Chương I. §1. Tứ giác

VẤN ĐỀ I. Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật Bài 1. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN[r]

I TỨ GIÁC

VẤN ĐỀ I Sử dụng tính chất góc tứ giác để tính góc

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có B120 ,0 C60 ,0 D900 Tính góc A góc ngồi đỉnh A Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, C 60 ,0 A1000

a) Chứng minh AC đường trung trực BD b) Tính B D,

ĐS: b) B D  1000.

Bài 3. Cho tứ giác ABCD có phân giác góc A góc B cắt E, phân giác ngồi góc A góc B cắt F Chứng minh:

AEB C D  

AFB A B  

Bài 4. Cho tứ giác ABCD có B D 180 ,0 CB CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = AB Chứng minh:

a) Các tam giác ABC EDC b) AC phân giác góc A

Bài 5. Cho tứ giác ABCD biết số đo góc A B C D, , ,   tỉ lệ thuận với 5; 8; 13 10 a) Tính số đo góc tứ giác ABCD

b) Kéo dài hai cạnh AB DC cắt E, kéo dài hai cạnh AD BC cắt F Hai tia phân giác góc AED góc AFB cắt O Phân giác góc AFB cắt cạnh CD AB M N Chứng minh O trung điểm đoạn MN

Bài 6. Cho tứ giác ABCD có B D 1800, AC tia phân giác góc A Chứng minh CB = CD. Bài 7. Cho tứ giác ABCD có Aa,Cb Hai đường thẳng AD BC cắt E, hai đường

thẳng AB DC cắt F Các tia phân giác hai góc AEB AFD cắt I Tính góc EIF theo a b,

Bài 8. a)

VẤN ĐỀ II Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải toán liên hệ đến cạnh tứ giác Bài 1. Cho tứ giác ABCD Chứng minh:

a) AB BC CD AD   b) AC BD AB BC CD AD     . Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB BD AC CD   Chứng minh: AB AC . Bài 3. Cho tứ giác ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD

a) Chứng minh: AB BC CD AD OA OB OC OD AB BC CD AD2

  

       

b) * Khi O điểm thuộc miền tứ giác ABCD, kết luận có khơng? Bài 4. Chứng minh tứ giác thì:

a) Tổng độ dài cạnh đối diện nhỏ tổng độ dài hai đường chéo b) Tổng độ dài hai đường chéo lớn nửa chu vi tứ giác

Bài 5. a)

II HÌNH THANG – HÌNH THANG VNG 1 Định nghĩa:

 Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song.  Hình thang vng hình thang có góc vng. 2 Tính chất:

 Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên nhau, hai cạnh đáy

bằng nhau.

 Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song nhau. VẤN ĐỀ I Tính chất góc hình thang

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có A D 20 ,0 B2C Tính góc hình thang Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD, AD = BC = AB, BDC300 Tính góc

của hình thang

Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD Chứng minh rằng: A B C D   .

Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường phân giác góc A B cắt điểm K thuộc đáy CD Chứng minh AD + BC = DC

Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB // CD)

a) Chứng minh hai tia phân giác hai góc A D qua trung điểm F cạnh bên BC cạnh bên AD tổng hai đáy

b) Chứng minh AD = AB + CD hai tia phân giác hai góc A D cắt trung điểm cạnh bên BC

Bài 6. Cho hình thang ABCD có A B  900

AD BC AB

2

 

Lấy điểm M thuộc đáy nhỏ BC Kẻ Mx MA, Mx cắt CD N Chứng minh tam giác AMN vuông cân

VẤN ĐỀ II Chứng minh tứ giác hình thang, hình thang vng

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AB = BC AC tia phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M thuộc cạnh BC cho AM BC 

, N trung điểm cạnh AB Chứng minh:

a) Tam giác AMB cân

b) Tứ giác MNAC hình thang vng

III HÌNH THANG CÂN 1 Định nghĩa:

Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy nhau.

2 Tính chất: Trong hình thang cân:

 Hai cạnh bên nhau.  Hai đường chéo nhau. 3 Dấu hiệu nhận biết:

 Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân.  Hình thang có hai đường chéo hình thang cân.

VẤN ĐỀ I Sử dụng tính chất hình thang cân để tính tốn chứng minh

Bài 1. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Kẻ đường cao AE, BF hình thang Chứng minh DE = CF

Bài 2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) a) Chứng minh: ACD BDC .

b) Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh: EA EB . Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB > CD) có CD a ,

A B (C D )

  

Đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC

a) Tính góc hình thang

b) Chứng minh AC phân giác góc DAB c) Tính diện tích hình thang

Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có BDC450 Gọi O giao điểm AC BD. a) Chứng minh tam giác DOC vuông cân

b) Tính diện tích hình thang ABCD, biết BD = (cm)

ĐS: b) S18(cm2).

VẤN ĐỀ II Chứng minh tứ giác hình thang cân

Bài 1. Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD, CE (D  AC, E  AB) Chứng minh BEDC hình thang cân có đáy nhỏ cạnh bên

Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ACD BDC Chứng minh ABCD hình thang cân

Bài 3. Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD = AE

a) Chứng minh BDEC hình thang cân

b) Tính góc hình thang cân đó, biết A500.

ĐS: b) B C  65 ,0 CED BDE 1150.

Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC E Chứng minh:

a) Tam giác BDE tam giác cân

Bài 5. Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D, đường thẳng song song với AC cắt BC E, đường thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh:

a) Các tứ giác BDME, CFME, ADMF hình thang cân

b) Chu vi tam giác DEF tổng khoảng cách từ M đến đỉnh tam giác ABC c) DME DMF EMF 

ĐS: c) DME DMF EMF  1200.

Bài 6. Cho hình thang ABCD (AD // BC, AD > BC) có đường chéo AC vng góc với cạnh bên CD, BAC CAD D600.

a) Chứng minh ABCD hình thang cân

b) Tính độ dài cạnh đáy AD, biết chu vi hình thang 20 cm

ĐS: b) AD8( )cm .

IV ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 1 Đường trung bình tam giác:

 Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác.

 Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai

qua trung điểm cạnh thứ ba.

 Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh ấy. 2 Đường trung bình hình thang

 Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang  Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy

qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

 Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy.

Bài 1. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên cạnh AB, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EB Gọi I giao điểm AM với CD Chứng minh: AI = IM

Bài 2. Cho tam giác ABC hai đường trung tuyến BD, CE cắt G Gọi M, N trung điểm BG, CG Chứng minh tứ giác MNDE có cặp cạnh đối song song

Bài 3. Cho tam giác ABC Trên tia BA lấy điểm D cho A trung điểm BD Trên tia CB lấy điểm E cho B trung điểm CE Hai đường thẳng AC DE cắt I Chứng minh rằng:

DE DI

3 

Bài 4. Cho tứ giác ABCD có góc C 400, D800, AD = BC Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB CD Tính góc nhọn tạo đường thẳng FE với đường thẳng AD BC Bài 5. Cho A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng d (AB > BC) Trên nửa mặt phẳng bờ

d, vẽ tam giác AMB BNC Gọi P, Q, R, S trung điểm BM, CM, BN, AN Chứng minh:

a) PQRS hình thang cân b) SQ MN

1 

a) Chứng minh: AD DC 

b) So sánh độ dài BD ID

Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BC, AC, BD

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường thẳng

b) Tính MN, PQ, biết cạnh đáy hình thang AB a CD b a b ,  (  ) c) Chứng minh MP = PQ = QN a2b.

Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, BD Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng

Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F trung điểm AD BC Đường thẳng EF cắt BD I, cắt AC K

a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID b) Cho AB = 6, CD = 10 Tính EI, KF, IK

Bài 10.Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, AC. a) So sánh độ dài đoạn thẳng EK CD, KF AB

b) Chứng minh:

AB CD EF

2  

c) Khi

AB CD EF

2  

tứ giác ABCD hình

ĐS: c) ABCD hình thang.

Bài 11.Tính độ dài đường trung bình hình thang cân biết đường chéo nó vng góc với đường cao 10 cm

Bài 12.Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d qua G cắt đoạn thẳng AB, AC Gọi A’, B’ C’ thứ tự hình chiếu A, B, C d Tìm liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’

Bài 13.Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d nằm tam giác ABC Gọi A’, B’ C’, G’ thứ tự hình chiếu A, B, C d Tìm liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ , GG’

V ĐỐI XỨNG TRỤC

Bài 1. Cho góc xOy500 điểm A nằm góc Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, điểm C đối xứng với A qua Oy

a) So sánh độ dài OB OC b) Tính số đo góc BOC

ĐS: b) BOC1000.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Gọi K điểm đối xứng với H qua BC a) Chứng minh hai tam giác BHC BKC

b) Cho BAC700 Tính số đo góc BKC.

Bài 3. Cho hình thang vng ABCD (A D 900) Gọi K điểm đối xứng với B qua AD, E là giao điểm CK AD Chứng minh CED AEB .

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K điểm đối xứng với điểm H qua cạnh AB, AC Chứng minh:

a) Ba điểm I, A, K thẳng hàng b) Tứ giác BIKC hình thang c) IK 2AH.

Bài 5. Cho tam giác ABC, phân giác BM CN cắt I Từ A vẽ đường vng góc với BM CN, chúng cắt BC thứ tự E F Gọi I hình chiếu I BC Chứng minh E F đối xứng qua II

Bài 6. Cho hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Tìm điểm M d cho MA MB ngắn nhất.

Bài 7. Cho góc xOy600 điểm A nằm góc Gọi B, C hai điểm đối xứng với điểm A qua Ox Oy,

a) Chứng minh tam giác BOC tam giác cân Tính góc tam giác b) Tìm điểm I Ox điểm K Oy cho tam giác AIK có chu vi nhỏ nhất.

ĐS: a) BOC120 ,0 OBC OCB 300 b) I, K giao điểm đường thẳng BC với các tia Ox Oy.

Bài 8. Cho tam giác ABC, Cx phân giác ngồi góc C Trên Cx lấy điểm M (khác C) Chứng minh rằng: MA + MB > CA + CB

Bài 9. Cho góc nhọn xOy điểm A góc Tìm điểm B tia Ox điểm C tia Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ

VI HÌNH BÌNH HÀNH 1 Định nghĩa:

Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song.

2 Tính chất: Trong hình bình hành:

 Các cạnh đối nhau.  Các góc đối nhau.

 Hai đường chéo cắt trung điểm đường. 3 Dấu hiệu nhận biết:

 Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành.  Tứ giác có cạnh đối hình bình hành.

 Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành.

 Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành. VẤN ĐỀ I Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Bài 1. Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm AD, F trung điểm BC

a) Chứng minh BE DF ABE CDF . b) Chứng minh tứ giác EBFD hình bình hành

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác góc D cắt AB E, tia phân giác góc B cắt CD F

a) Chứng minh DE BFP b) Tứ giác DEBF hình gì?

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD Gọi K, I trung điểm cạnh AB vad CD, M N giao điểm AI CK với BD

a) Chứng minh: AI CKP b) Chứng minh: DM MN NB  .

VẤN ĐỀ II Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình bình hành Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ AH vng góc với BD H, CK vng góc

với BD K Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC E, F, vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD K, H Chứng minh tứ giác EKFH hình bình hành

Bài 3. Cho tam giác ABC Từ điểm E cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB F đường thẳng song song với AB cắt BC D Giả sử AE = BF

a) Chứng minh tam giác AED cân b) Chứng minh AD phân giác góc A Bài 4. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA

I, K trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh: a) Các tứ giác MNPQ, INKQ hình bình hành

b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng qui

Bài 5. Cho tam giác ABC H trực tâm Các đường thẳng vng góc với AB B, vng góc với AC C cắt D

a) Chứng minh tứ giác BDCH hình bình hành b) Tính số đo góc BDC, biết BAC600.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD, AD2AB Từ C vẽ CE vng góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M vẽ MF vng góc với CE, MF cắt BC N

a) Tứ giác MNCD hình gì? b) Tam giác EMC tam giác gì? c) Chứng minh: BAD2AEM.

Bài 7. Cho tứ giác ABCD Gọi E, F giao điểm AB CD, AD BC; M, N, P, Q trung điểm AE, EC, CF, FA Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Bài 8. Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC cho AE = EF = FC

Gọi M giao điểm BF CD; N giao điểm DE AB Chứng minh rằng: a) M, N theo thứ tự trung điểm CD, AB.b) EMFN hình bình hành

Bài 9. Cho hình thang vng ABCD, có A B  900 AD = 2BC Kẻ AH vng góc với BD (H thuộc BD) Gọi I trung điểm HD Chứng minh rằng: CI  AI

Bài 10.Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F là trung điểm cạnh AB, BC, CA L, M, N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng: đoạn thẳng EL, FM DN đồng qui

VII ĐỐI XỨNG TÂM

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng với D qua A, F điểm đối xứng với D qua C Chứng minh:

Bài 2. Cho tam giác ABC, trung tuyến BD, CE Gọi H điểm đối xứng với B qua D, K điểm đối xứng với C qua E Chứng minh điểm H đối xứng với điểm K qua điểm A

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD điểm E cạnh AB, I K trung điểm cạnh AD BC Gọi điểm M, N đối xứng với điểm E qua điểm I điểm K

a) Chứng minh điểm M, N thuộc đường thẳng CD b) Chứng minh MN 2CD.

Bài 4. Cho góc vng xOy, điểm A nằm góc Gọi B điểm đối xứng với A qua Ox, C điểm đối xứng với A qua Oy Chứng minh B đối xứng với C qua O

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt cạnh AB CD theo thứ tự M N Chứng minh điểm M đối xứng với điểm N qua O

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có tâm đối xứng O, điểm E đoạn OD Gọi F điểm đối xứng điểm C qua E

a) Chứng minh tứ giác ODFA hình thang

b) Xác định vị trí điểm E OD để hình thang ODFA hình bình hành

Bài 7. Cho tam giác ABC, trọng tâm G Gọi M, N, P theo thứ tự điểm đối xứng A, B, C qua tâm G

a) Chứng minh tứ giác BPNC hình bình hành b) Chứng minh tam giác ABC, MNP

c) Chứng minh tam giác ABC, MNP có trọng tâm

Bài 8. Cho tam giác ABC, H trực tâm, I giao điểm đường trung trực K điểm đối xứng với H qua trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh K đối xứng với A qua I

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên AB lấy điểm E, CD lấy điểm F cho AE = CF

a) Chứng minh E đối xứng với F qua O

b) Từ E dựng Ex // AC cắt BC I, dựng Fy // AC cắt AD K Chứng minh rằng: EF = FK; I K đối xứng với qua O

Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi A' điểm đối xứng với A qua C, B' điểm đối xứng với B qua A, C' điểm đối xứng với C qua B Gọi BM trung tuyến tam giác ABC, B'M' trung tuyến tam giác A'B'C'

a) Chứng minh ABM'M hình bình hành

b) Gọi G giao điểm BM B'M' Chứng minh G trọng tâm hai tam giác ABC tam giác A'B'C'

VIII HÌNH CHỮ NHẬT 1 Định nghĩa:

Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng.

2 Tính chất:

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường.

3 Dấu hiệu nhận biết:

 Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật.  Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật.

 Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật. 4 Áp dụng vào tam giác:

 Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền.

 Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác

là tam giác vng.

VẤN ĐỀ I Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình chữ nhật Bài 1. Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I trung điểm AC, E điểm đối xứng với H

qua I Gọi M, N trung điểm HC, CE Các đường thẳng AM, AN cắt HE G K

a) Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật b) Chứng minh HG = GK = KE

Bài 2. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì?

ĐS: EFGH hình chữ nhật.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A Về phía ngồi tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) ACE (EA = EC) Gọi M trung điểm BC, I giao điểm DM với AB, K giao điểm EM với AC Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) Tứ giác IAKM hình chữ nhật c) Tam giác DME tam giác vng cân

Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC, BC

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ABPN hình thang cân

c) Tìm hệ thức liên hệ AB CD để ABPN hình chữ nhật

ĐS: c) DC3AB ABPN hình chữ nhật.

Bài 5. Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác, M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC, AC, AB

a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành

b) Xác định vị trí điểm O đế tứ giác MNPQ hình chữ nhật

ĐS: b) O thuộc đường cao AH ABC.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC, BC lấy điểm P, Q cho AP = CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M  AB)

a) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật

b) Gọi I trung điểm PQ Chứng minh P di chuyển cạnh AC, Q di chuyển cạnh BC điểm I di chuyển đoạn thẳng cố định

ĐS: b) I di chuyển đường trung bình ABC.

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH FK vng góc với AB AD Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật

b) AF song song với BD KH song song với AC c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng

Bài 8. Cho tam giác ABC H trực tâm Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC CA; D, E, F trung điểm đoạn HA, HB HC

a) Chứng minh tứ giác MNFD MEFP hình chữ nhật

VẤN ĐỀ II Vận dụng kiến thức hình chữ nhật để giải tốn

Bài 1. Tính độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng có cạnh góc vng 7cm 24cm

Bài 2. ĐS: AM12,5( )cm .

Bài 3. Cho tam giác ABC cân A, CH đường cao (H  AB) Gọi D điểm đối xứng với điểm B qua A

a) Chứng minh tam giác DCB tam giác vuông b) Chứng minh DCA HCB .

Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH  AC (H  AC) Gọi M, K trung điểm AH DC; I, O trung điểm AB IC

a) Chứng minh IC KB MO IC 

b) Tính số đo góc BMK

ĐS: b) BMK 900.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông A M điểm thuộc cạnh BC Vẽ MD  AB, ME  AC O trung điểm DE

a) Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng

b) Khi điểm M di chuyển cạnh BC điểm O di chuyển đường nào? c) Điểm M vị trí cạnh BC AM có độ dài ngắn

ĐS: b) O di chuyển đường trung bình ABC c) M H (AH  BC).

Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD Vẽ tia AM (M thuộc cạnh DC) cho DAM150. Chứng minh tam giác ABM tam giác cân

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông A, AC > AB AH đường cao Trên tia HC lấy HD = HA, đường vng góc với BC D cắt AC E

a) Chứng minh AE = AB

b) Gọi M trung điểm BE Tính số đo góc AHM

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông A AC = 3AB Trên cạnh góc vng AC lấy điểm D E cho AD = DE = EC Tính ACB AEB

Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH  BD Gọi I trung điểm DH Kẻ đường thẳng

IX HÌNH THOI 1 Định nghĩa:

Hình thoi tứ giác có bốn cạnh nhau.

2 Tính chất: Trong hình thoi:

 Hai đường chéo vng góc với nhau.

 Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi. 3 Dấu hiệu nhận biết:

 Tứ giác có bốn cạnh hình thoi.

 Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi.

 Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi.

 Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi. VẤN ĐỀ I Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình thoi

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi

Bài 2. Cho tứ giác ABCD có C400, D800, AD BC Gọi E, F, M, N trung điểm AB, DC, DB, AC

a) Chứng minh tứ giác EMFN hình thoi b) Tính góc MFN

ĐS: b) MFN600.

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi E, F, G, H giao điểm phân giác tam giác OAB, OBC, ODC, ODA a) Chứng minh: ba điểm E, O, G thẳng hàng, ba điểm H, O, F thẳng hàng

b) Chứng minh tam giác AEB CGD c) Chứng minh tứ giác EFGH hình thoi

Bài 4. Cho tam giác ABC điểm M thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC E đường thẳng song song với AC, cắt AB F

a) Chứng minh tứ giác AFME hình bình hành

b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tứ giác AFME hình thoi

ĐS: b) M chân đường phân giác góc B ABC.

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD, D700 Vẽ BH  AD (H  AD) Gọi M, N lần lượt trung điểm cạnh CD, AB

a) Chứng minh tứ giác ANMD hình thoi b) Tính góc HMC

ĐS: b) HMC 1050.

Bài 6. Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm tam giác, AD đường cao Trên cạnh BC lấy điểm M Từ M vẽ ME  AB (E  AB) MF  AC (F  AC) Gọi I trung điểm AM a) Chứng minh tứ giác DEIF hình thoi

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt O Hai đường thẳng d1 d2

qua O vng góc với Đường thẳng d1 cắt cạnh AB CD M P Đường

thẳng d2 cắt cạnh BC AD N Q Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi

VẤN ĐỀ II Vận dụng kiến thức hình thoi để giải tốn

Bài 1. Cho hình thoi ABCD có AC = 8cm, BD = 10cm Tính độ dài cạnh hình thoi

ĐS: AB 41 ( )cm .

Bài 2. Cho hình thoi ABCD có A600 Trên cạnh AB, AC lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN Chứng minh tam giác MDN tam giác

Bài 3. Cho hình thoi ABCD có A600 Trên AD CD lấy điểm M, N cho AM + CN = AD Gọi P điểm đối xứng N qua BC, MP cắt BC Q Tứ giác MDCQ hình ? Bài 4. Cho P điểm chuyển động tam giác ABC cho PBA PCA Hạ PM  AB;

PN  AC (M  AB; N  AC) Gọi K, S hai đỉnh khác hình thoi KMSN Chứng minh

KS qua điểm cố định

X HÌNH VNG 1 Định nghĩa:

Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh nhau.

2 Tính chất:

Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi.

3 Dấu hiệu nhận biết:

 Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng.

 Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng.

 Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng.  Hình thoi có góc vng hình vng.

 Hình thoi có hai đường chéo hình vng.

 Một tứ giác vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi tứ giác hình vng.

VẤN ĐỀ I Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình vng Bài 1. Cho tam giác ABC vuông A Phân giác AD góc A (D  BC) Vẽ DF  AC, DE

 AB Chứng minh tứ giác AEDF hình vng

Bài 2. Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = DH Chứng minh tứ giác EFGH hình vng

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB AC, chúng cắt cạnh AB, AC theo thứ tự E F

a) Tứ giác AFME hình gì?

Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE

a) Tứ giác ADFE hình gì? b) Tứ giác EMFN hình gì?

Bài 5. Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABCD ACEF Gọi Q, N giao điểm đường chéo ABCD ACEF; M, P trung điểm BC DF Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng

VẤN ĐỀ II Vận dụng kiến thức hình vng để giải tốn

Bài 1. Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD, DC lấy điểm E, F cho AE = DF Gọi M, N trung điểm EF, BF

a) Chứng minh tam giác ADF BAE b) Chứng minh MN vuông góc với AF

Bài 2. Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E, tia đối tia CB lấy điểm F cho AE = CF

a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân

b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh BI = DI

c) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh O, C, I thẳng hàng

Bài 3. Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác hình vng ABCD ACEF Vẽ đường cao AH kéo dài HA gặp DF E Chứng minh DI = IF

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành, hai hình vuông ABEF ADGH Chứng minh:

a) AC = FH AC  FH

b) Tam giác CEG tam giác vuông cân

Bài 5. Cho đoạn thẳng AB điểm M thuộc đoạn thẳng Vẽ phía AB, hình vng AMCD, BMEF

a) Chứng minh AE vng góc với BC

b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng

c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng cố định AB

ĐS: c) DF qua K (K = AF  AC).

Bài 6. Cho hình vuông ABCD Trên cạnh CD lấy điểm M Tia phân giác góc ABM cắt AD I Chứng minh rằng: BI  MI

Bài 7. Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E thuộc đường chéo AC Kẻ EF  AD, EG  CD

a) Chứng minh rằng: EB = FG EB  FG

b) Chứng minh rằng: Các đường thẳng BE, AG, CF đồng qui

Bài 8. Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC, hình vng ABDE ACFG Vẽ hình bình hành EAGH Chứng minh rằng:

a) AK = BC AH  BC

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I

Bài 1. Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA Các đường chéo AC, BD tứ giác ABCD thoả điều kiện tứ giác EFGH là:

a) Hình chữ nhật ĐS: AC  BD.

b) Hình thoi ĐS: AC = BD.

c) Hình vng ĐS: AC = BD AC  BD.

Bài 2. Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Gọi I trung điểm AC, K điểm đối xứng điểm M qua điểm I

a) Tứ giác AMCK hình gì? b) Tứ giác AKMB hình gì?

c) Có trường hợp tam giác ABC để tứ giác AKMB hình thoi

ĐS: a) AMCK hình chữ nhật b) AKMB hình bình hành c) Khơng.

Bài 3. Cho tam giác ABC vng A Về phia ngồi tam giác, vẽ hình vng ABDE, ACGH a) Chứng minh tứ giác BCHE hình thang cân

b) Vẽ đường cao AK tam giác ABC Chứng minh AK, DE, GH đồng qui

ĐS: b) Đồng qui F với F DE GH  .

Bài 4. Cho hình thang cân ABCD với AB // CD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA

a) Tứ giác MNPQ hình gì?

b) Cho biết diện tích tứ giác ABCD 30cm2 Tính diện tích tứ giác MNPQ

ĐS: a) MNPQ hình thoi b) SMNPQ cm

2 15 

.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông A, trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB, E điểm đối xứng điểm M qua điểm D

a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB b) Các tứ giác AEMC, AEBM hình gì?

c) Cho BC = 4cm Tính chu vi tứ giác AEBM

d) Tam giác vng thoả điều kiện AEBM hình vng

ĐS: b) AEMC hình bình hành, AEBM hình thoi c) PAEBM 8cm d) ABC vng cân.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Các đường thẳng BM, DN cắt đường chéo AC P, Q

a) Chứng minh AP = PQ = QC b) Tứ giác MPNQ hình gì? c) Xác định tỉ số

CA

CD để MPNQ hình chữ nhật. d) Xác định góc ACD để MPNQ hình thoi

e) Tam giác ACD thoả mãn điều kiện để MPNQ hình vng

ĐS: b) MPNQ hình bình hành c)

CA

CD 3 d) ACD900

e) ACD vuông C CA3CD.

a) Tứ giác OBKC hình gì? b) Chứng minh AB = OK

c) Tìm điều kiện hình thoi ABCD để OBKC hình vng

ĐS: a) OBKC hình chữ nhật c) ABCD hình vng.

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB A600 Gọi E, F trung điểm của BC AD

a) Tứ giác ECDF hình gì? b) Tứ giác ABED hình gì? c) Tính số đo góc AED

ĐS: a) ECDF hình thoi b) ABED hình thang cân c) AED900.

Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi O trung điểm EF Qua O vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AD BC theo thứ tự M N

a) Tứ giác EMFN hình gì?

b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện để EMFN hình thoi c) Hình thang ABCD có thêm điều kiện để EMFN hình vng

ĐS: a) EMFN hình bình hành b) ABCD hình thang cân c) ABCD hình thang cân có hai đường chéo vng góc.

Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A với AB = AC = a

a) Lấy điểm D cạnh AC điểm E cạnh AB cho AD = AE Các đường thẳng vng góc với EC vẽ từ A D cắt cạnh BC K L Chứng minh BK = KL

b) Một hình chữ nhật APMN thay đổi có đỉnh P cạnh AB, đỉnh N cạnh AC có chu vi 2a Điểm M di chuyển đường nào?

c) Chứng minh hình chữ nhật APMN thay đổi đường vng góc vẽ từ M xuống đường chéo PN qua điểm cố định

ĐS: b) M di chuyển cạnh BC c) HM qua điểm I cố định (với ACIB hình vng).

Bài 11 Cho hình vng ABCD E điểm cạnh DC, F điểm tia đối tia BC cho BF = DE

a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân

b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh I thuộc BD

c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I Chứng minh tứ giác AEKF hình vng

Bài 12 Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB, A600 Gọi E F trung điểm của BC AD

a) Chứng minh AEBF

b) Chứng minh tứ giác BFDC hình thang cân

c) Lấy điểm M đối xứng A qua B Chứng minh tứ giác BMCD hình chữ nhật d) Chứng minh ba điểm M, E, D thẳng hàng

Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A có BAC600 Kẻ tia Ax song song với BC Trên Ax lấy điểm D cho AD = DC

a) Tính số đo góc BAD , DAC

b) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân

c) Gọi E trung điểm BC Chứng minh tứ giác ADEB hình thoi

Bài 14 Cho ABCD hình bình hành Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi K giao điểm AC DM, L trung điểm BD CM

a) Tứ giác MNPQ hình gì? b) Tứ giác MDPB hình gì? c) Chứng minh: AK = KL = LC

b) Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Chứng minh tứ giác EMFN hình chữ nhật

c) Hình bình hành ABCD nói có thêm điều kiện để EMFN hình vng?

Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi H điểm đối xứng với M qua AB, E giao điểm MH AB Gọi K điểm đối xứng với M qua AC, F giao điểm MK AC

a) Xác định dạng tứ giác AEMF, AMBH, AMCK b) Chứng minh H đối xứng với K qua A