SKKN bất đẳng thức cauchy và một số ứng dụng

Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng MỤC LỤC Nội dung Mở đầu Chƣơng 1: Cơ sở lý luận Bất đẳng thức Cauchy Hệ bất đẳng thức Cauchy Chƣơng 2: Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy I Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức II Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải phương trình, bất phương trình III Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào tìm GTLN- GTNN Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Ứng dụng vào tìm GTLN- GTNN IV Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh tính chất nghiệm Kết luận Tài liệu tham khảo Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng MỞ ĐẦU 1- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Bất đẳng thức mảng kiến thức khó tốn học phổ thơng mà học sinh cần phải nắm được, ứng dụng bất đẳng thức xuyên suốt chương trình tốn học THPT Đặc biệt phải kể đến mảng ứng dụng , lí nên tơi chọn đề tài : “ Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng ’’ Đề tài giúp hiểu sâu phương pháp dậy tập bất đẳng thức cho học sinh 2- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Để cho học sinh thấy vai trò bất đẳng thức Cauchy giải toán Yêu cầu đạt đến học sinh thấy rõ, hiểu biết cách vận dụng bất đẳng thức Cauchy thực hành giải toán 3- ĐỐI TƢỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Đối tượng nghiên cứu đề tài vận dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải số toán liên quan đề thi HSG tuyển sinh ĐH 4- NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Đưa sở lí luận bất đẳng thức Cauchy Từ mơ tả phân tích để tìm biện pháp dậy cho học sinh cách vận dụng vào giải toán 5- CÁC PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH : Với tảng sở lí luận phương pháp dạy tốn học , địi hỏi phương pháp phân tích sản phẩm , tổng kết kinh nghiệm để út lí thuyết cho thân người dạy 6- KẾT CẤU CỦA ĐỀ TÀI : Đề tài gồm chương : Chương : Cơ sở lí luận Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Cơ sở lí luận 1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho a i Dấu '' x '' Với n Giả sử (1) với n với n a1 Đặt x k Vì k Do : k Dấu '' Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) '' xảy Với n HỆ QUẢ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY + Hệ 1: n Nếu i + Hệ n Nếu i Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy I.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CHỨNG MINH BĐT Bài toán (BĐT Bernoulli) Cho ,x 1, ta có: 1, ta có : Trước hết ta ch Với1 bđt (2) hiển nhiên + + Với m x n x Dấu '' + Với '' nên tồn dãy số hữu tỷ Với n , ta có : lim x x chứng minh trọn vẹn + Với0 , bđt (3) hiển nhiên + Với Ta có : m x n Dấu '' Giả sử x '' xảy số vô mà l i m n x Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng n * ta có : x Chuyển qua giới hạn , : x n n hay l i m 1x x x x Như bđt (3) chứng minh hoàn toàn Bài toán : Cho a i ,ai n k k (4) Dấu '' '' xảy a1 a2 ak i1 CM k Đặt a S i k k1 , k1 , i BĐT (4) hiển nhiên áp dụng BĐT cauchy cho số n an i k Do : an i i 1 k an i k i Chú ý : + Ta chứng minh BĐT (4) nhờ BĐT Bernoulli sau : k Đặt S k i i , ta có : k Do : i + Nếu chứng minh thứ hợp lí + Các BĐT (2), (3) , (4) chứng minh đạo hàm Bài tốn 3: Cho x , y , z x y Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Áp dụng BĐT CauChy cho xm y m mn n Tương tự ta có : m zm m x n Cộng vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta điều phải chứng minh MỘT SỐ BÀI TOÁN TƢƠNG TỰ: Cho a , i m n Sa i 1,n, n i * Chứng minh : Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng a3 b c Tương tự ta có : Cộng vế với vế BĐT ta được: a3 b c tính đối xứng Khi việc dự đoán dấu “ = ’’ BĐT (*) cho lớp tốn khó Kết việc chủ yếu dựa vào kinh nghiệm trực quan toán học người làm toán a , b , c0 Ví dụ : Cho a Sab Trước tiên , ta dự đoán S Biểu diễn S dạng sau : S Như ta cần chọn số c 1a1b1cc thoả mãn điều kiện sau : 1 1 20 a a2 b Thế (1),(2),(3) vào (4) ta : (4) 15 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ta cần chọn chứa dấu Dễ thấy k đẹp sau : LG Ta có : S a CS S2 3 Dấu S “ = “ xảy Ví dụ : Cho x , y Trước tiên ta dự đoán P Ta biểu diễn P dạng sau : P x Như , ta cần chọn 51 x xy Thay (2) vào (3) ta : , y Dễ thấy Khi , ta có lời giải sau : thoả m 16 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng ỨNG DỤNG VÀO TÌM GTLN - GTNN Ví dụ : Cho x , S xy2 z3 LG Do x , y , z khơng có mối quan hệ ràng buộc Nên để tìm MinS ta có cách sau Cách Sử dụng BĐT Cauchy ngược ta có : x y z Ta có : x y z x 423 423 xy2 z3 x S Vậy M i n S y z 17 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ví dụ : Cho S Nhận xét : Rõ ràng với điều kiện cho theo hệ BĐT cauchy cho : , (3 Dễ dàng thấy S CS Vậy M a x S = , x Ví dụ : Cho a , b , c , d phương trình : S n Đặt An Theo BĐT cauchy , ta có : x n 1(6 Và t 18 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Do : x n n Vậy S xn yn An zn tn xn a Dấu “ = “ xảy a x x b x y z Vậy M i n S n n n an n bn n MỘT SỐ BÀI TẬP TƢƠNG TỰ : x,y,z Cho xy Tìm giá tị nhỏ hàm số: y 9x2 Với a Cho b c Tìm GTLN , GTNN hàm số : y 19 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng IV.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CM TÍNH CHẤT NGHIỆM Ví dụ : Chứng minh phương trình dương x , x Giả sử x x 2n x0 Nhưng x Ví dụ : Chứng minh phương trình : x4 âm Giả sử phương trình cho có nghiệm x ,x ,x ,x Theo định lý Vi-et ta có : Mặt khác theo BĐT Cauchy , ta lại có : x x 4 a4 Vậy điều giả sử sai , tức phương trình cho khơng thể có nghiệm khơng âm Ví dụ : Cho P có P x Vì a i n nghiệm th ,i nghiệm dương Giả sử 20 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng n P x i Áp dụng BĐT Cauchy ta : 0,i 1,n ) n P m i P m i n m1 KẾT LUẬN Như biết, bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức tiếng phạm vi ứng dụng rộng rãi Ngồi việc vận dụng để chứng minh bất đẳng thức đại số bất đẳng thức Cauchy cịn sử dụng các chứng minh bất đẳng thức lượng giác hay tốn cực trị hình học Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu không nhiều nên chuyên đề vấn đề thú vị chưa đề cập đến Trên số kinh nghiệm có q trình dạy hoc, tìm tịi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chun mơn Các ví dụ sưu tầm chọn lọc kĩ lưỡng từ đề thi đại học năm đề thi học sinh giỏi tỉnh nước Mặc dù cố gắng song kinh nghiệm khiêm tốn Mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn động nghiệp nội dung hình thức trình bày để chuyên đề hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Mê Linh , ngày 10 tháng 05 năm 2011 Giáo viên Trần công Văn 21 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO Bất đẳng thức ( Phan Đức Chính) Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số (Nguyễn Đức Tấn) Báo toán học tuổi trẻ Báo toán tuổi thơ 22 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh ... học bất đẳng thức (1) '' xảy Với n HỆ QUẢ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY + Hệ 1: n Nếu i + Hệ n Nếu i Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Một số ứng dụng bất đẳng. .. sở lí luận Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Cơ sở lí luận 1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho a i Dấu ''... THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng n P x i Áp dụng BĐT Cauchy ta : 0,i 1,n ) n P m i P m i n m1 KẾT LUẬN Như biết, bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức tiếng phạm vi ứng dụng rộng rãi