Tài lệu giảng dạy vật lý thống kê

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY VẬT LÝ THỐNG KÊ THS ĐỔNG THỊ KIM PHƯỢNG BỘ MÔN VẬT LÝ KHOA SƯ PHẠM TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG AN GIANG, THÁNG 08 NĂM 2017 Vật lý thống kê Chương MỞ ĐẦU 1.1 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CỦA VẬT LÝ THỐNG KÊ - Vật lý thống kê nghiên cứu hệ bao gồm số lớn hạt nguyên tử, phân tử, iôn hạt khác mà người ta gọi hệ vĩ mô hay hệ nhiều hạt, phương pháp khác với phương pháp nghiên cứu nhiệt động học - Ta biết nhiệt động học nghiên cứu quy luật tính q trình nhiệt hệ vĩ mô cân hệ chuyển trạng thái cân bằng, đồng thời khái qt hóa quy luật tính cho hệ không cân Cơ sở nhiệt động học định luật tự nhiên tổng quát mà người ta gọi nguyên lý Các nguyên lý tổng quát hóa kinh nghiệm lâu đời nhân loại xác nhận thực nghiệm Nhiệt động học khơng phân tích chi tiết chuyển động hạt cấu thành hệ mà khảo sát tượng xảy theo quan điểm vĩ mơ nhất, quan điểm biến đổi lượng tượng Với cơng cụ giải tích tốn học, nhiệt động học rút hệ thức đại lượng đặc trưng cho tính chất khác vật chất Những hệ thức khơng nói lên chất tượng giúp ta khảo sát tượng q trình khác - Cịn nhiệm vụ vật lý thống kê nghiên cứu mối liên hệ đặc tính vĩ mơ hệ mà ta khảo sát với đặc tính định luật chuyển động hạt vi mô cấu thành hệ Có thể có hai loại vấn đề: vấn đề tìm đặc tính vĩ mơ hệ dựa vào tính chất biết hạt cấu thành hệ hai là, vấn đề ngược lại nghĩa tìm đặc tính hạt cấu thành hệ dựa vào tính chất vĩ mô hệ Hầu tất vật thể vật lý gồm số lớn hạt Thí dụ 1cm3 kim loại có chứa vào khoảng 1022 iôn chừng êlectrôn tự Điều đặt điều kiện đặc biệt cho phương pháp nghiên cứu vật thể vật lý Cụ thể không đặt vấn đề theo dõi chuyển động hạt riêng lẻ, vì, ta thấy rõ sau này, trường hợp có xuất quy luật gọi quy luật thống kê Như lý thuyết hệ nhiều hạt chủ yếu lý thuyết thống kê Các quy luật thống kê cho phép ta xác định trị trung bình đại lượng xác suất trị số tùy ý khác Do phương pháp vật lý thống kê phương pháp thống kê dựa lý thuyết xác suất Vật lý thống kê có quan hệ chặt chẽ trước hết với nhiệt động học: trường hợp hệ vĩ mô nằm trạng thái cân định luật mà ta thu vật lý thống kê đại lượng trung bình trùng với định luật nhiệt động học Như trường hợp hệ cân bằng, vật lý thống kê đặt sở lý thuyết cho quy luật nhiệt động học Vì người ta thường gọi vật lý thống kê hệ cân nhiệt động học thống kê Nhiệt động học thống kê thiết lập mối liên hệ trạng thái vi mô đặc tính vĩ mơ hệ cho phép ta tính hàm nhiệt động hệ khác Hiện phương pháp vật lý thống kê áp dụng rộng rãi lĩnh vực khác vật lý đại, kể từ vật lý học vật ngưng tụ lý Ths Đổng Thị Kim Phượng Vật lý thống kê thuyết hạt Chỉ có vật lý thống kê cho phép ta đốn nhận thông số nhiệt động nhiệt độ, entrôpi, lượng tự do,… Trong thời gian gần việc nghiên cứu q trình trạng thái khơng cân phát triển mạnh hình thành ngành nhiệt động học q trình khơng thuận nghịch (cịn gọi nhiệt động học khơng cân bằng) giải thích quy luật tính đơn giản Để nghiên cứu trình khơng cân người ta vận dụng lý thuyết thống kê để khảo sát biến đổi cấu trúc vi mô vật chất Ta biết biến đổi xảy hệ phản ánh thông số vĩ mô đặc tính vĩ mơ hệ hệ biến đổi định chuyển động hay phân bố hạt vi mô cấu thành hệ Vật lý thống kê trình khơng cân khơng thuận nghịch đơi gọi động học thống kê Tùy thuộc vào quy luật chuyển động hạt cấu thành hệ mà người ta thường tách vật lý thống kê làm hai phần: vật lý thống kê cổ điển vật lý thống kê lượng tử Trong vật lý thống kê cổ điển người ta dùng phương trình học cho hệ nhiều hạt làm sở cho phương pháp lấy trung bình Vì vật lý thống kê thường gọi học thống kê Vật lý thống kê lượng tử tổng quát chặt chẽ vật lý thống kê cổ điển, từ vật lý thống kê lượng tử ta thu tất kết vật lý thống kê cổ điển Cơ sở công cụ toán học vật lý thống kê lý thuyết xác suất Vì trước nghiên cứu vấn đề vật lý thống kê nghiên cứu số vấn đề lý thuyết xác suất 1.2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.2.1 Các biến cố ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên 1.2.1.1 Các tượng ngẫu nhiên: Trong thiên nhiên đời sống thường gặp nhiều tượng khác gọi tượng ngẫu nhiên, tức tượng xảy khơng xảy ra, thường xảy cách bất ngờ khơng biết trước kết chúng Bởi ta khơng biết tượng xảy xảy nào, người ta nói tượng ngẫu nhiên Thí dụ phân rã hạt nhân nguyên tử, xạ phôtôn từ nguyên tử, bùng nổ Mặt Trời, vụ nổ sao, va chạm phân tử,… Các tượng vật lý ngẫu nhiên, chúng xảy khơng xảy Ta cần nhớ tượng ngẫu nhiên gây nguyên nhân đó, nhiều nguyên nhân Thí dụ, xạ phơtơn gắn liền với chuyển nguyên tử từ trạng thái kích thích sang trạng thái kích thích khác Sự bùng nổ Mặt Trời có lượng lượng lớn tỏa từ chỗ quang cầu,… Tuy nhiên luôn theo dõi nguyên nhân đưa đến tượng Chúng ta khơng biết lúc ngun tử cho có xảy chuyển electron từ trạng thái kích thích sang trạng thái kích thích khác; đâu Mặt Trời có tập trung lượng lượng thừa,… Vì tượng ngẫu nhiên, thực chúng nguyên nhân gây 1.2.1.2 Các biến cố ngẫu nhiên: Ths Đổng Thị Kim Phượng Vật lý thống kê Lý thuyết xác suất nghiên cứu biến cố gọi biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên – khái niệm rộng tượng ngẫu nhiên hiểu theo nghĩa thông thường Ta hiểu biến cố ngẫu nhiên là: biểu dấu hiệu hay dấu hiệu khác, bao gồm tính chất (hoặc đặc tính) hay tính chất khác trình, mà tượng ngẫu nhiên Thí dụ tượng ngẫu nhiên va chạm phân tử biến cố ngẫu nhiên Việc phân tử có vận tốc xác định có phương chuyển động xác định, số phân tử đơn vị thể tích lượng chúng – tất coi biến cố ngẫu nhiên Khi khảo sát biến cố ngẫu nhiên ta tách biến cố xảy có lần Đó biến cố, nguyên tắc chúng xảy lần, biến cố mà ta chúng xảy lần chỗ ta khảo sát chúng phạm vi không gian nhỏ khoảng thời gian nhỏ Thí dụ hạt nhân nguyên tử cho nguyên tắc phân rã lần Sau khoảng thời gian ngắn nguyên tử phát phôtôn Việc hạt sơ cấp qua buồng Uynxơn (Wilson) tượng thể tích buồng nhỏ thời gian phơi sáng ngắn Trong trường hợp tiếp xúc với biến cố riêng lẻ thường khó đốn trước vị trí thời gian xảy Tuy nhiên có biến cố lặp lại xảy với đối tượng tương tự ta quan sát chúng phạm vi không gian lớn thời gian dài Thí dụ cháy sáng thiên hà, phân rã nhiều hạt nhân nguyên tử urani, phát quang chất khí,… Cùng phân tử khí khoảng thời gian dài va chạm nhiều lần với thành bình Những biến cố gọi biến cố đồng loạt hay biến cố đồng Thí dụ số lớn phân rã hạt nhân biến cố đồng Thí nghiệm chứng tỏ biến cố đồng đặc trưng quy tắc quy luật tính riêng chúng Những quy luật tính biểu số lớn biến cố đồng gọi quy luật thống kê Việc nghiên cứu quy luật đối tượng nghiên cứu lý thuyết xác suất lý thuyết thống kê Đối với biến cố đồng loạt, đồng lặp lại người ta đưa vào khái niệm xác suất xuất chúng 1.2.1.3 Các đại lượng ngẫu nhiên: Việc thông số có giá trị xác định coi biến cố ngẫu nhiên Những đại lượng mà trị số chúng có tính chất ngẫu nhiên gọi đại lượng ngẫu nhiên Thí dụ, biến cố ngẫu nhiên thể chỗ: phân tử định có vận tốc cho trước Thực vậy, vận tốc phân tử chất khí biến đổi tùy thuộc vào va chạm với phân tử phân tử khác chất khí, với thành bình Đối với phân tử va chạm ngẫu nhiên Bởi va chạm ngẫu nhiên vận tốc biến đổi cách ngẫu nhiên vận tốc đại lượng ngẫu nhiên Các trị số đại lượng ngẫu nhiên tạo thành phổ gián đoạn hay liên tục (nếu đại lượng ngẫu nhiên có trị số xác định trị số khoảng đó) Thí dụ, mơmen động lượng electron ngun tử có trị số gián đoạn, cịn vận tốc phân tử khí mật Ths Đổng Thị Kim Phượng Vật lý thống kê độ vật chất có tập hợp vơ số giá trị khác từ không đến vô cực Một số đại lượng vật lý ngẫu nhiên có phổ giá trị liên tục gián đoạn Thí dụ lượng electron nguyên tử có trị số gián đoạn, cịn lượng electron trạng thái tự có trị số nghĩa biến đổi liên tục Các lý thuyết thống kê nghiên cứu biến cố ngẫu nhiên mà lại nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên tương ứng với chúng Cần lưu ý rằng, x đại lượng ngẫu nhiên hàm   x  đại lượng ngẫu nhiên Thí dụ vận tốc phân tử đại lượng ngẫu nhiên động đại lượng ngẫu nhiên Để đặc trưng hoàn toàn đại lượng ngẫu nhiên ta cần phải biết bảng kê tất giá trị có biết xác suất giá trị Nói “cho tất cacsgias trị đại lượng ngẫu nhiên với xác suất chúng”, có nghĩa cho biết định luật phân bố, nói cách đơn giản cho biết phân bố đại lượng ngẫu nhiên Ths Đổng Thị Kim Phượng Vật lý thống kê 1.3 KHÁI NIỆM XÁC SUẤT 1.3.1 Xác suất biến cố: Trong thực tế đời sống, xét biến cố ngẫu nhiên hay tượng ngẫu nhiên người ta thường dùng từ: được, không chắc, tương đối chắc, chắn, từ khác, chúng nói lên mức độ tin tưởng vào xuất biến cố cho Khi nói biến cố ngẫu nhiên khơng chắc, có nghĩa hiểu rằng: điều kiện lặp lại nhiều lần số lần biến cố xảy nhiều so với số lần khơng xảy Ngược lại biến cố tương đối số lần xảy nhiều số lần không xảy Nếu với điều kiện định hai biến cố ngẫu nhiên khác xảy thường xun hai biến cố coi có khả xảy ngang đồng xác suất Nếu ta tin với điều kiện biến cố cho bắt buộc phải xảy nói biến cố chắn Ngược lại, ta tin biến cố chắn Ngược lại, ta tin biến cố không xảy với điều kiện định đó, ta nói biến cố khơng thể có Tuy nhiên, ta xác định khả biểu biến cố ngẫu nhiên cách ta khơng thể đưa vào quy luật thống kê chặt chẽ, điều thường gắn liền với đánh giá chủ quan biến cố đó, mà đánh giá lại bị hạn chế hiểu biết biến cố chưa đầy đủ Muốn đưa vào quy luật thống kê chặt chẽ địi hỏi phải có định nghĩa toán học chặt chẽ xác suất coi mức độ khả khách quan biến cố ngẫu nhiên Để nêu lên định nghĩa toán học xác suất ta cần phải xét thí dụ đơn giản biểu biến cố đồng loạt Để làm ví dụ đơn giản biến cố người ta thường khảo sát xuất mặt hay mặt đồng tiền ta tung nó, là, xuất số gieo xúc xắc Ở ta coi việc xuất mặt hay mặt (con số) biến cố riêng lẻ Thực tế cho biết nói trước cách xác số (bao nhiêu điểm) sữ xuất ta gieo xúc xắc lần (biến cố đơn vị) Vì việc xuất số điểm định biến cố ngẫu nhiên Tuy nhiên ta xét loạt biến cố tương tự tức gieo nhiều lần xúc xắc mặt xuất số lớn lần biến cố ngẫu nhiên có tính chất số đơng Và chúng có quy luật định Từ thực tế ta biết gieo xúc xắc việc xuất số (cùng mặt) hai lần liên tiếp chẳng hạn xảy ra, ba lần liên tiếp chắc, bốn lần liên tiếp hơn, thí dụ mười lần liên tiếp thực tế không xảy Hơn gieo xúc xắc tất sáu lần vài số xuất hai lần vài số khác khơng xuất lần Ở khó mà tìm thấy quy luật việc gieo trúng số Tuy nhiên số lần gieo tăng đến 60 lần ta thấy số xuất xấp xỉ 10 lần biểu quy luật Tuy nhiên tính chất ngẫu nhiên gieo xúc xắc (tức tính ngẫu nhiên vị trí ban đầu nó, vận tốc, quỹ đạo bay) số lần xuất số khác loạt lần thử khác khác số lần thử Ths Đổng Thị Kim Phượng Vật lý thống kê loạt cịn (người ta thường gọi số lần gieo số lần thử) Nếu ta tăng số lần gieo tới nghìn ta thấy số lần xuất số vào khoảng phần sau số lần gieo N lớn số lần gieo trúng số gần N/6 Tỉ số số lần xuất số (khi gieo xúc xắc nhiều lần) chia cho số lần gieo tổng cộng gọi tần số lặp lại biến cố cho loạt phép thử đồng tính Khi số lần thử tổng cộng tăng lên tần số lặp lại tiến tới giới hạn không đổi, gọi xác suất biến cố cho Tuy nhiên số lần thử tăng lên vơ hạn ta quan sát thấy tới gần giới hạn tần số lặp lại Trong trường hợp tổng quát biến cố xảy ni lần N lần thử tổng cộng thì, phương diện tốn học, xác suất xác định giới hạn tỉ số số biến cố thuận lợi ni chia cho số biến cố tổng cộng N (của nhóm đồng tính phép thử) với điều kiện số lần thử nhóm tiến đến vơ hạn Nói cách khác, xác suất biến cố bằng: n Wi  lim i (1.1) N  N Trong vật lý học đại lượng ngẫu nhiên thường biến thiên với thời gian Khi xác suất trạng thái hệ xác định theo công thức: t W  lim (1.2) T  T t thời gian lưu lại hệ trạng thái cho, T thời gian quan sát tổng cộng Từ suy để xác định thí nghiệm xác suất biến cố ta cần phải tiến hành khơng phải số vơ hạn số lớn phép thử N, tìm số biến cố thuận lợi ni tìm xác suất Wi biến cố cách lập tỉ số chúng Trong nhiều trường hợp thực tế để xác định xác suất người ta tiến hành Khi xác suất xác định xác số lần thử lớn, hay là, thời gian khảo sát biến cố lớn Tuy nhiên nhiều trường hợp ta tìm xác suất biến cố (đặc biệt biến cố vật lý) mà nói chung khơng cần tiến hành phép thử Xác suất gọi xác suất tiên thiên (suy diễn), kiểm lại thực nghiệm Để tìm xác suất xúc xắc lập luận sau Bởi xúc xắc đồng chất gieo lần cách khác việc xuất sáu mặt đồng xác suất (nghĩa khơng có mặt ưu tiên mặt khác) Do đó, có tất mặt, nói xác suất gieo trúng mặt 1/6 Trong trường hợp để xác định xác suất ta hồn tồn khơng tiến hành phép thử mà tìm xác suất cách dựa vào lập luận tổng quát 1.3.2 Hàm phân bố: Trong ví dụ vừa nêu đại lượng ngẫu nhiên có số (hoàn toàn xác định) trị số khác ta gọi biến cố trường hợp đại lượng ngẫu nhiên có trị số đó, và, ta gán cho biến cố xác suất định Nhưng bên cạnh đại lượng (việc gieo xúc xắc, việc tung đồng xu,…) cịn có đại lượng ngẫu nhiên có tập hợp vơ hạn trị số khác vô gần (phổ liên tục) Khi xảy điều đặc biệt sau đây: Ths Đổng Thị Kim Phượng Vật lý thống kê xác suất biến cố riêng biệt đại lượng ngẫu nhiên có số trị số thật xác định, khơng Vì có nghĩa ta nói xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên có trị số phân bố khoảng x từ x x  x Xác suất tìm thấy đại lượng x khoảng x kí hiệu W  x  Khi chuyển tới khoảng vơ nhỏ giá trị dx xác suất dW  x  , đồng thời kí hiệu  d rõ đại lượng ngẫu nhiên có trị số khoảng x dx , nghĩa từ x đến x  x đến x  dx Xác suất dW  x  cho đại lượng ngẫu nhiên lấy trị số từ x đến x  dx sẽ: là, phụ thuộc vào trị số x đó, nghĩa hàm f  x  đó; hai là, tỉ lệ với chiều rộng khoảng dx Vì ta viết xác suất dW  x  sau: dW  x   f  x  dx Tập hợp tất trị số xác suất đại lượng ngẫu nhiên cho tạo nên phân bố đại lượng ngẫu nhiên đó, phân bố xác định hàm f  x  Vì (1.3) f  x  hàm f  x  thường gọi hàm phân bố xác suất (gọi tắt hàm phân bố) Hàm cịn thường gọi mật độ xác suất, f  x  có dW  x  dx dW  x  nghĩa xác suất ứng với đơn vị x dx O chiều rộng khoảng biến thiên: Hình 1.1 dW  x  f  x  dx Hàm phân bố f  x  thường biểu diễn đồ thị biểu thị công thức xác định Trên hình 1.1 có vẽ đồ thị hàm phân bố Trị số đại lượng ngẫu nhiên x tương ứng với cực đại hàm f  x  gọi trị số có xác suất lớn hay trị số nhiên Ths Đổng Thị Kim Phượng Vật lý thống kê 1.4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT ĐỊNH LÝ CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT 1.4.1 Tính chất xác suất: Theo định nghĩa (1.1) xác suất ta suy rằng: W 1  ni  N Do xác suất đại lượng khơng thứ ngun, khơng thể số âm lớn đơn vị mà biểu thị phân số, không, đơn vị Nếu W  điều có nghĩa phép thử phép thử thuận lợi biến cố cho Biến cố có xác suất đơn vị gọi biến cố chắn Thí dụ ta gieo xúc xắc việc gieo trúng số 1, 2, 3, 4, biến cố chắn Nếu xác suất W  biến cố gọi biến cố khơng thể có Thường dựa vào xác suất biến cố riêng biệt ta phải xác định xác suất biến cố phức tạp Muốn ta nghiên cứu hai định lý lý thuyết xác suất, định lý cộng xác suất định lý nhân xác suất 1.4.2 Định lý cộng xác suất: Giả sử có hai biến cố xung khắc A B (tức hai biến cố xảy đồng thời) Ta xét biến cố phức tạp biến cố A biến cố B xảy Khi theo định nghĩa (1.1) ta viết xác suất biến cố phức tạp sau: n n W  A hoac B   lim A B N  N N số tổng cộng phép thử, cịn nA nB số rơi trúng biến cố A B tương ứng Bởi theo định nghĩa (1.1): n n lim A  W  A  lim B  W  B  N  N N  N xác suất biến cố phức tạp biểu thị tổng xác suất biến cố riêng biệt: (1.4) W  A hoac B   W  A   W  B  Trong trường hợp hàm phân bố liên tục ta ý tới xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên nằm khoảng từ x1 đến x1  dx1 , khoảng từ x2 đến x2  dx2 , ta có: dW  x1 hoac x2   dW  x1   dW  x2   f  x1  dx1  f  x2  dx2 Ta mở rộng định lý cho số biến cố xung khắc: W  A hoac B, hoac C , , hoac K    W  A  W  B    W  K  Theo định lý cộng xác suất, xác suất biến cố cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục có trị số nằm khoảng từ x1 đến x2 bằng: x2 W  x1  x2    W  xi    dW  x  i Ths Đổng Thị Kim Phượng (1.5) x1 Vật lý thống kê Như nhiệt độ thấp T0 , phần hạt khí bơzơ nằm mức lượng thấp (mức lượng khơng) hạt cịn lại phân bố mức khác theo định luật   exp      Hiện tượng mà ta vừa mô tả, số hạt khí bơzơ chuyển xuống mức lượng khơng hai phần khí bơzơ phân bố khác theo lượng, gọi ngưng tụ bôzơ Ở nhiệt độ không tuyệt đối tất hạt khí bơzơ nằm mức khơng Ta xét tính chất khác khí bơzơ Đầu tiên ta tính lượng khí bơzơ theo cơng thức:   V m3/2 g  3/2 d  E    dn      3 0 exp          kT  2E ta xác định áp suất: Dựa vào hệ thức p  3V   3/2 d      m3/2 g 3 3 0 p (4.115) (4.116) exp   1  kT  Phương trình (4.116) xem phương trình trạng thái bơzơ (phụ thuộc vào thơng số  )   Ta chứng minh rằng, với điều kiện exp       (tức điều  kT  kiện (4.44)), mà phân bố Bôzơ – Anhstanh chuyển thành phân bố cổ điển Bơnxơman, phương trình (4.116) chuyển thành phương trình Clapâyrơn – 2E Menđêlêép (và, vậy, giả thiết nói hệ thức p  áp dụng 3V  x, ta cho khí bơzơ, hợp lí) Muốn ta vận dụng điều kiện đặt kT được: m3/2  5/2 3 3 p  x 3/2 dx 0     exp  x        m3/2  5/2 x3/2 e  / kT e x dx  3 3 0  e  / kT e x    Biết x 3/2 e  x dx  e  / kT m3/2  5/2 3/2  x 0 x e dx 3  3  theo (4.106), ta được: Ths Đổng Thị Kim Phượng 112 Vật lý thống kê m3/2  5/2  / kT k TN  e  3/2  V phương trình Clapâyrơn – Menđêlêép Ta xét cơng thức (4.116) nhiệt độ nhỏ nhiệt độ tới hạn (hay nhiệt độ ngưng tụ) nhiều Trong trường hợp   ta được:  p m3/2  5/2 x3/2 dx 1,18 m3/2  5/2  3 23 0 e x   3 (4.117)  x 3/2 dx 0 e x   1,006  Như nhiệt độ thấp nhiệt độ tới hạn, áp suất khí bôzơ phụ thuộc vào nhiệt độ mà không phụ thuộc vào thể tích Khi khí bơzơ dãn nở hay bị nén lại nhiệt độ không đổi, hạt chất khí sẽ, rời khỏi mức “khơng”, chuyển xuống mức Có thể có phương pháp thực nghiệm cho phép ta kiểm nghiệm lại hệ thức thu cho khí bơzơ hay khơng? Bởi nhiệt độ cao chất khí tn theo phương trình trạng thái Clapâyrơn – Menđêlêép, khơng địi hỏi phải có kiểm nghiệm đặc biệt Thế nhưng, tượng ngưng tụ khí bơzơ nhiệt độ thấp lại lí thú nhiều, chất khí Bơnxơman (tức chất khí tn theo thống kê Bơnxơman) khơng có tính chất Việc tính toán nhiệt độ ngưng tụ T0 chứng tỏ rằng, nhiệt độ tất chất trạng thái rắn trạng thái lỏng, nghĩa chúng không trạng thái khí Hình là, lẽ mà ta tiến hành việc xác nhận thực nghiệm kết vừa thu Nhưng, hêli He4 lỏng nhiệt độ , người ta quan sát biến đổi trạng thái độc đáo, mà ta xem ngưng tụ khí bơzơ Ở nhiệt độ thấp 2,19K , chất lỏng hêli gồm hai thành phần: thành phần bình thường mà ta xem chất khí bơzơ cịn chưa ngưng tụ, thành phần siêu lỏng mà ta xem chất khí bôzơ ngưng tụ mức “không” Các hạt nằm mức “không” thành phần siêu lỏng chất lỏng hêli khơng thể có đóng góp vào nhiệt dung truyền lượng chuyển động tương đối Nói khác đi, thành phần siêu lỏng chất lỏng He24 khơng có xuất nội ma sát (độ nhớt) Một cách tương ứng việc chuyển chất lỏng hêli trạng thái siêu lỏng (chuyển pha loại hai) xem xác nhận lý thuyết ngưng tụ khí bơzơ Ta cần ý chất đồng vị lỏng He23 khơng có thành phần siêu lỏng nhiệt độ thấp, vì, số nuclêơn hạt nhân lẻ, có spin bán nguyên tuân theo thống kê Fécmi – Đirắc Ths Đổng Thị Kim Phượng 113 Vật lý thống kê 4.9 ÁP DỤNG THỐNG KÊ BÔZƠ – ANHSTANH CHO KHÍ PHƠTƠN Trong mục 4.7 ta xét định luật xạ cân dựa vào thống kê Bơnxơman Thế ta nghiên cứu xạ cân nhiệt định luật dựa vào thống kê Bơzơ – Anhstanh Muốn ta hình dung xạ cân chất khí gồm hạt phơtơn khơng tương tác với Bởi spin phơtơn một, chất khí cần phải tuân theo phân bố Bôzơ – Anhstanh Số hạt chất khí phơtơn thay đổi phụ thuộc vào thể tích nhiệt độ Vì lượng tự khí phơtơn hàm khơng thể tích nhiệt độ số hạt hệ Ta xác định số hạt hệ xuất phát từ điều kiện cực tiểu lượng tự có cân bằng:  V , T , N  0 (4.118) N Phương trình chứng tỏ rằng, hóa học  chất khí phơtơn cân  N Như theo (4.98) khí phơtơn số hạt trung bình có lượng khoảng từ  đến   d dN    dn       exp     kT  Chú ý lượng phôtôn   h , đẳng thức viết lại dạng: dN   (4.119) dn     h  exp     kT  h Biết xung lượng phôtôn p   k  , áp dụng (4.101) ta được: c khơng, xác định hệ thức:   V 4 d c3 Do số phơtơn thuộc hai loại phân cực khác có tần số từ  đến   d bằng: dN    V 8 d   h   c  exp    1  kT    Năng lượng xạ cân ứng với khoảng tần số là: dn    (4.120) V 8 h d   h   c3  exp    1  kT    Công thức trùng với cơng thức (4.93) Do cách tương tự ta tìm lượng tồn phần khí phơtơn dE    h dn    Ths Đổng Thị Kim Phượng 114 Vật lý thống kê U   dE    V aT (4.121) 8 5k 15c3h3 Biết lượng toàn phần U hàm V T, dựa vào phương trình Gipxơ –  F  Hemhônxơ U  F  T   hay  T V a     T  U T2 T ta tính lượng tự khí phơtơn U dT T4   V a T2 Từ ta tìm entrơpy S áp suất p:  S   aV T T   T  p (4.122) (4.123)  T4 U u a   V 3V (4.124) Như áp suất xạ xác định theo mật độ lượng xạ cân U u V Bởi áp suất xạ phụ thuộc vào nhiệt độ mà không phụ thuộc vào thể tích, q trình dãn nở đẳng nhiệt hốc có xảy xạ phơtơn, cịn q trình nén đẳng nhiệt có xảy hấp thụ phơtơn thành hốc Nhiệt dung CV khí phơtơn là:  U  CV   (4.125)   4aVT  T V Số phơtơn tồn phần N thể tích V xạ cân tính theo công thức:   V  d N   dn       c  h  exp     kT  V  kT    kT  x dx   0, 244  V  x    c  e 1  c  (4.126) Ths Đổng Thị Kim Phượng 115 Vật lý thống kê  x dx 0 e x   2, 404 Trong trình dãn nở hay nén đoạn nhiệt khí phơtơn, mà số phơtơn N giữ khơng đổi, ta tìm mối liên hệ nhiệt độ thể tích dạng: VT  const (4.127) từ ta tìm phương trình đoạn nhiệt khí phơtơn: pV 4/3  const (4.128) Người ta dùng hàm nhiệt động vừa tìm cho khí phơtơn để khảo sát cấu tạo bên sao, áp suất xạ có trị số lớn Ths Đổng Thị Kim Phượng 116 Vật lý thống kê 4.10 ÁP DỤNG THỐNG KÊ FÉCMI – ĐIRẮC ĐỐI VỚI KHÍ ELECTRON TRONG KIM LOẠI Các electron dẫn kim loại coi tự do, nghĩa ta xem chúng khí electron lý tưởng Các electron có spin ½, ta áp dụng công thức thống kê Fécmi – Đirắc cho khí electron lý tưởng Theo cơng thức (4.40) số hạt n trung bình nằm mức lượng cho trước lớn Điều thấy rõ xét đường cong biểu thị phụ thuộc n vào  (hình 4.8) Đặc biệt quan trọng lí thú trường hợp nhiệt độ thấp mà ta xét Giả sử T  0,   0  (4.129) Khi T  theo công thức O  1  (4.40) ta có: Hình 4.8   0   n    0  n 1 (4.130) đường cong biểu diễn hình 4.8 n suy biến thành đường “bậc thang” biểu diễn hình 4.9, có nghĩa electron chiếm tất mức từ thấp đến tận mức 0 (thường gọi mức Fécmi), đồng thời mức có electron, cịn tất mức cao 0 tự Khi electron nhiệt độ T  có đặc tính gọi khí electron hồn  0  O  1  toàn suy biến đại lượng T0  k Hình 4.9 gọi nhiệt độ suy biến Khi nhiệt độ tăng lên thấp nhiệt độ suy biến T0 nhiều, nghĩa T  T0 , đường cong phân bố Fécmi – Đirắc có dạng “gần bậc thang” khí electron suy biến Khi lượng chuyển động nhiệt kT nhỏ so với lượng giới hạn 0 , có số hạt mà hiệu lượng   0 vào khoảng kT chuyển lên mức lượng cao 0 (và cho đóng góp vào nhiệt dung khí); cịn hạt mức sâu (rất thấp) khơng thay đổi trạng thái bị đốt nóng Ta xác định giá trị nhiệt độ suy biến T0 Muốn ta tìm 0 xuất phát từ điều kiện nói rằng: tồn hạt nằm tất mức lượng Ths Đổng Thị Kim Phượng 117 Vật lý thống kê thấp mức   0 , mức có hạt, phải số hạt toàn phần N Gọi dN    số mức khoảng lượng từ  đến   d , ta có: dN        exp   1  kT   N  (4.131)   N   dN    (4.132) T  T0 Để tìm dN    ta lập luận tính tốn mục 4.8 xem electron kim loại tích V sóng đứng Đơ Brơi Với ý electron có spin ½, “sóng” electron “có hai trạng thái phân cực”  g   , ta có (xem (4.104)) dN     2m3 V  d  3 (4.133) Thay (4.133) vào (4.132) lấy tích phân theo  ta   2m  V  3/2 2m3  1/2 d   V  3 3   3/2 N (4.134) từ 2/3  N  3 0  3     2m V  2/3 (4.135) 0 ta rút T0  (có thể đối chiếu với (4.45) Đối với khí electron kim k loại, nhiệt độ suy biến T0 tính theo cơng thức (4.135) vào khoảng 10000 K Như là, nhiệt độ bình thường ta có T  T0 khí electron kim loại suy biến: điều giải thích kiện là: nhiệt độ phịng thấp hơn, nhiệt dung khí electron nhỏ, khơng đáng kể Cơng thức (4.133) cho phép ta tính lượng (nội năng) khí electron suy biến Trong trường hợp tổng quát  U  E    n dN      2m3 V  3 0  3/2 d      (4.136) exp   1  kT  Đối với khí electron suy biến ta có:  E  E0  2m V  3/2 d    3 0  2m   3/2 5  V 3 05/2  N 0 (4.137) (chú ý đến (4.135)) Lý thuyết chặt chẽ cho ta biểu thức sau E : Ths Đổng Thị Kim Phượng 118 Vật lý thống kê  5 2k 2T    E  N 0 1  0   cách tương ứng nhiệt dung electron bằng: CV  2 R T T0 Từ (4.137) ta tìm lượng tự  khí electron dựa vào (4.120), ta có:   E  E0 (4.138) từ ta rút phương trình trạng thái khí electron suy biến  E  p   N  V V V 0 E0 (4.139)  N  V V (4.140) pV  E0 Như phương trình trạng thái khí electron suy biến khơng có nhiệt độ tham gia Các công thức (4.131) (4.136), nguyên tắc, cho phép ta tính lượng khí electron nhiệt độ so sánh với nhiệt độ suy biến T0 Tuy nhiên đơn giản ta giới hạn xét trường hợp khí electron suy biến (khi T  T0 ) Ths Đổng Thị Kim Phượng 119 Vật lý thống kê 4.11 TRẠNG THÁI CỦA HỆ CÓ NHIỆT ĐỘ TUYỆT ĐỐI ÂM Đầu tiên ta cần ý quan niệm trạng thái có nhiệt độ tuyệt đối âm không mâu thuẫn với hệ định lý Nécxtơ nói khơng thể đạt tới nhiệt độ không độ tuyệt đối Ta xét hệ có nhiệt độ tuyệt đối âm có hai mức lượng Ở nhiệt độ không độ tuyệt đối tất hạt nằm mức thấp Khi nhiệt độ tăng lên phần hạt bắt đầu chuyển từ mức thấp lên mức cao Tỉ số số hạt mức thứ mức thứ hai nhiệt độ khác thỏa mãn phân bố theo lượng dạng n2         exp    exp   (4.141) n1  kT   kT  Khi nhiệt độ T tăng số hạt mức thứ hai dần tới số hạt mức thứ Trong trường hợp giới hạn nhiệt độ vô lớn số hạt hai mức Như tỉ số số hạt nằm khoảng n (4.142)  1 n1 ta gắn cho hệ ta nhiệt độ thống kê định nằm khoảng  T   , xác định đẳng thức (4.141) Tuy nhiên điều kiện đặc biệt có trường hợp là: hệ khảo sát số hạt mức thứ hai lớn số hạt mức thứ Giống trường hợp khảo sát kia, ta gắn cho hệ có tỉ số hạt nhiệt độ thống kê hay môđun phân bố thống kê định Nhưng, thấy từ (4.141), mơđun phân bố thống kê cần phải âm Như ta gắn cho trạng thái khảo sát nhiệt độ tuyệt đối âm Từ thí dụ vừa xét ta thấy rõ rằng: nhiệt độ tuyệt đối âm đưa vào không nhiệt độ thấp độ không tuyệt đối Thực vậy, độ khơng tuyệt đối hệ có nội cực tiểu, nhiệt độ tăng lên nội hệ tăng lên Tuy nhiên, ta xét hệ gồm N hạt có hai mức lượng, nội biến đổi theo cách sau Khi T  tất N hạt nằm mức thấp có lượng 1 nội U    N 1 (4.143) Ở nhiệt độ lớn vô hạn T    hạt phân bố hai mức (hình 4.10) nội U   N N N 1     1    2 (4.144) nghĩa có trị số giới nội Ths Đổng Thị Kim Phượng 120 Vật lý thống kê U T  0 2 n2 n1 1 T   2 n2 n1 1 T   2 n2 n1 1 T  0 2 n2 n1 1 Hình 4.10 Nếu ta tính lượng hệ trạng thái mà ta gắn cho nhiệt độ âm, ta thấy nội trạng thái lớn lượng trường hợp nhiệt độ dương lớn vô hạn Thực U  T   n11  n2  U    (4.145) vì, n2  n1   1 Như nhiệt độ âm tương ứng với nội cao nhiệt độ dương Khi có tiếp xúc nhiệt vật có nhiệt độ âm nhiệt độ dương lượng chuyển từ vật có nhiệt độ tuyệt đối âm sang vật có nhiệt độ dương Vì vật nhiệt độ tuyệt đối âm coi “nóng hơn” vật nhiệt độ dương Các lập luận vừa nêu nội môđun phân bố âm cho phép ta xem nhiệt độ tuyệt đối âm nhiệt độ cao nhiệt độ vô hạn dương Như thang nhiệt độ, miền nhiệt độ tuyệt đối âm không nằm “dưới độ không tuyệt đối” mà nằm “cao nhiệt độ vơ cực” Khi nhiệt độ âm vô cực “nằm cạnh” với nhiệt độ dương vô cực, nghĩa U     U    Còn giảm nhiệt độ âm môđun đưa tới tăng lên nội hệ Khi  T   lượng hệ cực đại, tất hạt tập hợp mức thứ hai: U  0   N  (4.147) Ở trạng thái cân entrôpy hệ đối xứng dấu nhiệt độ tuyệt đối Ý nghĩa vật lý nhiệt độ tuyệt đối âm bao hàm quan niệm môđun phân bố thống kê âm Mỗi lần mà trạng thái hệ diễn tả phân bố thống kê có mơđun phân bố âm, ta đưa vào khái niệm nhiệt độ tuyệt đối âm Người ta thấy trạng thái tương tự số hệ thực với điều kiện vật lý khác Các điều kiện đơn giản là: tính giới nội lượng hệ T   , tương tác yếu với hệ xung quanh có nhiệt độ dương, khả trì trạng thái lực ngồi Thực vậy, tạo trạng thái có nhiệt độ âm, nghĩa làm cho n2 lớn n1 , thì, chuyển tự phát, hạt chuyển từ trạng thái có  trạng thái có lượng nhỏ 1 Như vậy, trạng thái có nhiệt độ âm khơng bền Để trì thời gian dài, ta cần phải làm đầy số hạt mức  cách làm giảm số hạt mức 1 Ths Đổng Thị Kim Phượng 121 Vật lý thống kê Người ta thấy hệ mômen từ hạt nhân thỏa mãn địi hỏi tính giới nội lượng Thực vậy, mơmen từ spin có số định hướng định có số định mức lượng từ trường Mặt khác hệ spin hạt nhân, nhờ cộng hưởng từ hạt nhân ta chuyển phần lớn spin trạng thái có lượng lớn nhất, tức lên mức cao Khi chuyển ngược lại mức thấp spin hạt nhân cần phải trao đổi lượng với mạng tinh thể, muốn cần phải có thời gian hồi phục lớn Còn thời gian nhỏ thời gian hồi phục spin – mạng hệ nằm trạng thái có nhiệt độ âm Các hệ có nhiệt độ âm có đặc tính lí thú Nếu ta cho qua hệ xạ   có tần số   tương ứng với hiệu lượng hai mức, xạ qua h kích thích chuyển hạt mức thấp kéo theo xạ phụ Hiệu ứng sử dụng hoạt động máy phát máy khuếch đại lượng tử (made lade) Ths Đổng Thị Kim Phượng 122 Vật lý thống kê PHỤ LỤC CƠNG THỨC STIẾCLINH (STIRLING) Cơng thức Stiếclinh cơng thức biểu diễn đại lượng n! hàm n n có trị số lớn Để tìm cơng thức Stiếclinh ta dùng phương pháp gần sau Từ đẳng thức: n !  1.2 n cách lấy lôga ta đẳng thức sau đây: n ln  n !  ln 1.2 n    ln k k 1 Khi k số lớn so với đơn vị, ta thay tổng số tích phân: đó, lấy tích phân phần, ta công thức Stiếclinh n n k 1 n ln  n !   ln k   ln k dk  k ln k   dk  n  n  ln n  1  n ln n Trong đẳng thức trên, đặt  ln e ta công thức Stiếclinh dạng thông thường n ln  n !   ln n  ln e  n  n ln e từ n n n!     nn e Cơng thức ln với n  1010 (tức với hệ nhiều hạt) Nếu đại lượng n lớn ta phải dùng cơng thức Stiếclinh dạng xác hơn: n n n n n !  2 n    2 e   e e CÁC TÍCH PHÂN PỐTXƠNG (POISSON) Người ta gọi tích phân Pốtxơng tích phân có dạng:  I n1   exp  ax  x n1 dx (1)  I n   exp  ax  x n dx (2) Để tìm cơng thức tích phân Pốtxơng (1) (2) ta xét hai dạng đơn giản nhất:  I1   exp  ax  x dx (3) Ths Đổng Thị Kim Phượng 123 Vật lý thống kê  I   exp  ax  dx (4) Tích phân (3) tính cách đặt ax  y , từ ta có:  I1   exp  ax  x dx  2a (5) Do ta tính tích phân khác thuộc loại (1) Ta nhận xét rằng:  I   exp ax  x3 dx      exp ax  x dx   I1  a a nghĩa là, theo (5) 2a Mở rộng công thức cho số n bất kì, ta cơng thức sau đây: I3   I n1   exp  ax  x n1 dx  n! 2a n1 (7) Bây ta tính tích phân (4) Bởi độ lớn tích phân định hạn khơng phụ thuộc vào biến số tích phân, tích phân sau có giá trị tích phân (4)  I   exp  ay  dy Vận dụng tính chất quen thuộc tích tích phân, ta viết:    I    exp  a  x  y  dxdy 0 Ở ta xem biến số x y tọa độ Đêcác mặt phẳng Ta chuyển sang tọa độ cực cách áp dụng công thức quen thuộc phép chuyển tọa độ x  y  r , dxdy  rdrd Bởi x y biến thiên từ đến  nên phép lấy tích phân tiến hành theo r từ đến  theo  từ đến  Ta có:   I 02    exp ar  rdrd  0   0 exp ar  rdr từ đó, áp dụng (3) ta được: I 02   2a   4a hay Ths Đổng Thị Kim Phượng 124 Vật lý thống kê I0   a Như  I   exp ax  dx   a (8) Dựa vào (8) ta tính tích phân khác thuộc loại (2) Ta nhận xét rằng:  I   exp  ax  x dx     exp  ax  dx  a 0   I0  (9) a a3 Tiến hành lấy vi phân theo thông số a số lần cần thiết ta công thức tổng quát:   I n   exp ax  x n dx   2n  1!! n1  a n1 (10) Tóm lại ta tìm cơng thức tích phân Pốtxơng sau đây:  I n   exp ax  x n dx   2n  1!!  I n1   exp  ax  x n1 dx  n1  a n1 n! 2a n1 (10) (7) Trong trường hợp khoảng lấy tích phân từ đến  mà từ  đến  ta có:   expax  x I n1  2 n 1 dx    exp ax  x  2 n 1   dx   exp  ax  x n1 dx (11)  I n   exp  ax  x n dx     exp ax  x 2n  dx   exp  ax  x n dx (12) Các tích phân đầu vế phải (11) (12) biến đổi sau (bằng cách thay x –x)   2 n 1 2 n 1  exp ax  x dx    exp ax  x dx   2n 2n  exp ax  x dx   exp ax  x dx Do đó: Ths Đổng Thị Kim Phượng 125 Vật lý thống kê  I n1   expax  x 2 n 1 dx  (13)   I n   exp ax  x n dx  I n  Ths Đổng Thị Kim Phượng  2n  1!!  n a n1 (14) 126 ... học thống kê Vật lý thống kê lượng tử tổng quát chặt chẽ vật lý thống kê cổ điển, từ vật lý thống kê lượng tử ta thu tất kết vật lý thống kê cổ điển Cơ sở cơng cụ tốn học vật lý thống kê lý thuyết... Hiện phương pháp vật lý thống kê áp dụng rộng rãi lĩnh vực khác vật lý đại, kể từ vật lý học vật ngưng tụ lý Ths Đổng Thị Kim Phượng Vật lý thống kê thuyết hạt Chỉ có vật lý thống kê cho phép ta... thống kê cổ điển vật lý thống kê lượng tử Trong vật lý thống kê cổ điển người ta dùng phương trình học cho hệ nhiều hạt làm sở cho phương pháp lấy trung bình Vì vật lý thống kê thường gọi học thống