Ôn tập 12 TN phần Hàm số mũ và logarit

HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGÁIT I.Kiến thức1. Phương trình và bất phương trình mũ và lôgarít a..[r]

HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGÁIT I.Kiến thức

1. Lũy thừa: thua so a .

n n

a   a a a

0 1

a 1; n n

a a 

 

m n

a n am

 ;a>0 2 Lơgarít :

Cho 0<a1 x1;x2>0 ta có;

a.log (a x x1 2) log a x1loga x2 b

1

1 2

2

loga x loga x loga x x; 0

x   

c.logax log ;a x x o





  d.

log log

log

a b

a

x x

b



Hệ quả:

1 log

log

a

b

b

a



1 log loga

a x x

 

3. Đạo hàm hàm số mũ lơgarít

Hàm số thường gặp Hàm số hợp

1

2 1.( )'

2.( )' ln 1 3.(ln )'

1 4.(log )'

ln 5.( )'

1 1

6.( )' ;( )

2 7.(sinx)'=cosx

8.(cosx)'=-sinx 1 9.(tanx)'=

cos -1 10.(cotx)'=

sin

x x

x x

a

n

n n

e e

a a a

x x x

x a

x x

x x

x n x

x x

 

 



 



 

 

1

2 1.( )' '

2.( )' ' ln ' 3.(ln )'

' 4.(log )'

ln

5.( )' '

' '

6.( )' ;( )

2 7.(sinu)'=u'cosu

8.(cosu)'=-u'sinx u 9.(tanu)'=

cos -u' 10.(cotu)'=

sin

u u

u u

a

n

n n

e u e

a u a a

u u

u u u

u a

u u u

u u

u u

u n u

u u

 

 



 



 

 

( ) ( ) a

( ) ( ) (0<a 1) ( ) ( ) log ( ) log ( )

( ) hoac ( ) 0

f x g x

a

a a f x g x

f x g x

f x g x

f x g x

   

 

  

 



b Bất phương trình

Nếu a>1 af x( ) ag x( )  f x( )g x( ) Nếu 0<a<1 af x( ) ag x( )  f x( )g x( ) Nếu a>1

a

( ) 0 log ( ) log ( )

( ) ( )

a

g x

f x g x

f x g x

 

  

 

Nếu 0<a<1 a

f ( ) 0 log ( ) log ( )

( ) ( )

a

x

f x g x

f x g x

 

  

 

II BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Đơn giản biểu thức

a

4

1

3

4

3

3 a-1

b.B= . . 1 1

a

a b ab a a

A a

a b a a

 

 

  

c

1 1

1 -1

1 1

1

( ax )( )

4

a x a x

C xa

a x a x

   



   

 

  

 

Bài 2: Tính giá trị biểu thức a

2

7

1 1log 4

log

(81 25).49

A   b

1

log 3log 25 log 2

16 4

B  

 

c.Clog 6.log 9.log 23 Bài Rút gọn biểu thức

a

3 5

4 16 64 log

2 A

b

3 1

loga

B a a

a



c

5 b a b3

C

a b a



Bài 4: Tìm tập xác định hàm số sau

a

3 1

ln( 1)

2 x y

x



 

 b.

2

2x 3x 1

y e  

 

c

2

log ( 2 ) 1

y  x  x 

a.y (x2  2x3)ex b

lnx y

x



c

x x

x x

e e

y

e e

 

 

 d.y x 2ln x2 1

Bài Chứng minh hàm số sau thỏa mãn hệ thức cho ay e sinx y c' osx-ysinx-y''=0

b y e c x osx 2y'-2y-y''=0

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau

a  

2 4 2

2x x ; 3;1

y  

  b.y 2x1 2 ; 1;33x  

  

c

2

sin os 5 x 5c x

y   d. 22

x x

y 

Bài 9: Giải phương trình sau

a 4x1 6.2x1 8 0 b.5x1 53x 26 c.( 7 48 )x( 7 48 )x 14 d 9x6x 2.4x Bài 10 Giải bất phương trình sau.

a.6.4x  13.6x 6.9x 0 b.4x12x1 2x2 12

c 9x 2.3x3

Bài 11: giải phương trình sau

a.log (2 x 5) log ( x2) 3 b log x4log4 xlog8 x13 c

1 2

1 5 lg x 1 lg x 

Bài 12: Giải phương trình

a.log (22 x 1)2 log (2 x 1)3 7 b.3log 16 4logx  16x2log2 x c.log2x 5log2x6 0 d.

7

log log 0

6

x  x 

III ĐÁP ÁN

Bài 1: a

1 3 1 3

( )

ab a b

A ab

a b



 



3 1

4

4

4

3

a-1 ( 1)( 1)( )

b.B= . . 1 1

1

a ( )( 1)

( 1) 1

a a a a a a

a a

a a a a

a a

   

  



  

2 2 2

2

2 2

1 1 ( ) ( )

. ( )( ) ( )

4 ax 4 ax

1 2( )

4 ax 2ax

x a x a x a x a x a x a

c C

x a x a x a

x a x a

                 Bài 2: a 1

log log 2

(81 25).49

A  

2

7

1

log log 2

(81  25).(7 )

  =

1 1

2

4

(81  25).2 (81 25).4

1 2704 25 4 27 27         b

1log 3log 25 log 2

16 4

B  

 

1

log

log 2

16.16 4 

 

=

2

1log 3

log 2

16(4 ) 4 4 16.5 4 12688

c.Clog 6.log 9.log 23

2

3 2

log 6.log 2.log 3

 2

2

log log 3 3



3

2 2

log 2.log 3

3 3   Bài 3: a 5

4 16 64 log

2 A

4 23

1

2 5

5

2 2 2 2 2

log log

2 2

  2

3 5

log 2   

 13 13 log 2 3   b 1 loga

B a a

a



1 1 1 12 log ( ( ) a a a )

a



1 1

3 12 1

log ( . ) log

4

a a a a aa



  

c

5 b a b3

C

a b a



1 1

5 15 30

.

b a b

a b a

     

     

      

1 1

5 15 30

.

b b b b

a a a a

                          Bài 4: a.Đk 1

3 1 2 1

1 0 0 2

2 2 2

x

x x

x x x

              

 Vậy Txđ  

1

; 2;

2

D      

b.ĐK

2

2x 3x 1 0 2x 3x 1

e   e  

   

2

1

2 3 1 0 2

1 x

x x

x

  

    

 

 Vậy Txđ

 

1

; 1;

2

D    

 

c.ĐKlog (2 x2 2 ) 0x    log (2 x2 2 ) log 2x  

2 2 2 2 2 0 2 2 0 1 3

1 3

x

x x x x x x

x

  

             

  

Vậy Txđ D     ;1 3  1 3; Bài 5

a.Ta có log 27 log 35  33log 35  b 30

5 5

1 1 1

log 5

log 30 log (6.5) log log 5

  

 5 5

1 1

log log 1 a b 1

 

   

b.Ta có log 392 log (2 ) 3log 2log 73  3   a log 112 log (2 7) 4log log 73    b

Từ ta có hệ

3

3

3log 2log 7 4log log 7

a b

 

 

 



3

3 2 log 2

5

4 3

log 7

5 b a

a b

 

 

  



 

 

Bài 6

y(x2  2x3)ex  y' (2 x 2)ex (x2 2x3)ex (x21)ex

b

lnx y

x

 2 2

1

1.ln 1 ln

x x x

x

x x





c

x x

x x

e e

y

e e

 

 



     

 2

'

x x x x x x x x

x x

e e e e e e e e

y

e e

   



    

 



   

   

2

2

4

x x x x

x x x x

e e e e

e e e e

 

 

  

 

 

d 2ln 1

y x x 

2

2

2

( 1)'

' ln 1

1 x

y x x x

x



   



3

2

2 ln 1

1 x

x x

x

  



Bài 7

sinx sinx

. ' osx

a y e  y c e  y'' sinx esinx cos 2x esinx

Ta có y c' osx-ysinx-y''=cos 2x esinx  sinx.esinx  sinx.esinx  cos 2x esinx 0 Vậy y c' osx-ysinx-y''=0

b.y e c x osx  y'e cx osx-sinx.ex

x x x x

'' x osx-sinx.e osx.e sinx.e 2sinx.e

y e c c

    

Ta có2y'-2y-y'' 2( osx-sinx.e ) osx.ee cx x  c x 2sinx.ex 0 Vậy 2y'-2y-y''=0

Bài 8

a  

2 4 2

2x x ; 3;1

y  

  Ta có y' (2 x4)2x24x2ln 2  y' 0  x2

Ta có  

1 1

(1) 128; ( 3) ; 2

2 4

f  f   f  

 3;1    3;1  

1

axf(x) 1 128; f(x) 2

4

x x

M f Min f

   

    

b

 

1

2x 2 ; 1;3x

y  

  

Ta có D=R ;  

' 2x 2 x ln 2

y     1 3

' 0 2x 2 x 2

y   x

     

65

( 1) ; (2) 4; (3) 5 24

f   f  f 

Vậy  

 

   

1;3 1;3

65

axf(x) 1 ; f(x) 2 4

4

x x

M f Min f

   

c

2

sin os 5 x 5c x

y   sin2 1-sin2

5 x 5 x

 

Đặt tsin2x (0 t 1) 

 

1

( ) 5t 5 ;t 0;1 '( ) (5t 5 )ln5t

g t    t  g t    '( ) 0 1

2

g t t

   

 0 6; (1) 6; ( ) 51 2

g  g  g 

2

sin 0

axf(x)=6

2

sin 1 2

x k

x k

M x

x k

x



 

 



 



  



   

 

2 1

f(x) 25 khi sin os2x=0 x=

2 4 2

x R

k

Min x c  



     

d

2

2 2

x x

y  

Txđ D=R

2

2

2

2 1

' 2 ln 2

2 1

x x

x y

x



 





2

2 1

' 0 0

2 1

x y

x

 

   



1 2 x

 

lim 1; lim 1

x  y  x y

Bảng biến thiên:

x

  1

2



1

2 

y’ - + -y

1 2

2

2 1

4 1

Max ( ) 2

2

x R y f  ;

2 1

Min ( ) 2

2

x R y f







 

Bài

a 4x1 6.2x1 8 0  (2 )x1 2 6.2x1  8 0 Đặt t=2x1 đk t>0

Ta có t2 6t 8 0

2 4 t t

 

  

Với t=2 ta có2x1=2 x0 Với t=4 ta có2x1=4 x1 b.5x153x 26

5 125

26 0

5 5

x x

   

Đặt t5 ;x t 0 Ta có

2 125

26 0 26 125 0

5 5

t t

t t

      

125 5 t t

 

  



Với t=125 ta có 5x 125 x 3 Với t=5 ta có 5x  5 x1

c.( 7 48 )x( 7 48 )x 14 Ta có ( 7 48 ) ( 7x  48 )x 1

Đặt

1 ( 7 48 ) ;(x 0) ( 7 48 )x

t t

t

     

Pttt 1

14 t

t

 

2 14 1 0 7 48

7 48 t

t t

t

  

     

  

Vớt t  7 48  ( 7 48 )x  7 48  x2 Vớt t  7 48  ( 7 48 )x  7 48  x2 d 9x 6x 2.4x

9 6

( ) 2 0

4 4

x

x  

    

 

2

3 3

( ) 2 0

2 2

x

x  

    

 

3 1 2

0 3

2( ) 2

x

x x

l

      

 

  

         

Bài 10.

a.6.4x  13.6x 6.9x 0

2

2 2

3 3

2 2

6. 13 6 0

3 3 2 3

3 2

x

x x

x

      

 

    

        



     

1; 1

x x

  

b 4x12x1 2x2 12 4.22x 2.2x  12 0

3

2 ( );2 2 1

2

x  l x x

    

Bài 11

a.log (2 x 5) log ( x2) 3 (1) ĐK x5 Pt(1) log2x 5 x2  3 log 92

x 5 x2  9 x2  3x 19 0

3 85 2

x 

 

(loại);

3 85 2 x 

Vậy phương trình có nghiệm

3 85 2 x  

b.ĐK x0

4

2

log x4log xlog x13

1

2 2

2

log x 4log x log x 13

   

2 2

1

2log 2log log 13

3

x x x

    13log2 13 log2 3 8

3 x  x  x

c

1 2

1

5 lg x 1 lg x  Đặt t lgx đk t5và t 1

Pttt

1 2

1

5 t 1t     

2 11

1 11 4

5 1

t

t t t

t t

 

       

 

2 5 6 0 2; 3

t t t t

      

Với t=2 ta có lgx 2 x100 Với t= ta có lgx 3 x1000 Bài 12 a ĐK x1

2

2

log (x 1) log (x 1) 7  4log22x 1 3log2x 1  7 0 Đặt tlog2x 1 Pttt

2 7

4 3 7 0 1;

4 t  t   t t 

Với t=1 ta có log2x 1  1 x 1 2  x3 Với

7 4 t

ta có  

7

4

2

7

log 1 1 2 1 2

4

x x x

 



       

16

3log 16 4logx  x2log x 2 3

log log 2log

4 x x x

  

2

3

3log 0

4log x x

  

Đặt tlog2x (t 0) Pttt

3 1 1

3 0

4t  t   t   4 t 2

Với

1 1

log 2

2 2

t   x  x

Với

1 1 1

log

2 2 2

t   x  x

c.log2x 5log2x6 0 Đặt t 5log2x6 (t>0)

2

2

6 5log 6 log

5 t

t x x 

    

Pttt

2 6

0 5 6 0

5 t

t t t



     

1; 6

t t

   (loại)

Với t=1 ta có 2

1

5log 6 1 log 1

2

x   x   x

III Bài tập

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

 

 

 

log 3625 A = log 16+ log 27 58

3  634 617

B 2

5

log log log

 

.Bài 2:

a Cho hàm số y(x2 1)ex CMR y''' y'' y' y4ex

bTính đạo hàm hàm số y = e2x+1.sin2x

c Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số y = x2.lnx đoạn 1;e

Bài 3: Giải phương trình

a 5.4x 2.25x 7.10x b.log2x 10log2x6 9 :c

2 x

3

2 2

log   log

 

  

a log22x 5log2x 6 b.32 + x + 32 – x = 30