Bài giảng Phương pháp số: Bài 5 - ThS. Nguyễn Thị Vinh

Ứng dụng chính của các đa thức xấp xỉ là thay thế một hàm phức tạp, hay một hàm cho dƣới dạng bảng bởi một đa thức để các phép toán cơ bản của giải tích có thể thực hiện đƣợc dễ dàng[r]

ĐẶT VẤN ĐỀ (1)

1. PHÉP THẾ GIẢI TÍCH:

Ứng dụng đa thức xấp xỉ thay hàm phức tạp, hay hàm cho dƣới dạng bảng đa thức để phép toán giải tích thực đƣợc dễ dàng Chúng bao gồm

Kí hiệu L phép toán hàm, xấp xỉ L(f) bởi L(p), với p(x) đa thức xấp xỉ f(x)

 L thực đƣợc dễ dàng p(x) đa thức L hai phép toán đạo hàm tích phân

 

 b

a f(x)dx và D(f) f (a)

Do tính tuyến tính phép tốn L

L(f + g) = L(f) + L(g) L(af) = aL(f)

trong f(x) g(x) hàm a là số

Tính tuyến tính dẫn đến

L(f) – L(p) = L(e)

ĐẶT VẤN ĐỀ (3)

2 SAI SỐ L(f) – L(p):

Sử dụng đa thức nội suy Newton

Sai số E(f) = L(f) – L(p) tính đƣợc cách áp dụng toán

tử L vào hàm sai số đa thức nội suy – công thức

(2.16) (2.18)

d] [c, ξ ξ             , ) x x ( )! 1 n ( ) ( f ) x (x ] x , x , , x [ f ) x ( p ) x ( f ) x ( e n j j ) n ( j n j n n n Π

) x (x

(x)

Ψ j

k

0 j

k   



,x,x] ,x

, f[x ,x]

,x ,

f[x d

Do 0  k  0  k

Cho f(x) khả vi liên tục [c; d] Nếu x0, …, xk є [c; d],

thì theo công thức nội suy Newton (2.37)

ĐẠO HÀM (2)

1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

 Nếu xấp xỉ f '(a)  p'k (a) sai số xấp xỉ

E(f) = D(f) – D(pk) = f[x , ,xk,a,a] k(a) f[x , ,xk,a] ' (a) k      0 , )! k ( ) a ( ) ( f )! k ( ) a ( ) ( f , k ) k ( k ) k ( η

ξ ψ ψ

2       ). d , c ( , 

TH1: Khi a là mốc nội suy, a = xi với i

Do Ψk (x) chứa thừa số (x – xi), suy Ψk(a) = 0 Hơn nữa, Ψ’k (a) = q(a)

) x x ( ) x x )( x x ( ) x x ( x x ) x ( ) x (

q i i k

i

k     



 ψ 0  1 1 

) ( ) x x ( )! k ( ) ( f ) f (

E i j

TH2: : Khi a không mốc nội suy, chọn a

sao cho Ψ’k (a) = 0, chẳng hạn khi k lẻ, các xi đối xứng

xung quanh a, tức

2 1

0 

 

 

 a a x j , ,k

xk j j 

( x – xj) (x – xk–j) = (x – a + a – xj) (x – a + a – xk–j) = (x – a)2 – (a – x

j)2

2 1

0 

 , ,k

j 

 

j

2 / ) k (

k (x)   (x  a)  (a  x )

 

ĐẠO HÀM (4)

1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

• k = 1: pk(x) = f(x0) + f[x0, x1] (x – x0)

Nếu a = x0 với h = x1 – x0,

, h

f(a) h)

f(a h]

f[a,a (a)

f '     

)

"

(η hf

2 1 E(f) 

Nếu a = (x0 + x1)/2

thì x0 = a – h, x1 = a + h, h = (x1 - x0)/2

, h

2

h) f(a

h) f(a

h] h,a

f[a (a)

f '        f ' ''(η)

6 h E(f)

2

 

• k = 2: Pk(x) = f(x0) + f[x0, x1](x – x0) + f[x0, x1, x2](x – x0)(x – x1) Nếu x0 = a , x1 = a + h, x2 = a + 2h

Nếu x0 = a – h, x1 = a, x2 = a + h

f(x)

h 2

h) 2 f(a

h) f(a

4 f(a)

3 (a)

f '      

h a

ξ a

(ξ f

h

E(f) 2

3

2

 

ĐẠO HÀM (6)

1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

• Trường hợp a є [xi-1, xi]: bất kì điểm xi khơng

cách đều:, tính gần f’(a) cách:

a) Sử dụng đạo hàm g’3(x) đa thức ghép trơn bậc ba SPLINE [xi-1, xi]