[r]
(1)Ph ầ n I
A) Ph ơng trình l ợng giác b¶n I) sinx=a (1)
1) |a|>1 : (1) VN 2) |a|≤1 :
*) Nếu a số đặc biệt: Thì a=sin α :
Th×:
(1)⇔sinx=sinα⇔
x=α+k2Π
¿
x=Π − α+k2Π
¿
/k∈Z
¿ ¿ ¿
hc x= −1¿kα+kΠ/k∈Z
¿
*) Nếu a khơng số đặc biệt: Thì đặt a=sin α với: −Π
2 <α<
Π
2 Ta viÕt: α=arcsina
Th×:
(1)⇔sinx=sinα⇔
x=arcsina+k2Π
¿
x=Π −arcsina+k2Π
¿
/k∈Z
¿ ¿ ¿ L
u ý : NÕu: *) a=0 (1) ⇔sinx=0⇔x=kΠ/k∈Z *) a=-1: (1)⇔sinx=−1⇔x=−Π
2 +k2Π/k∈Z Hc x= 3Π
2 +k2Π/k∈Z
*) a=1: (1)⇔sinx=1⇔x=Π
2 +k2Π/k∈Z
*)
(1)⇔sinx=sinβ0⇔
x=β0+k3600
¿
x=1800− β0+k3600
¿
/k∈Z
¿ ¿ ¿
Tỉng qu¸t:
(1)⇔sinf(x)=sing(x)⇔
f(x)=g(x)+k2Π
¿
f(x)=Π − g(x)+k2Π
¿
/k∈Z
¿ ¿ ¿
II) cosx=a : (1) 1) |a|>1 : (1) VN 2) |a|≤1 :
*) Nếu a số đặc biệt: Thì a=cos α :
Th×: (1)⇔cosx=cosα⇔x=± α+k2Π/k∈Z
*) Nếu a không số đặc biệt: Thì đặt a=cos α với: 0<α<Π Ta viết: α=arccosa Thì: (1)⇔cosx=cosα⇔x=±arccosa+k2Π/k∈Z
L
u ý : NÕu: *) a=0 (1) ⇔cosx=0⇔x=Π
2 +kΠ/k∈Z
(2)*) a=1: (1)⇔cosx=1⇔x=k2Π/k∈Z *) (1)⇔cosx=cosβ0⇔x=± β0+k3600/k∈Z
Tỉng qu¸t: (1)⇔cosf(x)=cosg(x)⇔f(x)=± g(x)+k2Π/k∈Z III) tanx=a §K: x ≠Π
2 +kΠ/k∈Z
*) Nếu a số đặc biệt: Thì a=tan α : Thì: (1)⇔tanx=tanα⇔x=α+kΠ/k∈Z
*) Nếu a không số đặc biệt: Thì đặt a=tan α với −Π
2 <α<
Π
2 Ta viÕt: α=arctana
Th×:
(1)⇔tanx=tanα⇔ x=arctana+kΠ
x ≠Π 2+k1Π
¿{
k , k1∈Z
L
u ý : NÕu: *) a=0 (1) ⇔tanx=0⇔x=kΠ /k∈Z *) a=-1: (1)⇔tanx=−1⇔x=−Π
4 +kΠ/k∈Z
*) a=1: (1)⇔tanx=1⇔x=Π
4 +kΠ/k∈Z
*) (1)⇔tanx=tanβ0⇔x=β0+k1800/k∈Z
Tỉng qu¸t:
(1)⇔tanf(x)=tang(x)⇔
f(x)=g(x)+kΠ
f(x)≠Π
2+k1Π
g(x)≠Π
2 +k2Π
/k , k1, k2∈Z
¿{ {
IV) cotx=a §K: x ≠ kΠ/k∈Z
*) Nếu a số đặc biệt: Thì a=cot α : Thì: (1)⇔cotx=cotα⇔x=α+kΠ/k∈Z
*) Nếu a khơng số đặc biệt: Thì đặt a=cot α với 0<α<Π Ta viết: arccota
Th×:
(1)⇔cotx=cotα⇔
x=arc cota+kΠ
x ≠ k1Π
/k , k1∈Z
¿{
L
u ý : NÕu: *) a=0 (1) ⇔cotx=0⇔x=Π
2 +kΠ/k∈Z
*) a=-1: (1)⇔cotx=−1⇔x=−Π
4 +kΠ/k∈Z
*) a=1: (1)⇔cotx=1⇔x=Π
4 +kΠ/k∈Z
*) (1)⇔cotx=cotβ0⇔x=β0+k1800/k∈Z
Tỉng qu¸t:
(1)⇔cotf(x)=cotg(x)⇔
f(x)=g(x)+kΠ
f(x)≠ k1Π
g(x)≠ k2Π /k , k1, k2∈Z
¿{ {
(3)
D¹ng: at+b=0 víi: a , b∈R , a ≠0 t∈{sinf(x);cosf(x);tanf(x);cotf(x)}
PP giải: Tìm t đa phơng trình giải tìm x B) Ph ơng Trình bậc hai hàm số l ợng giác.
D¹ng: at2+bt+c =0 víi: a , b , c∈R , a≠0 t∈{sinf(x);cosf(x);tanf(x);cotf(x)}
PP giải: Tìm t đa phơng trình giải tìm x C) Ph ơng trình bậc sinf(x) cosf(x).
Dạng: asinf(x)+bcosf(x) =c (1)
PP giải:
*) Khi a=0 b=0 toán trở thành dạng A) giải đợc PP1 *) a2+b2≠0 : Chia vế (1) cho √a2+b2 ta đa dạng:
sin[f(x)± α]= c
√a2+b2 hc cos[f
(x)± α]= c
√a2+b2 Giải đợc.
PP2
(1)⇔
asinf(x)+bcosf(x)=c
sin2f(x)+cos2f (x)=1
{
Đặt X=sinf(x),Y=cosf(x) (*)k: X,Y [1;1]
gi¶i
¿
aX+bY=c
X2+Y2=1
¿{
¿
Tìm đợc X,Y thay vào (*) tìm đợc f(x) từ đú giải x. PP3 *) Khi a=0 (hoặc b=0) toán trở thành dạng A) giải đợc
*) a ≠0 (hc b ≠0 ):Chia vÕ (1) cho: a (hoặc b) đa phơng trình về
sin[f(x)± α]= c
√a2
+b2 hc
cos[f(x)± α]= c
√a2
+b2 Giải đợc.
PP4 +) kiÓm tra trùc tiÕp f(x)= Π+k2Π/k∈Z (f(x)
2 ≠
Π
2 +kΠ)
+) f(x) +k2 Đặt t=tanf(x)
2 ⇒sinf(x)= 2t
1+t2;cosf(x)=
1−t2
1+t2 §a
(1) dạng: At2+Bt+C=0 Giải đợc t thay vào phép đặt: tanf(x)
2 =t gii c.
Đặc biệt: *)Khi c=0
(1) ⇔tanf(x)=−b
a víi: a hc (1) ⇔cotf(x)=− a
b víi: b .
*)Khi a2+b2=c2 áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki dÊu b»ng xÈy ra: (1) ⇔tanf(x)=a
b víi: b hc (1) ⇔cotf(x)= b
a víi: a
L
u ý : Phơng trình: asinf(x)+bcosf(x)=c có nghiệm vµ chØ khi: a2
+b2≥ c2 D) Ph ơng trình bậc sinx cosx.
D¹ng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 NÕu vÕ phải d thay: d=d(sin2x+cos2x)
a,b,c R a,b,c không đồng thời PP1 giải:
*) KiÓm tra trùc tiÕp cosx=0
*) Chia hai vế cho cos2x đặt t=tanx (*) ta đợc: at2+bt+c=0 giải đợc t
Thay vào (*) giải đợc x. PP2 giải: Thay sin
2x
=1−cos 2x
2 ;cos
2x
=1+cos 2x
2 ;sinxcosx=
2sin 2x
đa phơng trình cho dạng: Asin2x+Bcos2x=C giải đợc
E) Ph ơng Trình đối xứng sinx cosx. Dạng: a(sinx ± cosx)+bsinxcosx+c=0 (1)
PP1 giải: Đặt: sinx+cosx=t (*) sinxcosx=t
2
−1
(4)Từ (*) giải đợc x.( Nếu: sinx-cosx=t ⇒sinxcosx=1−t
2
2 )
PP2 gi¶i: sinx+cosx= √2sin(x+Π
4 ) Do đặt t=x+
Π
4 (*)thì (1) có dạng:
Asin2t+Bsint+C=0 gii đợc t Thay vào (*) tìm đợc x.
C) Bài tập ph ơng trình l ợng giác
Theo sách bản-sách nâng cao & sách tham khảo. $1) Dạng bản:
a) Cơ sinx=a
1) sinx=1
2 ⇔x=
Π
6+k2Π ; x= 5Π
6 +k2Π
2) sinx=1
5 ⇔x=arcsin
1
5+k2Π ;x=Π −arcsin
5+k2Π
3) sinx=1
3 ⇔x=arcsin
1
3+k2Π ;x=Π −arcsin
3+k2Π
4) sin(x+450)=−√2
2
5) sin(x+2)=1
3 ⇔x=arcsin
1
3−2+k2Π ;x=Π −arcsin
3−2+k2Π
6) sin 3x=1 ⇔x=Π
6 +k 2Π
3
7) sin(2x
3 −
Π
3 )=0 ⇔x=
Π
2 +k 3Π
2
8) sin(2x+200)=−√3
2 ⇔x=−40
0
+k1800; x=1100+k1800
9) sin3x-cos5x=0 ⇔x= Π
16 +k
Π
4 ; x=−
Π
4 +kΠ
10) sin(x+1)=2
3 ⇔x=−1+arcsin
2
3+k2Π ; x=Π −1−arcsin 3+k2Π
11) sin22x
=1
2 ⇔x=±
Π
8 +kΠ ; x=± 3Π
8 +kΠ
12) sinx=2
3 ⇔x=arcsin
2
3+k2Π ;x=Π −arcsin 3+k2Π
13) sinx=−√3
2 ⇔x=−
Π
3 +k2Π ; x= 4Π
3 +k2Π
14) sinx=√2
2 ⇔x=
Π
4+k2Π ; x= 3Π
4 +k2Π
15) sin(2x −Π
5 )=sin(
Π
5 +x) ⇔x=
Π
3+k 2Π
3 ; x= 2Π
5 +k2Π
16) sin3x=sinx ⇔x=kΠ ;x=Π
4 +k
Π
2
17) sin(x+200)=√3
2 ⇔x=40
0
+k3600; x=1000+k3600
18) sin 4x=sinΠ
5 ⇔x=
Π
20+k
Π
2 ; x=
Π
5 +k
Π
2
19) sinx+Π
5 =−
1
2 ⇔x=−
11Π
6 +k10Π ; x= 29Π
6 +k10Π
20) sin 2x=−1
2/x∈(0; Π) ⇔x=
7Π
12 ; x= 11Π
12
21) sin(x −2Π
3 )=cos 2x ⇔x= 7Π
18 +k 2Π
3 ; x=− 7Π
(5)22) 8sin2xcos2xcos4x= √2 ⇔x=Π
32+k
Π
4 ; x= 3Π
32 +k
Π
4
23) 2sin2x=1
24) sin2x
4cos
2x
4=1
25) cos2x-sin2x=1
26) sinx=√5
5
27) sin(2x+1)=−√2
2
28) sin2
(x −Π
4 )=cos
2
(Π2 +3x)
29) sin(2x-1)=sin(x+3) ⇔x=4+k2Π ; x=−2
3+(2k+1)
Π
3
30) tan(2x+1)cot(x+1)=1 ⇔x=kΠ
31) sin2
(5x+2Π
5 )=cos
2
(4x+Π) ⇔x=−
6Π
35 +k 4Π
21 ; x= 22Π
95 +k
4Π
19
32) sin(x2-4x)=0 ⇔x
=2±√4+kΠ/k∈Z , k ≥−1
33) |sinx+1
2|=
2 ⇔x=kΠ ;x=−
Π
2 +k2Π
34) sin(8cosx)=1
⇔x=±arccos−3Π
16 +k2Π ;x=±arccos
Π
16+k2Π ; x=±arccos 5Π
16 +k2Π
35) 2√2 sin(x+Π
4)= sinx +
1
cosx ⇔x=±
Π
4 +kΠ
36) |cosx|+sin 3x=0
⇔x∈{−Π
8 +k2Π ;−
Π
4 +k2Π ; 3Π
8 +k2Π ; 5Π
8 +k2Π ; x= 9Π
8 +k2Π ; 5Π
4 +k2Π}
37) sinx
1+cosx=0 ⇔x=k2Π
37) sinxsin2x=-1 VN
38) 8sinxcosxcos2x=-1 ⇔x=− Π
24+k
Π
2 ; x= 7Π
24 +k
Π
2
39) 4sinxcosxcos2x=-1 ⇔x=−Π
8 +k
2
40) Tìm nghiệm dơng bé nhÊt cđa: sin(Πx2)=sinΠ(x2+2x) ®/s: x=√3−1
2
41) √Π2
9 − x
2.sin 2x
=0 x{0; 3 }
b) Cơ cosx=a
1) cosx=1
3 ⇔x=±arccos
1
3+k2Π
2) cos(x+600)=√2
2 ⇔x=−15
0
+k3600; x=−1050+k3600
3) cosx=cosΠ
6 ⇔x=±
Π
6 +k2Π
4) cos 3x=−√2
2 ⇔x=±
Π
4 +k 2Π
3
5) cosx=−1
2
5) cos(x+300)=√3
(6)6) cosx=2
3 ⇔x=±arccos
2
3+k2Π
7) cos 3x=cos 120 ⇔x=±40+k1200
8) cos(x −1)=2
3 ⇔x=1±arccos
2
3+k2Π
9) cos(3x
2 −
Π
4)=−
2 ⇔x=
11Π
18 +k
4Π
3 ; x=− 5Π
18 +k 4Π
3
10) cos22x
=1
4 ⇔x=±
Π
6 +kΠ ; x=±
Π
3 +kΠ
11) cos2x
1−sin 2x=0 ⇔x=− Π
4 +kΠ
12) tanx.tan3x=1 ⇔x=Π
8 +k
Π
4
13) cosx=−√2
2 ⇔x=±
3Π
4 +k2Π
14) cos(3x −150)=−√2
2 ⇔x=50
0
+k1200; x=−400+k1200
15) cos x
2=cos√2 ⇔x=±2√2+k4Π
16) cos(x+ Π
18)=
5 ⇔x=−
Π
18 ±arccos
5+k2Π
17) cos(x −5)=√3
2 /x∈(− Π ; Π) ⇔x=5− 11Π
6 ; x=5− 13Π
6
18) cos 3x=sin 2x
19) cos 2x −sin(x −1200)=0
20) cos(x+300)+2cos2150=1 ⇔
x=1200+k3600; x=−1800+k3600
21) 4cos2x+3=0 x∈(0;Π
2)
22) tan(2x+450)tan(1800−x
2)=1 ⇔x=300+k1200
23) 4cos2x=3
24) tan5x.tan3x=-1
25) cos(3x −150)=√3
2
26) tan(2x+Π
4 )tan(Π −
x
2)=1
27) cos(sinx)=1 ⇔x=kΠ
28) tan2xtan23x=1 ⇔x=Π
8 +k
Π
4 ; x=
Π
4 +k
Π
2
29) tan(x+ Π
12)cot(
Π
4 − x)=2−√3 ⇔x=kΠ ;x=−
Π
3 +kΠ
30) tan(2x+1).tan(3x-1)=1 ⇔x=Π
10+k
Π
5
31) tan5x.tanx=1 ⇔x=Π
12+k
Π
6
32) cos(2x+1)=cos(2x-1) ⇔x=k Π
2
33) cos2x
=2+√3
4 ⇔x=±
Π
12+kΠ
34) sin4x=2cos2x-1 ⇔x=Π
4+kΠ ; x=
Π
12+k
Π
(7)35) 8cos4x-cos4x=1 ⇔x=± Π
3 +kΠ
36) 2cos2x-1=sin3x ⇔x=Π
10+k 2
5
37)Tìm nghiệm dơng bé của: cos(Πx2)=cos(Π(x2+2x+1)) ®/s: x=√3−1
2 <
38) coxcos2x=1+sinxsin2x ⇔x=k2Π
3
39) |sinx|
sinx =cosx −
1
2 víi:0<x<2 Π ⇔x=
4
3
40)Tìm nghiệm dơng bé cđa: sin(Πx2
)=cosΠ(x2+2x −1
2) ®/s: x=√ 3−1
2 <1
41) cos(Πsinx)=cos(3Πsinx) ⇔x=± Π
6 +kΠ ; x=k
Π
2
42) cosΠx=x2−4x+5 ⇔x=2
43) cos5x+x2=0 VN
c) Cơ tanx=a
1) tanx=tan
5 x=
Π
5 +kΠ
2) tan 2x=−1
3 ⇔x=
1 2arctan
−1 +k
Π
2
3) tan(3x+150)=√3 ⇔x=150+k600
4) tan(x-300)cos(2x-1500 )=0 ⇔
x=300+k1800
5) tan(2x+600)cos(x+750 )=0 ⇔x
=−300+k900
6) tan2x-2tanx=0 ⇔x=kΠ
7) cos2x.tanx=0 ⇔x=kΠ ;x=Π
4 +k
Π
2
8) tan(x −150)=√3
3 ⇔x=45
0
+k1800
9) tan(Π
12+12x)=−√3 ⇔x=−
5Π
144+k
Π
12
10) Với giá trị x giá trị hµm sè y=tan(Π
4 − x) vµ y=tan2x b»ng
nhau?
11) tan x
3=3
12) tan2x=tanx
13) tan5x=tan250 ⇔
x=50+k360
14) tan 3x=tan3Π
5 ⇔x=
Π
5 +k
Π
3
15) tan(x −150)=5 ⇔x=arctan 5+12Π +kΠ
16) tan(2x −1)=√3 ⇔x=Π
6+ 2+k
Π
2
17) tan(2x −150)=1/x∈(−1800;900) ⇔x=−1500;x=−600; x=300
18) tan3x=tanx ⇔x=kΠ
19) tan x
2=tanx ⇔x=k2Π
20) tan(2x+100)+cotx=0 ⇔
x=800+k1800
21) 1+tanx
1−tanx=tan 3x ⇔x= Π
8 +k
Π
2
22) tan(x+Π
3 )+cot(
Π
(8)23) tan(Πcosx)=tan(2Πcosx) ⇔x=k Π
2
d) Cơ cotx=a
1) cot 4x=cot2Π
7 ⇔x=
Π
14 +k
Π
4
2) cot3x2 ⇔x=1
3arccot(−2)+k
Π
3
3) cot(2x −100)=
√3 ⇔x=35
0
+k900
4) sin2xcotx=0 ⇔x=Π
2+kΠ
5) cos2xcot(x- Π
4 ) =0 ⇔x=
3Π
4 +kΠ
6) (cotx+1)sin3x=0 ⇔x=−Π
4 +kΠ ; x=
Π
3 +kΠ ;x= 2Π
3 +kΠ
7) cot(3x −1)=−√3 ⇔x=1
3+ 5Π
18 +k
Π
3
8) sin3xcotx=0 ⇔x=Π
2 +kΠ ; x=k
Π
3 /k ≠3m , m∈Z
9) cot2 x
2=
3 ⇔x=±
2Π
3 +k2Π
10) cotx=−1
3 ⇔x=arccot
−1
3 +kΠ
11) cot3x=1 ⇔x= Π
12+k
Π
3
12) cot2x+1
6 =tan
3 ⇔x=
3Π −3
2 +k3Π
13) cot 2x=cot(−1
3) ⇔x=−
1 6+k
Π
2
14) cot(x
4+20
0
)=−√3 ⇔x=−2000+k7200
15) cot 3x=tan2Π
5 ⇔x=
Π
30+k
Π
3
16) cot 3x=−
√3 /x∈(−
Π
2 ;0) ⇔x=−
4Π
9 ; x=−
Π
9
17) cot 2x=cot(x+Π
2 ) VN
19) cot(x-2)=5
20) cot(x2+4x+3)=cot6 ⇔x
=−2±√7+kΠ/k∈Z , k ≥ −2
21) tan(x-150)cot(x+150)=1/3 ⇔x
=450+k1800
$2) Dạng th ờng gặp:
1.Dạng: at+b=0
1) 2sinx-3=0
2) √3 tanx+1=0
3) 3cosx+5=0 VN 4) √3 cotx −3=0 ⇔x=Π6 +kΠ
5) √3 tan 2x+3=0 ⇔x=−Π
6 +k
Π
2
6) cosx −√3=0 ⇔x=±Π6 +k2Π
7) √3 tan 3x −3=0 ⇔x=Π
9 +k
Π
(9)8) 5−3 tan 3=0/x∈(−Π
6 ;
Π
6 )
9) 3sinx+2sin2x=0 ⇔x=kΠ ;x=±arccos(−3
4)+k2Π
10) cos(3x+Π
6 )=1
11) tan(x+Π
3 )+
√3
3 =0
12) sin(5
3cosΠx)=
2
2.Đ a dạng: at+b=0
1) 5cosx-2sin2x=0 ⇔x=Π
2+kΠ
2) sin2x-2cosx=0 ⇔x=Π
2+kΠ
3) sin2x+√2sin 4x=0 ⇔x=±38Π+kΠ ; x=k Π2 4) (sinx+1)(2 cos 2x −√2)=0 ⇔x=−Π
2 +k2Π ; x=±
Π
8+kΠ
5) sin2x-sinx=0 ⇔x=kΠ ;x=Π
2 +k2Π
6) (1+2cosx)(3-cosx)=0 ⇔x=±2Π
3 +k2Π
7) (cot x
3−1)(cot
x
2+1)=0 ⇔x= 3Π
4 +k3Π ; x=−
Π
2+k2Π
8) (3 tanx+√3)(2 sinx −1)=0 ⇔x=5Π
6 +kΠ ;x=
Π
6 +k2Π
9) (2+cosx)(3cos2x-1)=0 ⇔x=±1
2arccos
3+kΠ
10) Cos3x-cos4x+cos5x=0 ⇔x=Π
8 +k
Π
4 ; x=±
Π
3 +k2Π
11) sin7x-sin3x-cos5x=0 ⇔x=Π
10+k
Π
5 ;x=
Π
12+kΠ ; x= 5Π
12 +kΠ
12) cos2x-sin2x=sin3x+cos4x ⇔x=k Π
3 ; x=
Π
6+k2Π ; x= 5Π
6 +k2Π
13) sinxsin 2xsin 3x=1
4sin 4x ⇔x=
Π
8 +k
Π
4 ; x=k
Π
2
14) 1+sinxcos2x=sinx+cos2x ⇔x=Π
2+k2Π ; x=kΠ
15) 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 ⇔x=Π
2 +k2Π
16) tanx(2 sin x
3−1)=0 ⇔x=kΠ
3.D¹ng: at2 +bt+c=0
1) 2sin2x+3sinx-2=0
2) 3cot2x-5cotx-7=0
3) 3cos2x-5cosx+2=0
4) 3tan2x-2
√3 tanx+3=0
5) sin2x
2+√2 sin
x
2−2=0 ⇔x=
Π
2 +k4Π ; x= 3Π
2 +k4Π
6) 6cos2x+5sinx-2=0 ⇔x=−Π
6 +k2Π ; x= 7Π
(10)7) √3 tanx −6 cotx+2√3−3=0 ⇔x=Π
3 +kΠ ; x=arctan(−2)+kΠ
8) 3cos26x+8sin3xcos3x-4=0
9) tanx+tan(x+Π
4)=1 ⇔x=kΠ ;x=arctan 3+kΠ
10) 2cos2x-3cosx+1=0 ⇔x=k2Π ; x=±Π
3 +k2Π
11) sin2x
2+−2 cos
x
2+2=0 ⇔x=k4Π
12) 8cos2x+2sinx-7=0 ⇔x=Π
6 +k2Π ; x= 5Π
6 +k2Π
13) 2tan2x+3tanx+1=0 ⇔x=−Π
4 +kΠ ; x=arctan
−1
2 +kΠ
14) tanx-2cotx+1=0 ⇔x=Π
4+kΠ ; x=arctan(−2)+kΠ
15) 2cos2x-3cosx+1=0 ⇔x=k2Π ; x=∓Π
3 +k2Π
16) sinx+1,5 cotx=0 ⇔x=±2Π
3 +k2Π
17) √1−cosx=sinx(x∈[Π ;3Π]) ⇔x=2Π ; x=5Π
2
18) 2sin2x+5sinx-3=0 −1¿
kΠ
6 +kΠ
⇔x=¿
19) cot23x-cot3x-2=0 ⇔x=Π
4+k
Π
3 ; x=
3arctan 2+k
Π
3
20) cos2x −2
(1+√2)cosx+√2=0 ⇔x=± Π3 +k2Π ;x=±Π4 +k2Π 21) cos 2x+2 cosx −√2=0 ⇔x=± Π
4 +k2Π
22) 5tanx-2cotx-3=0 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan
−2 +kΠ
23) cos2x+sinx+1=0 ⇔x=−Π
2 +k2Π
24) √3 tan2x −(1+√3)tanx+1=0 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=
Π
6 +kΠ
25) 3cos2x+10sinx+1=0 x∈(−Π
2 ;
Π
2 )
26) cot2x-3cotx-10=0 x∈(0;Π)
27) (tanx+cotx)2-(tanx+cotx)=2 ⇔x=Π
4 +kΠ
28) 2sin2x-3cosx=2
x∈[00;3600]
29) tanx+2cotx=3 x∈[1800;3600]
30) tan2x+3=
cosx ⇔x=k2Π
31) tan2x+2tanx-1=0
32) √2sinx −1=2−3 sinx −1¿
karcsin5
9+k2Π
⇔x=¿
33) 2sin2x+cosx-1=0
34) 8sin2x-cosx=5 ⇔x=± Π
3 +k2Π ;x=±arccos(−
(11)35) tan2x
+5=
cosx
36) cos2x-3sinx=2 ⇔x=−Π
2 +k2Π ; x=−
Π
6 +k2Π ; x= 7Π
6 +k2Π
37) tanx+√3 cotx=1+√3 ⇔x=Π
3 +kΠ ; x=
Π
4 +kΠ
38) cot2x+2√2sin2x=(2+3√2)cosx ⇔x=± Π4 +kΠ ; x=±Π3+k2Π
39) sin2x+
sin2x=sinx+
1
sinx ⇔x=
Π
2+k2Π
40) 2(cos2x+
cos2x )=9(cosx −
2
cosx)+1 ⇔x=(2k+1)Π ; x=±
2Π
3 +k2Π
41) cot2x+
cos2x +
5
2(tanx+cotx)+2=0 ⇔x=−
Π
4 +kΠ
42) (4sinx-5cosx)2-13(4sinx-5cosx)+42=0
⇔x=arccot4
5+arcsin
√41+k2Π ; x=Π+arccot
5−arcsin
√41+k2Π
43) cosx+4 sinx+
3 cosx+4 sinx+1=6 ⇔x=arctan
4
3+k2Π
44) sin22x+sin24x=3/2 ⇔x=Π
8 +k
Π
4 ; x=±
Π
6 +k
Π
2
45) sin4x=tanx ⇔x=kΠ ;x=±1
2arccos
√3−1
2 +kΠ
46) cos2x+sin2x+2cosx+1=0 ⇔x=(2k+1)Π
47) 1−tanx
1+tanx=1+sin 2x ⇔x=kΠ
48) sin 5x
5 sinx=1 VN
49) |cotx|=tanx+
sinx ⇔x=−
2Π
3 +k2Π
50) cos4x
3 =cos
2
x ⇔x=k3Π ; x=±Π
4 +k3Π ; x=± 5Π
4 +k3Π
51) cosx+2|sinx|=2 ⇔x=Π
2 +kΠ
52) cosx+2|sinx|=3 ⇔x=k2Π ; x=±arccos
13+k2Π
53) 6tanx+5cot3x=tan2x ⇔x=±1
2arccos
3+kΠ ; x=± 2arctan
−1 +kΠ
54)
2tan
2
x −
cosx+
5
2=0 ⇔x=±
Π
3+k2Π
55) cos22x+sin2x=1/2 ⇔x=Π
4 +k
Π
2 ; x=±
Π
6 +kΠ
56) 2cos22x+3sin2x=2 ⇔x=kΠ ;x=±1
2arccos
−1
4 +kΠ
57) cos 2x+2cosx=2sin2x
2 ⇔x=±
Π
3+k2Π
58) 2-cos2x=sin4x VN
59) tanx+√3 cotx −3−√3=0 ⇔x=Π6+kΠ ; x=Π4 +kΠ
60) 3sin22x+7cos2x-3=0 ⇔x=Π
4 +k
Π
2
(12)62) 4sin4x+12cos2x-7=0 ⇔x=Π +k
Π
2
63) cot2x −
(1−√3)cotx −√3=0 ⇔x=−Π6 +kΠ ; x=Π4 +kΠ
64) 12 cosx+5 sinx+
12 cosx+5 sinx+14+8=0
⇔x=Π+arcsin
13+k2Π ;x=arcsin
13 ±arccos
−9
13 +k2Π
65) 5cos4x+3sin4x-3=0 ⇔x=Π
2 +kΠ ; x=±
Π
6 +kΠ 66)
3 cos 2x+2(1+√2+sinx)sinx −3−√2=0 ⇔{Π6 +k2Π ;56Π+k2Π ;Π4 +k2Π ;34Π+k2Π}
67) cos2x+sin2x+2cosx+1=0 ⇔x=(2k+1)Π
68) 2cos2x-sin2x-4cosx+2=0 ⇔x=k2Π ; x=±arccos1
3+k2Π
69)
sin2x+3 tan
2x
+4(tanx+cotx)−1=0 ⇔x=−Π
4 +kΠ
4.D¹ng : asin2 x+bsinxcosx+ccos2 x =0
1) 2sin2x-5sinxcosx-cos2x=-2 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan
4+kΠ
2) 2sin2x+sinxcosx-3cos2x=0 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan
−3
2 +kΠ
3) 3sin2x-4sinxcosx+5cos2x=2 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan 3+kΠ
4) sin2x+sin2x-2cos2x=1/2 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan(−5)+kΠ
5) 4sin2x+3
√3 sin2x-2cos2x=4 ⇔x=Π
2+kΠ ; x=
Π
6 +kΠ
6) 25sin2x+15sin2x+9cos2x=25 ⇔x=Π
2 +kΠ ; x=arctan
15+kΠ
7) 4sin2x-5sinxcosx-6cos2x=0 ⇔x=arctan 2+kΠ ; x=arctan(−3
4)+kΠ
8) sin2
x-√3 sinxcosx+2cos2x=1 ⇔x=Π
2 +kΠ ; x=
Π
6 +kΠ
9) 2sin2x+3
√3 sinxcosx-cos2x=4 VN
10) 3sin2x+4sin2x+ (8
√3−9) cos2x=0 ⇔x=−Π
3 +kΠ ; x=arctan(√3− 3)+kΠ
11) sin2x+sin2x-2cos2x=1/2 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan(−5)+kΠ
12) cos2x-3sin2x=0 ⇔x=±Π
6 +kΠ
13) 3sin2x-sin2x-cos2x=0 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan
−1
3 +kΠ
14)3sin22x-sin2xcos2x-4cos22x=2 ⇔x=1
2arctan(−2)+k
Π
2 ; x=
2arctan 3+k
Π
2
15) 2sin2x+3sinxcosx+cos2x=0 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan
−1 +kΠ
16) sin2x+(3+√3)sinxcos sx+(√3−1)cos2x=−1 ⇔x=−Π4 +kΠ ; x=−Π6 +kΠ
17) sin2x
2+sinx −2 cos
2x
2=1/2 ⇔x=
Π
(13)18) sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan 2+kΠ
19) sin2x-2
√3 sinxcosx+3cos2x=0 ⇔x=Π
3 +kΠ
20) sin2x+√3 sinxcosx+√3 cos2x=−1
2sin 2x ⇔x= 3Π
4 +kΠ ;x= 2Π
3 +kΠ
21) √3 sin2x −(1−√3)sinxcosx −cos 2x=sin2x ⇔x=34Π+kΠ ;x=Π6 +kΠ
22) 2sin2x-5sinxcosx-8cos2x=-2 ⇔x=arctan 2+kΠ ; x=arctan(−3
4)+kΠ
23) sin2x+sin2x=1/2 ⇔x=α
2+k
Π
2 víi:
¿
sinα=
√5 cosα=
√5 0<α<Π
2
¿{
¿
25) 4sin2x+2sin2x+2cos2x=1 ⇔x=−Π
4 +kΠ ; x=arctan
−1
3 +kΠ
26) 4sin2x+3
√3 sin2x-2cos2x=4
27) 4cos2x+3sinxcosx-sin2x=3 ⇔x=Π
4+kΠ ; x=arctan
−1
4 +kΠ
28) 2sin2x-sinxcosx-cos2x=2 ⇔x=Π
2 +kΠ ; x=arctan(−3)+kΠ
29) 4sin2x-2sin2x+3cos2x=1 VN
30) 5sin2x+2sinxcosx+cos2x=2 ⇔x=−Π
4 +kΠ ; x=arctan
3+kΠ
31) sin2x-2sin2x+3cos2x=1 ⇔x=Π
2 +kΠ ; x=arctan
2+kΠ
32) 3sin2x-3sinxcosx+4cos2x=1 VN
33) sin2x-2sin2x=2cos2x ⇔x=Π
2+kΠ ; x=
Π
4 +kΠ
34) 2sin2 2x-3sin2xcos2x+cos22x=2 ⇔x=Π
4 +k
Π
2 ; x=
2arccot(−3)+k
Π
2
35) sinxcos(x −Π
2 )+4 sin(Π+x)cosx+2 sin( 3Π
2 − x)cos(Π+x)=1
⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan
3+kΠ
36)sin2x+sinxcos4x+cos24x=3/4 ⇔{Π
18+k 2Π
3 ; 7Π
30 +k 2Π
5 ;−
Π
30+k 2Π
5 ; 5Π
18 +k 2Π
3 }
37) 2√2(sinx+cosx)cosx=3+cos 2x VN
38) 4√3 sinxcosx+4 cos2x −2 sin2x=5
2 ⇔x=
Π
3+kΠ ; x=arc cot(−3√3)+kΠ
5
D¹ng: asinx+bcosx =c
1) sinx+√3 cosx=1 ⇔x=Π
2+k2Π ; x=−
Π
6+k2Π
2) √3 sin3x −cos 3x=√2
3) cosx −√3 sinx=√2 ⇔x=− Π
12+k2Π ; x=− 7Π
(14)4) sin 3x −4 cos 3x=5 ⇔x=α
3+
Π
6 +k 2Π
3 víi:
¿
sinα=4
5 cosα=3
5 0<α<Π
2
¿{
¿
5) sinx+2 cosx −√2=0 ⇔x=−12Π +k2Π ; x=127Π+k2Π
6) 12sin 2x+5 cos 2x −13=0 ⇔x=Π
4 −
α
2+kΠ víi:
¿
sinα=
13 cosα=12
13 0<α<Π
2
¿{
¿
7) 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 ⇔x=Π
2+k2Π
8) tanx −3 cotx=4(sinx+√3 cosx) ⇔x=−Π
3 +kΠ ; x= 4Π
9 +k 2Π
3
9) sinx+cosx=1 ⇔x=k2Π ; x=Π −2α+k2Π víi:
¿
sinα=
√5 cosα=
√5 0<α<Π
2
¿{
¿
10) sinx+3 cosx=5 ⇔x=Π
2 − α+k2Π víi:
¿
sinα=3
5 cosα=4
5 0<α<Π
2
¿{
¿
11) √3 sinx −cosx=1 ⇔x=Π+k2Π ; x=Π
3 +k2Π
12) sin3x+√5 cos 3x=−3 ⇔x=Π3+α+k23Π víi:
¿
sinα=2
3 cosα=√5
3 0<α<Π
2
¿{
¿
(15)13) sinx+3 cosx=−5 ⇔x=Π+α+k2Π víi:
¿
sinα=4
5 cosα=3
5 0<α<Π
2
¿{
¿
14) sin2x −2 cos 2x=√2 ⇔x=5Π
24 +kΠ ;x= 13Π
24 +kΠ
15) 5sin2x-6cos2x=13 VN
16) sinx+sin2x
2=0,5 ⇔x=arctan
1
2+kΠ
17) sinx −2cosx=3 VN
18) sinx=√2sin 5x −cosx ⇔x=Π
8+k
Π
3 ; x=
Π
16+k
Π
2
19) cos2x-sin2x=0 ⇔x=±1
2arccos
3+kΠ
20) cosx −|sinx|=1 ⇔x=±arccos4
5+k2Π
21) sinx −2 cosx=1−√3 ⇔x=Π
6 +k2Π ; x= 4Π
3 +k2Π
22) sin(x+100)−√12 cos(x+100)=3
23) sin 5x+√3 cos 5x=2 cos 3x ⇔x=12Π+kΠ ; x=48Π+kΠ4
24) √3 sin3x −cos 3x=1 ⇔x=−Π3 +k23Π
25) √13sin 4x+3 cos 2x=4 sinxcosx ⇔x=−α2+kΠ ; x=Π6+α+kΠ3 víi:
¿
sinα=
√13 cosα=
√13
¿{
¿
26) sinx+4 cosx=5 ⇔x=α+k2Π víi:
¿
sinα=3
5 cosα=4
5 0<α<Π
2
¿{
¿
27) sin 4x+√3 cos 4x=√2 ⇔x=5Π
48 +k
Π
2 ; x=−
Π
48+k
Π
2
28) cosx+2|sinx|=2 ⇔x=Π
2 +kΠ
29) cosx+2|sinx|=3 ⇔x=Π
2+kΠ ; x=k2Π ; x=±arccos
13+k2Π
30) 2cos3x+cos2x+sinx=0 ⇔x=Π
2 +k2Π ; x=
Π
4 +kΠ
31) sinx+√3 cosx
sinx −cos 450 =0 ⇔x=−
Π
(16)32) sin2x+3 cos 2x=√13 sin 14x ⇔x= α
12+k
Π
6 ; x=
Π −α
16 +k
Π
8 víi:
¿
sinα=
√13 cosα=
√13
¿{
¿
33) 2√3 sinx+3 cosx=9
2 ⇔x=arcsin 2√17±arccos
9
2√21+k2Π
34) sin8x-cos6x= √3 (sin6x+cos8x) ⇔x=Π
4+kΠ ; x=
Π
12+k
Π
7
35) T×m x cho: y=1+sinx
2+cosx số nguyên x=
Π
2+kΠ ; x=Π+k2Π
6 D¹ng: a(sinx ± cosx)+bsinxcosx+c=0
1) sinx+cosx=1+cosxsinx ⇔x=k2Π ; x=Π
2 +k2Π
2) 5sin2x +sinx+cosx+6=0 VN
3) (√2−1)(sinx+cosx)+2 sinxcosx=√2−1
⇔x=k2Π ; x=Π
2 +k2Π ; x= 3Π
4 +k2Π
4) (1−√2)(sinx+cosx)+2 sinxcosx=√2−1
⇔x=Π+k2Π ; x=−Π
2 +k2Π ; x=
Π
4 +k2Π
5) (2+√2)(sinx+cosx)+4 sinxcosx=−2−√2
⇔x=Π+k2Π ; x=−Π
2 +k2Π ; x=− 5Π
12 +k2Π ;x= 11Π
12 +k2Π
6) 4cosxsinx-2(sinx+cosx)=-1 ⇔x=Π
4 ±arccos
√2±√6
4 +k2Π
L u ý : √2−√6
4 =cos
7Π
12 ;
√2+√6
4 =cos
Π
12
7) 2(sinx+cosx)+sin2x+1=0
8) sinx+cosx=1-sin2x ⇔x=k2Π ; x=Π
2 +k2Π
9) 12(sinx-cosx)=12+sin2x ⇔x=Π+k2Π ; x=Π
2 +k2Π
10)3(sinx+cosx)+2sin2x+3=0
⇔x=−Π
4 +arcsin
−√2
4 +k2Π ; x= 3Π
4 −arcsin
−√2
4 +k2Π
11) sinx-cosx+4sinxcosx+1=0 ⇔x=k2Π ; x=3Π
2 +k2Π
12) sin3x+cos3x=1 ⇔x=k2Π ; x=Π
2 +k2Π
13) sin3x+cos3x=cosx ⇔x=kΠ ;x=Π
4 +kΠ
14) 1+sin2x=sinx+cosx ⇔x=k2Π ; x=Π
2 +k2Π ; x=−
Π
4 +kΠ
15) 2sin2x+3sinx=-3cosx ⇔x=Π
4 ±arccos
2√2+k2Π
16) sin2x(sinx+cosx)= √2 ⇔x=Π
4 +kΠ
17) sin2x-4(sinx-cosx)=4 ⇔x=k2Π ; x=−Π
(17)18) cotx-tanx=sinx+cosx ⇔x=−Π
4 +kΠ ; x=−
Π
4 ±arccos
√2−1
√2 +k2Π
19) cos3x=sin3x+1 ⇔x=(2k −1)Π ; x=Π
2 +k2Π
20) |sinx −cosx|+4 sin 2x=1 ⇔x=kΠ
2
21) 1+sin32x+cos32x=3
2sin 4x ⇔x=
Π
2 +kΠ ; x=−
Π
4+kΠ
22) 1+cos2x+sinx=2cos2x
2 ⇔x=k2Π ; x=
Π
2 +k2Π ; x=
Π
4+kΠ
23) sin3x+cos3x=cos2x ⇔x=k2Π ; x=3Π
2 +k2Π ; x= 3Π
4 +kΠ
24)3(cotx-cosx)-5(tanx-sinx)=2 ⇔x=arctan3
5+kΠ ; x=
Π
4 ±arccos 1−√2
√2 +k2Π
25) tanx-2 √2 sinx=1 ⇔x=−Π
4 +k2Π ; x= 5Π
12 +k 2Π
3
26) cos3x-cos2x=sin3x
⇔x∈{−Π
2 +k2Π ;−
Π
4 +kΠ ;k2Π ; 5Π
4 −arcsin
√2
4 +k2Π ;
Π
4 +arcsin
√2
4 +k2Π}
7. Một số dạng khác: 1) (cos x
4−3 sinx)sinx+(1+sin
x
4−3 cosx)cosx=0 VN
2) sin2x+sin23x=2sin22x ⇔x=kΠ ;x=Π +k
Π
4
3) sin x
2cos
2
x −2 sin x 2sin
2
x=cos2x −sin2x
4) sin2xsin5x=sin3xsin4x ⇔x=k Π
2
5) cosxcos5x=cos2xcos4x ⇔x=kΠ
3
6) cos4xcos5x=cos2xcos3x
7) sinx+sin2x=cosx+cos2x ⇔x=Π+k2Π ; x=Π
6 +k 2Π
3
8) sin2x+sin4x=sin6x ? ⇔x=kΠ
2 ; x=k
Π
3
9) cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=2 ⇔x= Π
10+k
Π
5 ;x=
Π
4 +k
Π
2 ; x=
Π
2 +kΠ
10) sin24x+sin23x=sin22x+sin2x ⇔x=Π
2 +kΠ ; x=k
Π
5
11) (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx ⇔x=kΠ ;x=−Π
4 +kΠ
12) tanx+cot2x=2cot4x ⇔x=± Π
3 +kΠ hay x=k
Π
3 /k∈Z , k ≠3m, m∈Z
13) sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x ⇔x=±2Π
3 +k2Π ; x=
Π
8 +k
Π
2
14) tanx+tan2x=sin3xcosx ⇔x=k Π
3
15)
sin 2x+
1 cos 2x=
2
sin 4x VN
16) sinx+cosx=cos 2x
1−sin2x ⇔x=k2Π ; x=−
Π
2 +k2Π ; x=−
Π
4 +kΠ
17) 1+cos 2x
cosx =
sin 2x
1−cos 2x ⇔x= Π
6+k2Π ; x= 5Π
(18)18) tan2x-sin2x+cos2x-1=0 ⇔x=kΠ ;x=Π
8 +k
Π
2
19) sin4x+cos4x=3/4 ⇔x=Π
8+k
Π
4
20) sin22x −sin2x=sin2Π
4 ⇔x=±
Π
4 +kΠ ; x=±
Π
6 +kΠ
21) sin2x+tanx=2 ⇔x=Π
4+kΠ
22) cosxcos2x=cos3x ⇔x=kΠ
2
23) tan2x
=1+cosx
1+sinx ⇔x=(2k+1)Π ; x=
Π
4 +kΠ
24) tanx+tan 2x=sin 3x
cosx ⇔x=k
Π
3 /k∈Z , k ≠3m , m∈Z
25) sin5x+sin3x+sinx=0 ⇔x=kΠ
3
26) cosx+cos2x+cos3x=0 ⇔x=Π
4 +k
Π
2 ; x=∓ 2Π
3 +k2Π
27) sinx+sin3x+sin 5x
cosx+cos 3x+cos 5x=0 ⇔x=kΠ ;x=∓
Π
3 +k2Π
28) cos2(x+Π
4 )+cos
2
(x2+
Π
4 )=1 ⇔x=Π+k2Π ; x=k
2Π
3
29) cos2(x+Π
4 )−cos
2
(x2+
Π
4 )=0 ⇔x=k2Π ; x=−
Π
3 +k 2Π
3
30) |tan(2x −Π
3)cot(x+
Π
3)|=1 ⇔x=kΠ ;x=
Π
3 +kΠ
31) cos7xcos6x=cos5xcos8x 32)
sinx 1+sin x
2
=
1−sinx cosx
2
⇔x=Π
2+kΠ
33)
2 tan x 1+tan2x
2
=cosx
2 ⇔x=
Π
3+k 4Π
3
34) cos6xcos2x=1 ⇔x=k Π
2
35) sin6xsin2x=1 VN
36) 2(sin22x+sin2x)=3 ⇔x=Π
4 +k
Π
2 ; x=∓
Π
3 +kΠ
37) 6cos2x-cosx=-cos3x ⇔x=Π
2 +kΠ ; x=∓
Π
3 +k2Π
38) 2tanx+tan2x=tan4x ⇔x=kΠ
3
39) sin3x
4 sin 5x
4 =sin
x
2sin 3x
2 −cos
x
2cos 3x
2 ⇔x=Π+k2Π
40) √2cos 5x=sin(2x+Π)+sin(2x+Π
2 )cot 3x
⇔x=Π
10+k
Π
5 ;x=
Π
12+k 2Π
3 ; x=
Π
4 +k 2Π
3
41) √2cos(2x+Π
4 )=cos(x+
Π
4)−sin(x+
Π
4 ) ⇔x=
Π
4 +k2Π ; x= 5Π
12 +k 2Π
(19)42) (tanx+√3)2−√3=(1+√3)tanx+3 ⇔x=Π
4+kΠ ; x=
− Π
13 +kΠ
43) sin 2x+sinx
cosx=2 ⇔x=
Π
4 +kΠ
44) cos2xsin2x+1=0 ⇔x=Π
2 +kΠ
45) tan2x-2sin2x=sin2x ⇔x=kΠ ;x=Π
8 +k
Π
2
46) sin(x+Π
6 )+6 cos(x −
Π
3)=5√2 ⇔x=
Π
12+k2Π ; x= 7Π
12 +k2Π
47)
sinx+
1
cosx=tanx −
1
tanx ⇔x=−
Π
4 +kΠ
48) sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 ⇔x=Π+k2Π ; x=k2Π
5
49)8sin3xcosx-3sin2x+2sin2xcos2x+cos4x=1 ⇔x=kΠ ;x=arctan1
2+kΠ ; x=arctan 2+kΠ
50) 2sinxcos2x-1+2cos2x-sinx=0 ⇔x=± Π
6 +kΠ
51) sinx −sin3x+sin 5x
cosx −cos 3x+cos 5x=0 ⇔x=k
Π
3
52) 2cot2x-3cot3x=tan2x
53) cosxcosx
2cos 3x
2 −sinxsin
x
2sin 3x
2 =
1
⇔x=−Π
2 +k2Π ; x=
Π
6 +k 2Π
3 ; x=−
Π
4 +kΠ
54) cos 3x
sin 2x =
cos 5x
sin 2x
55) tan2x=3tanx
56) tan2x+cotx=8cos2x ⇔x=Π
2 +kΠ ; x=
Π
24+k
Π
2 ;x= 5Π
24 +k
Π
2
57) cos4
3 x+sin
23
2x+2 sin
25
6 x=cos
23
2x
58) cos2x+4sin4x=8cos6x ⇔x=Π
4 +k
Π
2
59) sin4x+cos4x=3−cos 6x
4 ⇔x=
Π
2 +kΠ ; x=
Π
10+k
Π
5
60) 2cos24x+sin10x=1 ⇔x=−Π
4 +kΠ ; x=−
Π
36+k
Π
9
61) tan(3x+1500)−tan(1300− x)=2sin(1000+2x)
62) 2cos2x-sin2x=2(sinx+cosx)
63) tan(2x −Π
4 )tan(2x+
Π
4 )=
4 cos22x
tanx −cotx
64) sin
10
x+cos10x
2 =
sin4x+cos4x
2 cos22x+sin22x
65) sin3x+cos3x
2 cosx −sinx=cos 2x ⇔x= Π
2+kΠ ; x=−
Π
4 +kΠ ;x=arctan 2+kΠ
66) 1−cos 2x
2sinx =
sin 2x
1+cos 2x
67) cos 2x −cosx=2 sin23x
2 ⇔x=k
2Π
3 ; x=kΠ
68) sin4xcos5x=sin2xcos3x ⇔x=k Π
2 ; x=(2k+1)
Π
(20)69) sin3x+sin5x+sin7x=0 ⇔x=kΠ
5 ; x=±
Π
3 +kΠ
70) tanx+tan2x=tan3x ⇔x=kΠ
3
71) 3+2sinxsin3x=3cos2x ⇔x=kΠ
72) 2sinxcos2x-1+2cos2x-sinx=0 ⇔x=−Π
2 +k2Π ; x=±
Π
6 +kΠ
73) sin2x+sin22x+sin23x+sin24x=2 ⇔x=Π
4 +k
Π
2 ; x=
Π
10+k
Π
5
74) 3tanx+2cot3x=tan2x ⇔x=± Π
6 +kΠ ; x=±
arccos(−1 3)
2 +kΠ
75) (2sinx-cosx)(1+cosx)=sin2x ⇔x=(2k+1)Π ; x=Π
6 +k2Π ; x= 5Π
6 +k2Π
76) tan2x-2sin2x=sin2x ⇔x=kΠ ;x=Π
8 +k
Π
2
77) sin4x
+cos4x=3
4 ⇔x=±
Π
8+k
Π
2
78) sin6x+cos6x=1 ⇔x=k Π
2
79) 1-sinxcosx(2sin2x-cos22x)=0 ⇔x=Π
4 +k
Π
2
80) tanx-3cot3x=2tan2x ⇔x=±arccos(−1
3
√2)
2 +kΠ
81) 6tan2x-2cos2x=cos2x ⇔x=± Π
6 +kΠ
82) sinx+3 cosx=4(1+tanx)−
cosx ⇔x=k2Π ; x=arccos
3
5±arccos 5+k2Π
83) sin2xsin5xsin7x=1 VN
84) sin22x+cos23x=1 ⇔x=kΠ ;x=k Π
5
85) tan2x+cot2x=2sin5(x+Π
4) ⇔x=
Π
4 +k2Π
86) (cos4x-cos2x)2=4+cos23x ⇔x=Π
2+kΠ
87) 2sin5x+3cos8x=5 VN
88) cos2xcos25x=1 ⇔x=kΠ
89) sinxcos4xcos8x=1 ⇔x=Π
2 +k2Π
90) 2(cos6x+cosx)=4+cos2 3x
2 VN
91) sin3xsin3x+cos3xcos3x=1 ⇔x=kΠ
92) sinx+2sin2x=3+sin3x VN 93)
sin6x+cos6x
tan(x −Π
4 )tan(x+
Π
4 )
=−1
4 VN
94) sin
6
x+cos6x
cos2x −sin2x =
1
4tan 2x VN
95) sin2x+cos2x+tanx=2 ⇔x=Π
4+kΠ
96) sin3
(x − Π
4)=√2 sinx ⇔x= 3Π
(21)97) sin3
(34Π+
x
2)=sin(
Π
4 + 3x
2 ) ⇔x=
Π
2+k2Π ; x=(k −1)Π
98) sin2x+sin22x=1 ⇔x=(2k+1)Π
6
99) sin2x+sin22x+sin23x=3/2 ⇔x=± Π
3+kΠ ; x=
Π
8+k
Π
4
100) cos2x+cos22x=1 ⇔x=(2k+1)Π
4 ; x=±
Π
3 +kΠ
101) cos2x+cos22x+cos23x=1 ⇔x=Π
6 +k
Π
3 ; x=
Π
4 +k
Π
2
102) cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2 ⇔x=Π
8+k
Π
4 ; x=± 2Π
5 +kΠ ; x=±
Π
5 +kΠ
103) sinxcos2x=sin2xcos3x-
2 sin5x ⇔x=kΠ ;x=k
Π
3
104) sinx(1+cosx)=1+cosx+cos2x ⇔x=Π
2 +k2Π
105) sinxsin2xcos5x=1 VN
106) tan2x+cot2x=2sin2y
⇔
x=Π
4 +k
Π
2
y=(2l+1)Π
2
¿{
107) 1−sinx¿
4
=1
8 sin4x+¿
⇔x=Π
6 +k2Π ; x= 5Π
6 +k2Π
108) sin4x+cos4x −cos2x+1
4sin
2
2x −2=0 ⇔x=(2k+1)Π
2
109) sin3x+cos3x=
sin4x+cos4x ⇔x=k2Π ; x=
Π
2 +k2Π
110) sinxsin2xsin3x=
4 sin4x ⇔x=
Π
8 +k
Π
4 ; x=k
Π
2
111) sin4x+cos4x=1
2sin 2x ⇔x=
Π
4 +kΠ
112) 2sinx+cotx=2sin2x+1 −1¿
kΠ
6 +kΠ ; x=− Π
4 ±arccos√ 2−2
2 +k2Π
⇔x=¿
113) sinxcos 4x −sin22x=4 sin2(Π
4 −
x
2)−
2 thoả m·n: |x −1|<3 ⇔x=−
Π
6 ;x= 7Π
6
114) 6sinx-2cos3x=5sin2xcosx ⇔x=Π
4+kΠ
115) 3(cos 2x+cot2x)
cot 2x −cos 2x −2 sin 2x=2 ⇔x=
7Π
12 +kΠ
116) √1−sinx+√1+sinx=2 cosx ⇔x=k2Π
117) 4 cos2
x+3 tan2x −4√3 cosx+2√3 tanx+4=0 ⇔x=−Π6 +kΠ
upload.123doc.net) sin4x+cos4x
sin 2x =
1
2(tanx+cotx) VN
119) sin
2
2x −2
sin22x −4 cos2x=tan
2x ⇔x
=Π
4 +k
Π
2
120) √sinx+sinx −sin2x+cosx=1 ⇔x=k2Π ; x=Π ±arcsin√5−1
(22)121) cos 2x+cos3x
4 −2=0 ⇔x=k8Π
122) 1-tan2x=2tanxtan2x ⇔x=Π
8+k
Π
2
123) (sin
3x
2+ sin3x
2 )
2
+
(cos3 x
2+ cos3x
2 )
2
=81
4 cos
24x
⇔x=Π
2+kΠ
124) sinx-2sin2x-sin3x=2 √2 VN
125) sin4x-4sinx-cos4x+4cosx=1 ⇔x=Π
4 +kΠ
126)
sin42x+cos42x
tan(Π
4 − x)tan(x+
Π
4)
=cos44x
⇔x=kΠ
2
127) tan2x=1+cosx
1−sinx ⇔x=(2k+1)Π ; x=−
Π
4 +kΠ
128) (cosx −2 sin3x)sin 3x+(1+sinx −2cos 3x)cos 3x=0
129) 2cos3 x=sin3x ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan(−2)+kΠ
130) sin6x+cos6x=
6 (sin4x+cos4x) ⇔x=
Π
8 +k
Π
4
131) (cos2x-cos4x)2=6+2sin3x ⇔x=Π
2 +k2Π
132) sin8x
+cos8x=2(sin10x+cos10x)+5
4cos 2x ⇔x=
Π
4+k
Π
2
133) √3 sin2x −2cos2x=2√2+2 cos 2x ⇔x=Π2 +kΠ
134) tan22xtan23xtan5x=tan22x-tan23x+tan5x ⇔x=k Π
5
135) 3(cos 2x+cot2x)
cot 2x −cos 2x −2 sin 2x=2 ⇔x=− Π
12+kΠ ; x=
Π
12+kΠ
136) sin22x −cos28x=sin(17Π
2 +10x) ⇔x=
Π
20 +k
Π
10 ; x=
Π
6 +k
Π
3
137) sin
4 x
2+cos
4x
2 1−sinx −tan
2
xsinx=1+sinx
2 +tan
2
x ⇔x=
Π
4 +k
Π
2
139) sin8x
+cos8x=17
16 cos
22x
⇔x=Π
8 +k
Π
4
140) 4cosx-2cos2x-cos4x=1 ⇔x=k2Π ; x=Π
2 +kΠ
141) 3tan3x+cot2x=2tanx+
sin 4x ⇔x=±
1 2arccos
−1 +kΠ
142) cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos33x ⇔x=k2Π
143) sin4x+cos4(x+Π
4 )=
4 ⇔x=kΠ ;x=
Π
4 +kΠ
144) 1+sinx
2sinx −cos
x
2sin
2x
=2cos2(Π
4 −
x
2) ⇔x=kΠ
145) cos2x-cos6x+4(3sinx-4sin3x+1)=0 ⇔x=Π
2 +kΠ
146) tan2xtan3xtan5x=tan2x-tan3x-tan5x ⇔x=k Π
(23)147) |cosx+2 sin 2x −cos 3x|=1+2 sinx −cos 2x ⇔x∈{kΠ ;Π
2 +k2Π ; Π
3 +k2Π ; 2Π
3 +k2Π}
148) sinx+sin3x+sin 3x
cosx+cos 3x+cosx =√3 ⇔x=
Π
6+k
Π
2
149) 1+2 sin2x −3√2 sinx+sin 2x
2 sinxcosx −1 =1 ⇔x= 3Π
4 +k2Π
150) tan2x=1−cos
3
x
1−sin3x
⇔x∈{k2Π ;Π
4 +kΠ ;−
Π
4 +arcsin(1−
√2
2 )+k2Π ; 3Π
4 −arcsin(1−
√2
2 )+k2Π}
151) cot 2x+cot 3x+
sinxsin 2xsin 3x=0 VN
152) 3sinx+2cosx=2+3tanx ⇔x=k2Π ; x=arctan−2
3 +kΠ
153) sin3xsin3x+cos3xcos3x=cos34x ⇔x=kΠ ;x=kΠ
3
154) sin3xsin3x+cos3xcos3x= √2
4 ⇔x=±
Π
8 +kΠ
155)
sinx+ √
3
cosx=8 sinx ⇔x= Π
6 +kΠ ; x=−
Π
12+k
Π
2
156) sin3x
(1+cotx)+cos3x(1+tanx)=2√sinxcosx ⇔x=Π4 +k2Π
157) tan(1200+3x)-tan(1400-x)=2sin(800+2x) x=-400+k600
158) sinx+
sinx +cosx+
1 cosx=
10
⇔x=−Π
4 +arcsin
2−√19
3√2 +k2Π ; x= 3Π
4 −arcsin
2−√19
3√2 +k2Π
159) cos4x
3 =2 cos
2x
+1 ⇔x=k3Π ; x=±3
2arccos
1−√21
4 +k3Π
160) √2(2 sinx −1)=4(sinx −1)−cos(2x+Π
4)−sin(2x+
Π
4 ) ⇔x=
Π
2+k2Π
161) sinx −2cos3x
=5 sin 4xcosx
2 cos 2x VN
162) 1−cos 4x
2 sin 2x =
sin 4x
1+cos 4x VN
163) cos3x+sin3x=sinx-cosx ⇔x=Π
2 +kΠ
164) √sin2x −2 sinx
+2=2 sinx −1 ⇔x=Π2 +kΠ
165) cosx(2 sinx+3√2)−2 cos
2x −1
1+sin 2x =1 ⇔x=
Π
4 +k2Π
166) tanx+tan2x+tan3x+cotx+cot2x+cot3x=6 ⇔x=Π
4 +kΠ
167) sinx+√2−sin2x+sinx√2−sin2x=3 ⇔x=Π2+k2Π
168) 3tan2x+4sin2x-2
√3 tanx-4sinx+2=0 ⇔x=Π
6+k2Π
169) x2-2xcosx-2sinx+2=0 VN
170) (sin2x −
sin2x)
2
+(cos2x −
cos2x)
2
=7
2+siny −sin
2y ⇔
(x , y)∈(Π
4 +k
Π
2 ;
Π
(24)171) cos2x.sin(sinx)+sinx.cos(sinx)=0
172) 7cos2x+8sin100x=8 ⇔x=Π
2 +kΠ
173) cos 3x+√2−cos23x=2(1+sin22x) ⇔x=k2Π
174) sinx+cosx= √2 (2-sin3x) VN
175) x2-2xsinxy+1=0 ⇔
{(1; Π
2 +k2Π),(−1;
Π
2 +k2Π)}
176) (cos2x-cos4x)2=5+sin3x ⇔x=Π
2+k2Π
177) cos4x −sin4x=|sinx|+|cosx| ⇔x=kΠ
178) cos2x-cos6x+4(3sinx-4sin3x+1)=0 ⇔x=Π
2 +k2Π
179) sin2x+sin2y+sin2(x+y)=9/4
⇔{(−Π
3 +mΠ ;−
Π
3 −kΠ+mΠ),(
Π
3 +kΠ+mΠ ;
Π
3 +mΠ)}
180) sin
10x
+cos10x
4 =
sin6x
+cos6x
4 cos22x+sin22x ⇔x=k
Π
2
181) cosx√
cosx −1+cos 3x√
cos 3x−1=1 VN
182) sin2x+
4 sin23x=sinxsin23x ⇔x=kΠ ;x=
Π
6 +k2Π ; x= 5Π
6 +k2Π
183) (sin2x+
sin2x )
2
+(cos2x+
cos2x)
2
=12+1
2siny ⇔(x , y)∈(
Π
4 +k
Π
2 ;
Π
2 +l2Π)
184) tanx+cotx=2sin 2x+
sin 2x ⇔x=± Π
6 +kΠ ; x=
Π
4 +k
Π
2
185) sin3x+cos3x=2-sin4x ⇔x=Π
2+k2Π
186) cos16xsin4x=1 ⇔x=Π
8 +k
Π
2
187) cos13x+sin14x=1 ⇔x=k2Π ; x=Π
2 +kΠ
188) 3tan2x+4cos2x+2
√3 tanx-4 √3 cosx+4=0 ⇔x=−Π
6 +k2Π
189) cos2x-4cosx-2xsinx+x2+3=0 x=0
190) 3cot2x+4cos2x-2
√3 cotx-4cosx+2=0 ⇔x=Π
3 +k2Π
191) cos2007x+sin2008x=1 ⇔x=k2Π ; x=Π
2 +kΠ
192) cos2008x+sin2008x=1 ⇔x=kΠ
2
193) cos2008x+sin2009x=1 ⇔x=kΠ ;x=Π
2 +k2Π
194) cos2009x+sin2009x=1 ⇔x=k2Π ; x=Π
2 +k2Π
195) sin2(x- Π )-sin(3x- Π )-=sinx ⇔x=kΠ ;x=Π
3 +k 2Π
3
196) 2√3 sinx= tanx
2√sinx −1−√3 ⇔x=30
0
+k3600; x=500+k3600; x=1700+k3600
197) sinx(sinx+cosx)−1
cos2x
+sinx −1 =0 ⇔x=−
Π
2 +k2Π ; x=
Π
(25)198) √1−cosx −√1+cosx
cosx =4 sinx ⇔x=arcsin
1−√5
4 +k2Π ; x=Π −arcsin 1−√5
4 +k2Π
⇔x=− Π
10+k2Π ; x= 11Π
10 +k2Π
199) sin3x-7sin2xcosx+11sinxcos2x-6cos3x=0
⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arctan 2+kΠ ; x=arctan 3+kΠ
200) 9sin3x-5sinx+2cos3x=0 ⇔x=arccot 2+kΠ ; x=1
2arc cot 4+kΠ
201) sin2x+sinx+cos3x=0 ⇔x=−Π
2 +k2Π ; x=
Π
4 ±arccos√ 2−2
2 +k2Π
202) tan2x=1+cos
3
x
1+sin3x ⇔x∈{(2k+1)Π ;
Π
4 +kΠ ;
Π
4 ±arccos(
√2
2 −1)+k2Π}
203) 4sin3xsin3x-4cos3xcos3x= −5
2 ⇔x=±
Π
12+k
Π
2
204) tan2xtan23xtan4x=tan2x-tan23x+tan4x ⇔x=kΠ ;x=Π
4 +k
Π
2
205) sin6x+sin8x+sin16x+sin18x+16sin3x=0 ⇔x=kΠ
3
206) 2sin3x(1-4sin2x)=1
⇔x=Π
14+k 2Π
7 ∧k ≠ 7m+3
2 ,m∈Z ; x=
Π
10+k 2Π
5 ∧k ≠ 5n+2
2 , n∈Z
207) (cosx −2 sin 4x)sin 4x+(1+sinx −2 cos 4x)cos 4x=0 ⇔x=Π
2 +k2Π
208) cos4x+(cos2x-sinx)2=5 ⇔x=Π
2 +k2Π
209) tan2x+tan22x+cot23x =1 VN
210) 3(tan2x+tan22x+tan23x)=tan2xtan22xtan23x ⇔x=kΠ
211) cosx-3 √3 sinx=cos7x ⇔x=kΠ
212) sin4x+cos4x=−1
2cos
2
2x VN
213) sin6x+cos6x+
2 sin4x=0 ⇔x=
3Π
8 −
1
4arccos 5+k
Π
2
214) 8cos4x-4cos2x+sin4x-4=0 ⇔x=kΠ
2 ; x=
Π
8+k
Π
2
215) 1+sinx-cosx-sin2x+2cotx+2=0 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=arccos
√10±arccos
√10+k2Π
216) sinx −sin1x =sin2x −
sin2x ⇔x=
Π
2+kΠ
217) 2tan2x+3tanx+2cot2x+3cotx+2=0 ⇔x=−Π
4 +kΠ
218) 2sin3x+4cos3x=3sinx ⇔x=Π
4 +kΠ
219) sin2x
2cos( 3Π
2 +
x
2)+3 sin
2x
2cos
x
2=sin
x
2cos
2x
2+sin
2
(Π2+
x
2)cos
x
2
⇔x=−Π
2 +k2Π ; x=±
Π
3+k2Π
220) cosxcos3x-sin2xsin6x-sin4xsin6x=0 ⇔x=Π
2 +kΠ ; x=
Π
18+k
Π
9
221) sin4xsin5x+sin3xsin4x-sin2xsinx=0 ⇔x=kΠ
5 ; x=k
Π
2 ; x=±
Π
3 +kΠ
222) sin5x+sin3x=sin4x ⇔x=kΠ
4 ; x=±
Π
(26)223) cosx+cos3x+2cos5x=0
⇔x=Π
2+kΠ ; x=± 2arccos
1−√17
8 +kΠ ; x=± 2arccos
1+√17
8 +kΠ
224) cos22x+3cos18x+3cos14x+cos10x=0 ⇔x=Π
4 +k
Π
2 ; x=
Π
32+k
Π
16
225) sin23x+sin24x=sin25x+sin26x ⇔x=k Π
2 ; x=k
Π
9
226) sin2x+sin22x+sin23x=3/2 ⇔x=± Π
3 +kΠ ; x=
Π
8 +k
Π
4
227) sin22x+sin24x=sin26x ⇔x=kΠ
4 ; x=±
Π
12+k
Π
2
228) cos23x+cos24x+cos25x=3/2 ⇔x=± Π
3 +kΠ ; x=
Π
16 +k
Π
8
229) 8cos4x=1+cos4x ⇔x=± Π
3 +kΠ
230) cos4x+sin4x=cos4x ⇔x=kΠ
2
231) sin2x+2cos2x=1+sinx-4cosx ⇔x=±Π
3+k2Π
232) (2sinx-cosx)(1+cosx)=sin2x ⇔x=Π+k2Π ; x=Π
6 +k2Π ; x= 5Π
6 +k2Π
233) sin2xtanx+cos2xcotx-sin2x=1+tanx+cotx ⇔x=− Π
12+kΠ ; x= 7Π
12 +kΠ
234) sin6x+3sin2xcosx+cos6x=1 ⇔x=kΠ
2
235) cosxsin3x-sinxcos3x= √2
8 ⇔x=−
Π
16+k
Π
2 ; x= 5Π
16 +k
Π
2
236) (2sinx-1)(2sin2x+1)=3-4cos2x
⇔{kΠ ;Π
4 ±arccos 1−√3
2√2 +k2Π ;
Π
4 ±arccos 1+√3
2√2 +k2Π}
237) sin(Π
2+2x)cot 3x+sin(Π+2x)−√2 cos 5x=0 ⇔{
Π
10+k
Π
5 ;
Π
12+k 2Π
3 ;
Π
4 +k 2Π
3 }
238) tan2x+cos4x=0 ⇔x=Π
4+k
Π
2 ; x=± 2arccos
√5−1
2 +kΠ
239) sin4
(x+Π
4 )= 4+cos
2x −cos4x
⇔x=k Π
2
240) (2sinx+1)(3cos4x+2sinx-4)+4cos2x=3 ⇔x=k Π
2 ; x=−
Π
6 +k2Π ; x= 7Π
6 +k2Π
241) √2sin3(x+Π
4 )=2sinx ⇔x=
Π
4+kΠ
242)2sinx+cotx=2sin2x+1 ⇔x=Π
6+k2Π ; x= 5Π
6 +k2Π ; x=−
Π
4 ±arccos 1−√5
2√2 +k2Π
243) tan2x(1-sin3x)+cos3x-1=0 ⇔x=Π
4 +kΠ ; x=k2Π ; x=
Π
4 ±arccos√ 2−1
√2 +k2Π
244) 1+cot 2x=1−cos 2x
sin22x ⇔x=
Π
4+k
Π
2
245) sinx −2cos3x
=5 sin 4xcosx
2 cos 2x VN
246) √1+cosx+√1−cosx
cosx =4 sinx víi:0<x<2 Π ⇔{
Π
6 ; 3Π
10 ; 7Π
6 ; 13Π
10 }