Bài giảng Phương pháp số: Bài 4 - ThS. Nguyễn Thị Vinh

• Việc ƣớc lƣợng nó ở một điểm x cần ít nhất 2(n+1) phép nhân/chia và (2n+1) phép cộng và trừ sau khi tất cả các mẫu số của các đa thức nội suy Lagrange đã đƣợc tính toán và chia vào tro[r]

BÀI 4

NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC VÀ LÀM KHỚP DỮ LIỆU

0

BÀI TOÁN NỘI SUY: Cho x0, x1, …, xn n + điểm phân biệt trục số thực f(x) hàm nhận giá trị thực, xác định khoảng I = [a, b] chứa điểm Hãy xây dựng đa thức pn(x) có bậc ≤ n mà điểm x0, x1, …, xn

pn(xi) = f(xi) i = 0, …, n

SỰ TỒN TẠI ĐA THỨC NỘI SUY: (Đa thức nội suy Lagrange)

Cho hàm f(x) nhận giá trị thực n + điểm phân biệt

x0, x1, …, xn, tồn đa thức bậc ≤ n nôi suy f(x) x0, x1, …, xn pn(x) = a0l0(x) + a1l1(x) + … + anln(x) với

ai= f(xi)

i k

i n

k i

0 i k

x x

x x

(x)

l Π

  

SỰ DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC NỘI SUY

Bổ đề: Nếu z1, …, zn nghiệm phân biệt đa thức p(x) p(x) = (x – z1)(x – z2) … (x – zn) r(x)

với r(x) đa thức

Hệ quả: Nếu p(x) q(x) hai đa thức bậc ≤ k có giá trị trùng k+1 điểm z0, …, zk phân biêt, p(x) ≡ q(x)

 có nhiều đa thức bậc ≤ n nội suy f(x) n + điểm phân biệt x0, x1, …, xn

Mặt khác, từ tồn đa thức nội suy Lagrange

 có đa thức bậc ≤ n nội suy f(x) n + điểm phân biệt x0, x1, …, xn

Ví dụ 1: trường hợp n = 1, nghĩa cho biết hàm f(x) và hai điểm phân biệt x0, x1 Vậy ta có hai đa thức bậc nhất

 Trong ví dụ này, đa thức nội suy Lagrange đa thức

nội suy tuyến tính (n = 1)

0 1 1 x x x x (x) l x x x x (x) l       ) ) ) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 n x (x x x ) f(x ) f(x ) f(x x x x )(x f(x x )(x f(x x x x x ) f(x x x x x ) f(x (x) )l f(x (x) )l f(x (x) p                  

Ví dụ 2: Từ bảng giá trị tích phân sau, tính giá trị đa thức

nội suy Lagrange K(3.5), biết K(1) = 1.5709, K(4) = 1.5727, K(6) = 1.5751

Ta có

 K(3.5) ≈ (1.5709)(0.08333)+(1.5727)(1.04167)+(1.5751)((–0.12500)

 



π/2

1/2

2

x] sin

k) (sin [1

dx K(k)

0

1

2

(3.5 4)(3.5 6) 1.25

l (3.5) 0.08333

(1 4)(1 6) 15

(3.5 1)(3.5 6) 6.25

l (3.5) 1.04167

(4 1)(4 6)

(3.5 1)(3.5 4) 1.25

l (3.5) 0.12500

(6 1)(6 4) 10

 

  

 

  

  

  

  

   

NHƯỢC ĐIỂM CỦA ĐA THỨC NỘI SUY Lagrange:

• Việc ƣớc lƣợng điểm x cần 2(n+1) phép nhân/chia (2n+1) phép cộng trừ sau tất mẫu số đa thức nội suy Lagrange đƣợc tính tốn chia vào giá trị hàm tƣơng ứng

• Việc dùng đa thức Lagrange dƣờng nhƣ lãng phí, tính pk(x) khơng dùng lại đƣợc kết tính pk–1(x)

Lập công thức

pn(x) = A0 + A1 (x – x0) + A2 (x – x0) (x – x1) + … + An(x – x0)(x – x1) … (x – xn–1)

= qk(x) + (x – x0)(x – x1) … (x – xk)r(x) với qk(x) = A0 + A1 (x – x0) + A2 (x – x0) (x – x1)

+ … + Ak(x – x0)(x – x1) … (x – xk–1)

Lập công thức: Xây dựng dãy đa thức có tính kế thừa p0(x),p1(x), …

pk(x) = pk–1(x) + Ak(x – x0)(x – x1) … (x – xk–1)

Ak = f[x0, …, xk] là hệ số lũy thừa bậc cao nhất

xk của pk(x), phụ thuộc vào giá trị f(x) tại

các điểm, x0, …, xk đƣợc gọi tỉ sai phân cấp k của

f(x) x0, …, xk

Cơng thức tính tỉ sai phân

Với n = 1, công thức nội suy Newton là

p1(x) = f[x0] + f[x0, x1](x – x0)

so sánh với công thức nội suy Lagrange

p1(x) = f(x0) + [f(x1) – f(x0)](x – x0) / [x1 – x0]

 f[x0] = f(x0) f[x0, x1] = ………….

f[x0, x1, … , xk] =

0 1

0 1

0 1

0 1

x x

f[x f[x

x x

) f(x )

f(x

  



 ] ]

1 k k

k

f[x , ,x ] f[x , ,x ]

x x



Bảng tỉ sai phân

xi f[ ]=f( ) f[,] f[, ,] f[, , ,] f[, , , ,]

x0 f(x0)

f[x0, x1]

x1 f(x1) f[x0, x1, x2]

f[x1, x2] f[x0, x1, x2, x3]

x2 f(x2) f[x1, x2, x3] f[x0, x1, x2, x3, x4]

f[x2, x3] f[x1, x2, x3, x4] x3 f(x3) f[x2, x3, x4]