Ta sẽ dùng các tính chất về mô đun của số phức để giải quyết bài toán.. Vậy, với công thức cồng kềnh như vậy rất khó nhớ, cho nên các em nên nhớ cách làm của nó.[r]
(1)Xem thêm tại: estudy.edu.vn
GIẢI NHANH GTLN-GTNN MÔ ĐUN SỐ PHỨC VỚI ELIP
Khi thấy giả thiết Elip khơng tắc: zz1 z z2 2a với (z1z2 2 )a 1,z2 ; ci
z c Tìm Min, Max P z z0 :
Tính z1z2 2c b2 a2c2 (2) Nếu thấy
0
2
z
z z maxPa; minPb
(3.1) Nếu thấy
1
0 2
z
z z
z a
z k z z
max z
P z z a
1
min
2
z
P z z a
(3.2) Nếu thấy
1
0 2
z
z z
z a
z k z z
max z
P z z a
(3.3) Nếu thấy z0z1 z0z2
1
min
2
z
P z z b
GIẢI THÍCH CỤ THỂ 1 Hình dạng thông số Elip
- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F F1, với độ dài F F1 2c Tập hợp điểm M mặt phẳng thoả mãn
1 MF2
MF a
(2)Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_
- Mối quan hệ a b c, , : a2 b2c2 2 Bài toán liên quan
Bài toán chung: Cho M chuyển động Elip ( )E điểm A cố định Tìm GTLN, GTNN AM
Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thoả mãn zz1 z z2 2a với
2a z z Tìm GTLN, GTNN P z z0
Sự tương ứng gồm: - M điểm biểu diễn z
- F F1, 2 tương ứng điểm biểu diễn z z1, 2 - A điểm biểu diễn z0
3 Các dạng giải được
Bài tốn Phương trình ( )E dạng tắc:
2 2
x y
a b
Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thoả mãn z c z c 2a
z ci z ci a (Elip đứng) Tìm GTLN, GTNN P z z0 Giải:
(3)Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_ - Lập phương trình tắc Elip:
2 2
x y
a b với z c z c 2a Hoặc
2 2
x y
b a
với z ci z ci 2a
- Rút y theo x dạng: b a2 a
y x
2 2
x y
a b (tương tự
2 2
x y
b a )
- Thay vào P
2
2 2
0
( ) b a x y , ;a
a
P xx x a
với z0 x0y0i
- Dùng chức TABLE máy tính cầm tay Casio tìm GTLN, GTNN hàm P2 từ có P
Ví dụ minh hoạ:
Cho số phức z thoả mãn z 2 z Tìm GTLN GTNN P z 3i
Giải: - Có a3,c2 b2 9 4 5
- Phương trình tắc Elip:
2
9
x y
9
3 x
y
- Vậy
2
2
1,2
3
1
3 x
P x f x
- Bấm TABLE hàm f1,2 x với x 3;3 GTLN, GTNN
P
Bài tốn Elip khơng tắc A trung điểm F F1 tức A tâm Elip.
Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thoả mãn zz1 z z2 2a với 2a z1z2 Tìm GTLN, GTNN P z z0 Với đặc điểm nhận dạng
1
2
z z
(4)Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_
Giải: - Tính 2c z1z2
2
z z
c
- Tính b2 a2c2 b a2c2
- Vì A tâm Elip M di chuyển Elip nên: + AM lớn a hay maxPa + AM nhỏ b hay minPb
Ví dụ minh hoạ:
Cho số phức z thoả mãn z 1 3i z i Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2
P z i
Giải: Ta có P 2z 1 2i
2
P
z i
Ta cần tìm GTLN, GTNN '
P z i
Ta thấy z1 1 3i, z2 2 i 0
z i Do
2
z
z z
- Tính 2c z1z2 5
5
c
; 2a 8 a 4 Vậy 16 25 39
4
(5)Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_ Vậy max 'P 4 ; ' 39
2
P Do maxP8 minP 39
Bài tốn Elip khơng có dạng tắc, A không trung điểm F F1 2 A nằm trên trục Elip
Bài toán 3.1 A nằm trục lớn phía ngồi Elip:
- Dấu hiệu nhận biết: 2 2
z z
z z
z k z
z z a
- Thì
0 max
2
z z
P z a
0
2
z z
P z a
Bài toán 3.2 A nằm trục lớn phía Elip:
- Dấu hiệu nhận biết: 2 2
z z
z z
z k z
z z a
- Thì
0 max
2
z z
P z a Cịn GTNN khơng xác định nhanh Bài toán 3.3 A nằm trục nhỏ (bất kể hay ngoài) Elip:
(6)Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_
- Thì
0
2
z z
P z b Cịn GTLN khơng xác định nhanh Ví dụ minh hoạ:
Cho số phức z thoả mãn: z i z 3i 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
P z i
Giải:
z i F1(0;1); z2 3 3i F2(3; 3) ; z0 6 7i A(6; 7) I trung điểm
F F ( ; 1)3
2
z
I z
Có z0 z1 8i; z0 z2 3 4i z0z12z0z2 Vậy A thuộc F F1 Mặt khác z0z1 z0z2 10 5 6 Vậy A nằm Elip
Vậy maxP AIa
2
z
z z a
21
2
; minPAI a
0
z
z z a
2
Bấm máy: Thấy a3
- Gán z0 vào A; z1 vào B z2 vào C - Kiểm tra A, B, C thẳng hàng: A B k
A C
- Kiểm tra A nằm Elip: A B A C 6
- Bấm max
2
B C
P A ; max
2
B C
P A
ELIP SUY BIẾN
Bài toán: Cho số phức z thoả mãn: zz1 z z2 2a có z1z2 2a Tìm GTLN, GTNN T z z0
(7)Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_ - Bài toán tương đương với tốn hình học: MF1MF2 F F1 Tìm GTLN, GTNN
T AM
- Giả thiết MF1MF2 F F1 2tương đương với M di chuyển đoạn thẳng F F1 Do đó: + Viết phương trình đường thẳng F F1 2 với x[x ;1 x2] (ở x x1, 2 hoành độ F F1, 2)
+ Rút y theo x từ phương trình F F1 2 vào T T f x( ) với x[x ;1 x2] + Tìm GTLN, GTNN f x( ) đoạn x[x ;1 x2]
Ví dụ minh hoạ
Cho số phức z thoả mãn z 2 i z 7i 10 Tìm GTLN, GTNN P z 4i
Giải
Với quy ước từ ban đầu, có F1( 2;1) , F2(4; 7) A(1;4) M điểm biểu diễn z Có F F1 10 z 2 i z 7i 10 M thuộc đoạn thẳng F F1
Có F F1 2 (6; 8) nên phương trình tham số F F1 2:
x t
y t
Với x [ 2; 4]
[0; 2]
t
Có P2 x1 2 y42 3t3 2 4t32 25t2 6t 18 với t [0; 2] Khảo sát hàm f t( )25t2 6t 18 [0; 2] GTNN f t( ) 18, GTLN 130
(8)GTLN-GTNN CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC KHÔNG ELIP Thầy Lục Trí Tuyên – ĐT: 0972177717
Ngõ 20, Hồ Tùng Mậu, Cầu Giấy, Hà Nội Website: https://estudy.edu.vn
1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA
Cho số phức z a bi, mô đun z ký hiệu z tính 2
| |z a b Mỗi số phức z a bi biểu diễn điểm M a b( ; ) hay OM
Mỗi số phức z a bi coi vecto u( ; )a b
Tổng (hiệu) hai số phức tổng (hiệu) hai vecto
| | |z u|
2 TÍNH CHẤT:
z zz ; z2 u2; z z1 2 z z1 2 ;
1
2
z z
z z ; z z ;
n n
z z ;
z1 z2 z1z2 Dấu “=” xảy z1 k z 2 (k 0)
z1z2 z1 z2 Dấu “=” xảy z1k z 2 (k 0)
Cho M N, biểu diễn hai số phức z z1, 2, MN z1z2
M biểu diễn z I biểu diễn z0 zz0 R M thuộc đường trịn tâm I bán kính
R
M biểu diễn z, F1 biểu diễn z1 F2 biểu diễn z2 zz1 z z2 M thuộc
đường trung trực F F1 2
3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÁP DỤNG
Dạng 1: Tìm z z thoả mãn phương trình z f (| |)z g z(| |) nghĩa phương trình bậc ẩn z chứa z
Cách giải
+ Nhận biết: Phương trình cho có bậc với z đứng nhiều nơi, lại
(9)+ Nhóm z sang vế đưa dạng: z f (| |)z g z(| |) (*)
+ Lấy mơ đun hai vế (*) sử dụng tính chất z z1 z z1 phương trình ẩn z
+ Giải phương trình z
+ Thế z trở lại (*) giải z
VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 1: Cho số phức z khác thỏa mãn z 3z.z 1 z26iz
Hướng dẫn: Ta thấy phương trình có bậc với z, cịn lại z (chú ý z z z2) Vậy dạng tốn tìm hiểu!
Chuyển hết z sang vế ta được: z 3z216 z i2z (*)
Lấy mô đun vế (*) ta được: z (3 z21) 36 z2 2z 39 z2 1 (do z0)
1 13
z
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn (2 i z) 10 2i z
Tìm z
Hướng dẫn: Điều kiện z0, quy đồng ta (2i z z) 10 z 2iz
2 z z i z 10
2 2
2 z z z 10
5z45 z2 10 z 1
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 4 (1 i z) (4 )z i Tìm z
2
z
z z1 3 i z 4 z 4i
Lấy mô đun vế, suy z 10 z 4 2 z 42 10z2 2 z232 z 2
Ví dụ 4: Tìm z biết (1 i z) i
z
Đáp số:
(10)Đáp số: z 1
Hướng dẫn: Quy đồng dồn z vế ta (1i z z) 1 z z i Lấy mô đun vế ta z2 1 2 z2 z2 2z4 5 z24 z 1 (chú ý z 0 )
Nhẩm thấy phương trình có nghiệm z 1, phương trình bậc cịn lại vơ nghiệm với z 0
Dạng 2: Cho |z1|m, |z2|n |az1bz2 | p tính q|cz1dz2|
Cách giải
Coi z1u z2 v
2 2
| |
u u m , 2
| |
v v n (aubv)2 p2 ; (cudv)2 p2 Khai triển:
2 2 2
2
a b n
p m ab uv (1)
2 2 2
2
c d n
q m cd uv (1)
uv
cd ab
2 2 2 2 2
cd p ab q cd a m b n ab c m d n
2 2
( ) ( )
cd p ab q acm ad bc bdn bc ad
2 2
( )( )
cd p ab q ad bc acm bdn
Đặc biệt: Khi a b c d 1, ta có cơng thức hình bình hành
2 2
1 2
2 z z z z z z
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: cho số phức thỏa mãn z1 1 ; z2 3 z13z2 2 Tính P 2z13z2 241
P
1,
z z vector u v, ta có:
2
4 z z z129 z2 26u.v (1)
Bây khử xong:
Nhân (1) với nhân (2) với trừ đi, được:
Đáp số:
(11)2 2
1 2
2 12
P z z z z u v (2)
Nhân (1) với cộng với (2) ta được: 8P2 6 z1227 z2
2
241 P
P 241
Ví dụ 2: Cho hai số phức z z1, thỏa mãn z1z2 5 z1z2 3 Tìm GTLN
P z z
Đáp số : maxP 34
Hướng dẫn: coi số phức z z1, 2 vector u v, ta có:
2 2
25 z z 2 uv (1) 9 z12 z222u.v (2) Cộng (1) với (2) 342z12 z22 Mặt khác, theo bất đẳng thức BNC, ta có P2 z1 z22 2z12 z22 P2 34
34
P
Ví dụ 3: Cho hai số phức z z1, thỏa mãn z12z2 5 3z1z2 3 Tìm GTLN
P z z
Đáp số: max 155 14
P
Hướng dẫn: coi số phức z z1, vector u v, ta có:
2
1
25 z 4 z 4u.v (1) 99 z12 z226u v (2) Nhân (1) với nhân (2) với
cộng lại ta có: 9321 2
Bây áp dụng bất đẳng thức BNC cho P2 :
2
2
1
P z z
2
1
1
21 14
21 z 14 z
2
1 14 1
21
21 14 z z
155 14
155 14
P
Dạng 3. Cho số phức z thỏa mãn zz0 R Tìm GTLN Pa zz1 b zz2 biết
0 z1 z2
z k z , k 0 a b,
1 14
(12)Cách giải
Ý nghĩa hình học: Cho điểm M chuyển động đường trịn tâm I bán kính R Cho A, B
điểm cố định thỏa mãn I nằm đoạn thẳng AB Tìm giá trị lớn PaMA bMB
Trừ I trung điểm AB, khơng sử dụng hình học để giải nhiệm vụ không dễ dàng Ta dùng tính chất mơ đun số phức để giải tốn Ta có:
2
1 0
zz z z z z
2
0 z1 ( )
z z u
z kv
(1)
2
0
2
zz z z z z z z02 z0z222u v (2)
với u vector biểu diễn zz0 v vector biểu diễn z0z2 với lưu ý z0z1 k z 0z2
Nhân (2) với k cộng với (1) ta được:
2
1
zz k zz 2
0
(1k) R k z z (không đổi)
Ap dụng bất đẳng thức BNC cho P2, ta có:
2
2
1
P a zz b zz
2
1
b
a z z k z z
k
2
2
2
1
b
k
a z z z z
k
2 2 2 2
0 (1 )
b
P a k R k z z
k
Vậy, với công thức cồng kềnh khó nhớ, em nên nhớ cách làm
(13)Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm GTLN T z i z i
Đáp số: maxT 4
Hướng dẫn: Tâm I đường tròn giải thiết z0 1, bán kính r Điểm A B ứng với hai số phức z1 i z2 2 i Dễ thấy z0z1 z0z2 Vậy chí I trung điểm AB Ta có:
2
1
zi z i z 12 i2 2u v (1)
2
2 1
z i z i z 12 i2 2u v (2) Với u v, biểu diễn z1 1i Cộng (1) với (2) ta được:
2 2
2
z i z i z 8 (không đổi) Áp dụng BNC:
2
2
2
T z i z i 2zi2 z i2 16 T 4
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tìm GTLN T z z 6i
Đáp số: maxT 3 Hướng dẫn: Ta có
2
1 2
z z i i z 2i2 1 2i22u.v (1)
2
3 2
z i z i i z 2i24 2 i24u.v (2) Với u v, biểu diễn z 1 2i 1 2 i
2
2 z z 6i z 1 2i26 2 i2 12 30 42
Áp dụng bất đẳng thức BNC:
2
2
3
T z z i
2
2
2 z z i
2
1
1
2 z z i
63 T
và
(14)Dạng 4. Cho số phức z thõa mãn
z z k
z
, (k 0) hay dạng tương đương
2
z z k z , (
0
k ) Tìm GTLN, GTNN T z
Cách giải
Áp dụng bất đẳng thức z1 z2 z1z2 , ta có
2 2
0 z0
z z z Mặt khác,
2
z z k z
2
z z k z
0
z
z k z
k z 2 0
z k z z
k z z z 2 0 4 2
k k z k
z k z
Đánh giá lần hàm biến đảm bảo dấu “=”
xảy Tôi không giải chi tiết
Vậy
2
min
2
k k z
T
2 max k z k
T
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 4i
z
Gọi M m, GTLN GTNN z
Tính T Mm
Đáp số: T 2
Hướng dẫn: z 4i
z
4
z i z
Áp dụng bất đẳng thức z1 z2 z1z2 , ta có
2 2
4 z
z i 2 z z2 4 z 1 5 z 1 Vậy M 1 m 1 Do T 2
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn (1i z) 21 2 i z Tìm GTLN, GTNN T z
Hướng dẫn: Ta đưa dạng quen thuộc cách chia hai vế cho 1i , ta
(15)Áp dụng bất đẳng thức z1 z2 z1z2 , ta có
2 2
i z
i
z z
2 10
z z
z
1 10 z 1 2 10
Vậy maxT 1 10 minT 1 10
Dạng 5. Cho số phức z thỏa mãn z z1 z2 k Tìm GTLN, GTNN T z z0
Cách giải
Ý nghĩa hình học: Gọi M điểm biểu diễn z, có z z1 z2 k
2 1
z k
z
z z
IM R với
I biểu diễn
1
z
z 1
k R
z
Vậy M chuyển động đường tròn tâm I bán kính R Gọi A
điểm biểu diễn z0 T AM Bài tốn trở thành: “cho M di chuyển đường tròn tâm I
bán kính R A điểm cố định Tìm GTLN, GTNN AM”
Như vậy, nhìn vào hình vẽ ta thấy ngay:
minT AI R
1
z k
z
z z
1
z z z k
z
2
1
z k
z
z z
1
z z z k
z
0
z vào phương trình đường trịn
Lưu ý:Khơng phải phương trình đường trịn có dạng z z1 z2 k 0, mà đơi dạng
1
z zz z zz với z1 z2 Do đó, để kiểm tra điều
kiện giả thiết phương trình đường trịn hay đường
thẳng trường hợp lạ, cách tốt gọi z x yi thay vào giả thiết để biết ( ; )x y thỏa mãn
maxT AIR
(16)VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 Tìm GTLN GTNN T z i
Đáp số: minP 4 13 maxP 4 13
Hướng dẫn: Viết T dạng T z z0 z0 1 i Thay vào phương trình đầu ta 2
z i i
Vậy minP 4 13 maxP 4 13
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 2iz 1 3i 1 Tính GTLN, GTNN T z 3i
Đáp số: 2
P m x
2 a P 2
Hướng dẫn: Viết T dạng T z z0 z0 2 3i Thay z0 vào 2iz 1 3i ta
2iz 1 3i 7 i
Vậy 2
P m x
2 a P 2
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn 2z 1 z 2i Tìm GTLN, GTNN T z 2i
Đáp số: minT 65 11
3
maxT 65 11
3
Hướng dẫn: Gọi z x yi (x y, ), M x y( ; ) biểu diễn z 2z 1 z 2i
2 2 2 2x 2y x y
2
3x 3y 4x 4y
2 2
1
3
x y x y
Vậy M nằm đường tròn tâm 1;
3
I
bán kính
11
R
Có T z 2i AM với A( 1; 2)
Vậy minT AIR 65 11
3
maxT AIR 65 11
3
(17)Dạng 6. Cho số phức z thỏa mãn zz1 z z2 Tìm GTNN T z z0
Cách giải
Ý nghĩa hình học: Điều kiện zz1 z z2 thực chất
là phương trình đường thẳng
Nếu ta gọi M điểm biểu diễn z, A điểm biểu diễn z1 B biểu diễn z2 giả thiết tương đương với
MAMA hay M nằm trung trực AB Gọi I
là điểm biểu diễn z0 T IM
Vậy IM nhỏ M hình chiếu vng góc
I lên d Giá trị nhỏ minT d I d ,
Lưu ý: Không phải phương trình đường thẳng có dạng zz1 z z2 ,
gặp giả thiết lạ, cách tốt để nhận biết giả thiết đường thẳng hay đường tròn gọi
z x yi thay vào phương trình
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z i z 2i Tìm GTNN z
Đáp số:
z
Hướng dẫn: Gọi z x yi M x y( ; ) điểm biểu diễn z Từ z i z 2i
2
(x 1) (y 1)
2
( 2)
x y
x y (d) Vậy M di chuyển (d)
Có z OM , z nhỏ ( ; )
2
d O d
z 3 z 1 3 i
1
T z i
Đáp số: minT 3
z i
(18)Hướng dẫn: Gọi z x yi, ta có 3 z 1 3 i (x 3) (y1)i(x 1) ( y 3)i Tích có phần ảo x3 y 3 y1x1 Phần ảo
3x 3y x y
x y (d) Vậy gọi M điểm biểu diễn z M chạy đường thẳng (d)
Gọi A(1; 1) điểm biểu diễn 1 i T AM Giá trị T nhỏ khoảng cách từ A
đến (d) Vậy 1
2
T
Dạng 7. Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z1* R z2z2* z2z3* , với z z z1*, *2, 3* cho trước Tìm GTNN T z1z2
Cách giải
Ý nghĩa hình học: Gọi M, N điểm biểu diễn z z1, 2 Giả thiết z1z1* Rtương đương với M thuộc đường trịn tâm I bán kính R (gọi đường tròn (C)) Giả thiết z2z*2 z2z3* tương đương với N thuộc đường thẳng (d) Bài tốn trở thành tìm M thuộc (C) N
thuộc (d) cho T MN ngắn
Từ hình vẽ ta thấy giá trị nhỏ
MN d I d( ,( ))R
Vậy minT d I d ,( )R
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hai số phức z z1, thỏa mãn z1 5 z2 1 3i z2 3 6i Tìm giá trị nhỏ
nhất T z1z2
Đáp số:
(19)Hướng dẫn: : Gọi M, N điểm biểu diễn z z1, Giả thiết z1 5 tương đương M thuộc
đường trịn tâm I( 5;0) bán kính R5 Giả thiết z2 1 3i z2 3 6i N thuộc đường
thẳng (d): 8x6y350 Vậy minMN d I d( ,( ))R 15 5
2
Ví dụ 2: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 4 3i 2 z2 2 3i z2 1 2i Tìm giá trị
nhỏ T z1z2
Đáp số: 23 34 34
MN
Hướng dẫn: Gọi M, N điểm biểu diễn z z1, Giả thiết z1 4 3i 2 tương đương M
thuộc đường trịn tâm I( 4;3) bán kính R2 Giả thiết z2 2 3i z2 1 2i N thuộc
đường thẳng (d): 3x5y 4 Vậy minMN d I d( ,( ))R 23
34
23 34
34
Lời kết:
( ) T f x ( )
f x f x( )
Các tốn giải phương pháp đại số cách rút ẩn theo ẩn
lại từ giả thiết để thay vào biểu thức cần đánh giá thành hàm số dạng Sau
tìm GTLN, GTNN miền xác định
Các đánh giá đảm bảo chặt chẽ cần chứng tỏ có đẳng thức (dấu “=”) xảy Để tránh
: