Nháûn xeït: - Hçnh chiãúu âæïng vaì hçnh chiãúu bàòng cuía màût phàóng caûnh suy biãún thaình mäüt âæåìng thàóng vuäng goïc våïi truûc x. -Hçnh chiãúu caûnh cuía mäüt miãúng phàóng [r]
(1)
H
ầNH HOĩC
HOĩA HầNH
DặNG THOĩI HỌC ĐAÌ NẴNG — 2004
ĐẠI HỌC Đ NẴNG
(2)LỜI NĨI ĐẦU
Giáo trình hình học họa hình soạn theo chương trình cải cách Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo Giáo trình nhằm phục vụ sinh viên hệ đào tạo ngành kỹ thuật năm học Sách có chọn lọc ví dụ minh họa viết tương đối tỷ mỷ nhằm phục vụ cho sinh viên tự đọc hiểu dễ dàng
Kèm theo giảng sinh viên có thêm sách tập định kỳ để phục vụ việc nắm lại lý thuyết mở rộng tư Do sinh viên cần phải thực đầy đủ tập cho tập làm thẳng vào sách
Trong qúa trình soạn thảo chúng tơi chắn khơng tránh khỏi thiếu sót mặt Rất mong bạn đọc, đồng nghiệp đóng góp ý Đà nẵng , tháng 10 năm 2004 Tác giả
(3)Phần I : NHỮNG KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT
Chương một:
MỞ ĐẦU
1.1-MỤC ĐÍCH V U CẦU:-Mục đích:Bản vẽ văn kiện kỹ thuật để đạo sản xuất Bản vẽ xây dựng nhờ phương pháp biểu diễn hệ thông qui ước Nghiên cứu phương pháp biểu diễn làm sở lý luận cho việc xây dựng vẽ nguồn gốc lịch sử nội dung Hình học họa hình
Để biểu diễn đối tượng cụ thể phận máy móc,một cơng trình xây dựng,trươc hết phải biết cách biểu diễn khơng gian hình học chứa đối tương cụ thể
Nói rõ , Hình học họa hình mơn học nghiên cứu cách biểu diễn không gian yếu tố hình học khơng gian có chiều thấp ,phổ biến mặt phẳng, dùng hình biểu diễn để nghiên cứu không gian ban đầu
Hình học họa hình nhờ bảo đãm tính trực quan xác nên dùng nhiều thực tế để xây dựng vẽ kỹ thuật mơn học sở chương trình đào tạo kỹ sư
-Yêu cầu hình biểu diễn: Muốn đạt mục đích , hình biểu diễn phải đạt u cầu sau;
+ Âån gin, r rng, chênh xạc
+ Thỏa mãn tính tương đương hình học hay tính phản chuyển vẽ * Để học tốt mơn hình học họa hình, người học cần nắm vững kiến thức của hình học sơ cấp hình học khơng gian.
1.2-CÁC PHÉP CHIẾU:
1.2.1-Phép chiếu xuyên tâm:
Một phép chiếu xuyên tâm xác định điểm S gọi tâm chiếu phẳng P gọi mặt phẳng hình chiếu.Phép chiếu thực hai bước.(H-1.1)
-Nối đường thẳng SA Hình-1.1
S A
A'
(4)-Tìm giao điểm Á = SA x P
Á : gọi hình chiếu xuyên tâm A từ tâm S lên mặt phẳng hình chiếu P
Tính chất 1: Hình chiếu đường thẳng khơng qua tâm chiếu đường thẳng.(H-1.2)
Tính chất 2: Hình chiếu của hai đường thẳng song song hai đường thẳng đồng qui(điểm đồìng qui hình chiếu điểm vơ tận hai đường thẳng song song).(H-1.3)
1.2.2-Phép chiếu song song:
Một phép chiếu song song xác định hướng s mặt phẳng hình chiếu P, khơng song song với s (H-1.4)
Hình -1.2 Hình-1.3 Thực phép chiếu gồm hai bước:
- Qua A k t song song s
- Tìm giao điểm Á = t x P
Á : gọi hình chiếu song song A theo hướng s lên mặt phẳng hình chiếu P
Tính chất 1:Phép chiếu song song bảo tồn tính chất song song hai đường thẳng (H-1.5)
Tính chất 2:Phép chiếu song song bảo tồn
tỷ số đơn ba điểm thẳng hàng (H-1.6) Hình -1.4
S
I A≡A'
P
a
b' B≡B' a'
b
s A
A'
P
S
A
A'
P
d
(5)AB // CD ⇒ A'B' // C'D' (ABC) = (A'B'C')
Hỗnh-1.5 Hỗnh-1.6
1.2.3- Phộp chiu vuụng gúc:
Phép chiếu vng góc trường hợp đặc biệt phép chiếu song song hướng chiếu s vng góc với mặt phẳng hình chiếu P (H- 1.7)
Tính chất : Điều kiện cần đủ góc vng chiếu thành góc vng hai cạnh góc vng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh khơng vng góc với mặt phng hỡnh chiu (H-1.8)
Hỗnh-1.7 Hỗnh-1.8
s
A
A'
P
B D C
B' C' D'
a
b'
P
b a'
s
A
A'
P
B C
B' C'
A
A'
(6)Chương hai:
ĐIỂM
2.1-ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM:
2.1.1-Hệ thống mặt phẳng hình chiếu:
Trong khơng gian, chọn hai mặt phẳng vng góc P1 nằm ngang P2 thẳng đứng hình vẽ (H-2.1)
P1 : gọi mặt phẳng hình chiếu
P2 : gọi mặt phẳng hình chiếu đứng
Hai mặt phẳng P1, P2 chia không gian làm bốn phần tư theo thứ tự hình vẽ
2.1.2- Biểu diễn điểm -Độ cao -Độ xa :
Chiếu vng góc điểm A lần lược lên P1 P2 gập P1 đến trùng với P2 theo chiều hình vẽ Sau đặt P2 trùng với mặt phẳng vẽ ta có hệ hình chiếu điểm A , thường gọi l thc cỳa A.(H-2.2)
Hỗnh-2.2a Hỗnh-2.2b
Hỗnh-2.1
A1 A2
AX x
P2
1
P1
P2
2
4
x
A
P1
P2
AX
A1 A2
(7)Ta có số định nghĩa sau:
- A1: Hình chiếu điểm A - A2: Hình chiếu đứng điểm A
- x = P1 x P2 : Trục chiếu
- Đường nối hai điểm A1,A2 : Đường dóng
- A1Ax : Độ xa ( éloignement) ,được qui ước dương A1 nằm phía trục x
- A2Ax : Độ cao (cote) ,được qui ước dương A2 nằm phía trục x
2.1.3- Đồ thức điểm bốn phần tư không gian Các mặt phẳng phân giác
Theo qui ước 2.1.2, vị trí điểm bốn phần tư tương ứng với độ xa, độ cao sau: Phần tư Độ cao Độ xa
1 + + + - - - - +
Người ta gọi:
-Mặt phẳng phân giác mặt phẳng phân giác qua phần tư thứ và thứ
-Mặt phẳng phân giác mặt phẳng phân giác qua phần tư thứ và thứ
Hình vẽ cho ví dụ minh họa đồ thức số điểm không gian (H-2.3)
(A∈ptæ 1) (B∈phtæ 2) (C∈phtæ 3) (Dphtổ 4) (Epgiaùc 1) (Fpgiaùc 2)
Hỗnh - 2.3
A1 A2
x
B1 B2
C1 C2
D1 D2
E1
(8)2.2-HỆ BA MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU:
Sử dụng thêm mặt phẳng hình chiếu thứ ba, ký hiệu P3 vng góc với hai mặt phẳng hình chiếu P1 P2 nói trên, ta có hệ ba mặt phẳng hình chiếu vng góc.(H-2.4)
Chiếu vng góc điểm A lên P1,P2,P3,rồi gập P1,P3 theo chiều hình vẽ đến trùng với P2 ,ta có đồ thức tương ứng nó.(H-2.5)
Hỗnh-2.4 Hỗnh-2.5
A3: l hỡnh chiu cnh điểm A
AA3=AxO : độ xa cạnh A , với qui ước dương A1,A2 bên trái trục z
P2
A
P1 AX
A1 A2
P3
A3
AY AZ
y z
x
x
A1 A2
AX
A3 Az
Ay'
Ay z
y
(9)Chương 3:
ĐƯỜNG THẲNG
3.1-ĐỒ THỨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG:
Một đường thẳng biểu diễn hai điểm hay hai hỡnh chiu ca nú (H-3.1) (H-3.2)
Hỗnh-3.1 Hỗnh-3.2
3.2-CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT.
3.2.1-Đường : Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu P1 Đồ thức vẽ hình-3.3
Nhận xét: -Hình chiếu đứng đường song song trục x
-Hình chiếu đoạn thẳng thuộc đường bằng
3.2.2-Đường mặt : Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P2 Đồ thức vẽ hình-3.4
Nhận xét: -Hình chiếu bằïng đường mặt song song trục x
-Hình chiếu đứng đoạn thẳng thuộc đường mặt bằng
3.2.3-Đường cạnh : Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 Đồ thức vẽ hình-3.5
Nhận xét: -Hình chiếu hình chiếu đứng đường cạnh trùng vng góc với trục x.
-Hình chiếu đoạn thẳng thuộc đường nó.
* Để thỏa mãn tính phản chuyển đồ thức ,một đường cạnh phải biểu diễn hai điểm thuộc
x x
d1 d2
A1 A2
B2
(10)Hỗnh-3.3 Hỗnh-3.4 Hỗnh-3.5
3.2.4-ng thng chiu bằng: Là đường thẳng vng góc với măt phẳng hình chiếu P1 Đồ thức vẽ hình -3.6
Nhận xét: -Hình chiếu đường thẳng chiếu suy biến thành một điểm
-Hình chiếu đứng đường thẳng chiếu đường thẳng vng góc với trục x
* Đường thẳng chiếu vừa đường mặt vừa dường cạnh, nên có tính chất hai loại đường nói
3.2.5-Đường thẳng chiếu đứng: Là đường thẳng vng góc với măt phẳng hình chiếu đứng P2 Đồ thức vẽ hình -3.7
Nhận xét: -Hình chiếu đứng đường thẳng chiếu đứng suy biến thành một điểm
-Hình chiếu đường thẳng chiếu đứng đường thẳng vng góc với trục x
* Đường thẳng chiếu đứng vừa đường vừa dường cạnh, nên có tính chất hai loại đường nói
3.2.6-Đường thẳng chiếu cạnh: Là đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 Đồ thức vẽ hình -3.8
Nhận xét: -Hình chiếu hình chiếu đứng đường thẳng chiếu cạnh song song với trục x ;
-Hình chiếu cạnh đường thẳng chiếu cạnh suy biến thành một điểm
* Đường thẳng chiếu cạnh vừa đường vừa đường mặt, nên có tính chất hai loại đường nói
A1
A2 B2
B1 x
h2
h1
x C1
C2
D2
D1 f2
f1
x
E1 E2
F2
E3
F1
F3
Ay z
y
y' O
p2
p1
(11)Hỗnh-3.6 Hỗnh-3.7 Hỗnh-3.8
3.3-IU KIỆN LIÊN THUỘC CỦA ĐIỂM VAÌ ĐƯỜNG THẲNG:
Điều kiện 1: Điều kiện cần đủ để điểm thuộc đường thẳng thường là hình chiếu tên thuộc nhau. (H-3.10)
Điều kiện 2: Điều kiện cần đủ để điểm C thuộc đường cạnh AB tỷ số đơn ba điểm A,B,C hai hình chiếu (H-3.11)
Hỗnh-3.10 Hỗnh-3.11
3.4-VT NG THNG:
3.4.1-Vết bằng: Vết đường thẳng giao điểm đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu P1 (H-3.12)
Nhận xét:- Hình chiếu đứng cuả vết thuộc trục x
- Hình chiếu cuả vết trùng với
3.4.1-Vết đứng: Vết đứng đường thẳng giao điểm đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng P2 (H-3.12)
Nhận xét:- Hình chiếu cuả vết đứng thuộc trục x
- Hình chiếu đứng cuả vết đứng trùng với
A1≡B1≡d1 A2
x
B2 d2
C1≡D1≡e1
D1 x
C1 e1
E3≡F3≡g3 E2
x
F2 g2
g1
E1 F
1 O
A1 A2
d2
d1 x
B1 B2
A2
B3
A1
A3
C1
z
y
y' O
x
(12)Hình vẽ -3.12 a,b biểu diễn vết M vết đứng N
Hỗnh-3.12a Hỗnh-3.12b
3.5- NG THNG CT NHAU:
Điều kiện 1: Điều kiện cần đủ để hai đường thẳng thường cắt hình chiếu tên chúng cắt đường dóng. (H-3.13)
Điều kiện 2: Điều kiện cần đủ để đường thẳng thường đường cạnh cắt hình chiếu tên chúng cắt điểm thỏa mãỵn đồ thc mt im thuc ng cnh. (H-3.14)
Hỗnh-3.13 Hỗnh-3.14
3.6- NG THNG SONG SONG:
iu kiện 1: Điều kiện cần đủ để hai đường thẳng thường song song hình chiếu tên song song nhau. (H-3.15)
Điều kiện 2: Điều kiện cần đủ để hai đường thẳng cạnh song song có hai đường thẳng tựa chúng cắt hoặt song song. (H-3.16)
d2
P1
P2
N1 N2≡ N
x d1
M2
M1≡M d
A1 A2
d1 N1
M1
d2
M2
N2
x
I1 I2
b1 a1
b2 a2
x
A1 A2
B2 I2
B1 I1 d1
(13)Hỗnh-3.15 Hỗnh-3.16
3.7- ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU:
*Hai đường thẳng không thỏa mãn điều kiện cắt song song chéo nhau. (H-3.18)
3.8-HÌNH CHIẾU GĨC VNG:
Điều kiện cần đủ để góc vng chiếu thành góc vng cạnh góc vng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh khơng vng góc với mặt phẳng hình chiếu (Dùng định lý ba đường vng góc để chứng minh mệnh đề trên)
Trên hình-3.17, góc vng aOb có cạnh a song song với P1 nên hình chiếu a1O1b1 góc vng Mệnh đề cho hai đường thẳng chộo v vuụng gúc (H-3.18)
Hỗnh-3.17 Hỗnh-3.18
a1 a2
x
b2
b1
D1 A2
C1 B2
x
B1
I2
I1 A1
C2
D2
I1 I2
b1 a1
b2 a2
x x
a2 b2
b1
(14)(15)Chương 4:
MẶT PHẲNG
4.1- ĐỒ THỨC CỦA MỘT MẶT PHẲNG:
Giống hình học khơng gian, mặt phẳng biểu diễn ba điểm không thẳng hàng, điểm đường thẳng không thuộc nhau,bởi hai đường thẳng cắt hay song song đồ thức cho đây: (H-4.1)
(A,B,C) (D,d) (axb) (a//b)
Hỗnh-4.1
4.2-VT MT PHNG :
4.2.1-Vết bằng: Vết mặt phẳng giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu P1 Vết mặt phẳng α thường ký hiệu mα (H-4.2)
Nhận xét: -Hình chiếu đứng cuả vết trùng với trục chiếu m2α≡ x
- Hình chiếu cuả vết trùng với m1α≡ mα 4.2.2-Vết đứng: Vết đứng mặt phẳng giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng P2 (H-4.2)
Nhận xét:- Hình chiếu cuả vết đứng trùng với trục chiếu n1α≡ x
- Hình chiếu đứng cuả vết đứng trùng với n2α≡ nα
*
Lưu ý: -Đường thẳng thuộc mặt phẳng vết đường thẳng thuộc vết tương ứng mặt phẳnga1 a2
x
b2
b1 I1
I2
b1 d1
b2 d2
x
A1 A
B2
B1 C1 C2
D1 D2
a2
(16)-Hai vết cuả mặt phẳng phải giao trục x song song với trục x (do vị trí tương đối mặt phẳng khơng gian)
Hình vẽ 4.2 a,b biểu diễn vết mα vết đứng nα mặt phẳng α
Hỗnh-4.2a Hỗnh-4.2b
4.3-CC V TR C BIT CỦA MẶT PHẲNG:
4.3.1-Mặt phẳng chiếu bằng: Là mặt phẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu P1
Nhận xét: -Hình chiếu mặt phẳng chiếu suy biến thành một đường thẳng
Hình-4.3: Hình chiếu điểm thuộc mặt phẳng chiếu α thuộc đường thẳng α1 Dễ dàng thấy vết α mα≡ α1 vết
đứng nα⊥ x
4.3.2-Mặt phẳng chiếu đứng: Là mặt phẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P2
Nhận xét: Hình chiếu đứng mặt phẳng chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng
Hình-4.4: Hình chiếu đứng điểm thuộc mặt phẳng chiếu đứng β thuộc đường thẳng β2 Dễ dàng thấy vết α nβ≡β2 vết
mβ⊥ x
A
P1
P2
n2α≡ nα
α
x m
1α≡ mα
n1α≡ m2α x
n1α≡m2α≡ x
m1α≡mα
(17)3.3.3-Mặt phẳng chiếu cạnh: Là mặt phẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3
Nhận xét: -Vết vết đứng mặt phẳng chiếu cạnh song song trục x
-Hình chiếu cạnh mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành một đường thẳng.
Hình-4.5: Hình chiếu cạnh mặt phẳng chiếu cạnh γ đường thẳng cạnh γ3 Vết đứng nγ vết mγ song song với trục x
Hỗnh-4.3 Hỗnh-4.4 Hỗnh-4.5
4.3.4-Mt phng bng: Là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu P1
Nhận xét:-Hình chiếu đứng mặt phẳng suy biến thành đường thẳng song song với trục x
-Hình chiếu miếng phẳng thuộc mặt phẳng thì nó.
Hình-4.6: Mặt phẳng α biểu diễn tam giác ABC α2 // x ; A1B1C1 = ABC
4.3.5-Mặt phẳng mặt: Là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P2
Nhận xét:-Hình chiếu mặt phẳng mặt suy biến thành đường thẳng song song với trục x
-Hình chiếu đứng miếng phẳng thuộc mặt phẳng mặt nó.
D1 D2
E2
E1 x
F2
F1
β2
mβ
nβ
γ3 x
mγ
nγ
O x
y
y' A1
A2
B2
B1 x
C2
C1
α1
mα
(18)Hình-4.7: Mặt phẳng mặt β biểu diễn tam giác DEF β1 // x ; D2E2F2 = DEF
4.3.5-Mặt phẳng cạnh : Là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3
Nhận xét: - Hình chiếu đứng hình chiếu mặt phẳng cạnh suy biến thành đường thẳng vng góc với trục x
-Hình chiếu cạnh miếng phẳng thuộc mặt phẳng cạnh
Hình-4.8 : Mặt phẳng cạnh γ biểu diễn tam giác IJK γ1 ≡γ2 ⊥ x ; I3J3K3 = IJK
Hình-4.6 Hình-4.7 Hình-4.8 4.3.6-Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng phân giác :
Hình-4.9 biểu diễn đồ thức mặt phẳng α (mα,nα), chứa đường
cạnh AB vng góc với mặt phẳng phân giác Do α vng góc với mặt phẳng phân giác
Nhận xét: Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng phân giác 1 có hai vết đối xứng qua trục x.
Hình-4.10 biểu diễn đồ thức mặt phẳng β (mβ,nβ), chứa đường
cạnh CD vng góc với mặt phẳng phân giác Do β vng góc với mặt phẳng phân giác
Nhận xét: Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng phân giác 2 có hai vết trùng qua trục x
C1 A1
A2 B2
B1 x
C2
D1 D2
E2
E1 x
F2
F1
I1 I2
K2
I3
K1
K3
Ay z
y
y' O
γ2
γ1 x
J3 J2
J1
β1
(19)Hỗnh-4.9 Hỗnh-4.10
4.4-BAèI TON CƠ BẢN CỦA MẶT PHẲNG:
Để biểu diễn đường thẳng điểm thuộc mặt phẳng , ta dựa vào hai mệnh đề đây:
1 Một đường thẳng thuộc mặt phẳng có hai điểm thuộc mặt phẳng
2 Một điểm thuộc mặt phẳng thuộc đường thẳng mặt phẳng
Các toán biểu diễn điểm đường thẳng mặt phẳng có mối liên quan hỗ trợ mà chủ yếu liên thuộc điểm đường thẳng Ví dụ 1: Cho mặt phẳng xác định hai đường thẳng a,b Hãy vẽ đường thẳng
Hình-4.11 : Ta lấy hai điểm , A∈a B∈b A B thuộc mặt phẳng (a,b) (theo 1) chúng xác định xác định đường thẳng g thuộc mặt phẳng (theo 2)
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng xác định hai đường thẳng c,d Hãy vẽ điểm K thuộc mặt phẳng đó, biết K2
Hình-4.12 : Ta vẽ đường thẳng g mặt phẳng cho thuộc K ( theo 2): Hình chiếu g2 thuộc K2 Từ vẽ g1 ví dụ suy K1∈ g1
nα
x
mα
A2≡B1
A1 B2
x
mβ
D2≡C1 C2≡D1
(20)Hỗnh-4.11 Hỗnh-4.12
4.5-CC NG THẲNG ĐẶC BIỆT CỦA MẶT PHẲNG:
4.5.1-Đường : Là đường thẳng thuộc mặt phẳng đồng thời song song với mặt phẳng hình chiếu P1
Hình-4.13a,b biểu diễn đường h mặt phẳng (a,b) mặt phẳng α Ta vẽ h2 song song x , suy h1 nhờ toán c bn ng thng thuc mt phng
Hỗnh-4.13a Hỗnh-4.13b
4.5.2-ng mt : L ng thng thuc mt phẳng đồng thời song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P2
I1 I2
b1 a1
b2 a2
x
A2
B2
B1 A1
g2
g1 c1
c2
x
d2
d1
C2 D
2 K2
C1 K
1
D1 g1 g2
I1 I2
b1 a1
b2 a2
x
A2 B2
B1 A1
h2
h1
nα
x
N2 N1
h2
h1