SKKN mở rộng một số tiện ích của định lí vi et

PHỤ LỤC NỘI DUNG PHỤ LỤC A SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN B PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN C NỘI DUNG I Tình trạng giải pháp biết II Nội dung giải pháp Mục đích giải pháp Bản chất, nội dung giải pháp Những điểm khác biệt tính giải pháp so với giải pháp áp dụng III Khả áp dụng giải pháp Đối tượng áp dụng Quá trình tổ chức áp dụng thử Đánh giá IV Hiệu lợi ích thu V Phạm vi ảnh hưởng giải pháp VI Kiến nghị, đề xuất SÁNG KIẾN: “Mở rộng số tiện ích định lí Vi-et” A SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN - Mơn Tốn mơn khoa học tự nhiên đứng đầu ngành khoa học kỹ thuật nên giảng dạy mơn địi hỏi độ xác tuyệt phương pháp giảng dạy phù hợp, giúp học sinh hiểu sâu kiến thức cách có hệ thống - Trong tình hình nay, việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi công việc đặt thường xuyên trường THCS Đây nhiệm vụ quan trọng công tác giáo dục quan tâm đầu tư thích đáng - Để có đội ngũ học sinh giỏi tham gia kì thi tuyển chọn huyện việc bồi dưỡng học sinh giỏi thực chốc lát mà phải bồi dưỡng thường xuyên đặn tiết dạy hàng ngày Một vấn đề đặt toán đưa phải khai thác kĩ nhằm nâng cao khả tư duy, khả ứng dụng học sinh - Vì người giáo viên phải có đầu tư cơng sức để xây dựng cho phương pháp dạy tốt để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, vận dụng tốt đặc biệt biết cách lựa chọn phương pháp giải toán phù hợp với toán cụ thể B PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN Nội dung áp dụng q trình bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp ôn thi vào trường THPT trường THPT chuyên C NỘI DUNG I Tình trạng giải pháp biết - Đi sâu vào nghiên cứu tham khảo ý kiến số đồng nghiệp thấy phần Đại số lớp học sinh làm quen với kiến thức định lí Vi-et ứng dụng Đây dạng tốn nhiên có nhiều ứng dụng nhiều dạng tập mà học sinh phải hiểu - Qua nhiều năm giảng dạy lớp dạy tất đối tượng học sinh Giỏi, khá, trung bình, yếu, đặc biệt cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi vào THPT thấy ứng dụng hệ thức Vi-et rộng như: + Tìm tổng tích phương trình bậc hai phương trình có nghiệm + Biết nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm cịn lại + Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai + Tìm hai số biết tổng tích chúng + Lập phương trình bậc hai biết trước hai nghiệm, - Trong thực tế giảng dạy khai thác định lí Vi-et ứng dụng người dạy người học nghiên cứu sơ sài chưa khai thác triệt để ứng dụng từ định lí Vi-et đặc biệt khai thác ứng dụng làm phong phú thể loại tập Vì tơi chọn đề tài “Mở rộng tiện ích định lí Vi-et” Như hệ thức Vi-et có nhiều ứng dụng nhiên hạn chế thời gian nghiên cứu đối tượng học sinh nên chọn hai ứng dụng: Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (d) với a ≠ quan hệ với Parabol y = mx với m ≠ Tìm điều kiện tham số để hai nghiệm liên hệ với biểu thức cho trước II Nội dung giải pháp Mục đích giải pháp a Định lý Vi-et thuận: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm x1, x2 thì: x S P x x a * Hệ quả: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (*) - Nếu a + b + c = (*) có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a - Nếu a - b + c = (*) có nghiệm x1 = - 1; nghiệm x2 = -c a b Định lý Vi-et đảo: Nếu có số x1, x2 phương trình: t2 - St + P = (Điều kiện: S2 - 4p Chú ý: * Trước áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm * Nếu a + b + c = * Nếu có: x = nghiệm phương trình: t2 – S.t + P = Bản chất, nội dung giải pháp a Ứng dụng 1: Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (d) với a ≠ quan hệ với Parabol (P) y = mx2 với m ≠ Dạng 1: 0) 0) qua điểm A (xA; Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m * Cơ sở lý luận: Do đường thẳng Parabol có giao điểm nên hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: mx2 = ax + b mx - ax - b = xA +xB Từ theo Viet ta có: xA.xB = Từ (*) tìm a b Phương trình đường thẳng (d) Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) điểm M (x M; yM) * Cơ sở lý luận: Do (d) (P) có giao điểm nên phương trình: mx ax - b = có nghiệm kép: x1 = x2 Vận dụng hệ thức Viet, ta có: x +x2 =a x x2 Phương trình tiếp tuyến Ví dụ 1: Cho parabol (P) có phương trình: y = x2 Gọi A B điểm (P) có hồnh độ xA = - ; xB = Lập phương trình dường thẳng qua A B Giải: Đây tốn khơng khó hầu hết em có lời giải sau: A P xA B P xB Phương trình đường thẳng AB cần tìm có dạng y = ax + b (A có: A(AB) B(AB) Vậy phương trình đường thẳng AB y = x + Nếu linh hoạt suy nghĩ tìm phương pháp giải ta cho đ Phương trình đường thẳng (AB) cần tìm có dạng y = ax + b Phương trình hồnh độ giao điểm (AB) (P) là: x2 = a Ta có: xA = - ; xB = nghiệm phương trình (*) Theo định lí Vi-et ta có: Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + Ví dụ 2: Cho (P): y = đường thẳng tiếp xúc với (P) A Giải: Cũng tốn khơng áp dụng dịnh lí Vi-et học sinh có lời giải sau: A(P) y xA =2 Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d) với a, b R A (d)1 = 2a + b Vậy y = ax + – 2a Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x2 -4ax-4+8a=0 ' 4a2 +4 -8a=4(a-1)2 Để (d) tiếp xúc với (P) phương trình (*) phải có nghiệm kép ' Từ a = 4(a-1)2 a=1 b = – 2.1 = - Phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x – Nếu sử dụng định lí Vi-et ta có lời giải tốn sau: Giả sử phương trình tiếp tuyến A (d): y = ax + b Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x = ax + b Ta có: xA = nghiệm kép phương trình (*) (x1 = x2 = 2) Theo Viet ta có: Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x - Như ví dụ việc sử dụng định lí Vi-et để giải tốn ta có lời giải “ngắn gọn” hơn, điều giúp học sinh tìm tịi sáng tạo gặp dạng tốn khó b Ứng dụng 2: Tìm điều kiện tham số để hai nghiệm liên hệ với biểu thức cho trước b.1 Phương pháp: Nếu học sinh xét trường hợp khơng tìm giá trị m thỏa mãn điều kiện đầu nhiên x1 x2 đồng nên xét tiếp trường hợp thứ 11 m 1 m m m 1-m= m=1- Vậy với m kiện: x2 = 2.x1 Tuy nhiên cách giải dài phức tạp nên ta áp dụng định lí Vi-et để giải tập cách đơn giản sau: Từ kết phần a) ta có với m ≤ phương trình có nghiệm Theo định lí Vi-et ta có: x + x =2 x x =m Thay x2 = 2.x1 vào biểu thức x1 + x2 = ta có: x m Vậy với m Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 2mx + m – = +2x a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm với m b) Tính x +x 2 theo m Tìm m để x Giải: 10 +x 2 = 12 a) Ta có: ' ' = m2 -2.m = m- ' b) > với m Vậy phương trình có nghiệm với m Ở câu b học sinh sử dụng công thức nghiệm tìm x1 x2 tính giá trị biểu thức sau: ' > với m phương trình có nghiệm x1, x2 với m x 2 +x = m+ = m + 2m = 2m2 +m2-m+3+m2-m+3 = 4m2-2m+6 Vậy x12 + x22 = 4m2 - 2m + Từ giải phương trình bậc ẩn m: 4m2 - 2m + = 12 để tìm điều kiện m cho phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn x Tuy nhiên cách tính x +x 2 +x 2 =12 phức tạp, dễ nhầm lẫn sai sót q trình làm Do ta sử dụng định lí Vi-et để giải tập sau: ' Theo câu a ta có > với m phương trình có nghiệm x1, x2 với m áp dụng định lí Vi-et ta có: Mà: x x +x =2m 2 x x Vậy x 11 Theo ra: x 4m2 -2m+6 =12 4m2 -2m-6 = Giải phương trình bậc hai ẩn m ta có: a – b + c = – (-2) - = Phương trình có nghiệm: m1 = - 1, m2 = điều kiện: x Như hai ví dụ học sinh thấy có x1, x2 thơng thường em sử dụng công thức nghiệm phức tạp dễ nhầm lẫn Vì giáo viên cần hướng dẫn học sinh tư sáng tạo cần sử dụng định lí Vi-et Qua số ví dụ hướng giải nêu dẫn đến lời giải ngắn gọn sử dụng định lí Vi-et Điều minh chứng thêm cho khảng định: Khi giải toán cần nắm vững thành thạo phương pháp đặc trưng loại toán Điều cần thiết song để giải toán phức tạp cần khai thác yếu tố riêng, đặc biệt loại tốn để có ý nghĩa sáng tạo đơn giản mà hiệu cao Những điểm khác biệt tính giải pháp so với giải pháp áp dụng a Xây dựng hệ thức Vi-ét - Sau học xong cơng thức nghiệm phương trình bậc tổng quát giáo viên hướng dẫn học sinh tìm mối quan hệ nghiệm số với hệ số thông qua biểu thức: x1 + x2 = ?; x1.x2 = ? Từ đây, gợi ý học sinh tìm tòi thêm mối liên hệ khác để khẳng định giá trị hệ thức b Xây dựng hệ thống tập có ứng dụng Vi-ét sau học xong “Hệ thức Vi-ét ứng dụng” Gồm tốn: - Khơng giải phương trình bậc mà tính tổng, tích nghiệm; tính giá trị biểu thức đối xứng hai nghiệm Không đối xứng hai nghiệm 12 - Cho trước nghiệm phương trình bậc Tìm nghiệm cịn lại tham số - Tìm số biết tổng tích chúng - Lập phương trình bậc biết hai nghiệm cho trước; hai nghiệm có liên quan tới hai nghiệm phương trình cho - Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phương trình bậc khơng phụ thuộc tham số - Tìm điều kiện tham số (tìm tham số) cho nghiệm phương trình bậc cho thoả mãn hệ thức (1 điều kiện cho trước) - Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình bậc cho trước dấu, trái dấu, dương, âm, … III Khả áp dụng giải pháp Đối tượng áp dụng - Sáng kiến áp dụng cho học sinh khối trường THCS Từ nội dung cụ thể vận dụng mở rộng cho nhiều dạng tập khác (như chủ đề tam thức bậc – Toán 9) - Quá trình tổ chức áp dụng thử Xây dựng mối quan hệ nghiệm số phương trình bậc hai tổng quát (khi có nghiệm số) Với hệ số a, b, c từ hình thành hệ thức Viét đến phát biểu nội dung định lý Vi-ét cơng việc có ý nghĩa vơ quan trọng việc dạy toán theo hướng đổi phương pháp giảng dạy sở kiến tạo kiến thức sinh động phong phú - Từ định lý Vi-ét (thuận) nêu ứng dụng quan trọng tìm tổng tích nghiệm số (khơng giải phương trình), … Càng làm tăng thêm giá trị sử dụng định lý toán học ý nghĩa định lý với tốn có liên quan - Việc thiết lập mệnh đề đảo định lý Vi-ét chứng minh mệnh đề tạo định lý đảo có nhiều ứng dụng vào tập: + Tìm số biết tổng tích + Lập phương trình biết hai nghiệm 13 + Nhẩm nghiệm phương trình - Nêu hệ thống ứng dụng định lý Vi-ét vào tốn có ý nghĩa thiết thực rèn luyện kĩ vận dụng hệ thức vào suy luận cấp độ tư cao như: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc tham số, … - Thường xuyên động viên học sinh có thói quen giải phương trình bậc hai, trước tiên sử dụng Vi-ét Tạo cho học sinh động hình (tập qn), giải nhanh (hợp lí) tốn có phương trình Đặc biệt thói quen tính nhẩm trường hợp nêu - Thường xuyên “cảnh giác” cho học sinh trước sử dụng hệ thức Viét tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm số (hoặc điều kiện để có hai số) hoạt động có ý nghĩa vận dụng kiến thức suy luận rèn luyện tính cẩn thận, chặt chẽ giải toán cho học sinh - Rèn luyện tính linh hoạt vận dụng hệ thức Vi-ét vào toán như: Bất đẳng thức, cực trị, giải phương trình, hệ phương trình, … Đã làm phong phú đa dạng hố tập có liên quan, tăng thêm ý nghĩa phong phú định lý Vi-ét - Ghi nhớ cho học sinh kinh nghiệm giải tốn phương trình bậc hai nhớ đến việc vận dụng hệ thức Vi-ét cách linh hoạt - Khai thác triệt để, sâu sắc phong phú định lý tốn học nói chung, định lý Vi-ét nói riêng phương diện ứng dụng vào tập tạo hệ thống tập phong phú, hấp dẫn học sinh giúp cho việc rèn luyện kĩ em vững Đánh giá - Học sinh có hứng thú tham gia vào dạy - Học sinh nhiệt tình, sơi nổi, mạnh dạn tiết học - Học sinh nhận biết nhiều kiến thức - Học sinh có hiểu biết sâu rộng IV Hiệu quả, lợi ích thu - Số học sinh hiểu kiến thức 100% 14 - Các em nắm kiến thức kỹ hơn, chịu khó tìm tịi, học hỏi - Biết cách kết hợp linh hoạt nội dung kiến thức với nhau, sâu chuỗi chủ đề kiến thức học giúp em có hiểu biết toàn diện Đoàn kết học tập hoạt động, tình yêu thương, niềm tự hào nhân thêm sống V Phạm vi ảnh hưởng giải pháp - Với ứng dụng phong phú đa dạng Định lý Viet có vị trí quan trọng chương trình đại số giá trị sử dụng cịn có ý nghĩa với lớp Cũng việc mở rộng với phương trình bậc Định lý khơng có giá trị phương diện thực hành định lượng mà cịn có giá trị định tính cách phong phú cho nghiệm số phương trình bậc - Khai thác ứng dụng định lý Viet thuận đảo vào toán đại số lớp 9, làm phong phú đa dạng tập phương trình bậc 2, bậc Giúp cho người học rèn luyện thao tác tư đặc biệt khả suy luận tính linh hoạt q trình học tập mơn tốn - Cung cấp cho học sinh cách có hệ thống nội dung phương pháp hệ thức Viet ứng dụng phong phú giúp học sinh hiểu sâu mối quan hệ nghiệm số với hệ số phương trình bậc 2, bậc Từ hình thành học sinh thói quen học định lý, thấy rõ vai trị định lý tốn học chương trình tốn giúp cho em rèn luyện phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt độc đáo suy nghĩ - Nêu giải pháp giải loại toán ứng dụng định lý Viet Giúp học sinh có phương hướng giải vấn đề có sở lý luận Xây dựng cho học sinh niềm tin học tập chống tư tưởng ngại khó, sợ tốn, giúp em hăng say học tập, hứng thú tìm tịi mới, hay q trình học tốn - Bước đầu hình thành học sinh thói quen, kỹ làm tốn, học tốn có phương pháp Trang bị cho học sinh phương pháp thực hành toán học 15 cách phong phú, đa dạng Chuẩn bị cho học sinh tiền đề để tiếp thu kiến thức phương pháp lớp sau - Góp phần quan trọng vào thời kỳ đổi phương pháp giáo dục Đó là: việc tìm chân lý tốn học khơng dừng chân lý mà quan trọng phải thấy giá trị chân lý đó, nhằm nâng cao chất lượng dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học sinh - Trên ứng dụng phong phú định lý toán học (định lý Vi-ét) xây dựng cách có hệ thống sở lý luận, bước đầu thực nghiệm cho kết định việc bồi dưỡng học sinh giỏi phần giúp người học hình thành kỹ giải tốn ứng dụng vào tập định lý Vi-ét góp phần phát huy tính tích cực, chủ động học tốn, phẩm chất trí tuệ (tư duy) tạo đà cho học sinh đổi cách học giai đoạn VI Kiến ghị, đề xuất Qua việc nghiên cứu đề tài tơi thấy có số kinh nghiệm sau: *) Đối với giáo viên: - Giáo viên cần nắm nội dung kiến thức bài, cần vạch mục tiêu cụ thể, cần truyền tải cho học sinh đơn vị kiến thức - Cần nghiên cứu kĩ đơn vị kiến thức mở rộng, tham khảo tài liệu liên quan qua sách giáo khoa, sách tham khảo kênh thông tin mạng Internet, Đặc biệt vấn đề mang tính thời cần thơng tin xác, cập nhật - Để thực đề tài đòi hỏi giáo viên đầu tư nhiều thời gian chuẩn bị vận dụng nhiều phương pháp linh hoạt việc ơn tập hay bồi dưỡng có hiệu *) Đối với học sinh: - Cần phải hiểu rõ kiến thức - Phải biết huy động kiến thức nhiều chủ đề vào học 16 - Học sinh động sống có hiểu biết xã hội biết vận dụng kiến thức vào sống hàng ngày Với lực cịn hạn chế tơi mạnh dạn trao đổi suy nghĩ của đề tài “Mở rộng số tiện ích định lí Vi-et” chương trình tốn Rất mong góp ý thầy cô đồng nghiệp để đề tài có tác dụng trong việc giảng dạy tốn trường THCS Tơi xin trân trọng cảm ơn./ Luân Giói, Ngày 25 tháng 10 năm 2018 HIỆU TRƯỞNG NGƯỜI VIẾT Nguyễn Đức Huy 17 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc BÁO CÁO TÓM TẮT NỘI DUNG, BẢN CHẤT, HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Dạy học tích hợp "Biểu đồ" mơn tốn lớp Tên cá nhân thực hiện: Nguyễn Đức Huy Thời gian triển khai thực hiện: từ ngày 5/1/2017 đến ngày 10/12/2017 Sự cần thiết, mục đích việc thực sáng kiến: Việc vận dụng tốt phương pháp dạy học theo chủ đề tích hợp mơn Tốn trường THCS có vai trị quan trọng với mơn tốn ln mơn có nhiều nội dung kiến thức hàm lâm chưa có nhiều học sinh say mê môn học đối tượng học sinh học yếu Việc tích hợp mơn tốn góp phần bổ sung kiến thức môn học khác, giúp học sinh hứng thú, say mê học tập, góp phần nâng cao hiệu học, thực tốt định hướng đổi phương pháp dạy học trường THCS Việc tích hợp phải áp dụng từ học cụ thể "Dạy học tích hợp "Biểu đồ" mơn tốn lớp 7” ví dụ cho việc tích hợp mơn tốn mà tơi muốn truyền đạt tới học sinh, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Để môn toán trở nên gần gũi với học sinh hơn, tiết học đem lại hứng thú ham muốn tìm hiểu kiến thức học sinh - Phạm vi triển khai thực hiện: Áp dụng tiết 45- Bài " Biểu đồ" Mơn tốn lớp Từ tiết dạy nhân rộng sang nhiều tiết học khác 18 - Mô tả sáng kiến: Được áp dụng soạn giảng tích hợp cho " Biểu đồ" cần đạt mục tiêu: Kiến thức, kĩ năng, thái độ, lực hình thành - Trong phần kiến thức ngồi kiến thức mơn tốn tích hợp nội dung kiến thức mơn Lịch sử, sinh học, địa lý, giáo dục công dân Những nội dung kiến thức thể tiến trình dạy học - Phần kiểm tra cũ lồng ghép tích hợp mơn lịch sử, giáo dục cơng dân - Phần kiến thức mới: + Biểu đồ đoạn thẳng: Tích hợp mơn sinh học, mơn giáo dục cơng dân + Chú ý: Tích hợp mơn địa lí việc phá rừng cần thiết để bảo vệ môi trường, tài nguyên thiên nhiên +Vận dụng: Tích hợp trao đổi phương pháp để học tốt mơn tốn Kết quả, hiệu mang lại: + 100% HS học sinh nắm kiến thức - Các em nắm kiến thức kỹ hơn, chịu khó tìm tịi, học hỏi - Biết cách kết hợp linh hoạt nội dung kiến thức với nhau, sâu chuỗi mơn học giúp em có hiểu biết toàn diện Đoàn kết học tập hoạt động, tình yêu thương, niềm tự hào quê hương đất nước nhân thêm sống Đánh giá phạm vi ảnh hưởng sáng kiến: - Tiết dạy áp dụng cho "Biểu đồ" mơn tốn lớp - Tài liệu tham khảo để nhân rộng cách dạy tích hợp cho nhiều nội dung học khác trường THCS Ln Giói - Điện Biên Đơng Kiến nghị, đề xuất: *) Đối với giáo viên: GV cần nắm trắc nội dung kiến thức cần vạch mục tiêu cụ thể cần truyền tải cho học sinh Từng đơn vị kiến thức Cần nghiên cứu kĩ đơn vị kiến thức mơn cần tích hợp, tham khảo tài liệu liên quan qua sách giáo khoa môn kênh thông tin 19 mạng Internet Đặc biệt vấn đề mang tính thời cần thơng tin sác, cập nhật Để thực dạy tích hợp địi hỏi giáo viên nhiều thời gian chuẩn bị vận dụng nhiều phương tiện dạy học video minh họa, phiếu tập, *) Đối với học sinh: Cần nắm vững kiến thức Phải biết huy động kiến thức nhiều môn học Học sinh động sống có hiểu biết xã hội biết vận dụng kiến thức vào sống hàng ngày Ý kiến xác nhận thủ trưởng đơn vị 2018 Luân Giói, ngày 25 tháng 10 năm NGƯỜI VIẾT Nguyễn Đức Huy 20 ...SÁNG KIẾN: ? ?Mở rộng số tiện ích định lí Vi- et? ?? A SỰ CẦN THIẾT, MỤC ? ?ÍCH CỦA VI? ??C THỰC HIỆN SÁNG KIẾN - Mơn Tốn mơn khoa học tự nhiên đứng đầu... Học sinh động sống có hiểu biết xã hội biết vận dụng kiến thức vào sống hàng ngày Với lực cịn hạn chế tơi mạnh dạn trao đổi suy nghĩ của đề tài ? ?Mở rộng số tiện ích định lí Vi- et? ?? chương trình... lẫn Vì giáo vi? ?n cần hướng dẫn học sinh tư sáng tạo cần sử dụng định lí Vi- et Qua số ví dụ hướng giải nêu dẫn đến lời giải ngắn gọn sử dụng định lí Vi- et Điều minh chứng thêm cho khảng định: Khi