[r]
(1)i-Đặt vấn đề 1-Cơ sở lí luận
Trong chơng trình số học 6, học sinh biết đến khái niệm ớc chung lớn (ƯCLN) bội chung nhỏ (BCNN) , ứng dụng chúng học sinh biết phần nhỏ việc giải tập rút gọn phân số hay quy đồng mãu nhiều phân số…Trong UCLN BCNN có vai trị quan trọng việc giải tập tìm hai số nguyên dơngkhi biết số yếu tố có kiện UCLN BCNN ,các tập tìm số, tập giải…
Do để học sinh hiểu sâu ứng dụng UCLN BCNN việc giải toán đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh đa số ứng dụng UCLN BCNN giải tốn Đó tìm hai số nguyên dơng biết số yếu tố có UCLN BCNN
2-C¬ së thùc tiƠn.
Trong q trình dạy bồi dỡng học sinh giỏi nhận thấy học sinh cịn bỡ ngỡ gặp số tốn có liên quan đến việc tìm số chẳng hạn:
-Tìm hai số nguyên dơng a,b biết: tích UCLN (BCNN) -Tìm hai số nguyên dơng a,b biết:ka+lb=m UCLN(BCNN) -Tìm hai số nguyên dơng a,b biết:UCLN BCNN
-Tìm hai số nguyên dơng a,b biết:m.UCLN+n.BCNN=k p.a+q.b=m
Cho nên để giúp em làm quen , với dạng toán nh tạo hớng việc giải tập toán liên quan đến UCLN BCNN tơi xin đa số ví dụ phơng pháp giải
II-Néi dung 1-Ph¬ng ph¸p chung:
1.1-dựa vào định nghĩa UCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với yếu tố cho để tìm hai số
1.2-Trong số trờng hợp sử dụng mối quan hệ đặc biệt UCLN ,BCNN tích hai số nguyên dơng a,b ,đó là:
a.b=(a,b).[a,b], (a,b) UCLN [a,b] BCNN a b Ta chứng minh hệ thức nh sau :
Theo định nghĩa UCLN , gọi d=(a,b) ⇒ a=a1.d; b=b1d với a1,b1 Z+; (a1,b1)=1 (*)
Tõ (*) suy ab=a1b1d2;[a,b]=a1b1d ⇒ (a,b).[a,b]=d(a1b1d)=a1b1d2=ab ⇒ ab= (a,b)[a,b] (**)
2-Mét sè vÝ dơ minh ho¹ :
Bài toán 1:
Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : [a,b]=900 (a,b)=10
Lời giải:
Do vai trò a,b nh , không tính tổng quát ,giả sử ab Từ (*) , (a,b)=10 nªn a=10a1;b=10b1 ,a1 b1 (do ab )
Với a1,b1 Z+ ; (a1,,b1)=1 Theo định nghĩa BCNN: [a,b]=a1b1d=a1b110=900
(2)a1=1, b1=90
¿
¿ a1=2, b1=45 ¿ a1=5, b1=18
¿ a1=9, b1=10
¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿
⇒¿
a=10,
b=900 ¿
¿ a=20, b=450 ¿ a=50, b=180 ¿ a=90, b=100
¿ ¿ ¿
¿
Bài toán 2:
Tìm số nguyên dơng a,b biết ab=24300 (a,b)=45 Lời giải:
Lập luân nh 1,giả sử ab;
Do (a,b)=45 ⇒ a=45 a1,b=45b1 víi a1,b1Z+,(a1,b1)=1;a1b1 V× vËy ab=45a1.45b1=2025a1b1 ⇒ ab=24300 ⇒ a1b1=12;
a1=1;b1=12 a1=3b1=4
⇒¿
¿
a=45;b=540
a=135;b=180 ¿ ⇒¿
Bài toán :Tìm hai số nguyên dơng a,b biết ab =4320 Và BCNN(a,b)=360
Lời giải:
T (**) ⇒ (a,b)=12,bài toán đợc đa dạng toán 2: Kết quả:
a=12; b=360
a=24; b=180
a=36; b=120
a=60; b=72
Bài toán 4:
Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : a
b =2.6 (a,b)=5; Lời giải:
Theo (*), (a,b)=5 ⇒ a=5a1;b=5b1;víi a1,b1 Z+,(a1,b1)=1; V× vËy : a
b =
a1 b1
=2.6 ⇒ a1
b1
= 13 ⇔{a1=13
b1=5 ⇔{
a=65
b=25
chú ý:Phân số tơng ứng với 2.6 phải chọn phân số tối giản (a1,b1)=1; Bài toán 5:
Tìm a,b biết : a b =
4
5 vµ [a,b]=140 Lêi giải :
Đặt (a,b)=d a b =
4
5 , mặt khác (4,5)=1 nên a=4d ;b=5d Lu ý :[a,b] = 4.5.d = 20d = 140
(3)Tìm hai số nguyên dơng a, b biết :a+b=84 (a,b) = Lời giải:
Giả sư ab Do (a,b) = nªn a=6a1;b=6b1; víi a1,b1 Z+,(a1,b1)=1;a1b1. V× vËy : a+b = 84 ⇔ 6(a1+b1) = 84 ⇔ a1+b1=14
a1=1 ; b1=13
a1=3 ; b1=11 a1=5 ; b1=9
⇔¿
a=6 ; b=78
a=18 ; b=66
a=30 ; b=54
Bài toán 7:
Tìm a, b biÕt a+ b = 42 vµ [a,b] =72 Lêi gi¶i :
Gäi d=(a,b) ⇒ a=a1d; b=b1d víi a1,b1Z+,(a1,b1)=1. Không tính tổng quát giả sử ab a1b1
Do a+b =d (a1+b1) = 42 (1) [a,b]=a1b1d=72 (2)
⇒ d lµ UC(42,72)
⇒ d {1,2,3,6}.
Lầ lợt thay giá trị d vào (1) và(2) để tính a1, b1 ta thấy có trờng hợp :
d = {a1+b1=7 a1b1=12
{a1=3 b1=4 (thoả mÃn điều kiƯn cđa a1,b1)
vËy d = vµ {a=18 b=24
Bài toán 8:
Tìm a, b biết a-b =7,[a,b]=140 Lêi gi¶i:
Gọi d=(a,b) ⇒ a=a1d; b=b1d với a1,b1Z+,(a1,b1)=1. Do a-b=d(a1-b1)=7 (1’)
[a,b]=a1b1d=140 (2’)
⇒ d {1,7}
thay lầnn lợt gí trị d vào (1’) (2’) để tính a1, b1 ta đợc kết :
d=7 ⇒{a1−b1=1
a1b1=20 ⇒{
a1=5
b1=4
vËy d= vµ {a=35 b=28
(4)Tìm hai số nguyên dơng biết :
a+2b=48 ƯCLN(a,b)+3BCNN(a,b)=114 lời giải:
gäi d=(a,b) ⇒ a=a1d; b=b1d víi a1,b1Z+,(a1,b1)=1.
⇒ [a,b]=a1b1d
tõ a+2b=48 ⇒ d(a1+2b1)=48 ⇒ 48d (3) Tõ (a,b)+3[a,b]=114 ⇒ d+3da1b1=114
⇒ d(1+3a1b1)=114 ⇒ 114d (4)
Tõ (3) vµ (4) Suy d lµ íc chung 48 114 hay d (1,2,3,6) Mặt khác d(1+3a1b1)=114 ⇔ d(1+3a1b1)=3.38 ⇒ d3 (theo tÝnh
chÊt chia hÕt cđa mét tỉng) ⇒ d=3 hc d=6
Thay d=3 d=6 lần lợt vào d(1+3a1b1)=114 d(a1+2b1)=48 Ta tỡm c a,b
Đáp số
a 36 12 b 18
III –KÕt luËn
Trên số toán nh phơng pháp giải tốn mà thân tơi tích luỹ đợc qua việc bồi dỡng học sinh giỏi, mong đợc góp ý chân thành bạn đọc nh tất anh chị em giáo viên ngành để sáng kiến ngày tốt