Bất đẳng thức cauchy và một số ứng dụng

Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu Chƣơng 1: Cơ sở lý luận Bất đẳng thức Cauchy Hệ bất đẳng thức Cauchy Chƣơng 2: Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy 3 I Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức II Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải phương trình, bất phương trình III Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào tìm GTLN- GTNN 13 Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy 13 Ứng dụng vào tìm GTLN- GTNN 17 IV Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh tính chất nghiệm 20 Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 22 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng MỞ ĐẦU 1- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Bất đẳng thức mảng kiến thức khó tốn học phổ thơng mà học sinh cần phải nắm được, ứng dụng bất đẳng thức xun suốt chương trình tốn học THPT Đặc biệt phải kể đến mảng ứng dụng , lí nên tơi chọn đề tài : “ Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng ’’ Đề tài giúp hiểu sâu phương pháp dậy tập bất đẳng thức cho học sinh 2- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Để cho học sinh thấy vai trò bất đẳng thức Cauchy giải toán Yêu cầu đạt đến học sinh thấy rõ, hiểu biết cách vận dụng bất đẳng thức Cauchy thực hành giải toán 3- ĐỐI TƢỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Đối tượng nghiên cứu đề tài vận dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải số toán liên quan đề thi HSG tuyển sinh ĐH 4- NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Đưa sở lí luận bất đẳng thức Cauchy Từ mơ tả phân tích để tìm biện pháp dậy cho học sinh cách vận dụng vào giải toán 5- CÁC PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH : Với tảng sở lí luận phương pháp dạy tốn học , địi hỏi phương pháp phân tích sản phẩm , tổng kết kinh nghiệm để út lí thuyết cho thân người dạy 6- KẾT CẤU CỦA ĐỀ TÀI : Đề tài gồm chương : Chương : Cơ sở lí luận Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Cơ sở lí luận 1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY n n Cho a i  ,i Ta có : 1, n n i Dấu '' xảy '' a1 a2 , (1)  \ ,1 n i an CM Với n ta có : a1 Giả sử (1) với a2 n n i a2 x k k Vì k , ak x k k i k k ak 1 k i 0) y,( y i Do : ak k Đặt ak i k a1 Ta chứng minh (1) Thật , giả sử k k ak k với k k , tức : k ( đúng) a1a k k k ak k i k 1 k k x x y k i y k 1 x y k 1 x x k k 1 k x y k k x k x y (đúng) i Dấu '' '' xảy a1 a2 an Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) Với n  \ ,1 n hiển nhiên bất đẳng thức (1) HỆ QUẢ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY + Hệ 1: n Nếu S n n S st M ax xảy a1 n i i a2 an + Hệ 2: Nếu n n i P st M in n n P xảy a1 a2 an i Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy I.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CHỨNG MINH BĐT Bài toán (BĐT Bernoulli) Cho  ,x 1, : 1, ta có: 1, ta có : x 1 (2) Dấu x x '' (3) Dấu x xảy '' '' '' x x xảy CM Trước hết ta chứng minh  + Với bđt (2) hiển nhiên + Với 1, n đặt , n,m 1, n m Khi ta có : m n m x 1   1 n n m m n x n m m x x n m n n x m 1 x Dấu '' '' xảy x + Với I , giả sử  lim n x 1 x số vơ tỷ tùy ý Khi n n x lim x m x x nên tồn dãy số hữu tỷ Với n , ta có : x n x n 1 , n n lim x chuyển n x hay x mà tập trù mật  qua giới hạn ta có : x x Như BĐT (2) chứng minh trọn vẹn  1, + Với , bđt (3) hiển nhiên + Với 1, m đặt , n,m 1, m  n, m ,n * n n Ta có : mx m m x n m n n x n m x n n Dấu '' Giả sử n '' x m x xảy x số vơ tỷ tùy ý , mà lim x m n  x n trù mật x  nên x n n x hữu tỷ , Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng *  n ta có : lim 1 n x n x n lim (1 x n x Chuyển qua giới hạn , : x hay x) x x Như bđt (3) chứng minh hồn tồn Bài tốn : Cho  , ai 0, i 1, k , *  n,k Ta có : n k k i n k k i (4) Dấu '' '' n xảy a1 a2 ak CM Đặt S k k i 1, BĐT (4) hiển nhiên , áp dụng BĐT cauchy cho số k k n n n S nS n a i , n k n k n S n số S ta : n i k Do : k n nS i n knS n i kS a1 a2 n i n k k i n S n k k i Dấu '' '' xảy ak ( đpcm) Chú ý : + Ta chứng minh BĐT (4) nhờ BĐT Bernoulli sau : n Đặt S k k i Khi : (4) k n kai , ta có : S i n i ka i k kai S S n kai S S S n Do : ka i k n k ks n s i ks s kai Dấu “ = ” xảy S ka i k 0, (i 1, k ) a1 S k s i a2 ak + Nếu thay điều kiện n  điều kiện n 1, n  cách chứng minh thứ hợp lí + Các BĐT (2), (3) , (4) chứng minh đạo hàm Bài tốn 3: Cho x , y , z m , n  Chứng minh rằng: * * x y m n y z m n z x m n x m n y m n z m n Dấu “ = ” xảy x y z Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng CM Áp dụng BĐT CauChy cho m x y m m y mn n n n z m m z x m mn n y mn mn n n 2 m mn n n x mn n n y m n nm z n m mn z x n 3 m n m mn n x m n m x m x 2 x m mn y m n mn n y m n m y m n z n n số , ta có : n y m x mn m y z m n m Tương tự ta có : m m z x 2 m n z mn n m z n Cộng vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta điều phải chứng minh MỘT SỐ BÀI TOÁN TƢƠNG TỰ: Cho  , ai 0,i ,m 1, k n; k  ; m ,n,k k Đặt * n S i m k Chứng minh : Cho  , ai k i Cho n k 1, n , k ,l l n k n n i  ,i 0, i n n S i k *  S i  k k m k n k i 1 n k i n Chứng minh : l n , l S n i 1, n , n m m k i Chứng minh : m m j Cho n n i l  , xi xi k n xi i xi n i j 0,i n  m ,lj ,k , *  k,m ,n , m xi , j= m (chẵn) lj j 1, k k m lj n xk * Chứng minh : x1 i 1 Chú ý : Với việc sử dụng đẳng thức sau : m k n k m n m k k m n BĐT Cauchy thật đẹp cho Cho x , y , z Chứng minh m k m n , ta có : x y z k n m y z x k n m z x y mn k n  k,m ,n * k Ta có lời giải thỏa mãn điều kiện n k x m n k y m n k z m n k Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng II ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT , BPT ,HPT, HBPT ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT, BPT Ví dụ Giải pt sau : x 3x 8x 40 4x Lời giải Điều kiện x x Ta có : CS x 3x 8x 40 4x 4 x 4 4 x 4 x x x Vậy x nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình sau : Do x 27 x 10 5x 864 lời giải không nghiệm pt , nên chia vế cho x 5 864 27 27 x 27 x x x x ta : 27 5 x 27 x x x Dấu “ = ’’ xảy x 10 x 6 27 10 x 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x Ví dụ Tìm nghiệm x, y bất phương trình sau : 10 2002 e x 2003 2002 y 2003 e x 2003 e y (1) 2003 Lời giải Đặt 2002 a , b a b b a Khi phương trình( 1) trở 2003 2003 thành : e ax a y ae x be y ae x a e y e a x y ae x y a (2) Giả sử x , y nghiệm BPT (2) , điều có nghĩa nghiệm BPT (1) e ae a Tức : (*) Mặt khác theo BĐT Bernoulli , ta lại có : 0 a x0 y0 x0 y0 a e a x0 y0 e a x0 y0 1 a e a x0 y0 1 a ae x0 y0 mâu thuẫn với ( *) Vậy BPT cho vô nghiệm Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ví dụ Chứng minh BPT sau khơng có nghiệm nguyên dương: a) x (1) y y b) x z x x y y y z x z (2) Lời giải a) Từ ( ) suy x, y y0 x0 x0 y0 Giả sử nghiệm BPT (1) , tức : x0 , y0 (*) Theo BĐT Bernoulli , ta có : x0 y0 x0 Và x0 x0 Do : x0 y0 x y00 x0 y0 y0 1 y0 x0 x0 x0 x0 y0 y0 x0 y0 y0 x0 y0 x0 x0 x0 x0 y0 y0 x0 y0 y0 x0 y0 x0 y0 x0 y0 x0 y0 x0 y0 Mâu thuẫn (*) suy điều giả sử sai Vậy BPT (1) vô nghiệm b) làm tương tự ý a 2.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI HPT, HBPT Ví dụ Giải hệ phương trình sau : 1 x x y y xy 3 (1 ) z z yz (2) zx xyz (3) 27 Lời giải Điều kiện Từ (1) x, y, z 3 x Từ (2) x y y z 3 z xyz xyz 3 xyz 1 (4) 27 xyz xyz xyz (5) 27 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Dấu “ = ’’ (4) (5) xảy đồng thời x y x Thay vào (1) x y z y z x y z z thoả mãn (3) Vậy HPT cho có nghiệm x y z Nhận xét : Thay lý luận dấu “ = ’’ (4) (5) xảy đồng thời , ta làm sau : Từ (4) (5) xyz (6) vào (3) ta : xy yz 27 zx 27 (7) Từ (2), (6),(7) theo định lí Vi-ét x, y,z nghiệm phương trình sau : 3 X X X X 0 X 27 x y z Với cách làm phương trình (3) khơng cần thiết Ta trình bày lời giải tốn theo cách sau : Vì vai trị x , y , z Khơng tính tổng quát ta giả sử x y z Ta có 3z x y z 3z 1 z xy yz zx xyz xy 2z z x y 27 x y 1 2z z x z y 2z z z z 2z z 1 Dấu " " z.z 2z xảy z x 27 y 2z 2z y 1 x z Thế vào (2) ta x z y z thoả 3 mãn phương trình (1) Vậy x y z nghiệm hệ cho Bình luận : Với cách làm ta thấy phương trình (1) cần thay giả thiết x , y , z đủ Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm dương : x y xy z yz xyz zx 9m m Lời giải Giả sử hệ có nghiệm nguyên dương x x0 y0 x0 y0 z0 y0z0 x0 y0z0 Ta có : Mặt khác : x0 y0 9m z0 x0 y0 Từ (4) (5) suy 3 00 , z0 , tức : (1 ) z0x0 9m m y0z0 m 0, y (2) (3) x0 y0z0 z0 x0 3 m m (4) 27 3 ( x0 y0z0 ) 3 m m (5) 27 27 Với m , ta có : 27 x y xy z yz 1 zx x, y, z nghiệm (phân biệt trùng nhau) phương xyz 27 trình sau : X X Vậy với m X 27 X X x y z , ycbt thoả mãn 27 10 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ví dụ Tìm a,b *  thoả mãn : a b b a 12 a a b b 28 (1) (2) Lời giải Từ (1) ta có : Do a,b  a * b ab Từ (2) ta có : b 11 a (ab) ab 6 12 (3) 2 a a b b a b a b a a b 28 b a a b 10 b a b (4) Giả sử a b , từ (3) suy a b 1 a 11 a b ab 14 11 Với a , từ (4) (mâu thuẫn (3) ) Với a , từ (4) suy b kết hợp với (3) ta b ;1 ;1 Dễ dàng kiểm tra thấy có cặp (1 ; 9) thoả mãn 1; , ;1 Vậy nghiệm hệ BPT cho a , b Ví dụ Tìm nghiệm dương HBPT sau : a a 2000 2000 b b c c 2000 (1) (2) Lời giải Áp dụng BĐT cauchy ta có : a 2000 9 1000 1000 a 2000 1000a Tương tự , ta có : b 2000 9 Do : a a a 2 b b 2000 b c c 2 1000b 2000 +c 2000 2000 9 1000(a 999 1000c b 2 c ) 0 (3) c 9 0 2 b c Từ (2) (3) suy a nghiệm HBPT cho : a b Dấu “ = “ xảy c a b c Vậy  11 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng MỘT SỐ BÀI TẬP TƢƠNG TỰ 1.Tìm x thoả mãn : ; s in n n x cos x n n  \ ,1 ,n 2.Giải phương trình sau : 16 x 1986 y 10 x 1986 y 2002 2002 3.Tìm GTLN tham số a để BPT sau có nghiệm : a a x x a x s in 4.Giải HPT , HBPT sau : x y y a) x, y, x,t xy b) x x 2005 x 2008 y c) x y 2008 xy xy 3x y y 6x z yz d) x x e) x x y 3y 2 y zx xt yt x x x f) 4x x z 1; y 3 xyzt x 27 2x 2 y zt lo g 12 6x x t 16 y 2; z z t t 6 0; t 1024 8x 76 12 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng III ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO TÌM GTLN - GTNN 1.KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BĐT CAUCHY Giả sử ta cần chứng minh, BĐT sau : S a , a , , a n C _ c o n st (* ) S a , a , , a n C _ const 1.1 Trƣờng hợp : S biểu thức đối xứng a , a , , a n a a Kiểm Ta dự đoán dấu “ = ’’ BĐT (*) xảy a tra lại dự đốn kết hợp với điều kiện xảy dấu “ = ’’ BĐT cauchy , ta tìm số đánh giá giả định Từ đưa lời giải toán ai, i 1, n n Ví dụ 1: a,b,c Cho a b Chứng minh : c S a b c 1 15 a b c Lời giải Dự đoán S 15 a b c 2a 2 2b 2c a S 2a b 2 2b cho : 1 Do ta cần chọn 2 Từ ta có lời giải sau : c 2c 1 1 1 1 1 4a 4b 4c 4a 4b 4c a b c abc 2 a b c 2 15 Dấu “ = ” xảy a b c (đpcm) 13 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ví dụ : Cho a , b , c a a Chứng minh : 3 b ab b 2 b c bc c c a ac a b c Trước tiên ta xét đánh giá giả định sau : a a ab a a b a b b ab a b ab a b (*) b Mặt khác , ta lại có : CS a b a b a ab b a b Do (*) ln ta chọn 2ab ab ab a b a,b thoả mãn : , 1 Khi , ta có lời giải sau : a Ta có : a c ab c b 2 a a 3 ac b b , c a b bc c b c Cộng vế với vế BĐT ta ĐPCM  Ví dụ : Cho *  a, b,c t / m abc a b Chứng minh : c b c a c Trước tiên ta dự đoán dấu “ = ” xảy Khi a b c b c 4bc a a b b c Do : 14 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng b a c b c 4bc a b c a c 4bc a b Tương tự ta có : b c 1 1 b c a a b c c a b 1 1 a b c 1 1 c a b Cộng vế với vế BĐT ta được: 1 1 1 a b c b c a c a b a b c a 1 b c 1.2 Trƣờng hợp : Trong biểu thức S a , a , , a a , i 1, n khơng có tính đối xứng Khi việc dự đoán dấu “ = ’’ BĐT (*) cho lớp tốn khó Kết việc chủ yếu dựa vào kinh nghiệm trực quan tốn học người làm tốn a,b,c Ví dụ : Cho a S a b 2b c 20 a 2b c a 13 b a 1 a , b k a,b,c c 2b Như ta cần chọn số thoả mãn a ,c a 2b b 3c 20 c c , , thoả mãn điều kiện sau : 3 i n Chứng minh : 3c Trước tiên , ta dự đoán S , Biểu diễn S dạng sau : S 2 k (1) 2k 3k (3) 6 (2) a 2b 3c 20 20 (4) Thế (1),(2),(3) vào (4) ta : k 4k 20 (5 ) 3k 15 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ta cần chọn k cho thay vào (5) ta khai biểu thức có chứa dấu Dễ thấy k đáp ứng yêu cầu Khi ta có lời giải đẹp sau : LG Ta có : S a CS S a 4 a a b b 20 b b c c 16 c 16 c 4 a b a c 2b 3c 13 Dấu S Ví dụ : Cho “ = “ xảy x, y 0,x P y 51x ,b Chứng minh : 23 y Trước tiên ta dự đoán P , Ta biểu diễn P dạng sau : P x x , , y x y x, y y 51 x x 28 y 23 y , y x y (2) (3) 28 28 Thay (2) vào (3) ta : (1) x x 68 thoả mãn điều kiện sau : 23 x 48 7y Như , ta cần chọn 51 48 y 3, c  a (4) thoả mãn (4) , thay vào (1) ta Dễ thấy Khi , ta có lời giải sau : 49 16 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng P 49 x 48 21y x 2(x y) 7y CS 42 24 Dấu đẳng thức xảy 68 x ,y  ỨNG DỤNG VÀO TÌM GTLN - GTNN Ví dụ : Cho x , y , z Tìm GTNN biểu thức sau : x y S z xy z LG Do x , y , z khơng có mối quan hệ ràng buộc Nên để tìm MinS ta có cách sau Cách Sử dụng BĐT Cauchy ngược ta có : xy z x y z Ta có : xy z x y y z z z 423 xy z x y 423 x y z Do : z 432 x S y z xy z x y z 432 x y z 432 Vậy M in S 432 , x y z  Cách Sử dụng BĐT Cauchy thuận ta có : x + y + Z xy z Ta có x + y + z x y 2 y 1 z 3 z z xy z CS 6 432xy z Do đó, ta có kết cách 108 17 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ví dụ : Cho x y Tìm GTLN : LG Nhận xét : Rõ ràng với điều kiện cho S x y 2x 3y n x 0,4 y C _ c o n s t Mặt khác , n theo hệ BĐT cauchy i Vậy ta cần chọn i m in cho : , (3 x) (4 y) Dễ dàng thấy 2, S (2 x 2x (6 x) C _ c o n s t Khi ta có lời giải sau : y) 12 3y 2x 3y CS (1 y) x Đặt A n y n 36 n a Trong tất nghiệm dương a b c d x y z t z n  0, y Ví dụ : Cho a , b , c , d phương trình : x y) Vậy M a x S = , Sn (2 x n n t b n Hãy nghiệm với tổng : * nhỏ với n  Lời giải n Theo BĐT cauchy , ta có : x, y,z, t n x c n n a n d n A n a n A n n n a A n x     x   n _ sô y n n b A n ' n n n n n n b A y z n n c n A n n c A n z Và t n n d A n n n d A n t 18 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Do : x n y n z n n t nA n n A n A n a b c d x y z t n n 1 n a n b n n n c n n n d n Vậy S x n y n z n n t a n x n A A n 1 n ,y a b n x Dấu “ = “ xảy b c d x y z t n n z 1 A n ,z n n a n n n n cA , t n n c n c n A c n n ,t n d d n n A 1 n t aA ,y b n z 1 bA (*) dA n Vậy M i n S b y a x n n n d , đạt có (*) n MỘT SỐ BÀI TẬP TƢƠNG TỰ : x, y,z Cho x y Tìm GTLN : z P x 30 y 2004 y 21 z 30 30 z 21 21 x Tìm giá tị nhỏ hàm số: y Với 9x 2001 x a Cho b 2 2002 x 13 x x , Tìm GTLN Tìm GTLN S bc a x y x 2002 ca x b 2001 ab c abc c Tìm GTLN , GTNN hàm số : y x 1999 x 1997 19 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng IV.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CM TÍNH CHẤT NGHIỆM Ví dụ : Chứng minh phương trình x 2n 1 (1) có nghiệm x dương x , x n (n ) Lời giải Giả sử 2n x0 x 0 1 nghiệm (1) ta có : 2n x0 n x0 2n n 2x0 x0 Dấu “ = ” xảy 1 x0 1 x0 x0 x0 1 khơng thoả mãn (1) Do x Nhưng x Ví dụ : Chứng minh phương trình : x ax a x a x a n 0 , a  khơng thể có nghiệm khơng âm Lời giải Giả sử phương trình cho có nghiệm x , x x1 Theo định lý Vi-et ta có : x x3 x 1x x 3x x a ,x 3,x a 4 Mặt khác theo BĐT Cauchy , ta lại có : x 1x x 3x 4 a x1 x x3 x 4 a a a ( vô lý ) Vậy điều giả sử sai , tức phương trình cho khơng thể có nghiệm khơng âm  , i 1, n x a x a x , a Ví dụ : Cho P x n n 1 P x Vì n i có n nghiệm thực Chứng minh P m Lời giải , i 1, n > nên n nghiệm nghiệm dương Giả sử i ,i 1, n Khi P x n m P x , m,n *  khơng có có dạng : 20 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng n n P x x x i i ( với i i ,i i 1, n ) i Theo định lý Vi-et n n n n i i 1 i n 1 i Áp dụng BĐT Cauchy ta : n P m n n m m i n n i i m i n P m m  KẾT LUẬN Như biết, bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức tiếng phạm vi ứng dụng rộng rãi Ngồi việc vận dụng để chứng minh bất đẳng thức đại số bất đẳng thức Cauchy cịn sử dụng các chứng minh bất đẳng thức lượng giác hay tốn cực trị hình học Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu không nhiều nên chuyên đề vấn đề thú vị chưa đề cập đến Trên số kinh nghiệm có q trình dạy hoc, tìm tịi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chun mơn Các ví dụ sưu tầm chọn lọc kĩ lưỡng từ đề thi đại học năm đề thi học sinh giỏi tỉnh nước Mặc dù cố gắng song kinh nghiệm khiêm tốn Mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn động nghiệp nội dung hình thức trình bày để chun đề hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Mê Linh , ngày 10 tháng 05 năm 2011 Giáo viên Trần công Văn 21 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO Bất đẳng thức ( Phan Đức Chính) Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số (Nguyễn Đức Tấn) Báo toán học tuổi trẻ Báo toán tuổi thơ 22 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh ... an i Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy I .ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CHỨNG MINH BĐT Bài toán (BĐT Bernoulli) Cho... sở lí luận Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chương : Cơ sở lí luận 1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY n n Cho a i  ,i.. .Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng MỞ ĐẦU 1- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Bất đẳng thức mảng kiến thức khó tốn học phổ thơng mà học sinh cần phải nắm được, ứng dụng bất đẳng thức xuyên suốt