Đang tải... (xem toàn văn)
Thực tế: phương pháp nhiễu loạn là cách làm đơn giản toán tử thế năng (gọi là toán tử nhiễu loạn) để giải. gần đúng PT Schrodinger tìm mức năng lượng và hàm sóng.[r]
(1)PhD D.H.Đẩu
(2)PhD D.H.Đẩu
1. NHI U LO N D NG KHÔNG SUY Ễ Ạ Ừ
Bi N Ế
2. NHI U LO N D NG CÓ SUY Bi N Ễ Ạ Ừ Ế
3.NHI U LO N SUY Bi N B C CAOỄ Ạ Ế Ậ
4 NG D NG C U TRÚC TINH T Ứ Ụ Ấ Ế
QUANG PH Ổ
(3)PhD D.H.Đẩu
Lecturer:
Dr: Dương Hi u Đ u ế ẩ
Head of Physics Dept duongdau@gmail.com Tel: 84.71. 832061
01277 270 899 Đ a ch g i bài t p nhómị ỉ ử ậ
Khơng có nhóm bài t p gi ng h t ậ ố ệ
nhau
(4)PhD D.H.Đẩu
1 Nhiễu loạn không suy biến
Nhiễu loạn: Phương pháp làm đơn giản để giải gần
(5)PhD D.H.Đẩu
PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
• Là phương trình xác định hàm riêng và trị riêng toán tử lượng:
) t , z , y , x ( .
E )
t , z , y , x ( )
Vˆ m
2
(
Nghiệm xác phương trình tìm ra khi tốn tử có dạng đơn giản.
Với tốn thực tế, có dạng phức tạp, ta dùng phương pháp gần đúng: tính
(6)PhD D.H.Đẩu
PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN
Thực tế: phương pháp nhiễu loạn cách làm đơn giản toán tử (gọi toán tử nhiễu loạn) để giải
gần PT Schrodinger tìm mức năng lượng hàm sóng.
Xem toán tử gia số nhỏ toán tử lượng:
) 1 . 2 ( '
Hˆ Hˆ
Hˆ
Chân dung Schrodinger
(7)PhD D.H.Đẩu
1.1- Phương pháp nhiễu loạn không suy biến
Điều kiện áp dụng: nghiệm phương trình
Schrodinger không nhiễu loạn xác định:
0 n )
0 ( n
n )
0 ( n
nm )
0 ( m )
0 ( n
) ( n )
0 ( n )
0 ( n
E E
; :
Denote
) 3 . 2 ( :
here
) 2 . 2 ( )
t ,r ( E
) t ,r (
Hˆ
Ký hi u (0) khơng ph i là lũy th a, nh ng có m t s ệ ả ừ ư ộ ố
sách v n ghi gi ng lũy th a 0. Đây là ch b c nhi u ẫ ố ừ ỉ ậ ễ
(8)PhD D.H.Đẩu
1.1- Phương pháp nhiễu loạn không suy biến
En0 là các tr riêng ng v i các hàm riêng c a tốn t ị ứ ớ ủ ử
Hamilton khơng nhi u lo n, khơng suy bi nễ ạ ế v n đ ấ ề
là tìm nghi m (2.1) ệ Các tr ng thái và m c năng ạ ứ
lượng g n đúng cho: ầ
) 4 . 2 ( )
t , z , y , x ( .
E )
t , z , y , x ( )'
Hˆ Hˆ
(
) t , z , y , x ( .
E )
t , z , y , x ( Hˆ
n n
n
n n
n
(9)PhD D.H.Đẩu
Nhiễu loạn dừng
Dừng: không phụ thuộc thời gian tức
trạng thái có xác suất ổn định Năng lượng
khơng đổi, tốn tử không phụ thuộc
thời gian
(10)PhD D.H.Đẩu 10
Nhiễu loạn dừng không suy biến
Khi nói các tr riêng c a tốn t H là khơng suy bi n ị ủ ử ế
t c là m t m c năng lứ ộ ứ ượng ng v i 1 tr ng thái.ứ ớ ạ
B t đ u, ta xem toán t Hamilton g n đúng g m 2 ắ ầ ử ầ ồ
thành ph n:ầ
) 5 . 2 ( '
Hˆ Hˆ
Hˆ
Ở đây, chọn có giá trị nhỏ sau ta tăng dần giá trị đến 1,0 Khi tốn tử
Hamilton đạt giá trị xác (2.4)
(11)PhD D.H.Đẩu 11
Khai triển lũy thừa
) 7 . 2 ( E
E
E E
E
) 6 . 2 (
) n ( n n
) ( n
) ( n )
0 ( n n
) n ( n n
) ( n
) ( n )
0 ( n n
Khi En(1) gọi số hiệu chỉnh bậc
đối với trị riêng lượng thứ n
n(1) gọi hàm hiệu chỉnh bậc
hàm sóng riêng thứ n Tương tự En(2)
n(2) gọi số hiệu
(12)PhD D.H.Đẩu 12
Bậc nhiễu loạn
) 8 . 32 ( x ) E E E E ( )' Hˆ Hˆ ( ) n ( n n ) ( n ) ( n ) ( n ) n ( n n ) ( n ) ( n n ) n ( n n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( ) ( ) ( ' ˆ ˆ ) ' ˆ ˆ ( ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 ) ( ) ( ) ( 0 n n n n n n n n n n n n n n n n E E E E E E H H H H H
Nhân gom nhóm theo lũy thừa ta có:
Trường hợp nhiễu loạn bậc không (không nhiễu loạn) Trong 2.9 cho thành phần 0 =1 ta quay lại PT:
) 2 . 2 ( E
(13)PhD D.H.Đẩu 13
Xét nhiễu loạn bậc bậc 2
• Từ phương trình 2.9 cho thành phần 1
• Ta có phương trình nhiễu loạn bậc nhất:
) 10 .
2 ( )
E E
( )
' Hˆ Hˆ
( n(1) n(0) (n0) n(1) (n1) (n0)
) 11 . 2 ( )
E E
E ( '
Hˆ
Hˆ0 n(2) n(1) n(0) (n2) (n1) n(1) n(2) (n0)
• Từ phương trình 2.9 cho thành phần 2
• Ta có phương trình nhiễu loạn bậc hai:
(14)PhD D.H.Đẩu 14
Bài tập w
• Xét nhiễu loạn bậc (PT 2.10)
• Tìm giá trị hiệu chỉnh lượng bậc
(15)PhD D.H.Đẩu 15
Hướng dẫn
(thay ký hiệu giống lũy thừa)
Lấy tích n0 với PT 2.10 (thực là nhân
( n0)* sau lấy tích phân) ta có:
) 12 ( : ' ˆ ˆ 0 1 0 1 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n n n E E right E E H H
Bên vế trái 2.12 ta sử dụng Ho Hermitian
) 13 ( ' ˆ ' ˆ ˆ ' ˆ ˆ 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n H E H H H H
So sánh 2.12 2.13 ta có:
(16)PhD D.H.Đẩu 16
Kết luận nhiễu loạn bậc nhất
• Số hiệu chỉnh lượng mức n
trong nhiễu loạn bậc (1)
giá trị trung bình tốn tử nhiễu loạn ở trạng thái mô tả hàm sóng khơng bị nhiễu loạn thứ n (số phía bậc của nhiễu loạn)
) 15 .
2 ( E
E E
) 14 .
2 ( '
Hˆ E
) ( n
n n
0 n
n )
(17)PhD D.H.Đẩu 17
Bài tập 2w
• Bài tốn hạt tự hố vng có cạnh a ( x a) với nghiệm là:
2 2 )
0 ( n )
0 ( n
ma n E
: here
) a
x n sin( a
2 )
x (
Xét trường hợp có nhiễu loạn V (có giá trị bé) hình
a a/2
V
Tính số hiệu chỉnh lượng
Bậc cho biết giá trị lượng có nhiễu loạn bậc
(18)PhD D.H.Đẩu 18
Hướng dẫn
Mức lượng xác
thứ (nhiễu loạn bậc nhất):
2 V a V a dx ) a x n ( sin V a dx ) a x n sin( a ) V )( a x n sin( a ' Hˆ E / a 2 / a 0 n n n
S d ng công th c 2.14 đ xác đ nh Eử ụ ứ ể ị n1:
V ma E E
E 2 22
1
1
Mức lượng chính xác
thứ 2:
V ma 2 E E
E 2 22
2
2
Mức lượng chính xác
thứ 3:
4 V ma E E
(19)PhD D.H.Đẩu 19
Hàm sóng nhiễu loạn bậc Xét PT nhiễu loạn bậc 1- 2.10 chuyển vế hàm:
) 16 . 2 ( ) E ' Hˆ ( ) E Hˆ ( E ' Hˆ E Hˆ ) 10 . 2 ( ) E E ( ) ' Hˆ Hˆ ( n n n n 0 n n n n n n 0 n n n n n n ) 17 . 2 (
c 0m
n m ) ( mn n
Khai triển hàm n1 ở vế trái thành tổ hợp tuyến tính
(20)PhD D.H.Đẩu 20
Bài tập 3w - Giải tìm hàm riêng của nhiễu loạn bậc nhất
) 19 ( ' ˆ ) ' ˆ ( ) ( 0 0 0 ) ( 0 n K n n K n n K m K n
m m n mn
E H E H c E E
Hãy đưa PT 2.17 vào 2.16 lấy tích k0
Từ tính hàm riêng:
) 18 ( ) ' ˆ ( ) ( ) ˆ ( : ) 16 ( ) ' ˆ ( ) ˆ ( ) ( 0 ) ( 0 1 0 n n m n
m m n mn
m n m mn n n n n n E H c E E c E H Left E H E H
Lấy tích 2.18 với k0 với c(1) hệ số KT bậc 1