SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————
Câu 1 (2.5 điểm)
Giải hệ phương trình: 2 ( ) ( 2 )
x y x xy y
Câu 2 (2.0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất với mỗi số nguyên lẻ a mà a2 ≤n thì n chia hết cho a
Câu 3 (3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ) AD BE CF là ba đường cao, , (D BC E CA F∈ , ∈ , ∈AB) Đường thẳng EF cắt BC tại , G đường thẳng AG cắt lại đường tròn ( ) O tại điểm M
1 Chứng minh rằng bốn điểm ,A M E F cùng nằm trên một đường tròn., ,
2 Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng GH ⊥ AN
Câu 4 (1.5 điểm)
Chứng minh rằng:
3 3
2
a b c abc
a b b c c a abc a b b c c a
+ + +
+ + + + + + với mọi , ,a b c>0
Câu 5 (1.0 điểm)
Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước 10 10× (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần
—Hết—
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn: Toán 9 Câu 1 (2.5 điểm).
Viết lại phương trình thứ hai của hệ về dạng 2 ( ) ( 2)
y − x+ y+ + x− x = Coi đây là phương trình bậc hai, ẩn ,y x là tham số Có ( )2 ( 2) 2
' 2x 4 16 16x 5x 9x
- Nếu y= −4 x, thay vào phương trình thứ nhất, giải được x=0,x= −2,x= −5 0.5
• Với x=0 thì y= − =4 x 4
• Với x= −2 thì y= − =4 x 6
- Nếu y=5x+4, thay vào phương trình thứ nhất, giải được x=0,x= −2,x=19 0.5
• Với x=0 thì y=5x+ =4 4
• Với x= −2 thì y=5x+ = −4 6
Vậy, các nghiệm của hệ là (x y; ) ( ) (= 0; 4 , 2;6 , 2; 6 , 5;9 , 19;99− ) (− − ) (− ) ( ) 0.25
Câu 2 (2.0 điểm)
Gọi a là số lẻ lớn nhất mà a2 ≤n Khi ấy ( )2
2
Nếu a≥7 thì a−4,a−2,a là các ước lẻ của n Để ý rằng, các số này nguyên tố cùng nhau đôi
một, nên a a( −2) (a−4 |) n Suy ra
a a− a− ≤ < +n a ⇒a − a + a− < ⇒a a− + a− < Vô lý (do a≥7)
0.5
- Nếu a=3 thì 32 ≤ < ⇒ ∈n 52 n {9,12,15,18, 21, 24} (do 1,3|n ) 0.25
- Nếu a=5 thì 52 ≤ <n 72 ⇒ ∈n {30, 45} (do 1,3,5|n ) 0.25
Vậy tất cả các số nguyên dương n cần tìm là 1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45 0.25
Câu 3 (3.0 điểm)
1 Chứng minh rằng bốn điểm , A M E F cùng nằm trên một đường tròn., , 1.5 Nhận xét: Cho tứ giác ABCD, P là giao điểm của AB và CD Tứ giác ABCD nội tiếp
khi và chỉ khi: PA PB PC PD =
- Áp dụng nhận xét trên cho tứ giác AMBC nội tiếp, ta được GM GA GB GC× = ×
( Nếu học sinh áp dụng luôn vẫn cho điểm tối đa)
0.5
- Áp dụng cho tứ giác BFEC nội tiếp, ta được GB GC GF GE× = × 0.5
2 Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng 1.5
Trang 3GH ⊥AN
- Theo kết quả phần 1, và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra M nằm trên đường tròn đường kính AH ,
- Tia MH cắt lại đường tròn ( ) O tại K , khi đó do ∠AMK =90o nên AK là đường kính của ( ) O 0.25
- Từ đó suy ra KC⊥CA KB, ⊥BA Suy ra KC BH KB CH , do đó BHCK là hình bình hành || , ||
- Trong tam giác GAN có hai đường cao AD NM cắt nhau tại ,, H nên H là trực tâm của tam
Câu 4 (1.5 điểm)
N D
K
M
G
F
E
H
O
A
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
3 3
2
a b b c c a abc
0.25
Chứng minh
(a b b c c a+ )( + )( + =) c a b( + +) a b c( + +) b c a( + +) 2abc 0.5
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopsky-Schwarz
3
2 3 2
3
2
2
c a b a b c b c a abc
a b b c c a abc
c a b abc
= + + +
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi c a b( + =) a b c( + =) b c a( + =) 2 abc abc.6 ⇔ = =a b c
0.5 0.25
Câu 5 (1.0 điểm)
- Trên mỗi hình vuông con, kích thước 2 2× chỉ có không quá 1 số chia hết cho 2, cũng vậy, có
- Lát kín bảng bởi 25 hình vuông, kích thước 2 2× , có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều
nhất 25 số chia hết cho 3 Do đó, có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho 2, cũng không chia
hết cho 3 Vì vậy, chúng phải là một trong các số 1,5,7
- Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet, có một số xuất hiện ít nhất 17 lần
0.5
(Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa)