  

( )( ) ! n n f a c n 

2. Áp dụng cơng thức tích phân Cauchy ta có ( )

1

( ) ( )

! ( )

n

n n

C

f a f z

c dz

n i z a 

 



 , (1.83) Trong C đường cong khép kín tùy ý bao quanh điểm avà nằm miền giải tích

( ) f z

Ví dụ 1.24: Khai triển hàm

   ( ) f z z z 

  thành chuỗi Mac Laurin

Giải: Rõ ràng hàm f z( ) khơng giải tích 2, hàm số khai triển thành chuỗi Mac Laurin hình trịn z 1

Ta có

 1  1

( )

3

1 f z z z z z            

   

1 ( 1) !

( )

n n

n n

d n

z a

dz z a 

               Do ( )

1 1

0

(0) ( 1) 1 1

1

! ( 1) ( 2) ( 2)

n n

n n n

z f

n z  z  

                              

Vậy hàm f z( ) có chuỗi Mac Laurin

  

0

1 1

( )

3

1 ( 2)

n n n

f z z

z z                      

Nếu z 1 thì:  0 1 1 n n n n z z z z            

 1

2

z

z    

do 1

2

2 z    z

        0

( 1) ( 1)

2 2

n n n n n n n z z                    

Vậy 1 1

0 0

1 1 1

( ) ( 1)

3 2 ( 2)

n

n n n

n n

n n n

z

f z z z

z z                                                  

1.4.3.2 Khai triển thành chuỗi Mac Laurin hàm số sơ cấp a. Hàm mũ f z( )ez

Với n f, ( )n  z ez  f( )n  0 1 Vậy

2

0

1! 2! ! !

n n

z

n

z z z z

e

n n

 

      (1.84) Hàm mũ giải tích điểm nên bán kính hội tụ chuỗi R  

b. Hàm f z( )sinz

       

0 0

1

sin ( 1)

2 ! ! !

k k k

iz iz

k

k k k

iz iz iz

e e

z

i i k k i k

                            

sin ( 1)

(2 1)! n n n z z n      

 (1.85) c. Hàm f z( )cosz

 

2

'

0

(2 1)

cos sin ( 1) ( 1)

(2 1)! (2 )!

n n

n n

n n

n z z

z z n n            

  (1.86)

Hàm sin, cosin giải tích điểm nên bán kính hội tụ chuỗi R   d. Hàm f z( )sinhz

       

0 0

1

sinh ( 1)

2 ! ! !

k k k

z z

k

k k k

z z z

e e

z

k k k

2

sinh

(2 1)! n n

z z

n  







 (1.87)

Hàm giải tích điểm nên bán kính hội tụ chuỗi R  Tương tự

2 cosh

(2 )! n n

z z

n 



  (1.88) e. Hàm ( )

1 f z

z 



0

1

( 1)

1 ( )

n n n

z

z z

 

  

   

Bán kính hội tụ chuỗi R1 hàm số khơng giải tích 1 f. Nhánh hàm lơgarit hàm lũy thừa

Vì hàm ln(1z) nguyên hàm

1 z  nên

1

ln(1 ) ( 1)

1 n n n

z z

n  



  



 (1.89) Bán kính hội tụ chuỗi R1

Hàm lũy thừa m :

1  1 ( 1) ( 1) ( 1)

1! 2! !

m mz m m m m m n n

z z z

n

   

      (1.90)

Bán kính hội tụ chuỗi R1 Đặc biệt:

  12

1 3

1

2 2 2

1 2

1

1! 2! 3!

1 z z z z z



                   

    

            

      

 

2

0

( 1) (2 1)!! ( 1) (2 )!

2 ! ( !)

n n

n n

n n

n n

n n

z z

n n

 

 

  

   

Định nghĩa 1.7: Điểm a đƣợc gọi không điểm hàm giải tích f z( ) f a( )0 Khai triển Taylor f z( ) không điểm a có dạng

      ( )  

1

( ) ( )

! k

n n k k

n n k

k n k n

f a

f z c z a c z a c z a z a

k

 

 

 

         

Số tự nhiên n bé cho   ( )

0 !

n n

f a

c

n

     n

f z  za  z , với  a cn 0 (1.91)  z

 tổng chuỗi luỹ thừa có bán kính hội tụ với chuỗi Taylor f z( ) a nên giải tích lân cận a

Định lý 1.14: Giả sử f z( ) giải tích a không đồng lân cận a, a khơng điểm f z( ) tồn lân cận a cho lân cận khơng có khơng điểm khác

Chứng minh: Vì a khơng điểm f z( ) nên biểu diễn dạng (1.91) hàm giải tích  z thỏa mãn  a 0 Vì tồn lân cận a để lân cận

 z

  , f z( ) khác

Hệ 1.3: Nếu f z( ) giải tích a tồn dãy không điểm   n n

a 

 , an a, có giới hạn a n  f z( ) đồng lân cận a

Định lý 1.15 (định lý tính nhất): Nếu f z g z( ), ( ) hai hàm giải tích miền D trùng dãy  

0 n n

a 

 , an a , hội tụ a D f z( )g z( ),  z D 1.4.4 Chuỗi Laurent điểm bất thƣờng

Có thể xảy trường hợp hàm f z( ) khơng giải tích a giải tích lân cận a bỏ điểm a:

0  z a R

hoặc giải tích hình vành khăn

r   z a R

Trong trường hợp hàm f z( ) khai triển thành chuỗi luỹ thừa (chuỗi Taylor)

a Tuy nhiên, khai triển dạng chuỗi Laurent a sau 1.4.4.1 Chuỗi Laurent

Định nghĩa 1.8: Giả sử hàm f z( ) giải tích hình vành khăn K z r:  za R;

0 r R  Khi chuỗi sau đƣợc gọi chuỗi Laurent hàm f z( ) a,  n

n n

c z a 





 , với  

 

1

n n

C

f z

c dz

i z a

 





 (1.92) C đường cong kín nằm hình vành khăn K bao quanh a (xem hình 1.15)

Tổng 1   

n n

n

f z c z a

 

và  

 

2

1

n n n

c f z

z a

  





 gọi phần chuỗi Laurent (1.92) Định lý 1.16 (định lý tồn chuỗi Laurent):

1.Mọi hàm f z( ) giải tích hình vành khăn K : r   z a R khai triển thành chuỗi Laurent (1.92) Nghĩa

   

 

1

( ) ;

2

n

n n n

n C

f z

f z c z a c dz

i z a





 

  



 

2.Ngược lại, chuỗi có dạng n n n

c z a 





 hội tụ hình vành khăn K:

r   z a R; 0 r R 

có hàm tổng f z( ) chuỗi chuỗi Laurent hàm tổng f z( ) hình vành khăn

K Nghĩa n n ( ) n

c z a f z

 

 

  

 

1

n n

C

f z

c dz

i z a

 







Chứng minh:

1 Với z0 K: r  z0 a R tồn r R1, 1 cho

1

r r z  a R R

Gọi K1 hình vành khăn: r1 z0 a R1 f z( ) giải tích K1 Áp dụng hệ 1.2 công thức (1.66) hàm f z( ) z0 K1 ta có

     

1

0

0

1

2

R r

C C

f z f z

f z dz dz

i z z i z z

 

 

 

 

trong

1,

R r

C C đường trịn tâm a bán kính R r1, 1

 a

R R1

1 r

C

 Xét hàm     1 0 R C f z

f z dz

i z z







 , tương tự cách chứng minh định lý 1.13 ta có

              1

1 1 1

0 1 2 R R n n n n n n C C

z a f z

f z f z dz dz z a

i z a i z a

                                                 

Đặt  

  1 R n n C f z c dz

i z a

 





 1 0  0 

n n

n

f z c z a

 

  

 Xét hàm    

1 0 r C f z

f z dz

i z z







 , tương tự chứng minh định lý 1.13 ta xét

        1 0 0 0

1 1

( ) ( )

( )

n n

n n

n n

z a z a

z z z a z a z a z a z a

z a z a                                   

Vì

0

1 r

z a

z a z a

  

  với z Cr1, chuỗi lũy thừa

    1 n n n z a z a     

 hội tụ

đều với

1 r

z C Vì chuyển dấu tích phân vào dấu tổng chuỗi:

             1 1 1 0

1 1

2 r r n n n n n n C C z a

f z f z dz f z z a dz

i z a i z a

                                                 

Đặt   

1 1 r n n C

c f z z a dz

i





   

 

   

2 0

1 n n n n n n c

f z c z a

z a             

Thay số n mà n chạy qua 1, 2, 3, số n chạy qua  1, 2,3, công thức trên, cuối ta

 0 1 0 2 0   , n n

n

f z f z f z c z a z K

 

      

Với đường cong C bao quanh a nằm hình vành khăn K , ta chọn

1,

r R thỏa mãn r  r1 R1R cho đường cong kín C nằm hồn tồn

1

 

 

 

 

1

1

1

2

R

n n n

C C

f z f z

c dz dz

i z a i z a

   

 

 

  với n 0,

 

 

 

 

1

1

1

2

r

n n n

C C

f z f z

c dz dz

i z a i z a

   

 

 

  với n 0

2.Ngược lại, giả sử chuỗi ( ) n n n

f z c z a

 

   hội tụ hình vành khăn K :

0   r z a R 

Với z K, chọn r1 R1 thích hợp cho r1  z a R1, chuỗi hội tụ K1: r1   z a R1 Chọn đường cong kín C nằm hồn tồn K1 bao quanh điểm a Áp dụng cơng thức (1.62) ta có

 

 

 

 

1

1

2

k k

n

n n

k

C C

f z c z a

dz dz c

i z a i z a

 



 





 

  

 

Như chuỗi n n n

c z a 





 chuỗi Laurent hàm tổng f z( ) Nhận xét 1.7:

1) Các hệ số cn (1.92) không   ( )

! n

f a

n f z( ) khơng giải tích a

2) Hình vành khăn K : r   z a R với 0 r R  có trường hợp riêng:

 Khi r 0 K hình trịn mở tâm a bán kính R bỏ điểm a: 0  z a R

 Khi R  K miền ngồi hình trịn tâm a bán kính r: z a r 3) Hình vành khăn K định lý 1.16 hình vành khăn tâm a lớn mà f z( ) giải tích hình vành khăn Vì CR Cr có điểm mà f z( ) không giải tích

4) Từ tính chuỗi Laurent suy hàm f z( ) giải tích hình vành khăn K: r   z a R chuỗi n n

n

c z a 





 có tổng f z( ) chuỗi chuỗi Laurent hàm f z( )

Ví dụ 1.25: Khai triển hàm

 1 

( )

1

f z

z z



  thành chuỗi Laurent có tâm z 1 Giải: Rõ ràng hàm f z( ) khơng giải tích Vì vậy, khai triển theo chuỗi Laurent tâm khai triển hai miền: 0  z 1 z 1

a. Khai triển Laurent miền 0  z 1:

Chọn đường cong kín L1 bao quanh nằm miền này:

 

1

2

1

1 2

2 1

n n

L

z

c dz

i z

  







 n 2 cn 0 (theo định lý 1.4)



1

1

1 2

1

2 L z

z

n c dz

i z z









      

 

 (theo công thức 1.58)



( 1) 1

2

1 1 ( 1) ( 1)!

0

( 1)! ( 1)! ( 1)

n n

n z n

n

n c

n z n

 

 

   

 

       

     

(xem công thức 1.68)

Vậy      

1

1n 1n

n

n n

f z c z z

 

 

     

b. Khai triển Laurent miền z 1 1:

Chọn đường cong kín L2 bao quanh nằm miền

  

2

2

1

2 2 1

n n

L

c dz

i z z

 



 



Chọn  1, 2 đường cong kín nằm L2 bao quanh

 

x y

O 2

1 L

2 L

2



1



Áp dụng công thức (1.61) hệ 1.2 định lý 1.4 ta có:           

2

2

2

1

2

1 1

2 2 1 1 2

n

n n n

L

z z

c dz dz dz

i z z i z i z

                   

Áp dụng công thức (1.69) ta

      ( 1)

1

2

1

1

1

1

2 1

( 1)!

n n z n z n dz n n i z n z                                         nÕu nÕu nÕu nÕu       2 2 1 1

2 1

n

n z z

dz

i z z

         

 , với n

Vậy

0 n n c n          nÕu nÕu          2 1 1 n n n n

n n n

f z c z z

z               

Ta khai triển Laurent hàm f z( ) cách phân tích thành tổng phân thức hữu tỉ tối giản

  1

( 1)( 2)

f z

z z z z

  

   

 Trong miền 0  z 1

0

1 1

( 1) ( ) ( 1)

2 ( 1)

n n

n n

z f z z

z z z z

 

 



         

      

 Trong miền 1 1

1 z z     

0

1 1 1

2 ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)

1

n n n

n n n

z z z z z

z z                               

1 1

( )

1

( 1)n ( 1)n

1.4.4.2 Điểm bất thƣờng cô lập

Định nghĩa 1.9: Nếu hàm f z( ) giải tích hình vành khăn 0  z a R khơng giải tích a a đƣợc gọi điểm bất thƣờng cô lập hay kỳ dị cô lập hàm f z( )

Theo định lý 1.16 ta khai triển hàm giải tích hình vành khăn ứng với điểm bất thường lập thành chuỗi Laurent Có ba trường hợp xảy ra:

a. Nếu chuỗi Laurent hàm có phần đều, nghĩa

     2

0

f z c c za c za  tồn lim   0

zaf z c

Đặt f a c0 f z( ) giải tích hình trịn z a R Điểm a gọi điểm bất

thường bỏ được

b. Nếu phần có số hữu hạn số hạng, nghĩa  

     

2

0

n n

c c

f z c c z a c z a

z a z a

 

        

 

 

trong cn 0 a gọi cực điểm n gọi cấp cực điểm Cực điểm cấp gọi cực điểm đơn

c. Nếu phần có vơ số số hạng a gọi điểm bất thường cốt yếu Người ta chứng minh điểm bất thường cô lập a là:

 bỏ tồn giới hạn hữu hạn lim ( )

zaf z 

 cực điểm tồn giới hạn vô lim ( )

zaf z  

 cốt yếu không tồn lim ( ) z a f z Ví dụ 1.26:



3

sin

3! 5! !

z z z

z  z   

2

sin

3! 5! !

z z z z

z

     

Vậy z 0 điểm bất thường bỏ hàm số sinz z

 Hàm  

 11 2

f z

z z



  ví dụ 1.25 có z 1 cực điểm cấp

 Hàm

2

1 1

1

2! !

z

n e

z z n z

     có z 0 điểm bất thường cốt yếu

Định lý 1.17: Giả sử hai hàm f z g z( ), ( ) giải tích a a không điểm cấp n m,

 bỏ nm

 cực điểm cấp mn nm 1.5 THẶNG DƢ VÀ ỨNG DỤNG

1.5.1 Định nghĩa thặng dƣ

Giả sử f z( ) giải tích hình vành khăn K z 0 za R có a điểm bất thường lập Từ hệ 1.2 ta suy tích phân lấy theo đường cong kín C bao điểm a nằm hình vành khăn K số phức không phụ thuộc vào đường C Ta gọi số phức thặng dư f z( ) a, ký hiệu

Res  ;  

2 C

f z a f z dz

i



  

 

   (1.93)

1.5.2 Cách tính thặng dƣ

a. Từ cơng thức khai triển Laurent hàm hình vành khăn K : 0  z a R (công thức (1.92)), ta có

Resf z a ;  c1 (1.94) c1 hệ số số hạng ứng với

z a khai triển Laurent hàm f z( ) Chẳng hạn, từ ví dụ 24 ta có

 1 

Res ;1

1

z z

 

   

 

 

 

 

b. Thặng dư cực điểm đơn

Nếu a cực điểm đơn f z( )

Res  ; lim   

z a

f z a z a f z



   

 

  (1.95)

Thật vậy, khai triển Laurent f z( ) a có dạng f z  c f z1 

z a



 

 ,

 

f z phần khai triển

Nhân hai vế cho z a lấy giới hạn z a, ta được:

       1

lim lim

za za f z c za za f z c Đặc biệt,    

  z f z

z

 

 thỏa mãn điều kiện  a 0,  a 0, ' a 0

 

    

Res ;

'

z a

a

z a

 

 

 

  

 

 

 

Thật Res ( ); lim  ( ) lim ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) '( )

( )

z a z a

z z z a

a z a

z z z a a

z a

   

      

 

     

  

 



Ví dụ 1.27:

2

1

Res ; lim

(z 1)(z 2) z z

 

   

    

  ;

  0

cos

Res cot ;0

sin z z z

z 

   

 

   ; 2

3 3

Res ;

2

1 ( 1) z i

z z i i

i

i

z z 

     

    

    

 

c. Thặng dư cực điểm cấp m

Giả sử a cực điểm cấp m f z( )

1 1

Res ( ); lim ( ) ( )

( 1)!

m

m m

z a d

f z a z a f z

m dz

  

 

   

 

 

     (1.97)

Thật vậy, khai triển Laurent f z( ) a có dạng   1 

( )

m m

c c

f z f z

z a z a

 

   



  ,

trong f z1  phần khai triển Nhân hai vế cho (za)m ta

1

1

(za)mf z( )cm c (za)m (za)mf z( ) Lấy đạo hàm liên tiếp đến cấp m1 lấy giới hạn z a, ta được:

1

1 1

1

lim m ( )m ( ) ( 1)! lim m ( )m ( ) ( 1)!

m m

z a z a

d d

z a f z m c z a f z m c

dz dz

 

 

 

 

          

   

   

Ví dụ 1.28:

3 0

1 1

Res ;0 lim

8

( 2) z ( 2)

z z  z

 

   

   

 

 

,

2

3 2 2

1 1

Res ; lim lim

2! 2!

( 2) z z

d z

z z  dz  z

     



       

      

   

 

1.5.3 Ứng dụng lý thuyết thặng dƣ

1.5.3.1 Ứng dụng lý thuyết thặng dƣ để tính tích phân phức

Định lý 1.18: Cho miền đóng D có biên D Giả sử f z( ) giải tích D, ngoại trừ số hữu hạn điểm bất thường lập a1, ,an D Khi

1

( ) n Res ( ); k

k D

f z dz i f z a

 

 

  

 



Chứng minh: Gọi C1, ,Cn đường tròn tâm a1, ,an có bán kính đủ bé nằm

D Gọi D' miền D bỏ hình trịn có biên tương ứng đường trịn C1, ,Cn Biên D' D C1, ,Cn

Áp dụng hệ 1.2 cho hàm f z( ) giải tích D' ta có

1

( ) ( ) Res ( );

k

n n

k

k k

D C

f z dz f z dz i f z a

 



 

   

 

Ví dụ 1.29: Tính tích phân

2

( 1)( 3)

z C

e I

z z



 

 , a. C đường trịn:

2 z 

b. C đường tròn: z 10

Giải: Hàm

2

( 1)( 3)

z

e

z z  có z 1 cực điểm đơn z 3 cực điểm kép

2 1

Res ;1 lim

16

( 1)( 3) ( 3)

z z

z

e e e

z z  z

 

   

    

 

 

,

3

2 3 3

1 1

Res ; lim lim

1! 1 16

( 1)( 3) ( 1)

z z

z

z z

e d e e

e

dz z z

z z z



 

     

           

          

     

   

a. Khi C đường tròn

z  C hàm cho có cực điểm z 1

Vậy

16

e e i I  i  

b. Khi C đường tròn z 10 C hàm cho có hai cực điểm z 1

z  

Do  

4

3 5

2

16 16 8

i e

e e

I i

e

         

 

 

2

C

1

C Cn

Hình 1.17: Tính tích phân theo thặng dƣ

1

a

2

a

n

a

D

1.5.3.2 Ứng dụngcủa lý thuyết thặng dƣ để tính tích phân thực

Bổ đề 1.1: Giả sử hàm f z( ) giải tích nửa mặt phẳng Imz 0, trừ số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1, ,an thoả mãn:

Imzlim0;zzf z( ) (1.99) Khi lim ( )

R

R C

f z dz

  , CR z  z R, Imz 0(xem hình 1.18)

Chứng minh: Điều kiện (1.99) suy ra: với 0 tồn N 0 cho với RN

: , Im

z z R z

   zf z( ) 

Có thể chọn N 0 đủ lớn cho điểm bất thường cô lập ak thỏa mãn ak N , với RN, f z( ) giải tích nửa đường trịn CR :z Reit, 0 t  Vì

   

0 0

( )

R

it it it it

C

f z dz f Re iRe dt f Re iRe dt dt

  

 

   

   

(hoặc xem công thức 1.59) Điều chứng tỏ lim  

R

R C

f z dz

  A. Tính tích phân có dạng ( )

( ) P x

I dx

Q x

 

  , P x Q x( ), ( ) hai đa thức thực Định lý 1.19: Giả sử P z Q z( ), ( ) hai đa thức hệ số thực biến phức, bậc Q z( ) lớn bậc P z( ) hai Nếu Q x( )0,  x  a1, ,an cực điểm nằm nửa mặt phẳng Imz 0 phân thức ( ) ( )

( ) P z R z

Q z

 Khi

1

( ) n Res ( ); k

k

R x dx i R z a



 

 

  

 (1.100)

Chứng minh:

y



 

R

 R x

1

a

2

a n a O

R

C

Chọn R0 đủ lớn cho cực điểm a1, ,an nửa đường trịn tâm O bán kính R Gọi CR nửa đường tròn nằm nửa mặt phẳng Imz 0 Áp dụng công thức (1.98) định lý 1.18 ta có đẳng thức sau với R0 đủ lớn:

1

( ) ( ) Res ( );

R

R n

k k

R C

R x dx R z dz i R z a

 

 

   

 

Tích phân thứ vế trái hội tụ Theo bổ đề 1.1 tích phân thứ hai có giới hạn R  thỏa mãn điều kiện (1.99) Vế phải không đổi R đủ lớn

Do cho R  ta

1

( ) Res ( );

n

k k

R x dx i R z a



 

 

  



Ví dụ 1.30: Tính tích phân

2

0 ( 1)

dx I

x









Giải: Hàm  

2 2

1

( 1) ( ) ( )

R z

z z i z i

 

   có cực điểm kép z i nằm nửa mặt

phẳng Imz0 Vậy

2 2 2

1 1

2 Res ; lim

2 ( 1) ( 1) z i ( ) (2 )

dx d

I i i i i

dz

x z z i i



  



 

    

   

         

      



B. Tính tích phân có dạng R x( )cosxdx 



, R x( )sinxdx 



Hai tích phân phần thực phần ảo tích phân R x e dx( ) i x

 

Bổ đề 1.2: Giả sử hàm f z( ) giải tích nửa mặt phẳng Imz 0, ngoại trừ số hữu hạn điểm bất thường cô lập thoả mãn:

  , R

k M

f z z C

R

   ; k 0, M số (1.101)

thì lim  

R

i z R

C

e f z dz

  , với 0, CR z z R, Imz0

Chứng minh: Với z CR, đặt z Reit

   

0

it

R

i Re

i z it it

C

e f z dz e f Re R ie dt

  

    sin /2 sin

1

0 0

2

it

R

i Re R t R t

i z it it

k k

C

M M

e f z dz e f Re R ie dt e dt e dt

R R



 

  

  

 

  

   

Vì sint t





2

t 

  ,

 

/2 /2

sin

1

0

2

1

Rt

R t R

R

k k k

M M M

e dt e dt e

R R R



 

   





 



       

Định lý 1.20: Giải sử ( ) ( ) ( ) P z R z

Q z

 phân thức hữu tỷ thoả mãn điều kiện sau:

1. R z( ) giải tích nửa mặt phẳng Imz 0 ngoại trừ số hữu hạn cực điểm a1, ,an

2. R z( ) có m cực điểm b1, ,bm trục thực R x e( ) i x khả tích điểm

3. Bậc Q z( ) lớn bậc P z( ) Khi

 

1

2 Res ( ) ; Res ( ) ;

n m

i x i z i z

k k

k k

R x e dx i R z e a i R z e b



 



   

    

   

 

 (1.102)

Ví dụ 1.31: Tính tích phân

2

0

cos

; ,

x

I dx a

x a

 



 





Giải: Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn nên

2 2 2

1 cos 1

2 Res ;

2 2

i x i x a

x e e e

I dx dx i ai

a

x a x a x a

  

 



  

 

    

    

  

         

 

 

   

 

Ví dụ 1.32: Tính tích phân

sinx

I dx

x



 

y

  

R

 R x

1

a a2

n a O

R

C

Hình 1.19: Các điểm bất thƣờng lập theo Định lý 1.20

1

b bm

Giải: Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn nên sin

2

ix

x e

I dx dx

x i x

                   

Hàm R z( ) z

 thoả mãn điều kiện định lý 1.20, có cực điểm đơn z 0

trên trục thực, Res ;0 1 

2 2

iz e

I i i

i z i

                     

C. Tính tích phân dạng  

0

cos , sin

R nx mx dx





Đặt z eix, ta có cos , sin ,

2

n n m m

z z z z dz

nx mx dx

i iz

 

 

  

Khi x biến thiên từ 02 z eix vạch lên đường trịn đơn vị C theo chiều dương Vì

 

2

0

cos , sin ,

2

n n m m

C

z z z z dz

R nx mx dx R

i iz                  

  (1.103)

Ví dụ 1.33: Tính tích phân

0 sin

dx I x     Giải:  

1 2

2 Res ;

3

3 10

5 3

2 3

C C

dz dz i

I i

iz i i

z z z z z i

i z                                                        ,

vì hàm số

 

2

2

10

3 3

3

i i

z z z z i

                          

có cực điểm đơn

3 i z   nằm

trong đường tròn đơn vị C

Ví dụ 1.34: Tính tích phân 0 0

0

1

( ) , ,

2 1

inx ix

e

K n dx z z

z e            

Giải: Đặt z eix dz  ( )i zdx Khi x tăng từ  đến  z vạch nên đường tròn đơn vị theo chiều âm,

   0 1 ( )

2 1 ( ) 1 1

n n

C C

z dz z dz

K n

i z i z z z z z

Mặt khác z C z z

  

Do

       0

0

1

1 1

1

n n n

z z z

z z

z z z z z z z z z

z z

z

    

       



 

   

Trong đường tròn đơn vị C hàm

1  0

n z z z z z

  có cực điểm đơn z z0

Vậy

  

 

0

0 0

1 ( )

2 1 1

n

n n

C z z

z

z z

K n dz

i z z z z z z z





  



  



1.6 PHÉP BIẾN ĐỔI Z

Từ sau Thế chiến thứ II, phát triển cơng nghệ kỹ thuật số địi hỏi cần thiết kế giải hệ liệu mẫu với thời gian rời rạc (các tín hiệu lấy mẫu thời điểm rời rạc) Những hệ liệu thỏa mãn phương trình sai phân, thành phần

( )

y n thời điểm n phụ thuộc vào thành phần thời điểm khác

Dựa vào tính chất xác định hàm số giải tích hình vành khăn

r  z R dãy hệ số khai triển Laurent (cơng thức 1.92 định lý 1.16), người ta xây dựng phép biến đổi Z sử dụng để biểu diễn dãy tín hiệu rời rạc qua hàm giải tích hình vành khăn

Phép biến đổi Z có nhiều ứng dụng lý thuyết xử lý tín hiệu lọc số, nói chung việc khảo sát hàm giải tích thuận lợi dễ dàng so với khảo sát dãy rời rạc

1.6.1 Định nghĩa phép biến đổi Z

Định nghĩa 1.10: Biến đổi Z dãy tín hiệu  ( ) n

x n 

 hàm biến phức

( ) ( ) n ( )( )n

n n

X z x n z x n z

 

 

 

    (1.104) Miền hội tụ chuỗi (1.104) miền xác định biến đổi Z

Ký hiệu X z( )Zx n( )

Trường hợp dãy tín hiệu  ( )

n

x n 

 xác định với n 0, nghĩa x n( )0,  n 0, biến đổi Z tín hiệu gọi biến đổi phía

1.6.2 Miền xác định biến đổi Z

Để tìm miền xác định phép biến đổi Z ta áp dụng tiêu chuẩn Cauchy tiêu chuẩn D'Alembert (định lý 1.11, công thức (1.78))

( ) ( ) ( ) 1 1( ) 2( ) n

n

n n

X z x n z x n z X z X z

 

 

 

      (1.105)

trong 1  1

( ) ( ) n

n

X z x n z



 

  ,  

1

1

1

( ) ( ) n ( ) m

n m

X z x n z x m z

 



 

     (đặt m  n

)

 Nếu lim ( 1) ( ) n

x n r

x n 



 (tiêu chuẩn D'Alembert)

hoặc lim n ( )

n

r x n



 (tiêu chuẩn Cauchy)

thì chuỗi X z1( ) hội tụ |z | 1

r z

  

hay r  z

 Nếu lim ( 1)

( )

m

x m x m





  

 (tiêu chuẩn D'Alembert)

hoặc lim m ( )

m x m





  (tiêu chuẩn Cauchy)

thì chuỗi X z2( ) hội tụ z R



 

Tóm lại ta có hai tiêu chuẩn sau miền xác định X z( )

 Tiêu chuẩn D'Alembert

Nếu lim ( 1)

( ) n

x n r

x n 





( 1)

1

lim

( ) n

x n

R   x n

  

 (1.106)

thì miền xác định X z( ) r  z R

 Tiêu chuẩn Cauchy

Nếu lim n ( )

n

r x n



 lim n ( )

n x n

R    (1.107) miền xác định X z( ) r  z R

 Trường hợp x n( )0,  n n0 r 0, miền xác định có dạng

0 z R

0

( ) 0,

x n   n n có miền xác định 0 z R

(1.108)

 Trường hợp x n( )0,  n n00 R , miền xác định có dạng r  z Ta gọi phép biến đổi phía

0

( ) 0,

x n   n n  có miền xác định r  z

Ví dụ 1.35: Tìm biến đổi Z cúa tín hiệu ( ) 3 n n x n n           nÕu nÕu Giải: 3

8

( ) ( ) n 2n n 2n n

n n n

X z x n z z z

z z z                  

Đổi m n vào chuỗi cuối vế phải ta được:

1

1

1 2 ,

2

1

m

n n m m

n m m

z z z z z                          

   với z 2

Vậy

3

8 2

( ) X z z z z z    

 với 0 z 2

Mặt khác theo nhận xét ta có x n( )0,  n  r

1

( 1)

( ) , ( ) ,

( ) 2

n

n n

n x n

x n n x n n

x n                  

hoặc ( ) 1,

2 n

n x n  n n R



     

Vậy biến đổi Z có miền xác định 0 z 2

Ví dụ 1.36: Tìm biến đổi Zcủa tín hiệu xác định ( )

n

x n        

1  1

0

3

( )

4 4

1 n n n n n z

X z z

z z z                           

  , với

4z  hay

3 z 

    1 1 3 ( ) ( ) 4 n m n n

n n m

z

X z x n z z

                           

   (đặt m n)

0

3

1 1

4 4

1

m m

z z

z z z

                     

 , với

4 z

 hay z 

Vậy

  

4

( )

4 4

z z z

X z

z z z z

  

    , với

3

4  z 3

Ta thấy lim ( ) lim lim 3

4 4

n n

n n

n

n n n

r x n

  

   

   

       

   

3 3

lim ( ) lim lim

4 4

n n

n n

n

n x n n n R

Ví dụ 1.37: Tìm biến đổi Z một phía cúa tín hiệu ( )

0 ;

n

a n

x n

n a

 

  

 



nÕu nÕu

Giải:

1

1

( ) ( )

1

n n n

n n

z

X z x n z a z

z a az

 

 



 

   

 

  (1.110)

có miền xác định z  a , (cơng thức 1.109)

 Trường hợp a 1 dãy tín hiệu ( )

0

n n

n

    

nÕu

nÕu

có biến đổi Z

1 ( )

1

z z

z z

  





 Trường hợp a  1, x n( ) ( 1) ;n n0 có biến đổi Z

1 ( )

1

z X z

z z

 





Ví dụ 1.38: Tìm biến đổi Z phía cúa tín hiệu ( )

0

anT

e n

x n

n

 

  

 

nÕu nÕu với a số phức

Giải: Theo ví dụ 1.37 ta có

0

( ) ( ) n anT n

aT

n n

z

X z x n z e z

z e

 

 

 

  



  (1.111) có miền xác định z eaT

Trường hợp a số thực eaT eaT, miền xác định biến đổi Z z eaT

 Trường hợp a i số ảo thìei T 1, miền xác định biến đổi Z z 1

 Trường hợp a i e(i T) eT, miền xác định biến đổi Z T

z e

Ví dụ 1.39: Tìm biến đổi Z cúa tín hiệu

1

( )

(1 / 2)n

n x n

n

  

  

 

nÕu nÕu

Giải:

5

0

1

( ) ( )

2 n

n n

n n n

X z x n z z

z

 

 

  

   

     

 

  

Áp dụng công thức

1

1

N N

n n

q q

q  

 



6

6 6

1 6

0

1 1 1 1

( )

2 2

1 1 (2 ) (2 )

2

m m

z z z

X z

z z z

z z z z z z z

z

 





     

        

         

     

      ,

miền xác định z 

1.6.3 Tính chất biến đổi Z

Các tín hiệu x n( ) thường xét từ thời điểm n0 trở Vì xét phép biến đổi Z phía

Các tính chất sau xét với phép biến đổi Z phía a. Tuyến tính:

 ( ) ( )  ( )  ( )

Z Ax n By n AZ x n BZ y n , A, B số (1.112) b. Đồng dạng:

Nếu X z( )Zx n( ) Za x nn ( )X az( ) (1.113) c. Tịnh tiến

Nếu X z( )Zx n( ) Zx n( 1)zX z( )zx(0),

 ( ) ( ) (0) (1) ( 1); 0

Z x nm z X zm z xm zmx  zx m m (1.114) d. Trễ

Ký hiệu ( )

n k n k

n k

     

nÕu

nÕu (1.115) Nếu X z( )Zx n( ) Zx n( k) ( nk)z X zk ( ) (1.116) e. Nhân với n

Nếu X z( )Zx n( ) Znx n( ) zdX z( ) dz

  (1.117)

f. Dãy tuần hồn

Xét dãy tín hiệu rời rạc chu kỳ N có dạng f n( ) f f f0 2 fN1 2f f f

 

 

 

 

  

 

 

Chu kú thø nhÊt 

,

Đặt ( )

0 n

f n N

x n

n N

   



  



nÕu nÕu

Nếu X z( )Zx n( )  ( ) ( )

Z f n X zN

z



 ,

N

Tích chập hai dãy tín hiệu x n( ) y n( ) dãy tín hiệu  z n( ) ký hiệu xác định sau

( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k

z n x n y n x k y n k x n k y k

 

 

       (1.119)

Nếu hai dãy tín hiệu x n( ) y n( ) xác định n0 tích chập trở thành

0

( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n

k k

z n x n y n x k y n k x n k y k

 

      

và biến đổi Z phía có tính chất

 ( ) * ( ) ( ) ( )

Z x n y n X z Y z (1.120)

Ví dụ 1.40: Tìm biến đổi Z phía cúa tín hiệu ( ) cos

0

n T n

x n

n



 



  



nÕu nÕu

Giải:  

0

1

( ) ( ) (cos )

2

n n in T in T n

n n n

X z  x n z  n T z   e  e  z

  

      

Theo ví dụ 1.38 ứng với trường hợp số a ảo áp dụng công thức (1.110) ta

 

0

cos( )

1

( )

2 2 cos( ) 1

in T in T n

i T i T

n

z z T

z z

X z e e z

z e z e z z T

 

 

 



 

 

 

    

 

     

     

 ,

miền xác định z 1

Ví dụ 1.41: Từ ví dụ 1.37 ta có  

1 1

Z an

az



 , áp dụng công thức (1.115) ta

     

1

2

1 ( )( 1) ( )( 1)

( )

Z nan z d az z az a z az

dz z a

 

  

 

 

           



 

 2 2

2 3

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n d az z a z z a az z a az a z

n a z z a

dz z a z a z a z a z a

Z               

      

 

   

 

2 ( 1)

( )

n a z

n n a

z a

Z   



1.6.4 Biến đổi Z ngƣợc

Theo định lý 1.16 hàm biến phức X z( ) giải tích hình vành khăn r  z R, (

0 r R ) khai triển thành chuỗi Laurent:

( ) n n

n

X z c z

 

  với

1

1 ( )

2

n n

C X z

c dz

i z

 

  ,

Đặt x n( )cn

( ) ( ) n

n

X z x n z



 

  với ( ) 1 ( )

2

n C

x n z X z dz

i





  (1.121) Theo (1.121)  ( )

n

x n 

 xác định X z( ) gọi biến đổi ngược

của biến đổi Z X z( ) Ký hiệu

 ( ) Z 1 ( )

n

x n   X z

 

Nhận xét 1.8: 1) Tương tự khai triển Taylor, tính chất khai triển hàm số giải tích hình vành khăn r z R thành tổng chuỗi Laurent nên ta sử dụng phương pháp tính trực công thức (1.121) phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa để tìm biến đổi ngược phép biến đổi Z

2) Nếu Z giải tích miền z r Z1 biến đổi ngược phía, nghĩa

( ) 0,

x n   n

3) Có thể sử dụng thặng dư để tính giá trị x n( ) theo công thức (1.121)

1

( ) ( )

2

n C

x n z X z dz

i





 

C đường cong kín bao quanh gốc O bao tất điểm bất thường zn1X z( ) 4) Để tìm phép biến đổi ngược Z1 ta sử dụng tính chất tương tự suy

từ phép biến đổi thuận Chẳng hạn

     

1 ( ) ( ) ( ) ( )

Z AX z BY z AZ X z BZ Y z (tuyến tính)

   

1 ( ) ( ) ( ) ( )

Z X z x n Z X az a x nn

(đồng dạng) …

A.Tìm biến đổi Z ngƣợc cách khai triển thành chuỗi tính thặng dƣ

Ví dụ 1.42: Hàm

2

2

1

2 2

( )

1

7

2 2

2

2

z z

X z

z

z z z z z



 

    



      



 

 

giải tích

mọi 1,

z  Vì ta tìm biến đổi ngược miền sau:

a. Miền z

  :

1

0 0

1 1

( ) 2

1 3 3

3

n

n n n n

n n

n n n

z

X z z z

z z

  



  

 

  

        

     

 

 

 

1 n n n n z                

Vậy

1

2

( ) 3

0 n n n x n n                nÕu nÕu

b. Miền  z  :

0

1 1

( )

2

1

2

2 n n n n n n z

X z z

z z z z                                        1

2 n n 3n n

n n z z            Vậy ( ) n n n x n n                nÕu

nÕu

c. Miền 3 z : (Biến đổi Z ngược phía)

1

0 1

1 1

( ) 3

2

1

2 1

2

n n n n n n n n

n n n n

X z z z z z

z z z z z z                                                    

Vậy ( ) 01

3n n

n x n n              nÕu

nÕu

Ví dụ 1.43: Tìm biến đổi Z ngược phía ( )

( 1)( 2)

X z

z z



 

Giải: Hàm X z( ) không giải tích z 1 z 2, biến đổi Z ngược phía ( )

X z có dạng z 2

Cách 1: Khai triển thành chuỗi

Ta có 1

(z1)(z2) z2z1

1 ( 1)

1

0

1 1

(2 )

2 (1 2 )

n n n

n n

z z

z z z z

 

  



 

  

    , z 2

1 ( 1)

1

0

1 1

( )

1 (1 )

n n

n n

z z

z z z z

 

  



 

  

    , z 1

( 1) ( 1) ( 1)

0 0

( ) 2n n n (2n 1) n (2m 1) m

n n n m

X z z z z z

   

       

   

        

Do biến đổi Z ngược X z( )

1

0

( )

2n

n x n n          nÕu nÕu Cách 2: Dùng thặng dư sử dụng

cơng thức (1.121) để tìm biến đổi ngược sau 1

1

( ) ( )

2 ( 1)( 2)

n n

C C

z

x n z X z dz dz

i i z z

 

 

 

 

  , n0

trong C đường khép kín nằm miền z 2 Khi n0, sử dụng thặng dư công thức (1.98) ta

1 1

1

( ) Res ;1 Res ;2

2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)

n n n

n C

z z z

x n dz

i z z z z z z

                                

Khi n0 hàm dấu tích phân có điểm bất thường cô lập 0, 1, 2,

1 ( ) ( ) ( ) 1

(0) ( ) Res ;0 Res ;1 Res ;2

2 C 2

X z X z X z

x z X z dz

i z z z



      

         

     



Do ( ) 01 01

2n 2n

n n x n n n                        

nÕu nÕu

nÕu nÕu

Ví dụ 1.44: Tìm biến đổi Z ngược phía 2 ( ) ( 1) z z X z z    Giải:

Cách 1: Khai triển thành chuỗi miền | | 1z 

( 1)

0

1

( )

1 ( 1)

1

n n

n n

z

z n z

z z z                  

2 ( 1)

2

0

2

( )

( 1)

n n

z z

n z z z

z          

0 0

( ) ( n n) ( 1) m n (3 1) m

n m n m

X z nz nz m z nz m z

   

     

   

          

Cách 2: Sử dụng công thức (1.121) để tìm biến đổi ngược sau: Với n0

1

1

2

1 2

( ) ( ) Res ;1

2 ( 1) ( 1)

n n n n

n

C C

z z z z

x n z X z dz dz

i i z z

                    ,   x y

O 1

Hình 1.18

 

1

2 1

2

( ) Res ;1

( 1)

n n

n n

z

z z d

x n z z n

dz z                    

, n 0

Vậy x n( )3n1,n0

B.Tìm biến đổi Z ngƣợc phân thức hữu tỉ

Để tìm biến đổi Z ngược phía phân thức hữu tỉ dạng ( ) ( ) ( ) P z X z

Q z

 ta phân tích thành tổng phân thức tối giản sử dụng công thức biến đổi Z phân thức tối giản

Sử dụng công thức (1.121) ta có:

1

1

1

( ) ; ( ) ( )

2 ( ) ( ) n n k k C C z z

X z a x n z X z dz dz

i i

z a   z a

              1

1 ( 1) ( 1)

Res ; lim

2 ( ) ( ) ! !

n n k

n n k

k k z a k

C

z z d n n n k

dz a z a

i z a z a k dz k

                    

Do có cơng thức biến đổi ngược(xem thêm Ví dụ 1.37 Ví dụ 1.41)

0

( ) ; ( ) ( )

0

n

n a n

z

X z a x n a n

n

z a 

             nÕu

nÕu ; (1.122)

1

2

1

( ) ; ( ) ( 1)

0

( )

n

n na n

z

X z a x n na n

n

z a 

              nÕu

nÕu (1.123)

2

2

3

( 1)

2

( ) ; ( ) ( 2) 2 !

( ) 0 2

n n

n

n n

z a n

X z a x n C a n

z a  n

               nÕu nÕu

(1.124)

1

( 1) ( 1)

( ) ; ( ) ( ) !

( ) 0

n k k n k

n k

n n n k

z a n k

X z a x n C a n k k

z a  n k

                    nÕu nÕu

(1.125)

Ví dụ 1.45: Tìm biến đổi Z ngược phía

2 ( ) z X z z  

Giải: Phân tích thành tổng phân thức tối giản ta có

2

1 ( )

2 1

1

z z z

X z z z z               

Theo công thức (1.122) ta có 1 Z z z            ,

1 ( 1)

1

Z z n

z                

1 ( ) 1 ( 1) , 0

2

Z X z    n n 

Ví dụ 1.46: Tìm biến đổi Z ngược phía

2

2 ( )

( 2)( 1)

z X z

z z



 

Giải: Phân tích thành tổng phân thức tối giản ta có

2

2 4

( )

2

( 2)( 1) ( 1)

z z z z

X z

z z

z z z

    

 

  

Theo công thức (1.122)-(1.123) ta có

1 ( 2)

2

Z z n

z

    

  

 

  ;

1 ( 1)

1

Z z n

z

    

  

 

  ,

1

2 ( 1)

( 1)

Z z n n

z

     

  

 

 

   

1 ( ) 4( 2) 4( 1) 2 ( 1) 2( 1) 2 2 , 0

Z X z    n   n  n  n   n  n n n



Ví dụ 1.47: Tìm biến đổi Z ngược phía 2

( )

( 2)

z z

X z z

 



Giải: Phân tích thành tổng phân thức tối giản

2

3

( 2) ( 2)

z z z z

z

z z



 



 

Theo cơng thức (1.122)-(1.123) ta có

1 2

2

Z z n

z

   

  

 

  ,

1

2

( 2)

Z z n n

z

    

  

 

 

   

1 ( ) 2 3 2 3 2 2 1, 0

Z X z  n  n n  n n n 



1.6.5 Ứng dụng biến đổi Zđể giải phƣơng trình sai phân

Có thể sử dụng tính chất phép biến đổi Z phép biến đổi ngược để giải phương trình sai phân

Ví dụ 1.48: Giải phương trình sai phân bậc hai

2 (x n 2) (x n 1) x n( ) 5 3n, n 0 thỏa mãn điều kiện đầu x(0)0 x(1)1

Giải: Thực biến đổi Z hai vế phương trình áp dụng cơng thức (1.112) ta

       

2Z x n( 2) 3Z x n( 1) Z x n( ) 5Z 3n , Từ công thức (1.114) ví dụ 1.37 ta có

2

2 ( ) (0) (1) ( ) (0) ( )

3 z

z X z z x zx zX z zx X z

z

 

      



Thay điều kiện đầu vào kết ta (2 1) (2 1)( 1) ( )

3 z z

z z X z

z



  

 ( ) ( 3)( 1)

z X z

z z

 

1 ( )

( 3)( 1)

z z z

X z

z z z z

 

 

    

     

Áp dụng công thức (1.122) ta nhận nghiệm phương trình sai phân

   

1 1 1

( ) ( )

2 2

Z Z z Z z n

x n X z

z z

      

      

 

   

    , n0

Ví dụ 1.49: Giải phương trình sai phân bậc hai

( 2) ( 1) ( )

x n  x n x n  , n 0 thỏa mãn điều kiện đầu x(0)0 x(1)3 /

Giải: Thực biến đổi Z hai vế phương trình áp dụng cơng thức (1.112) ta  ( 2)  ( 1)  ( )  1

Z x n  Z x n Z x n Z ,

2 ( ) (0) (1) 2 ( ) (0) ( )

1 z

z X z z x zx zX z zx X z

z

 

      



Thay điều kiện đầu vào kết ta

3 ( )

2( 1)

z z

X z

z  



2

3 3

3 3

( )

2( 1) 2( 1) 2( 1) ( 1)

z z z z z z z

X z

z z z z

  

   

   

Áp dụng công thức (1.122)-(1.123) ta

1

3

3 ( 1)

( )

2 2

2( 1)

z z n n

x n n n n

z

    

     



 

 

Z

Ta tìm biến đổi ngược cách tính thặng dư sau:

2

1

3

1

3 3

( )

2 2! 2

2( 1) 2( 1)

n n n n

C z

z z z z d z z

x n dz n n

i

z  z dz

 





   

     

   

        

 

   

 

  

Z

Ví dụ 1.50: Giải phương trình sai phân bậc hai

2

( 2) ( )

x n b x n  , n0 với b 1 thỏa mãn điều kiện đầu x(0)b2 x(1)0

Giải: Thực biến đổi Z hai vế phương trình áp dụng công thức (1.112) ta  ( 2)  ( ) 0

Z x n b Z x n  ,

2 ( ) (0) (1) ( ) 0

z X z z x zx b X z 

Thay điều kiện đầu vào kết ta

2

2

( ) b z X z

z b



2 2 1

2

1 ( )

2 ( )( )

Z n

C

b z b z

x n dz

i z ib z ib

z b 

   

  

 



 

  

2 2 2( )

( )

2

n n n n n n

z bi z bi

b z b z b i b i

x n

z bi z bi

   

 



   

 

2 /2 /2

2cos

2 2

n in n in

n

b e b e n

b

  

  



   , n 0

Hoặc sử dụng phương pháp phân tích thành phân thức hữu tỉ tối giản

2 2 2

( )

2

b z b z z

X z

z bi z bi z b

 

    

 

  

2 2 2

2

( )

( ) cos

2 2

n n

i i

n n n n

n n

b i b i e e n

x n b b

 





 

 

 

    

Ví dụ 1.51: Giải hệ phương trình sai phân

( 1) ( ) ( )

( 1) ( ) ( ),

x n x n y n

y n x n y n n

   



    



thỏa mãn điều kiện đầu x(0)0 y(0)5

Giải: Thực biến đổi Z ta hệ phương trình ảnh

( ) (0) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( )

zX z x z X z Y z

zY z y z X z Y z

   



   

 ,

Thay điều kiện đầu ta ( 4) ( ) ( ) ( ) ( 3) ( )

z X z Y z

X z z Y z z

   



    



Giải hệ phương trình ta có nghiệm ảnh

10 2

( )

( 6)( 1)

z z z

X z

z z z z

  

    ;

5 ( 4)

( )

( 6)( 1)

z z z z

Y z

z z z z



  

   

 

1

( ) Z ( ) 6n

x n   X z    ; y n( )Z1X z( ) 2 6n 3 BÀI TẬP CHƢƠNG I

1.1.Nếu hàm biến phức w f z( ) có đạo hàm z0 có đạo hàm cấp z0 Đúng Sai

1.2.Hàm biến phức w f z( ) giải tích z0 khai triển thành tổng chuỗi lũy thừa tâm z0

1.3.Hàm biến phức w f z( ) có đạo hàm phần thực phần ảo u x y , ,  ,

v x y có đạo hàm riêng cấp Đúng Sai

1.4.Nếu z0 điểm bất thường cô lập hàm biến phức w f z( ) khai triển Laurent hàm số z0

Đúng Sai

1.5.Tích phân hàm biến phức giải tích w f z( ) miền đơn liên D không phụ thuộc đường nằm D

Đúng Sai

1.6.Tích phân đường cong kín hàm biến phức giải tích w f z( ) miền đơn liên D luôn không

Đúng Sai

1.7.Thặng dư hàm biến phức w f z( ) z0 phần dư khai triển Taylor hàm z0

Đúng Sai

1.8.Hàm biến phức w f z( ) có ngun hàm giải tích Đúng Sai

1.9. Giả sử hàm biến phức w f z( ) có số hữu hạn điểm bất thường lập, tích phân w f z( ) dọc theo đường cong kín C (khơng qua điểm bất thường) tổng thặng dư w f z( ) nằm đường C

Đúng Sai

1.10. Có thể tìm hàm biến phức bị chặn, khơng phải hàm giải tích điểm

Đúng Sai

1.11 Rút gọn biểu thức sau

a. 5 3i    3 i 5i3 , b. 1

13i 13i ,

c. 34 4i 3i , d. 32i3 , e.

10 1

i i

  

 

 

 

 

  , f.

   

  3 

1

1

i i i

i i

  

 

1.12 Giải phương trình sau

a. z2   z , b. z32z 4 , c. 2z43z37z28z 6

a 3 1 i , b. 34 4 2i

1.14 a. Giả sử z  nghiệm khác phương trình z5 1, chứng minh

1, ,   2, 3, 4 tập hợp nghiệm phương trình z5 1

b. Chứng minh 1  2 3 4 0

c. Tổng quát hóa kết a b cho phương trình zn 1 1.15 Tính quỹ tích điểm mặt phẳng phức thoả mãn

a. z 3 4i 2, b. arg  z  i  ,

c. z   2 z 6, d. z 2 2z1 , e. z   5 z 6, f Imz 3 ,

g 1 z 2i 2, h arg

3 z

  

1.16 Tính phần thực phần ảo hàm biến phức sau a. w z3 b.

1 w

z



 c.

3z

w e

1.17 Cho w z z

  Tìm đạo hàm w z'( ) trực tiếp từ định nghĩa Với giá trị z hàm số khơng giải tích

1.18 Chứng minh hàm w z z khơng giải tích z0 1.19 Chứng minh hàm

a. w z4 b. 21 ,

w z i

z

  



thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann Tính w z'( ) trường hợp 1.20 Tìm hàm biến phức giải tích w f z u x y( , )iv x y( , ) biết phần thực

a. u x y( , )x33xy2, b. u x y( , )x2y22x ,

c.

2

( , ) x

u x y y

x y

 



1.21 Tìm hàm biến phức giải tích w f z u x y( , )iv x y( , ) biết phần ảo a.

2

( , )

( 1) y v x y

x y

 

  , b. v x y( , )2xy 3x ,

1.22 Tính tích phân C

I   z dz hai trường hợp sau a. C đoạn thẳng nối điểm 1 +1

b. C nửa cung tròn tâm nằm nửa mặt phẳng từ điểm 1 đến điểm 1 1.23 a. Tính tích phân  

2 C

I  z dz, C đường tròn | | 1z 

b. Tính tích phân   C

I  z dz, dọc theo đường y x2 từ điểm (0, 0) đến (1,1) 1.24 Cho C đường tròn , tính tích phân sau:

a. cos C

z dz z 

 , b.

( 1)

z C

e

dz z z 



1.25 Tính tích phân

3 C

dz I

z





 hai trường hợp sau:

a. C đường tròn z 1 b. C đường trịn z i 1.26 Tính tích phân

C

I   zdz C đường gấp khúc có đỉnh 2, ,i

   1i,

1.27 Tính tích phân

2

sin

1

C

z

I dz

z







 C đường trịn x2 y2 2x 0 1.28 Tính tích phân

 2 1

z C

e

I dz

z







 C ellipse 4x2 y2 2y0 1.29 Tính tích phân

  3 3

1

C

dz I

z z



 

 trường hợp sau: a. C đường tròn z 1 R R, 2,

b. C đường tròn z 1 R R, 2, c. C đường tròn z R R, 1

1.30 Tính tích phân

 4

1

z C

e z

I dz

z  



 C đường cong kín bao quanh điểm 1

z 

1

1.31 Tính tích phân

 

2

5

1 C

z z

I dz

z

 





 , C đường trịn z 1 1.32 Tìm miền hội tụ chuỗi sau:

a. 2

n n n

z n 



 , b.  

 

2 1

1

1

2 !

n n

n

z n



 







 ,

c.  

n n n

z i 





 , d.  

3

0 n n n

z i n 



 



1.33 Viết bốn số hạng đầu khai triển Taylor hàm số z 0

a.

1 z

w e  , b. sin

1 w

z





1.34 Khai triển Laurent hàm số 2 z w

z z

 

 

a. Trong hình vành khăn 1 z 2 b. Trong hình trịn z 1

c Trong miền ngồi hình trịn z 2

1.35 Khai triển Laurent hàm số điểm sau Tìm miền hội tụ chuỗi, cấp hay loại cực điểm

a.

 2 ,

1 z e

w z

z

 

 ; b.

1

cos ,

w z z

z

  ;

c. w sinz , z

z  

 

 ; d.  1 2,

z

w z

z z

  

  ;

e.

 3

1

, 0,

2

w z z

z z

   

 ;

1.36 Tính tích phân

2

( 1)( 3)

C

z

dz

z  z 

 C đường trịn z 4 1.37 Nếu C đường tròn z 2, chứng tỏ

 2

1

sin

2

1 zt C

ze

dz t t

i z

   

1.38 Tính tích phân

 2 2 

1

C

dz

z z 

1.39 Tính tích phân

4 1 C

dz z 

 , C đường trịn x2 y2 2x 1.40 Tính tích phân thực sau

a. 1 x I dx x     

 ; b.

 

, 1n dx I n x    

 nguyên dương;

c.

2 2

( 4)( 1)

dx I x x     

 ; d.

6 ,

dx I a x a      

1.41 Tính tích phân thực sau

a. sin x x I dx x   

 ; b.

 2 sin x I dx x x     ; c. cos x I dx x    

 ; d.

 2 sin x x I dx x     

1.42 Tính tích phân thực sau

a.

0 cos

dx I x   

 ; b.

2

sin cos

x I dx x     ; c

0 sin cos

dx I x x    

 ; d.

2

cos cos

nx

I dx

a x a





 

 , 0 a 1,n 

1.43 Chứng minh tính chất sau phép biến đổi Z :

Tín hiệu: x n( ) Biến đổi Z tương ứng: X z( )

a. Ax n( )By n( ) AX z( )BY z( ) (tính tuyến tính) b. x n( n0) (nn0) zn0X z( ) (tính trễ)

c. a x nn ( ) X z

a

       

  (tính đồng dạng)

d. nx n( ) zdX z( ) dz

 (đạo hàm ảnh)

e. ( ) * ( ) ( ) ( )

k

x n y n x k y n k

 

   X z Y z( ) ( ) (tích chập)

1.44 Tìm biến đổi Z dãy tín hiệu sau: a. x n( )ein( )n

1.45 Tìm biến đổi Z dãy tín hiệu sau: a. x n( )an(n)

b. x n( ) an( n 1)

c. x n( )2 rect ( )n N n , rect ( )N n ( )n (nN): gọi dãy chữ nhật 1.46 Tìm biến đổi Z ngược hàm giải tích

3 ( )

(2 1) X z

z z



 miền

1 z 

1.47 Tìm biến đổi Z phía dãy tín hiệu sau

a. ( )

2

n

x n      

  b

0

( )

1

n x n

n

 



   



nÕu

nÕu c.

0

( ) 1

2 n

n

x n n

a n

 

 

  

 



nÕu nÕu nÕu 1.48 Tìm biến đổi Z phía dãy tín hiệu sau

a. x n( )nTeanT b. 2 1

0

( )

1 n

n x n

n a  n

 

  

 

nÕu

nÕu c. x n( )cos(n2) ( n2) d x n( )sin(n T0 ) e. x n( ) ( 1)n

1.49 Tìm biến đổi ngược phía x n( ) Z1X z( ), n0 a

2 ( 1) ( )

( 1)( / 4)

z z X z

z z z

 

   b.

2 ( )

( 1)( )

z X z

z z a



  c.

/

( ) a z X z e

d

10 ( )

( / 2) z

X z

z z

 

 e. ( ) ( 1) (2 2)

z X z

z z



 

1.50 Giải phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân sau:

a x n(  1) x n( )n x2, (0)1 b x n( 2)2 (x n1)x n( )1, (0)x x(1)0 c x n(  1) ( )x n cos(n), (0)x 0 d ( 2) ( ) , (0) (1)

4 2n

x n   x n  x x 

e ( 1) ( ) ( )

( 1) ( ) ( ); (0) 3, (0)

x n x n y n

y n x n y n x y

   



     



f ( 1) ( ) ( )

( 1) ( ); (0) 1, (0)

x n x n y n

y n y n x y

   



       