Theo điều lệ của giải, hai đội bóng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, đội thắng được 3 điểm, đội hoà được 1 điểm và đội thua 0 điểm.[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2008 TRƯỜNG PHỔ THƠNG NĂNG KHIẾU Mơn thi : TỐN CHUN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao dề Câu I:
1) Cho phương trình x2 – mx + 2m -2 = (1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm âm;
b) Giả sử x1, x2 hai nghiệm phân biệt (1) Chứng minh biểu thức
1 2
2 2
x 2x x – 2x
x x
không phụ thuộc vào giá trị m.
2) Giải hệ phương trình:
2 2 2 x y z y z x z x y
Câu II:
Cho tam giác ABC khơng cân Đường trịn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB lần lựơt D, E, F Đường thẳng EF cắt AI J cắt BC nối dài K
1) Chứng minh tam giác IDA IJD đồng dạng 2) Chứng minh KI vng góc với AD
Câu III:
Cho góc vng xAy hai điểm B, C tia Ax, Ay Hình vng MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC đỉnh P,Q thuộc cạnh BC
1) Tính cạnh hình vng MNPQ theo cạnh BC = a đường cao AH = h tam giác ABC
2) Cho B C thay đổi tia Ax, Ay cho tích AB.AC = k2 (k khơng đổi) Tìm giá trị lớn diện tích hình vuông MNPQ
Câu IV:
Một số nguyên dương n gọi số bạch kim n tổng bình phương chữ số 1) Chứng minh khơng tồn số bạch kim có chữ số
2) Tìm tất số nguyên dương n số bạch kim Câu V:
Trong giải vơ địch bóng đá có đội tham gia Theo điều lệ giải, hai đội bóng thi đấu với trận, đội thắng điểm, đội hoà điểm đội thua điểm Kết thúc giải, số điểm đội D1, D2, D3, D4, D5, D6 (D1≥ D2 ≥ D3 ≥ D4 ≥ D5 ≥ D6) Biết đội bóng với số điểm D1 thua trận D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6 Hãy tìm D1 D6
GIẢI
CÂU 1: 1) a) (1) có nghiệm âm
2 2
m 2m
0 m 8m
P 2m m m
S m m
khơng có giá trị m để phương trình có nghiệm âm
(1) khơng thể có nghiệm âm
b) Với m 2 hoặcm 2 phương trình có nghiệm phân biệt x
1, x2, theo hệ thức Vi-ét:
x1 + x2 = m; x1x2 = 2m –
x1, x2 nghiệm (1)
2
1 1
1
2
2 2 2
x 2x m x
x mx 2m
x mx 2m x 2x m x
Do biểu thức cho viết: (m-2)2(x
1 – 2)(x2 – 2) :
2 2 x x
=
2 2 2
1 2 2
m 2 x x x x 4 : x x 2x x m 2 2m 2m : m 4m 4 2
2) Từ hệ cho suy x, y, z ≥ Do x, y, z hệ có vai trò nên ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥
Với x ≥ y y2 + z2≥ z2 + x2 y2≥ x2 y ≥ x , mà x ≥ y x = y
Với x ≥ z y2 + z2≥ x2 + y2 z2≥ x2 z ≥ x , mà x ≥ z x = z
do x = y = z Thế vào phương trình hệ phương trình: x = 2x2
(2)x = y = z = ½
CÂU II:
1) AIE vng E đường cao EJ có IA IJ = IE2 = ID2
IA ID IDIJ IDA IJD có góc I chung
IA ID
ID IJ nên IDA ~ IJD (c.g.c)
2) Gọi H giao điểm KI AD KJID nội tiếp IKJ IDJ (1) IDA ~ IJD IAD IDJ (2)
(1), (2) IKJ IAD AKHJ nội tiếp AHK AJK 90 hay KI AD
CÂU III:
1) Đặt cạnh hình vuông x MN//BC
MN AM x AM
BC AB a AB
MQ // AH
MQ BM x BM
AH AB h AB
x x AM BM 1 x ah
a h AB AB a h
2)
SMNPQ = x2 =
2 4 4
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
a h k k k k 2k
3
a h 2ah a 3a a 3.2k
a h h 2k 2 .h 2k k k 2k
2
4 4 4
(BĐT Cô – si cho số a
4 và h2; a2 = b2 + c2 ≥ 2bc = 2k2 ) MaxSMNPQ =
2 2k
9
2
a h a 2h
4 ABC vuông cân A. CÂU IV:
Giả sử n số bạch kim có chữ số, n dạng abc Cách 1: ta có : 100a + 10b + c = a2 + b2 + c2
dễ thấy 10b > b2
100a = 90a + 10a > c2 + a2 (Do c2 ≤ 81 < 90 ; a2 < 10a) nên không tồn n có nhiều chữ số
Cách 2: Ta có abc= 100a + 10b + c = a2 + (100 – a)a + 10b + c. 10b ≥ b2 ; 100 – a > 90 a ≥ (100 – a)a ≥ 90 > c2 Do đó: abc > a2 + b2 + c2
*Ta chứng minh số tự nhiên có nhiều chữ số số bạch kim
Đặt a a a1 k số tự nhiên có k chữ số với k ≥ 4, ≤ a1 ≤ 9, ≤ ≤ 9, với i = 2,k Ta có: a a a1 k = 10k-1.a1 + 10k-2.a2 + … + 10ak-1 + ak.
Với i = 2,k 1 10k-i.ai ≥ a2i (1)
Và 10k-1a1 = a12+ (10k-1 – a1)a1 >a12 + 990 > a12 a2k (vì k > 3) (2)
(1), (2) a a a1 k= 10k-1.a1 + 10k-2.a2 + … + 10ak-1 + ak > a12a a22 k2 Vậy số bạch kim có nhiều chữ số
n có chữ số chữ số
Với n số có chữ số : dễ nhận thấy n= (n = loại)
với n số có chữ số : có dạng ab= 10a + b = a2 + b2 ( 10 - a )a = ( b - )b Vi ( b - )b chẵn a chẵn
B C
A
I
E
D F
K
J
H
A N
M
Q
P
C H
(3)thử với giá trị a : , , , hai kết phép (10 – a)a : 16 24, nhận thấy khơng có giá trị b thỏa mãn Vậy có số bạch kim
CÂU V:
Theo giả thiết, ta có: D1 ≥ D2 ≥ D3 ≥ D4 ≥ D5 ≥ D6 (*) D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6
Tổng điểm đội kết thúc giải S = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 + D6 = D1 Tổng sồ trận 6.5 152
Tổng số điểm trận điểm (2đội Hòa) điểm (thắng – bại) , S ≥ 1.3 + 14 = 31 (có trận có kết thắng-bại - giả thiết: D1 thua trận nên có tối đa 14 trận hịa) D1 ≥ 31 10,33 D1 ≥ 11 ( 1)
D1 thua trận nên D1 ≤ 4.3 = 12 (D1 có khơng q trận thắng) (2) (1), (2) D1 = 11; 12
Mặt khác, 11 ≤ D1 = D2 + D3 ≤ 12 , D2 ≥ D3 nên D2 ≥ D3 ≤ (3)
11 ≤ D1 = D4 + D5 + D6 ≤ 12 D6 ≤ D4 + D5 + D6 ≤ 3D4 ≤ 3D3 D3 ≥ D4 ≥ 11 3,63 D6 ≤ 12:3 = D3 ≥ D4 ≥ D6 ≤
Gọi x, y, z tổng số trận thắng, hòa, bại đội Ta có x + y + z = 15.2 = 30 (do trận tính lần) x = z 2x + y = 30
Do trận thắng-bại có đội điểm, trận hòa đội điểm nên tổng điểm giải là: 3x + y = S hay 3x + y = 3D1 (vì S = 3D1)
* Nếu D1 = 11 ta có hệ :
2x y 30 x
3x y 33 y 24
Vậy có trận thắng, 24 trận hòa (4)
Do D1 = D2 + D3 D2 ≥ 6, D3 ≤ 6, ta viết 11 = + = +
Cả trường hợp có nghĩa D1 thắng 3, hịa 2(chú ý đội tham gia trận); D2 thắng trận, trận hịa thua D2 ≤ (mâu thuẫn D2 ≥ 6) Tổng số trận thắng giải (không thỏa (4))
Vậy D1 = 11 không thỏa * Nếu D1 = 12 ta có hệ:
2x y 30 x
3x y 36 y 18
Vậy có trận thắng, 18 trận hòa Do D1 = D2 + D3 ta viết 12 = + D1 = D2 + D3
12 = + t=4 t=1 t=1 h=0 h=3 h=3
Tổng trận thắng D1, D2, D3 tổng trận thắng đội D4, D5, D6 D4 ≤ D5 ≤ (**) Triển khai trường hợp theo tính chất (*), (3) (**)
D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6
* 12 = + = + + (a) t=4 t = t=1
h=0 h =3 h=3 h=5 h=5 h=2 b=1 b=1 b=1 b=3 * 12 = + = + + (b) t=4 t=1 t=1
h=0 h=3 h=3 h=5 h=4 h=3 b=1 b=1 b=1 b=1 b=2
* 12 = + = + + (c) t=4 t=1 t=1
(4)Xét trường hợp (b): x = 6; y = 18 ; z = (thỏa) Xét trường hợp (c) : x = 6; y = 18 ; z = (thỏa) Kết luận: D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6
12 = + = + + 12 = + = + +