SKKN hướng dẫn cho học sinh phương hướng tìm điểm cố định

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến q trình giáo dục thành q trình tự giáo dục Như vậy, học sinh phát huy lực sáng tạo, tư khoa học, từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để giúp học sinh đạt điều mơn Tốn khích lệ em sau đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tịi tốn liên quan Làm có nghĩa em cần say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức Cơ sở thực tiễn Bài toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định toán thú vị thường gặp kỳ thi dành cho học sinh giỏi cấp THCS Điều khó khăn với em dạng tốn xuất sách giáo khoa, sách tập mà thường sách tham khảo Cùng với tốn quỹ tích, dạng toán liên quan đến yếu tố “động”, dạng toán phức tạp em Chính mà em thường khơng nắm phương pháp giải toán loại này, đặc biệt vị trí điểm cố định nằm đâu Tuy nhiên loại tốn lại góp phần quan trọng việc góp phần rèn luyện tư hàm Với lý đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho là: “Hướng dẫn cho học sinh phương hướng tìm điểm cố định” AI Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương hướng tìm điểm cố định đồng thời vận dụng phương pháp tìm điểm cố định để giải số tốn hay khó Như vậy, giáo viên giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ cách có hệ thống đơn vị kiến thức Nhiệm vụ đề tài BI + Đưa phương pháp tìm điểm cố định, gợi ý học sinh tìm điểm cố định Đưa loại tập vận dụng phương pháp tìm điểm cố định hay khó có tập minh họa + IV Giới hạn đề tài : Đề tài gói gọn với đơn vị kiến thức trọng tâm mơn Hình Học lớp 9; Đại số V Giải vấn đề Để nghiên cứu đề tài này, sử dụng phương pháp sau: Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có với nghiên cứu tài liệu, sử dụng tài liệu như: - Sách giáo khoa Toán - NXB Giáo dục - Sách tập Toán 9- NXB Giáo dục - Tốn nâng cao Hình học - NXB Thành phố Hồ Chí Minh - Tốn nâng cao chuyên đề - NXB Giáo dục - 100 tốn Hình học hay khó - NXB Hà Nội - Các tốn hay khó đường trịn - NXB Đà Nẵng - Hướng dẫn học sinh tìm lời giải tốn hình học - NXB Thành phố Hồ Chí Minh Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Tôi tiến hành dạy thử nghiệm học sinh lớp 9E - Trường THCS Bá Ngọc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi trường Phương pháp đánh giá Kết thúc chuyên đề học sinh lớp 9E, học sinh bồi dưỡng Tốn tơi có tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức suy luận em PHẦN II NỘI DUNG CỤ THỂ Các phương pháp chính: Phương pháp xét vị trí đặc biệt Phương pháp sử dụng toán phụ Phương pháp lập hệ tọa độ Đề Các vng góc I Phương pháp xét vị trí đặc biệt Trong tốn có yếu tố (điểm, đường thẳng, đường tròn…) cố định yếu tố thay đổi Với vị trí điểm thay đổi, ta xác định đường thẳng Tập hợp đường thẳng ta gọi họ đường thẳng Ta phải chứng minh họ đường thẳng qua điểm cố định Để xác định điểm cố định, ta thường chọn hai cách sau: * Cách 1: Lấy hai đường thẳng họ (thường chọn vị trí đặc biệt) tìm giao điểm chúng Sau chứng minh đường thẳng họ qua Hoặc lấy đường thẳng có vị trí đặc biệt cắt đường có xuất giải toán chứng minh đường thẳng họ qua điểm Cách 2: Chọn vị trí đặc biệt để có đường thẳng họ Đường thẳng họ cắt đường thẳng điểm Ta chứng minh điểm cố định * Sau ví dụ minh hoạ cho hai cách trên: Ví dụ 1: Cho đường trịn tâm O đường thẳng (d) khơng qua O Trên (d) có điểm T di động (khơng nằm đường tròn) Kẻ tiếp tuyến TM, TN tới đường trịn Chứng minh đường thẳng MN ln qua điểm cố định A I'I x y Gợi ý: Ta xét trưòng hợp đường thẳng (d) cắt đường trịn hai điểm A, B Cách 1: Để tìm điểm cố định, ta xét hai vị trí đặc biệt T A B Khi T A hai tiếp tuyến TM TN trở thành tiếp tuyến Ax Khi T B hai tiếp tuyến TM TN trở thành tiếp tuyến By Giả sử Ax By cắt I Khi I điểm cố định Ta chứng minh đường thẳng họ qua I Cách 2: Chọn vị trí đặc biệt T Khi T B hai tiếp tuyến TM TN trở thành tiếp tuyến By Giả sử đường thẳng MN cắt By điểm I Ta chứng minh I điểm cố định Hai hướng chứng minh cho ta hai cách giải toán (trong trường hợp (d) cắt đường tròn hai điểm A B) sau Lời giải: Cách 1: Gọi giao điểm hai tiếp tuyến đường tròn (O) A B I Khi I điểm cố định Ta chứng minh đường thẳng MN qua I TMO TNO = 900, Nối IO Dễ thấy IO vng góc với AB Ta lại có = 900 ( tính chất tiếp tuyến) Suy điểm T, M, O, H, N thuộc đường tròn Giả sử MN cắt OI I OTM ’ Ta có O H M ’ = OMI (c Suy OMH ~ OI’ M (g,g) Ta có: Mặt khác IA tiếp tuyến đường trịn tâm O nên góc IAO = 90 Do AH OI, áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có : OI = Từ (1) (2) ta có: OI = OI’ suy I I’ Vậy MN qua I Cách 2: Hạ OH tròn (O) cho B T nằm phía với H Ta có tứ giác TKHI nội tiếp (T K I = = THI OK OT (1) Mặt khác tam giác vuông OMT , ta có OK OT = OM (do MK OT ) (2) Từ (1) (2) suy OH OI = OM2 Hay OI = Khơng phải tốn thực theo hai cách Tuỳ thuộc vào vị trí đặc biệt tốn để thực theo cách hay cách hai Sau ví dụ minh hoạ cho hướng chứng minh thứ * Ví dụ 2: Cho góc vng xOy hai điểm A, B thứ tự chuyển động Ox Oy cho OA +OB =a (a độ dài cho trước) Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng AB qua điểm cố định Gợi ý: Ta xét hai vị trí đặc biệt A B Khi A O B B0 ( B0 nằm Oy OB0 = a) nên đường trung trực AB trở thành đường trung trực Mt OB0 Khi B O A A0 (A0 nằm Ox OA0 = a) nên đường trung trực AB trở thành đường trung trực Nz OA0 Gọi S giao điểm Mt Nz S điểm cố định Ta có lời giải sau: x N O B Lời giải: Dựng hình vng OMSN với M Oy, N Ta có OA+ OB = a (gt) ON = OM = Xét hai tam giác vng SNA SMB có SN = SM ( hai cạnh hình vng); AN = BM (c/m trên) Suy SNA = SMB (c.g.c) Vậy SA = SB S thuộc đường trung trực AB Do N, M cố định nên S cố định Vậy đường trung trực AB qua điểm S cố định Thơng thường chọn hai vị trí đặc biệt ta sử dụng cách thứ Nếu tốn chọn vị trí đặc biệt ta chọn cách thứ hai.Ví dụ sau minh hoạ cho hướng chứng minh thứ hai * Ví dụ 3: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB; M điểm chuyển động nửa đường tròn (O); C điểm tia AM cho AC = BM Chứng minh đường thẳng (d) vuông góc với AM C ln qua điểm cố định Gợi ý: Để tìm điểm cố định, trước hết ta xét vị trí đặc biệt M Khi M B C A, đường thẳng (d) trở thành tia tiếp tuyến Ax (tia Ax thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) xét) Giả sử tia Ax cắt đường thẳng (d) vẽ D Dễ thấy DA = AB Từ ta có lời giải sau: x d D j C A O Lời giải: Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến Ax cắt đường thẳng (d) D, ta có AD AB ( tính chất tiếp tuyến) nửa đường tròn) Xét hai tam giác vng ADC BAM có AC = BM (gt); DAC = MBA (góc nội tiếp góc tia tiếp tuyến dây chắn cung) Từ ADC = BAM (g.c.g), dẫn đến AD = AB Do tia Ax cố định, AD = AB (không đổi) nên D cố định Vậy đường thẳng (d) vuông góc với AM C ln qua điểm D cố định Có tốn khơng tìm vị trí đặc biệt ta chọn vị trí tìm điểm cố định theo cách thứ hai Ví dụ sau minh họa điều * Ví du 4: Cho đường trịn tâm O điểm P cố định bên đường tròn (khác 0) Hai dây AB CD thay đổi qua P vng góc với M N trung điểm AD BC Chứng minh MN qua điểm cố định Gợi ý: Lấy vị trí khác AB CD A’B’ C’D’ Gọi M’, N’ trung điểm A’C’ B’D’ ; M’N’ cắt MN I I điểm cần tìm Ta dự đốn I trung điểm OP MN Vậy ta chứng minh tứ giác MPNO hình bình hành Ta có lời giải sau: C Pk A M D Giả sử PM cắt CB K Ta có C M) C PK CK hay MP Mặt khác ON tương tự OM // PN Vậy tứ giác PMON hình bình hành Suy OP MN cắt trung điểm I PO hay MN qua I cố định *Có số tốn thuộc dạng phân loại dựa vào tính chất điểm cố định, ví dụ toán đưa việc chứng minh ba điểm thẳng hàng Sau ví dụ: Ví dụ 5: Cho đường tròn tâm O dây AB cố định, M điểm tuỳ ý cung AB Gọi K trung điểm đoạn MB Từ K kẻ KP vng góc với đường thẳng AM Chứng minh M chuyển động cung AB đường thẳng KP qua điểm cố định Gợi ý: Để tìm điểm cố định ta xét hai vị trí đặc biệt M - Nếu M A K E ( với E trung điểm AB) đường thẳng AM trở thành tiếp tuyến Ax Đường thẳng KP trở thành đường thẳng d qua E vng góc với đường thẳng Ax - Nếu M B K B MA AB Đường thẳng KP trở thành đường thẳng d vng góc với AB B Giả sử d1 cắt d2 I I điểm cần tìm Giả sử d2 cắt đường tròn (O) C Do CBA = 900 nên A; O; C thẳng hàng OA Ax ( tính chất tiếp tuyến) nên AC // d1 Mà E trung điểm AB nên I trung điểm CB Bài toán đưa việc chứng minh P, K, I thẳng hàng Ta có lời giải sau: d2 C d1 B Lời giải: Vẽ dây BC vng góc với dây AB Gọi I trung điểm dây BC Ta chứng minh P, K, I thẳng hàng Thật vậy, A B C = 90 nên KP // MC Mặt khác KI đường trung bình MBC (KM = KB IC = IB) nên KI // MC Từ suy P, K, I thẳng hàng (tiên đề Ơclit) Do BC cố định nên I cố định Vậy KP qua điểm I cố định Cần ý đường thẳng d1 tiếp tuyến Ax khơng có tác dụng cách giải yếu tố cần thiết để học sinh xác định điểm I Khi M chuyển động đường tròn (O) ta có kết nêu * ABCD hình thang nội tiếp đường trịn nên ABCD hình thang cân Suy AB = CD cung AB cung CD Suy APB P nằm đường tròn nội tiếp tam giác ABO cố định Ta có BOA (cùng số đo cung EPA AB BCA ) Vậy ( hai góc đồng vị (d) // BC) với E giao điểm đường thẳng (d) với đường trịn ngoại tiếp AOB Ta lại có BCA CBD BPE PBC ( hai góc so le hai đường thẳng (d) // BC) Mà ( hai góc nội tiếp chắn hai cung ) nên BPE EPA tốn phụ ta có (d) qua điểm cố định E (là điểm cung trịn ngoại tiếp AOB) * Sử dụng AB đường Nhận xét: - Một số tập sách giáo khoa tốn 9, sách tập tốn thay đổi theo cách trở thành dạng toán đơn giản chứng minh họ đường thẳng qua điểm cố định - Một số tính chất đường trịn tính chất hai dây song song (xem tập 13- trang 72- sgk toán 9- tập 2), tính chất góc nội tiếp sử dụng để sáng tạo toán phụ Sau số ví dụ: Bài tốn phụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) E điểm di động (E khác phía với A BC) D điểm thuộc dây BC cho thuộc cung BED BC ABC Chứng minh DE qua điểm cố định K giao điểm đường tròn (O) với đường thẳng qua A song song với BC O C B E 13 Sử dụng toán phụ ta giải tốn sau: Ví dụ 10: Cho tam giác ABC, D điểm tuỳ ý BC (khác B C) Dựng đường tròn tiếp xúc B C với AB AC, đồng thời qua D Gọi E giao điểm thứ (khác D) hai đường trịn Chứng minh DE ln ln qua điểm cố định A B D C E Ta có BED dây chắn cung) Mà A B C BED DEC A =180 hay giác ABC Gọi giao điểm DE với đường tròn M Do B E D ACD toán phụ DE qua điểm cố định Bài tốn phụ 3: Cho điểm C chuyển động nửa đường trịn (O) đường kính AB cố định Điểm D nằm điểm A điểm B cho = x (không đổi) Chứng minh đường thẳng CD qua điểm F cố định thuộc cung đối xứng nửa đường tròn cho BEC 14 A O F Sử dụng toán phụ ta giải tốn sau: Ví dụ 11: Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm C nửa đường trịn Dựng hình vng ACDE cho D nằm đoạn thẳng BC Chứng minh C di động nửa đường trịn CE ln qua điểm cố định C D A Do ACDE hình vng nên AnB tròn đối xứng với nửa đường tròn cho Do A cố định theo toán phụ ta có cung cung *Nhận xét: Trên tốn phụ dùng làm cơng cụ để giải số toán chứng minh họ đường thẳng qua điểm cố định Cũng giống tốn tốn dựng hình, trở thành tốn để giải toán chứng minh họ đường thẳng qua điểm cố định Học sinh tìm thêm toán phụ khác để sử dụng số toán Càng nắm nhiều toán phụ việc chứng minh nhanh chóng 15 BI Phương pháp lập hệ tọa độ Đề Các vng góc *Trong chương trình đại số lớp 9, dạng tốn thường nhắc đến sách tham khảo chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Chẳng hạn ta xem xét toán sau: Bài toán: (Bài tập 29- trang 61 - Bài tập toán – tập 1- nhà xuất giáo dục-2005) Cho hàm số: y = mx +(2m + 1) (1) Với giá trị m R, ta có đường thẳng xác định (1) Như vậy, ta có họ đường thẳng xác định (1) Chứng minh với giá trị m, họ đường thẳng xác định (1) qua điểm cố định Hãy xác định toạ độ điểm Lời giải: Ta phải chứng minh họ đường thẳng y = mx + (2m + 1) qua điểm cố định Giả sử điểm M(x0;y0) điểm mà họ đường thẳng (1) luôn qua với m, toạ độ x0, y0 điểm M phải thoả mãn (1) với m Nghĩa với số thực m, ta có: y0 = mx0 + (2m + 1) (x0 + 2) m + ( 1- y0) = (2) Phương trình (2) nghiệm với giá trị ẩn m, phải có hệ số 0, nghĩa : x0 +2 = – y0 = Suy x0 = -2 y0 = Vậy ta có điểm M(-2; 1) điểm cố định mà họ đường thẳng (1) luôn qua với số thực m Nếu tốn hình học chứng minh họ đường thẳng qua điểm cố định, yếu tố hình học đựơc đặt hệ toạ độ vng góc thích hợp tốn hình học trở thành tốn đại số dạng nói * * Phương pháp thường sử dụng số kiến thức đại số : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(x0; y0 ) B(x1; y1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(x0; y0) vng góc với đường thẳng y= a.x + b cho trước Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(x0; y0) song song với đường thẳng y = ax + b cho trước 16 Chọn hệ toạ độ Đề Các vng góc thích hợp Với điểm M thay đổi, toạ độ phụ thuộc vào tham số m * Lập phương trình đường thẳng (d) qua M, chúng phụ thuộc vào tham số m Biến đổi phương trình đường thẳng (d) dạng: m f(x; y) + g(x; y) = Giả sử đường thẳng (d) qua điểm cố định S(x 0; y0), phương trình m f(x0; y0) + g(x0; y0) = thoả mãn với giá trị m cho Điều xảy khi: Do họ đường thẳng (d) ln qua điểm cố định S có toạ độ nghiệm hệ phương trình : Ta sử dụng phương pháp giải tốn sau: Ví dụ 12: Cho góc vng xOy Trên Ox Oy có hai điểm A,B chuyển động cho OA + OB = a ( a độ dài cho trước) Gọi G trọng tâm tam giác AOB (d) đường thẳng qua qua G, vng góc với AB Chứng minh (d) qua điểm cố định y B K O Lập hệ toạ độ Đề Các vng góc có trục hồnh chứa tia Ox trục tung chứa tia Oy Nếu toạ độ điểm A (m , 0) toạ độ điểm B (0; a - m) Khi 17 gọi M trung điểm đoạn thẳng OA M ( m ; 0) Ta tìm toạ độ điểm G Từ G hạ GH OA; GK OB Theo định lý Ta Lét ta có : a m3 m Vậy G( Phương trình đường thẳng AB qua A(m,0) B(0, a-m) là: y=m a x +(a- m) m Phương trình đường thẳng (d) qua G( ) vng góc với AB là: (*) y= Giả sử đường thẳng (d) qua điểm cố định K(x0 , y0) Thay (x0, y0) vào (*) biến đổi tương đương ta có phương trình : m(3x0 + 3y0 - 2a ) + a2 - 3ay0 = Suy ra: 3x0 a2 Vậy đường thẳng (d) qua G vng góc với AB ln qua điểm cố định S ( a ; a ) 3 18 Ví dụ 13: Cho đoạn thẳng AB cố định điểm M chuyển động đường thẳng AB Dựng hình vng AMCD BMEF cho chúng nửa mặt phẳng với bờ AB Gọi N giao điểm AE BC Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định y N D A Lời giải: Lập hệ toạ độ vng góc xAy có M thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay Gọi toạ độ B (a, 0), toạ độ M (m; 0), (0 < m < a, a không đổi, m thay đổi) Khi A(0; 0); E(m; a - m) ; C(m; m) Phương trình đường thẳng AE qua A(0; 0) E(m; a - m) là: y= Phương trình đường thẳng CB qua C(m, m) B(a, 0) là: y= m Ta tìm toạ độ điểm N giao điểm AE BC: Gọi toạ độ điểm N (x0; y0 ) Vì (x0; y0) thoả mãn (*) (**) nên: a m m x0 x0 = 19 Vì (x0; y0 ) thoả mãn (**) nên suy ra: Ta tìm phương trình đường thẳng MN với M(m; 0) N(x0; y0 ): y y= 2my - ay = ax - am m(2y + a) - (ay + ax) = Phương trình với giá trị m (0 < m < a ; m a ) nên ta có: 2y ay Trường hợp m = a S( ;- a Vậy đường thẳng MN qua điểm cố định S ( cung A n B * Nhận xét: Phương pháp tương đối dài có ưu điểm cho học sinh thấy mối quan hệ chặt chẽ hình học đại số Qua tốn hình học học sinh ơn lại cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm, phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước, cách tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng 20 PHẦN III : KẾT LUẬN Kết đạt được: Trước dạy chuyên đề cho học sinh cho em làm kiểm tra kết thu sau: Số lượng hs kiểm tra 10 Khi giảng dạy xong chuyên đề cho học sinh cho em làm lại kiểm tra với mức độ đề tương đương với kiểm tra lần thu kết sau: Số lượng hs kiểm tra 10 Bài học kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tiến hành dạy bồi dưỡng tơi có lấy ý kiến học sinh Thấy được: Trong tập giáo viên nên khuyến khích học sinh giải theo nhiều cách, ý chọn cách giải ngắn gọn hiệu + Khi đưa yêu cầu cho học sinh cần phải xuất phát từ thấp đến cao, từ đơn giản dến phức tạp + + Bản thân nắm hệ thống kiến thức + Học sinh hiểu rõ khắc sâu kiến thức Vì vậy, chuyên đề đưa yêu cầu học sinh dựa vào cách học tự nghiên cứu trước nhà thảo luận nhóm nhỏ sau tơi hồn chỉnh giúp em buổi học chuyên đề Như vậy, học sinh từ học thụ động chủ động hình thành tri thức cách tự học 21 Kết luận chung Trên số phương pháp giải toán hình học chứng minh họ đường thẳng qua điểm cố định Bài viết giúp học sinh : Nắm số phương pháp để giải toán họ đường thẳng qua qua điểm cố định - Biết sử dụng công cụ đại số để giải tốn hình học Từ tạo nên mối quan hệ chặt chẽ tốn hình học đại số - Trong q trình tổ chức giáo viên phải cần kết hợp nhiều phương pháp dạy học linh hoạt, phương pháp "nêu vấn đề - giải vấn đề " phương pháp kết hợp hình thức dạy học hợp tác nhóm nhỏ hình thức dạy học có hiệu quả, tạo điều kiện cho HS thảo luận, trao đổi, đóng góp ý kiến xây dựng - - Nội dung viết chủ yếu gợi ý HS nên bỏ qua số bước chứng minh Với đề tài này, tơi muốn góp phần nhỏ vào việc đổi phương pháp để nâng cao chất lượng dạy học Song kinh nghiệm nhỏ rút từ thực tế giảng dạy nghiên cứu chủ quan thân Do không tránh khỏi sai sót khiếm khuyết nhận thức cách trình bày Rất mong góp ý Hội đồng khoa học bạn bè, đồng nghiệp giúp sửa chữa bổ sung đầy đủ tốt - Tôi xin chân thành cảm ơn ! Bá Ngọc, ngày 18/4/2019 Người thực Đậu Cao Cành 22 Mục lục Nội dung Phần I Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ đề tài IV Giới hạn đề tài V Giải vấn đề Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp đánh giá Phần II: Nội dung I Phương pháp xét vị trí đặc biệt II Phương pháp sử dụng toán phụ III Phương pháp lập hệ tọa độ Đề Các vng góc Phần III: Kết luận Kết đạt Bài học kinh nghiệm Kết luận chung 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Toán - NXB Giáo dục - Sách tập Toán - NXB Giáo dục - Tốn nâng cao Hình học - NXB Thành phố Hồ Chí Minh - Tốn nâng cao chuyên đề - NXB Giáo dục - 100 tốn Hình học hay khó - NXB Hà Nội - Các tóan hay khó đường tròn - NXB Đà Nẵng - Hướng dẫn học sinh tìm lời giải tốn hình học - NXB Thành phố Hồ Chí Minh 24 ... tâm ABC mà O; A cố định nên I cố định Vậy CM qua I điểm cố định (IA = 2IO) thuộc trung tuyến OA khơng đổi * Có tốn chứng minh điểm cố định điểm đối xứng với điểm cố định qua tâm cố định Sau ví dụ:... Vậy HH’ qua điểm cố định H’ điểm đối xứng với M qua tâm cố định O Có tốn chứng minh điểm cố định điểm cung cố định hai đầu mút cung cố định Sau ví dụ: * Ví dụ 8: Cho tam giác ABC, điểm D E di... (g.c.g), dẫn đến AD = AB Do tia Ax cố định, AD = AB (không đổi) nên D cố định Vậy đường thẳng (d) vng góc với AM C qua điểm D cố định Có tốn khơng tìm vị trí đặc biệt ta chọn vị trí tìm điểm cố định