Đề và đáp án thi HSG trường môn Toán 11

SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CẨM BÌNH  ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn Toán Lớp 11 (Thời gian: 180 phút)  Câu 1. Giải phương trình: 2 3sin2 2cos 2 2 2cos2x x x− = + Câu 2. Tìm giới hạn: 3 0 8 2 lim sin2011 x x x → + − . Câu 3. Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC); tam giác DAB cân; tam giác ABC vuông tại B và · BAC α = . Gọi β là góc tạo bởi hai mặt phẳng (DAC) và (DBC). Chứng minh rằng: 2 1 cos tan .tan cos α α β α + = . Câu 4. Tính các góc của tam giác ABC, biết các cạnh a, b, c và các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức: ( ) 4 2 3 3 sin sin sin 2 2 2 8 p p a bc A B C  − ≤   − =   . ( p là nữa chu vi của ABC∆ ). Câu 5. Cho a, b, c dương và thỏa mãn 2 2 2 3a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 2 2 2 P a b c = + + − − − . Hết Họ tên thí sinh:………………………………………………………… Số báo danh:…………………………………………………………… SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CẨM BÌNH  ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM Môn Toán Lớp 11  Câu Hướng dẫn giải Điểm 1(2.đ) 2 2 3sin2 2cos 2 2 2cos2 2 3sin cos 2cos 4 cos 3 1 cos sin cos cos cos .sin cos 2 2 6 cos 0 2 cos 0 cos 0 2 sin 1 2 6 3 cos 0 sin 1 6 x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x x k x x π π π π π π π − = + ⇔ − =     ⇔ − = ⇔ − =  ÷  ÷  ÷         = + =   > >   ⇔ ⇔     − = = +  ÷        <        − = −  ÷       cos 0 5 2 3 , 2 x x k x k k π π π π                 <     = +     ⇔ = + ∈¢ 0.50 0.50 0.75 0.25 2(2.đ) ( ) ( ) 3 3 0 0 3 0 0 2 3 3 0 2 3 3 0 3 0 8 2 8 2 lim lim 2011.sin2011 sin2011 2011 8 2 *lim lim 8 2 8 4 1 1 lim 12 8 2 8 4 2011.sin2011 *lim 2011 2011 8 2 1 1 lim sin2011 12.2011 24132 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → → + − + − = + − =   + + + +  ÷   = =   + + + +  ÷   = + − ⇒ = = 0.50 1.00 0.25 0.25 Câu Hướng dẫn giải Điểm 3(2.đ) - Gọi H là hình chiếu của A lên DC, trên DB lấy điểm K sao cho HK vuông góc với DC, ta có: - Góc tạo bởi hai mặt phẳng (DAC) và (DBC) là · AHK β = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 , 2 tan 3 Trong ABC cos = 4 cos 1 1 1 2 2 Trong ADB 5 2 BC AD AD ABC BC ADB AK BC BC AB gt DC HA DC HAK AK DC DC HK AK AK DBC AK KH HK AB AD AC AC AD AK AK AD AB AD β α α  ⊥ ⊥ ⇒ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥   ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ∆ ⇒ ⇒ = ∆ ⇒ = + = ⇒ = 0.50 0.50 0.50 Câu Hướng dẫn giải Điểm 3(2.đ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 cos 1 cos Trong ADC: cos Trong AHK: DH 1 cos 1 cos . ñoàng daïng vôùi 6 BD AD AB AD AH AD AC AD AD AD AD AD AD AH AD DH DH DB BC DH DHK DBC HK HK BC DB α α α α α = + = + ∆ = + = + = ∆ = − = − ⇒ = + + ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = Từ (3), (5), (6) suy ra điều phải chứng minh. 0.50 0.50 4(2.đ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * 4 2 1 1 3 3 cos 1 cos sin sin 2 2 4 2 4 2 2 1 * sin sin sin sin cos cos 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 cos 2 2 2 1 1 1 1 1 3 1 2 sin 8 2 2 2 8 2 2 2 p p a bc a b c b c a bc b c a bc b c a bc bc A A A A A B C A B C B C A B C A − ≤ ⇔ + + + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥   − + = −  ÷     + ≤ −  ÷       = − − ≤ − − =  ÷  ÷  ÷     3 3 8 − Dấu “=” xảy ra khi 2 3 sin 3 2 2 cos 1 6 2 A A B C B C π π   = =     ⇔   −   = = =     0.50 0.10 0.50 5(2.đ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 2 2 0 , , 0 * 2 0 3 2 0 1 1 1 * 2 2 2 2 2 2 9 1 2 6 1 3 * 1 3 3 2 1 3 * 1 , 2 3 3, khi a a b c b a b c c a b c P a b c a a b b c c a b c a b c a b c a b c a a a b b b a b c c c c P MinP a  − >  >   ⇒ − >   + + =    − >  = + + = + + − − − − − − + + ≥ = + + − + + − + +  + + ≥  + + ≥ ⇒ + + ≥   + + ≥  ⇒ ≥ ⇒ = = 1b c = = 0.50 0.50 0.50 0.50 (Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa) . 0 2 3 3 0 2 3 3 0 3 0 8 2 8 2 lim lim 2 011. sin2 011 sin2 011 2 011 8 2 *lim lim 8 2 8 4 1 1 lim 12 8 2 8 4 2 011. sin2 011 *lim 2 011 2 011 8 2 1 1 lim sin2 011 12.2 011 24132 x x x x x x x x x x x x x x. TRƯỜNG NĂM HỌC 2010 - 2 011 Môn Toán Lớp 11 (Thời gian: 180 phút)  Câu 1. Giải phương trình: 2 3sin2 2cos 2 2 2cos2x x x− = + Câu 2. Tìm giới hạn: 3 0 8 2 lim sin2 011 x x x → + − . Câu. − . Hết Họ tên thi sinh:………………………………………………………… Số báo danh:…………………………………………………………… SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CẨM BÌNH  ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM Môn Toán Lớp 11  Câu Hướng