Đang tải... (xem toàn văn)
II) Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt bËc nhÊt.[r]
(1)dïng casio fx500ms-fx570MS §Ĩ giải toán
$1 Tính giá trị biểu thức A) Loại biến
bài 1: Cho p(x)=3x3+2x2-5x+7 Tính:
a) p(4)=211 b) p(1,213)=9,232049791
c) p(-2,031)= 0,271534627
bµi 2: Cho tanx=2,324 (x nhän) TÝnh: p=
3
3
8 2sin
2 sin sin
cos x x cosx
cosx x x
=-0,799172966
bài 3: Tìm m để p(x)=x4 +5x3-4x2+3x+m chia hết cho x-2 m=-46 4: Tìm số d p(x)=x4 +5x3-4x2+3x+m chia cho 2x+1
bµi 5: Cho f(x)=x2-1 Tinh f(f(f(f(f(2))))) =15745023 2=
ANS2-1 = … =
f(f(f(f(f(f(2)))))) =2479057493 x 1014
B) Tìm giới hạn bµi 1: I= lim
n →+∞√
3n+2n+1
5n+3n+1
Ghi vào hình 3A+2A+1
5A+3A+1
CALC m¸y hái A? 10= hiƯn 0,587… CALC m¸y hái A? 100= hiÖn 0,57735…
………… ……… ……… CALC m¸y hái A? 200= hiƯn 0,577350269
CALC m¸y hái A? 208= hiÖn 0,577350269 =>I=0,577350269…= √3
3
bµi 2: I= lim
x →+∞(√3x
2
+x+1− x√3)
Ghi vào hình 3x2
+x+1 x3
CALC m¸y hái X? 10= hiƯn 0,3147… CALC m¸y hái X? 100= hiƯn 0,2913…
………… ……… ……… CALC m¸y hái X? 100 000= hiƯn 0,28867…
CALC m¸y hái X? 1000 000= hiÖn 0,28867… =>I=0,28867…= √3
6
bµi 3: I=lim x →Π
2 (Π
2 x)tanx
Ghi vào hình X=Π
2 − A:(
Π
2 − A)tanA
(2)ứng dụng tổng tích phân để tìm giới hạn
bµi 4: I=lim
n →+∞
1
n(√1+
1
n+√1+
2
n+ +√1+ n
n)=n →Lim+∞
1
n∑i=1
n
√1+i
n
HD: Chọn hàm số f(x) đoạn [a;b] chia đoạn [a;b] thành n đoạn Δi=[xi−1; xi]=1
n
lim
n →+∞Sn=n →lim+∞
1
n(√1+
1
n+√1+
2
n+ +√1+ n
n)=n →Lim+∞
1
n∑i=1
n
√1+i
n=∫a
b
f(x)dx
I=lim
n →+∞
1
n(√1+
1
n+√1+
2
n+ +√1+ n
n)=n →Lim+∞
1
n∑i=1
n
√1+i
n=∫0
1
√1+xdx=2
3(2√2−1)
=1,218951416
bµi 5: I=lim
n →+∞
(
n2 +1+
2
n2
+22+ +
n n2
+n2)=n →Lim+∞∑i=1
n
i n2
+i2
HD: Chän f(x)= x
1+x2 trªn đoạn [0;1] chia đoạn [0;1] thành n đoạn
Δi=[xi−1; xi]=1
n
i n¿
2
¿
1+¿
i n
¿
I=lim
n →+∞(
1
n2+1+
2
n2+22+ +
n
n2+n2)=n →Lim+∞
1
n∑i=1
n
¿
=0,34657359
bµi 6: I=lim
n →+∞
3
n[1+√ n n+3+√
n
n+6+ +√
n
n+3(n −1)]
HD: Chọn hàm số f(x) đoạn [0;3] chia đoạn [0;3] thành n đoạn i=[xi1; xi]=3
n
I=n →lim
+∞
3
n[1+√ n n+3+√
n
n+6+ +√ n
n+3(n −1)]=n →Lim+∞
3
n∑i=1
n
√1+1i−1 n
=∫
0
√
1+xdx=2
=2,00000000 bµi 7: I=lim
n →+∞[
(1+1
n)(1+
2
n) (1+ n n)]
1
n HD: Pn=[(1+1
n)(1+
2
n) (1+ n n)]
1
n⇒S
n=lnPn=
1
n[ln(1+
1
n)+ln(1+
2
n)+ +ln(1+ n n)]
⇒ lim
n →+∞
Sn=lim n →+∞
lnPn=lim n →+∞
1
n[ln(1+
1
n)+ln(1+
2
n)+ +ln(1+ n n)]=∫0
1
ln(1+x)dx=2√2−1
I=lim n →+∞[
(1+1
n)(1+
2
n) (1+ n n)]
1
n
=e∫0
ln(1+x)dx
=e2 ln2−1
=6,22408924
Chọn hàm số f(x) đoạn [0;3] chia đoạn [0;3] thành n đoạn Δi=[xi−1; xi]=3
n
(3)bµi 1: TÝnh:A=
3 2
2 2
15 17
2 13
m n p mn p mnp m np m np n p
víi m=0,267; n=1,34; p=2,53
0,729959094
bµi 2: TÝnh:A=
2 2 2
3
2
x x y x z x z y z
víi x=1,523; y=3,13; z=22,3 9,237226487
bµi 3: TÝnh:A= x
2
(3y −5z+4)+2x(y3z2−4)+2y2+z −6
x(x2+5y2−7)+z4+8 víi x=
9 4, y=
7
2, z=4
A= 65358
8479
$2 Gi¶i hệ phơng trình 1: Cho xf(x)-2f(1-x)=1 a) Tính f(2,123)=? b) TÝnh f(f(f(2,123)))=?
Nếu tốn có câu a) đặt: 2,123=A,1-A=B thì: 1-B=A nên ta đợc hệ:
( ) ( ) ( ) ( ) Af A f B
f A Bf B
2
( )
4
B A
f A
AB A A
C1: 2,123 A:1-AB:(B+2):(AB-4) =-0,13737191
C2: 2,123A
1-AB
Vµo hƯ Èn a1=A b1=-2 c1=1
a2=-2 b2=B c2=1 x=f(2,123)=-0,13737191 Nếu toán có câu a) & b
C3: 2,123=
(ANS-3):(ANS2 –ANS+4) = f(2,123)=-0,13737191
=f(f(2,123))=-0,754857679
=f(f(f(2,123)))=-0,705181585
bµi 2: Cho
1 ( )
1 x
f x f x
x
Tính f(3,123)
Đặt 2,123=A,
1 ,
A
B A
1
B
C B
th×
1
C
A C
nên ta đợc hệ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f A f B A f B f C B f C f A C
C1 2,123 A:
1
A
B A
:
1
B
C B
:
A B C
=1,9105 C2 Vµo hƯ Èn a1=1 b1=1 c1=0 d1=A
a2=0 b2=1 c2=1 d2=B x=f(3,123)=1,910198182
a3=1 b3=0 c3=1 d1=C C3 Ta cã: f (A)=A − B+C
2 =
9A3+6A2− A+2
18A2−2
3,123= ANS
3
+6 ANS2−ANS+2
18 ANS2−2 =¿
1f=1,910198182 2f=1,330308848 3f=1,087808394 4f=1,015407591
9f=1,000000514 10f=1,000000064 11f=1,000000008 12f=1,000000001
bài 3: Tìm m,n để p(x)=x4 +mx3-55x2+nx-156 chia hết cho x-2 & x-3
m=2,n=172
bµi 4: Cho p(x)=x5 +ax4+bx3+cx2+dx+132005 Biết x lần lợt nhận giá trị:1,2,3,4.Thì giá trị tơng ứng p(x) là:8,11,14,17
Tính giá trị p(x) x lµ: 11,12,13,14,15
(4)suy f(x)=p(x)-(3x+5)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4).q(x) bậc f(x) nên q(x)=x+r r=f(0)=5500
p(11)=27775478 p(12)=43655081 p(13)=65494484 p(14)=94620287
bµi 5: Cho p(x)=x4 +ax3+bx2+cx+d cã: p(1)=7, p(2)=28, p(3)=63. TÝnh p=p(100)− p(−96)
8 Cã (1;7),(2;28),(3;53) tháa y=7x2
XÐt: f(x)=p(x)-7x2 th×: f(1)=f(2)=f(3)=0
suy f(x)=p(x)-7x2=(x-1)(x-2)(x-3).q(x) bậc f(x) nªn q(x)=x+r
p(100)− p(−96)
8 =
99 98 97 (100− r+96+r)+7 1002+7 962
8 =23073617
bài 6: Đờng tròn (C): x2+y2+px+qy+r=0 qua A(5;4),B(-2;8),C(4;7).Tìm p,q,r? Đ/S: p=15
17 , q=
−141 17 ,r=
−58 17
$3 Nghiệm gần phơng trình A) Tìm nghiệm gần
bµi 1: x- x 2 x4 x2
1= SHIFT x ANS +2= = =3,35209964
bµi 2: 2x+x2-2x-5=0 x 2x 5 2x =2,193755377 bµi 3: 2x+3x+4x=10x xlg(2x3x4 )x =0,90990766 4: cosx=tanx
Để hình ë radian
2= SHIFT tan-1 cos ANS = = 0,666239432
bµi 5: x=cotx =>tanx =1/x
Để hình radian
0,5= SHIFT tan-1 (1: ANS ) = = 0,860333589
B) Giải nghiệm gần ph ơng trình:
acosx+bsinx=c 2
( ) c
cos x
a b
víi tan
b a a
1
2
tan b c
x cos k k Z
a a b
bµi 1: cosx+ 3sinx= 1050;150
bµi 2: cosx-3sinx=3 -5307,48" ;-900
bµi 3: cosx+sinx=
6
2 750;150
bµi 4: sinx+ 3cosx= 750;-150
bµi 5: 5cosx-12sinx=13 -67022,48"
bµi 6: 5cosx+3sinx=4 450;16055,39"
bµi 7: 5cosx+2sinx=-4 116010,3";200013,47"
$4 Tơng giao đờng;cực trị,điểm uốn, hàm số 1: Tìm gần toạ độ giao điểm
prabol (P): y2=4x đờng tròn (C): x2+y2+2x-3=0
do y2=4x nên lấy hoanh độ dơng hay nghiệm dơng x2+6x-3=0
2
( (6 3)) : :1
A A
(0,46101615;1,362500077)
(5)đờng thẳng (d): 2x-y-3=0 đờng tròn (C): x2+y2=4 Do x2+y2=4 nên x y, 2; y=2x-3 & 5x2-12x+5=0
2
(12 (12 5)) : :
2
A
A B
(A=1,86324958;B=0,726649916)
2
(12 (12 5)) : :
2
C
C D
(C=0,53668504;D=-1,926649 )
bài 3: Tìm gần toạ độ giao điểm đờng thẳng (d): 3x-y-1=0 elíp (E):
2 16
x y
Do
2 16
x y
nªn x 4, y 3; y=3x-1 & 153x2-96x-128=0
2
(96 (96 153 128)) : :153
3
A
A B
(A=1,280692393;B=2,842077178)
2
(96 (96 153 128)) : :153
3
C
C D
(C=-0,653241412;D=-2,959724237)
bài 4: Tìm gần toạ độ giao điểm đờng parabol (P): y2=2x hypebol (H):
2 16 36
x y
Do
2 16 36
x y
nªn x4; 9x2-8x-144=0
2
(8 (8 144)) : :
A A B
(A= ;B=2,989668899)
bài 5: Tìm gần toạ độ giao điểm
đờng thẳng (d): 8x-y-35=0 hypebol (H):
2 16 x y
Do
2 16 x y
nªn x 3; 560x2-5040x-11169=0
2
(5040 (5040 560 11169)) : : 560 35
A
A B
(A=3,947408702;B=5,052591298)
2
(5040 (5040 560 11169)) : : 560 35
C
C D
(C=-3,420730386;D=5,420730386)
bài 6: Tìm gần giá trị CĐ,CT hàm số y=x3+x2-2x-1 a>0 xCĐ<xCT y,=3x2+2x-2
2
( (2 2)) : :
2
A
A A A B
B=1,112611791
2
( (2 2)) : :
2
C
C C C D
D=-1,63113
bài 7: Tìm gần giá trị CĐ,CT hàm số y=
2
,
2
2 12
3 ( 3)
x x x x
y
x x
(6)
2
(12 (12 8)) : : (2 1) : ( 3)
A
A A A B
B=0,05572809
2
(12 (12 8)) : : (2 1) : ( 3)
C
C C C D
D=17,94427191
bài 8: Tìm gần toạ độ giao điểm đờng thẳng (d): 2x-3y+6=0 elíp (E):
2 36 16 x y
Do
2 36 16 x y
nªn x 6, y 4;
3
2 y x
& y2-2y-6=0
2
(2 (2 6)) : :1
3
2
A A
B
(A=-1,645751311;B=-5,468626967)
2
(2 (2 6)) : :1
3
2
C C
D
(C=3,645751311;D=2,468626967)
bài 9: Tìm toạ độ M,N đờng trịn (C): x2+y2-8x+4y=25 với đờng thẳng AB biết A(4;-3) & B(-5;2)
AB:y=ax+b th×:
A A
B B
x a b y x a b y
vào hệ ẩn a1=xA b1=1 c1=yA giải đợc a=-5/9 a2=xB b2=1 c2=yB b=-7/9 AB: y=
5
9x
phơng trình hồnh độ: 106x2-758x-2228=0
2
(758 (758 106 2228)) : :106
5
( )
9
A
A B
(A=-2,238551503;B=0,465861946)
(758 (758 106 2228)) : :106
5
( )
9
C
C D
(C=9,3894949 ;D=-5,994163833)
bài 10: Tìm toạ độ M,N đờng trịn (C): x2+y2+10x-6y=30 với đờng thẳng AB biết A(-4;3) & B(5;-3)
M(1,94807 ;-0,96538 ), N(-11,33269 ;7,88846 )
bài 11: Cho hàm số y=x3+x2-2x-1.Gọi A,B điểm cực đại,cực tiểu a) Tính gần AB
b) tìm a,b để (d):y=ax+b qua A B y,=3x2-4x+1
a)
2
(4 (4 1)) : :
2
A
A A A B
2
(4 (4 1)) : :
2
C
C C C D
pol(A-C,B-D)=0,682929219
Hoặc (A-C)2+(B-D)2
(7)bài 12: Cho hµm sè y=
2
2
5 x x
x
.Gọi A,B điểm cực đại,cực tiểu
a) Tính gần AB
b) tìm a,b để (d):y=ax+b qua A B Ta có:
2 ,
2
2 20
( 5)
x x
y
x
a)
2
( 20 (20 9)) : :
2
5
A A A
B A
2
( 20 (20 9)) : :
2
5
C C C
D C
pol(A-C,B-D)=44,78839155
b) vào hệ ẩn a1=A b1=1 c1=B giải đợc a=4 a2=C b2=1 c2=D b=-1
13: Cho đờng trịn (C1): x2+y2-2x-6y-6=0 đờng trịn (C2):x2+y2=4 a)Tìm gần toạ độ M,N giao điểm đờng trịn đó?
M(-1,97305 ;0,32450 ), N(1,77350 ;-0,92450 ) b) Viết phơng trình MN MN: x+3y+1=0
bài 14: Tìm gần a,b để đờng thẳng (d): y=ax+b qua A(1;2) tiếp tuyến hypebol (H):
2 25 16 x y
theo bµi ta cã:
2
25 16
A A
x a b y
a b
2
1
2
1 6
&
3
6 a a
b
b
15: Gọi M điểm có toạ độ dơng đờng parabol (P): y2=5x hypebol (H):
2
4
x y
a) Tìm gần toạ độ điểm M M(3,990 ;4,1225 )
b) Tiếp tuyến (H) M cắt (P) điểm N (N#M) tìm toạ độ N 16: Cho f(x)=2x23sinx4cosx7
a) tÝnh f( )7
=29,84042635
b) Tìm a,b để y=ax+b tiếp tuyến đồ thị hàm số cho x=
a) tÝnh
,( ) f
=110,3696124; b=
,
( ) ( )
7 7
f f
=-19,69334
$5 D·y sè A) T×m số hạng
bài 1: u1=1;u2=2 & un+1=3un+un-1 với: n >1.T×m u18, u19 ,u20?
FX500MS
1 3
A B B A A A B B
FX570MS
1→ A
2→ B
A=3B+A:B=3A+B
(8)
u20=4612988018
u21=1523566443
bµi 2: u1=1;u2=2 & un+1=un2un21
FX500MS
2 2
2 A
B
B A A
A B B
FX570MS
1→ A
2→ B
A=B2+A2:B=A2+B2
3: u1=1 & un+1=
3
4un.Tìm u15 u15=u1q14-1= 0,017817948
bµi 4: u1=1 & un+1=
2
1
n n n
u u n u
.T×m u20 u
20= 2,117238097
bµi 5: u0=5 & un=
1
1
2
n n
u
n u
.T×m u60
5= ANS :(2ANS+1)= =u60= 8,319467554.10-3
bµi 6: u1=3;u2=4;u3=5 & un+3=3un+2-3un+1+un+1 víi: n >1.T×m u30 ,u50?
FX500MS
3
3
3
3
A B C
A B C A
B C A B
C A B C
FX570MS
3
3 1: 3
: 3
A B C
A A B C B B C A
C C A B
u30=4995; u50=22155
bài 7: DÃy fibônacci
bài 7.1: Bài toán thỏ đẻ con
Giả sử thỏ đẻ theo qui luật:Một đôi thỏ tháng đẻ đợc
đôi thỏ con,một đôi thỏ sau hai tháng lại sinh đợc đôi thỏ nữa, sau tháng lại tiếp tục sinh đôi thỏ nữa,… giả sử tất thỏ sinh sống sinh sản bình thờng hỏi có đơi thỏ sau năm (12 tháng) có đơi th?
Nếu gọi số thỏ tháng n unthì: u1=1;u2=1 & un+1=un+un-1với: n 2.Tìm u12 =144
bài 7.2: Cây đâm nhánh
Giả sử đâm nhánh nh sau:
Cõy mc lên đợc năm bắt đầu đâm nhánh,sau năm thân lại đâm nhánh qui luật thân áp dụng cho nhánh mọc (tức nhánh mọc sau năm đâm nhánh con),và nhánh năm lại đâm nhánh.Coi thân nhánh đặc biệt,tính số nhánh năm th
Nếu gọi số nhánh năm thứ n Snthì: Sn=Sn-1+Sn-2 với: n 3.Tìm S5 =8
u1=1;u2=1 & un+2=un+1+un víi: n 1.T×m u30 ,u39u40,u49 ?
FX500MS
1
A B B A A A B B
FX570MS
1
: A B
A B A B A B
hc un=
1 5
2
5
A A
(9)B) T×m tỉng
bµi 1: TÝnh Sn=1.2.3+2.3.4+ +n(n+1)(n+2) n=17
FX500MS
0
( 1)( 2)
1 A M
M M M A A
M M
FX570MS
0 0
1: ( 1)( 2) : A
B C
A A B A A A C C B
sè n cã RCLM+ n=17;kÕt qu¶ cã RCLA: S
17=23256
bµi 2: TÝnh Sn=1.3.4+2.5.7+ +n(2n+1)(3n+1) n=30
FX500MS
0
(2 1)(3 1)
1 A M
M M M A A
M M
FX570MS
0 0
1: (2 1)(3 1) : A
B C
A A B A A A C C B
sè n cã RCLM+ n=30;kÕt qu¶ cã RCLA: S
30=1345558
bµi 3: TÝnh Sn=a1+a2+ +an
1
( 1)
n
a
n n n n
n=40
FX500MS
0
1: (( 1) 1)
1
A M
M M M M A A
M M
FX570MS
0 0
1: 1: (( 1) 1) :
: A B C D
A A B A A A A
C C B D DB
sè n cã RCLM+ n=40;kÕt qu¶ cã RCLA:
S40=0,843826238; P40=
(10)FX500MS
1
6 1
M
A M
M A A
M M
FX570MS
0 0
1: 6A : A
B C
A A B A C C B
sè n cã RCLM+ n=12;kÕt qu¶ cã RCLA: S
12=5137206313
bµi 5: TÝnh Sn=1+
2
3 2n
n
n=50
Ta cã: Sn+
1
3 2 2n
n
FX500MS
1
1 : 1
M
A M
M A A
M M
FX570MS
0 0
1: : 2A : :
A B C D
A A B A C C B D DB
sè n cã RCLM+ n=50;kÕt qu¶ cã RCLA:
S50=4-1/3=14/3 P50=
bµi 6: TÝnh Sn=x+2.x2+3.x3+ +nxn n=10;30 vµ x=0,125
FX500MS
0 0,125 1
M
A B M
MB A A M
M
FX570MS
0 0
1: 0,125 :A
A B C
A A B A C C B
sè n cã RCLM+ n=10;30;kÕt qu¶ cã RCLA:
S10=0,163265304; S12= =S30=0,163265306
bµi 7: Cho d·y {an} a1=1, a2=2, an+2=
1 3an+1+
1
2ann∈N
❑
.TÝnh S10 S10= 1120643
(11)bµi 8: Cho d·y {an} a1=1, a2=2, an+3=1
3an+2+
1
2an+1+ann∈N
❑
.TÝnh U15 U15= 26502197
419904
C) ph ơng trình sai phân
I) Phơng trình sai phân tuyến tính bậc nhất Dạng: axn+1+bxn=0 với a,b khác 0.Có nghiệm lµ: xn= (−b
a )
n
x0 , n=0,1,2,3,…
1: giải xn+1-2xn=0 ,n=0,1,2,…và x0=-1/3.Đợc xn=(-1/3)2n. II) Phơng trình sai phân tuyến tính khơng bậc nhất Dạng: axn+1+bxn=dn với a khác 0,b số & dn số Có nghiệm là: xn= (−b
a )
n
x0 +xd xd nghiệm riêng phơng trình, n=0,1,2,3,
bài 1: giải 5xn+1+3xn=2n ,n=0,1,2,với x0=1.
Đợc: xn=C(-3/5)n nghiệm tổng quát vế trái,xd=C12n là nghiệm riêng. Thay vào PT có:
5C1.2n+1+3C1.2n=2n ⇒C
1=
1 13 , xd=
1 13
n
.do x0=1 nªn C+
13=1⇒C= 12 13
V¹y nghiƯm cđa PT lµ: xn= 12
13(
−3 )
n
+
13.2
n
Lu ý: 1) Nếu dnlà đa thức bậc k cđa n th×:
a) a+b thì: xd=Pk(n) đa thức bậc k n b) a+b=0 thì: xd=n.Pk(n) đa thức bậc k+1 n 1: giải 3xn+1-2xn=n+1 ,n=0,1,2,với x0=1
Đợc: xn=C(2/3)n nghiệm tổng quát vế trái
có a+b=3+(-2)=1 & dn=n+1 nên: xd=C1n+C2 đó: 3[C1(n+1)+C2]-2[C1n+C2]=n+1 với n suy C1=1,C2=-2 Từ: xn= (−b
a )
n
x0 +xd = C(3/2)n.1+1.n-2 víi n=0 th×:
1=C-2 hay C=3 VËy: xn=3(3
2)
n
+n2
bài 2: giải xn+1=xn +2n2 ,n=0,1,2,với x0=1. Đợc: xn=C(1/1)n=C nghiệm tổng quát vế trái
có a+b=3+(-2)=0 & dn=2n2 nên: xd=n.(C1n2+C2n+C3) đó:
(n+1)[C1(n+1)2+C2(n+1)+C3]-n[C1n2+C2n+C3]=2n2 với n suy raC1=2/3,C2=-2,C3=4/3
Tõ: xn= (−b
a )
n
x0 +xd = C+
2 3n
3
−2n2+4
3n víi n=0 th×:C=1
VËy: xn= (−b
a )
n
x0 +xd = 1+
2 3n
3−2n2 +4
3n víi n=0,1,2,…
2) Nếu dnlà đa thức bậc n (dn=d) thì:
a) a+b thì:xd=c đa thøc bËc cña n xn=qnx0+q
n
−1
q −1 d q=
−b a
b) a+b=0 thì: xd=n.c đa thức bậc cđa n xn=x0+nd 3) NÕu dn cã d¹ng tựa đa thức dn=pk(n).n thì:
a) NÕu
b a
th× xd=Qk(n) n b) NÕu
b a
(12)c) NÕu dn=d.n 0 th×: xn=qnx0+ n n
n
q
d q
q
dnq q
bµi 3: Cho d·y {un}:u0=2,un=3un-1+2n3-9n2+9n-3 víi n=1,2,3, Tìm số hạng tổng quát a+b=1-3=-2 ud=C0n3+C1n2+C2n+C3
Tõ C0n3+C1n2+C2n+C3=3(C0(n-1)3+C1(n-1)2+C2(n-1)+C3) +2n3-9n2+9n-3 C0=-1, C1=C2=C3=0 nªn ud=-n3 =>un=C.3n-n3 u0=2 nên C=2 hay u
n= 2.3n-n3
bài 4: giải xn+1-3xn =7 ,n=0,1,2,với x0=-1 xn=3n(-1)+
3
n
7=
5 23n
-7
5: giải xn+1-xn =5n+2 n=0,1,2,với x0=4
x0=4 nên xn=C.1n.4=4, xd=n.(an+b)
đó: (n+1)[a(n+1)+b]-n(an+b)=5n+2 suy
5
,
2
a b
vËy xn=
2
1
4
2n 2n
bài 6: giải xn+1=xn +n n=0,1,2,với x0 giá trị đầu xn=C, xd=n.(an+b)
đó: (n+1)[a(n+1)+b]=n(an+b)+n suy
1
,
2
a b
vËy xn=C+
( 1) n n
x0 nghiệm thì: xn=x0+
( 1) n n
NÕu x0=0 th×: xn+1=xn +n= xn-1 +(n-1)+n=…=1+2+…+n=
( 1) n n
bài 7: giải xn+1=xn +(n+1)2 n=0,1,2,với x0 giá trị đầu. xn=C, xd=n.(an2+bn+c)
đó: (n+1)[a(n+1)2+b(n+1)+c]=n(an2+bn+c)+(n+1)2
suy
1 1
, ,
3
a b c
vËy xn=C+
3
1 1
3n 2n 6
x0 nghiệm thì: xn=x0+
3
1 1
3n 2n 6
NÕu x0=0 th×: xn+1=xn +(n+1)2= xn-1 +n+(n+1)2=…=12+22+…+n2+(n+1)2
xn =12+22+…+n2=
3
1 1
3n 2n 6=
( 1)(2 1) n n n
bài 8: giải xn+1=xn +(2n+1)2 n=0,1,2,với x0 giá trị đầu. xn=C, Vì dn=(2n+1)2 nªn xd=n.(an2+bn+c)
đó: (n+1)[a(n+1)2+b(n+1)+c]=n(an2+bn+c)+(2n+1)2
suy
4
, 0,
3
a b c
vËy xn=C+
3
4
3n 3n
x0 nghiệm thì: xn=x0+
3
4
3n 3n
NÕu x0=0 th×:
xn+1=xn +(2n+1)2= xn-1 +(2n-1)+(2n+1)2=…=12+32+…+(2n-1)2+(2n+1)2
xn =12+32+…+(2n+1)2=
3
4
3n 3n=
3n(4n2-1)=
1
(13)NÕu: (a,b)=U & [a,b]=B th×
¿
a=Um
b=Un
⇒a
b= m
n ⇒
¿{
¿
U=
a
m=
b n
B=an=bm=Umn
bµi 1: a=24614205, b=10719433 b
a=
10719433 24614205=
503
1155 U=10719433: 503=21311
B=10719433 1155=1238094512.1010
bµi 2: a=1234566, b=9876546
U=18,B=677402660502
$7 Bài toán lãi suất A) Lãi đơn
Lãi đơn lãi đợc tính theo tỉ lệ phần trăm khoảng thời gian cố định trớc
bài 1: triệu đồng gửi ngân hàng lãi suất 5% /năm Hỏi:
Sau năm,2 năm, n năm rút vốn lẫn lÃi bao nhiêu?
Sau năm rút đợc: 000 000+11 000 000.5%=1 000 000+50 000
x1 =1 050 000 đ Một triệu năm mơi ngàn đồng
Sau năm rút đợc: 000 000+21 000 000.5%=1 000 000+250 000
x2 =1 100 000 đ Một triệu trăm ngàn đồng
Sau n năm rút đợc: 000 000+n1 000 000.5%=1 000 000+n50 000
xn =1 000 000+n50 000 đ
Nếu lÃi suất
5
12%/tháng cuối tháng đầu có: 1 000 000
5
12%=4166 3® sau năm tổng số tiền lÃi nh trớc 50 000=4166
2 12
Nh với lãi đơn khơng có sai khác ta nhận lãi theo tròn năm hay theo tháng.Tuy nhiên ta rút tiền chừng
Chẳng hạn sau 18 tháng là: 000 000+ 4166
3 18=1 075 000®.
Nhng kỳ hạn năm Chỉ là: 000 000+11 000 000.5%=1 050 000®
mÊt ®i 25 000đ
Vậy nên cách gửi thu hút khách hàng
B) LÃi kép
Lãi kép lãi mà sau đơn vị thời gian ( năm,tháng,ngày,giờ,phút,giây, ) lãi đợc gộp vào vốn để tính lãi
Hay loại lãi mẹ đẻ lãi con…
C«ng thøc (1): C=a(1+r)N=a (1+r)+a (1+r)2+…+a(1+r)N
C TiÒn rót vỊ c¶ gèc lÉn l·i. a TiỊn gửi ban đầu (tiền gốc)
r lÃi suất kỳ N kỳ hạn
A=0 B=0
A=A+1:B=B+(1+r)A
C«ng thøc (2): Cr=a(1+r)[(1+r)N-1]
C TiỊn rót vỊ c¶ gèc lÉn l·i a Tiền gửi kỳ (tiền gốc) r lÃi suất kỳ
N kỳ hạn
(14)Sau năm,2 năm, n năm rút vốn lẫn lÃi bao nhiªu?
Sau năm rút đợc: 000 000+11 000 000.5%=1 000 000+50 000
x1 =1 050 000 đ Một triệu năm mơi ngàn đồng
x1=1 000 000(1+5%)=x0(1+5%®
Sau năm rút đợc: 050 000+1 050 000.5%=1 102 500đ
x2 =1 102 500 đ Một triệu trăm linh hai ngànnăm trăm đồng
x2=x1+x1.5%=x1(1+5%) =x0(1+5%)2 ®
Sau n năm rút đợc: xn=x0(1+5%)n đ
NÕu lÃi suất
5
12%/tháng cuối tháng ®Çu sÏ cã: 1 000 000
5
12%=4166 3đ sau năm tổng số tiền lÃi vÉn nh tríc 50 000=4166
2 12
Bài 1: triệu đồng gửi ngân hàng lãi suất 0,7% tháng Hỏi: Sau 15 tháng rút vốn lẫn lãi bao nhiêu?
000 000(1+0,007)15=1.110.304
Bài 2: Muốn có triệu đồng sau 15 tháng phải gửi ngân hàng tháng số tiền bao nhiêu? lãi suất hàng tháng 0,6%/tháng
C1 Cr=a(1+r)[(1+r)15-1]=>a=63.530®
C2 C= a (1+r)+a (1+r)2+…+a(1+r)15
A=0 B=0
A=A+1:B=B+1,006A
=… = đến A=15 = 1.000.000:B=
Bài 3: Muốn có triệu đồng sau 15 tháng phải gửi ngân hàng tháng số tiền 63.530đ.Tính lãi suất hàng tháng
(1+r)+ (1+r)2+…+(1+r)15 = C/ a
A+A2+…+A15=1 000 000/63 530 SHIFT SOLVE
x=1,006=>r=0,006=0,6%.
Bài 4: Muốn có triệu đồng sau 15 tháng phải gửi ngân hàng tháng số tiền 63.530đ với lãi suất hàng tháng 0,6% bao lâu?
(1+r)+ a(1+r)2+…+a(1+r)N = C
A=0 B=0
A=A+1:B=B+63 530.1,006A
=… = đến B=1.000.000
giá trị A liền trớc N=15
Bài 5: Mỗi tháng gửi ngân hàng số tiền 63.530đ với lÃi suất hàng th¸ng 0,6%
Hái: Sau 15 th¸ng rút vốn lẫn lÃi đuựơc bao nhiêu?
(1+r)+ a(1+r)2+…+a(1+r)15 = C
A=0 B=0
A=A+1:B=B+63 530.1,006A
=… = đến A=15
giá trị B liền sau B=999998 Bài 6: Theo thể thức lãi kép, ngời gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng
a) Nếu kỳ hạn năm với lãi xuất 7,56% sau năm ngời thu đợc số tiền bao nhêu? 10.(1+0,0756)2=11,569 triệu đồng
b) Nếu kỳ hạn tháng với lãi xuất 1,65% sau năm ngời thu đợc số tiền bao nhêu? 10.(1+0,0165)8=11,399 triệu đồng
Bài 7: Một ngời đầu t 100 triệu vào công ty theo thể thức lãi kép với lãi suất 13% năm Hỏi sau năm rút lãi ngời thu đợc tiền lãi?
100.(1+0,13)5=184,2435179-100= 84,243 517 9triệu đồng
Bài 8: Một ngời gửi 15 triệu vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn năm với lãi suất 7,56% năm.Giả sử lãi suất không thay đổi.Hỏi số tiền ngời thu đợc (cả vốn lẫn lãi) sau năm triệu đồng? làm tròn đến chữ số thập phân thứ
15.(1+0,0756)5=21,59 triệu đồng
(15)Tính số tiền ngời thu đợc sau năm tháng bao nhiêu? 3000 000 A
A+A/200 B B+B/200 C
(C+1000 000)+ (C+1000 000)/200A = 39 223 987 Bài 10: Một ngời lĩnh lơng khởi điểm 700 000đ/tháng.Cứ năm lại đợc tăng lơng 7%
Hỏi: sau 36 năm làm việc liên tục tăng lơng bình thờng ngời lĩnh đợc tiền lơng?
Gäi x0=700 000đ (Lĩnh 36 tháng đầu =3 năm)
Nếu mức tăng lơng 7% thì:
năm kế sau đợc lĩnh x1=x0(1+r/100)đ
năm kế sau đợc lĩnh x2=x1(1+r/100)= x0(1+r/100)2 đ…
Vậy sau 3n năm (n=1,2, ,11) Bắt đầu từ tháng thứ năm 3n+1 lại tăng lần cuối vào tháng thứ năm thứ 34
S=36.x0.(1+r%)12:r%=450 788 972 GÇn 451 triƯu
Bµi 11: Mét ngêi gưi tiÕt kiƯm nh sau:
Bắt đầu từ tháng lơng gửi tiết kiệm 100 000đ với lãi xuất 0,4%/tháng Hỏi hu ( sau 36 năm công tác liên tục) rút tất đợc số tiền bao nhiêu?
Với lÃi suất tiết kiệm m=r%=r/100/tháng Đầu tháng thứ số tiền sổ là: y0đ
Cui thỏng th nhn c y1=y0(1+m)
Đầu tháng thứ sè tiỊn sỉ lµ: z1=y1+y0=y0((1+m)+1)
Cuối tháng thứ số tiền sổ là:
y2=z1(1+m)= y0((1+m)+1)(1+m)=y0((1+m)2+(1+m))
Đầu tháng thứ sè tiỊn sỉ lµ:
z2=y2+y0=y0((1+m)2+(1+m))+y0=
y0
m ((1+m)
3-1)
Cuối tháng thứ số tiền sổ là:y3=
y0
m ((1+m)
3-1)(1+m)
Cuèi tháng thứ n-1 số tiền sổ là:yn-1=
y0
m ((1+m)
n-1-1)(1+m)
Đầu tháng thø n sè tiỊn sỉ lµ: zn= yn+y0=
y0
m ((1+m)
n-1)
Cuèi tháng thứ n số tiền sổ là: yn=
y0
m ((1+m)
n-1)(1+m)
y0=100 000đ,m=0,4%,n=36.12=432 tháng là: 115711347.7 gần 116 triệu
Bi 12: Một ngời mua nhà trị giá 200 triệu đồng theo phơng thức trả góp Mỗi tháng trả 30 triệu đồng Hỏi:
a) Sau trả hết số tiền trên?
b) Nếu phải chịu lãi suất số tiền cha trả 0,4%/tháng tháng tháng thứ trả 30 triệu đồng sau trả hết tiền
a) 200 000 000:30 000 000=66.667 tháng gần năm
b) A tiền nợ ban đầu,r=r% lÃi suất hàng tháng,x số tiền trả hàng tháng Sau tháng thứ nợ:A+ r
100 A=A (1+
r
100) = Ak
trả x đ nên Ak-x
Sau tháng thứ nợ: (Ak-x) (1+ r
100) -x= Ak2-x(k+1)
Sau th¸ng thø nỵ:
(Ak2-x(k+1))k-x= Ak3-x(k2+k+1)=Ak3-x k
3
−1
k −1
Sau tháng thứ n nợ: An=Akn-x k
n
−1
k −1 = (1+
r
100)
n
(A −100x r )+
100x r
Sau n tháng trả xong nợ tức An=0 suy (1+ r
100)
n
=100x
(16)VËy A=200 000 000®,r=0,4%,x=3 000 000® (1+ r
100)
n
=100 3000000
100 3000000−200000000 0,4=1,3636364
=>77<n<78 gần nămrỡi $8 đạo hàm –Tích phân
1) f,(a)=d/dx(f(x),a)= 2) ∫
a b
❑ f(x)dx=Sdx(f(x),a,b,n)=
Bµi 1: f(x)= x3-5x2+2 (C)
a) TÝnh f,(3)
b) ViÕt ph¬ng trình tiếp tuyến (C) M(4;-14)
a) ghi vào hình d/dx(x3-5x2+2,3)=-3
b) Chỉnh hình y= x3-5x2+2
Ên CALC m¸y hái X? Ên 4= m¸y hiƯn y=-14 M thuộc (C) Chỉnh hình d/dx(x3-5x2+2,4)=8=f,(4)=a
tìm b từ y=8x+b nên y-ANS.4=-46=b $9 Tam gi¸c ABC
a,b,c độ dài cạnh A,B,C số đo góc ha,hb,hc độ dài đờng cao A) Tam giác vuông ABC A900
1) a2=b2+c2 2) b2=a2-c2=ab, ; c2=a2-b2=ac, 3) bc=aha
4) ha2 b c, , 5) 2
1 1
a
h b c
6) *) b=asinB=acosC=ctanB=ccotC *) c=asinC=acosB=btanC=bcotB B) Tam gi¸c: ABC
1) Định lý hàm số sin: sin sin sin
a b c
R A B C
2) Định lý hàm số cô sin: a2=b2+c2-2bccosA
2 2 cos
2 b c a A
bc
b2=c2+a2-2cacosB
2 2 cos
2 c a b B
ca
c2=a2+b2-2abcosC
2 2 cos
2 a b c C
ab
3) Định lý độ dài trung tuyến:
2 2
2
a
b c a m
2 2
2
b
c a b m
2 2
2
c
a b c m
4) Độ dài đ ờng phân giác: *) Phân giác trong
2 2
2 ( )
a
A bccos
AD l bcp p a
b c b c
(17)*) Phân giác ngoaì
2
( )( )
AE bc p b p c b c
5) DiƯn tÝch tam gi¸c
1 1
2 a b c S ah bh ch
1 1
sin sin sin
2 2
S ab C bc A ca B
Spr(p a r ) a (p b r )b (p c r ) c S=2R2sinAsinBsinC
abc S
R
1
B A B A
C A C A
x x y y x x y y
6) DiƯn tÝch tam gi¸c tạọ 3chân đ ờng phân giác trong:A1,B1,C1
1 ( 1 1)
( ) ( )( )( )
S dt A B C abc S dt ABC a b b c c a
Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD cã:AB=12,35; BC=10,55 & gãcADC=570
TÝnh: a) Chu vi 2p=54,68068285… b) diện tích S=166,4328443
c) góc lại cđa tam gi¸c ACD ACD=40030,20,31” DAC=82029,40”
Bài 2: Cho tam giác ABC có: B=1200;AB=6,25;BC=12,50 & phân giác B cắt AC D
TÝnh: a) BD =4,1666667… b) TÝnh dt(ABD):dt(ABC) = AD
AC= BB,
B,C=
1
c) dt(ABD) =11,27637245
Bµi 3: Cho hình chữ nhật ABCD có BH vuông góc với ACvà E,F,G lần lợt trung điểm của: AH,BH,CD
a) CMR: Tứ giác EFCG hình bình hành.Tam giác BEG tam giác gì?vì sao? BEG=900
b) BH=17,25; gãcBAC=38040,.TÝnh diÖn tÝch ABCD =609,9702859…
c) TÝnh AC =35,36059628…
Bài 4: Cho tam giác ABC có: A=450;C=1050;Mthuộc AB,N thuộc AC biÕt dt(AMN)
dt(ABC) =
1
TÝnh: AN/AC
*) MN kh«ng song song BC dt(AMN)
dt(ABC) =
AM AN
AB AC (1) mặt khác AN AM=
sinM
SinN tơng tự AB AC=
sinC
SinB
⇒AN
AC AB AM=
sinM
SinN sinC
sinB (2)
từ suy ra:
2=
dt(AMN)
dt(ABC) =
AN AC
AM AC
sinN
sinM
sinB
sinC=(
AN AC )
2
sin 750sin 300 sin 600sin 1050 ⇒
AN
AC=√sin 60
0
=0,930604859… *) MN song song BC
2=
dt(AMN)
dt(ABC) =
AM AN AB AC =(
AN AC )
2
=
√2⇒ AN
AC =0,707106781…
$10 Tø gi¸c
1) Tứ giác lồi ABCD cạnh:a,b,c,d Thì:
S= √(p −a)(p − b)(p − c)(p − d)−abcd cos2B+D
2
(18)2) Tứ giác lồi ABCD nội tiếp đờng tròn bán kính R,cạnh:a,b,c,d Thì: *) S= √(p −a)(p − b)(p − c)(p − d)p=a+b+c+d
2
*) R= √(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)
4S
*) Nếu góc đờng chéo là: α thì: sinα= 2S
ac+bd
Bài 1: Cho tứ giác nội tiếp ABCD có: a=5,32; b=3,45; c=3,96; d=4,68 Tính góc α đờng chéo α =8208,
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn có bán kính R Biết: a=3,657; b=4,155; c=5,651; d=2,765
TÝnh b¸n kÝnh R R=2,9916…
Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD có: a=18; b=34; c=56; d=27 & B+D=2100.
TÝnh diện tích S S=842,8189 $11 hình học không gian
1) H×nh hép
Vkhcn=abc Vlp=a3 Vtrô=Bh= Π R2h
Vkhc= 13 Bh Vkhn= 13 Π R2h
VABCD= 61 AB.CD.IJ.sin(AB,CD)
với IJ đờng vng góc chung AB & CD
Vkhcc= 13 h(B+B,+ √BB, ) Vnc= 13 Π
h(R2+R,2+RR,)
Vkhc= 43Π R3 Vchom= Πh2(R −h3)
S=4 Π R2 Schom=2 Π Rh
Măt cầu bán kính r néi tiÕp khèi ®a diƯn cã: thĨ tÝch V diện tích toàn phần Stp thì: r=
3V Stp