Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đường cao và ma, mb, mc lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác[r]
(1)phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9Năm häc 2012 - 2013 M«n thi: Tốn
Thêi gian lµm bµi : 150
(khơng kể thời gian giao đề ) Bài ( điểm )
Cho P = (1−x −3√x x −9 ):(
9− x x+√x −6−
√x −3 2−√x−
√x −2
√x+3)
1 Rút gọn P Tìm x để P >
3 Với x > 4, x ≠ Tìm giá trị lớn P.(x + 1) Bài ( điểm )
1 Tìm tất số tự nhiên n cho n2 – 14n – 256 số phương.
2 Cho: a > 0, b > ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (a+b+1)(a2+b2)+
a+b
Bài ( điểm )
Cho hệ phương trình : {√x+√2012− y=√2012
√2012− x+√y=√2012 Chứng minh : x = y
2 Tìm nghiệm hệ phương trình Bài ( điểm )
Cho hai đường tròn ( O; R) ( O’; R’) tiếp xúc A( R > R’) Vẽ dây AM
của đường tròn ( O ) dây AN đường tròn ( O’) cho AM AN Gọi BC tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (O) (O’) với B (O) C (O’)
1 Chứng minh OM // O’N
2 Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui
3 Xác định vị trí M N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn Tính giá trị lớn
Bài ( điểm )
1 Cho tam giác nhọn ABC Gọi ha, hb, hc đường cao ma, mb, mc trung tuyến cạnh BC, CA, AB; R r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh :
maha +mb
hb + mc hc ≤
R+r
r
2 Tìm tất cặp số nguyên dương a,b cho : a + b2 chia hết cho a2b – 1.
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9Năm học 2012 - 20 13
(2)Bài Nội dung Điểm
Bài (6 đ )
1 Tìm điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9 P = (1−x −3√x
x −9 ):(
9− x
(√x+3) (√x −2)+
√x −3 2−√x−
√x −2
√x+3)
= … = 2−√x
2 P > {x ≥02−, x ≠√x4>, x ≠0 9 0≤ x<4
0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ P ( x + ) = −3(x+1)
√x −2 =−3(√x −2+
√x −2+4)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si Max [P.(x+1)]=−6√5−12
Chỉ dấu x = (√5+2)2
1,0đ 0,5đ 0,5đ Bài
(4đ)
1 Đặt n2 – 14n – 256 = K2 ( K є N ) ( n – )2 – K2 = 305
( n – K – )( n + K – ) = 305 = 1.305 = 61.5
Xét trường hợp: n + K -7 > n – K – n – K – = n + K – = 305 => n = 160
n – K – = - 305 n + K – = -1 => n = -146 ( loại ) n – K – = n + K – = 61 => n = 40
n – K – = -61 n + K – = -5 => n = -26 ( loại ) Vậy n = 40, K = 28 n = 160 , K = 152
2 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số dương a2 b2
a2+b2≥2√a2b2=2 ab=2
A = (a+b+1)(a2+b2)+
a+b≥2((a+b+1)+
2
a+b)
= 2+(a+b+
a+b)+(a+b) Áp dụng BĐT Cơ si có
A 2+2√(a+b)
a+b+2√ab=2+4+2=8
-> Giá trị nhỏ A=8 a = b =
1,0đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài
(2đ) Điều kiện {
0≤ x ≤2012 0≤ y ≤2012
Từ phương trình hệ ta có : √x+√2012− y=√2012− x+√y
<-> √x −√2012− x=√y −√2012− y
Nếu x > y −√2012− x>−√2012− y => VT > VP ( mâu thuẫn )
Tương tự x < y => VT < VP ( mâu thuẫn ) => x = y
0,5đ 0,5đ
(3)=> Hệ { x=y
√x+√2012− x=√2012 (1) (2)
Bình phương vế pt (2) => x = x = 2012
=> Nghiệm hệ ( x;y) = (0;0),(2012;2012) 0,5đ Bài
(5đ)
1 O1=O1
'
(¿1800−2^A1) => OM //O’N Gọi P giao điểm MN OO’ Có : POPO'=O' N
OM =
R ' R
Gọi P’ giao điểm BC OO’ Do OB // O’C => P ' O 'P ' O =O' C
OB =
R ' R
=> P = P’ -> đpcm
3 MNO’C hình thang có S = (OM+O' N)O' H
2 =
R+R '
2 ⋅O' H ≤
R+R '
2 ⋅OO'=
(R+R ')2
2
Dấu “ = “ xảy H O OM OO’ O’N OO’ Vậy Max S = (R+R ')2
2
2,0đ 0,75đ
0,75đ 1,0đ
0,5đ Bài
(2đ)
Gọi O I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC A1 , B1, C1 trung điểm cạnh BC, CA, AB
Có : AA1 = ma ≤ R + OA1 đẳng thức xảy AB = AC
(4)CC1 = mc ≤ R + OC1 đẳng thức xảy AC = BC
=> ma
ha+ mb
hb+ mc
hc ≤ R(
1
ha+
1
hb+
1
hc)+(
OA1
ha +
OB1
hb +
OC1
hc ) (1)
Có 2S = ( a + b + c)r -> 2rS=a+b+c=2S
ha +
2S hb +
2S hc
Với ( AB = c , BC = a , AC = b ) => h1
a
+
hb+
1
hc=
1
r (2)
2S = a OA1+b OB1+c.OC1=2S
ha ⋅OA1+ 2S
hb ⋅OB+
2S hc ⋅OC1 = 2S(OA1
ha +
OB1
hb +
OC1
hc ) =>
OA1
ha
+OB1
hb
+OC1
hc
=1 (3)
Từ (1),(2),(3) => ma
ha
+mb
hb
+mc
hc
≤R+r r
Dấu đẳng thức xảy ∆ABC
2 Theo đề có : a + b2 = K(a2b – 1) ( K є N* )
a + K = b( Ka2 – b )
a + K = mb (1) Với Ka2 – b = m ( m є N*) -> m + b = Ka2 (2)
Từ (1) (2) có ( m – )( b - )= mb – b – m +
= a + K – Ka2 + = ( a + 1)( K + – Ka ) (3)
Vì m > theo (1) nên ( m – )( b – 1) ≥ Từ (3) => K + – Ka ≥ => K + ≥ Ka => ≥ K( a – ) =>
a=1
a=2, K=1
K(a −1)=0
K(a−1)=1⇒¿
¿
* Nếu a = từ (3) => (m – 1)(b – 1) = => b = b = => (a; b) = ( 1; 2) ( 1; 3)
* Nếu a = 2, K = => ( m -1)(b – ) = Khi m = từ (1) => ( a; b ) = ( 2; ) Khi b = => (a; b) = ( 2; 1)
Thử lại ta có đáp số ( a,b) = (1,2),(1,3), (2,3),(2,1)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,75
(5)(6)phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9Năm học 2010 - 2011 Môn thi : Sinh häc
Thêi gian lµm bµi : 150
(khơng kể thời gian giao đề )
(7)