Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.. Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MT 1 T 2.[r]
(1)ONTHIONLINE.NET
Sở Giáo dục đào tạo thanh hố
ĐỀ CHÍNH THỨC
Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI TỉNH
Năm học: 2008-2009 Mụn thi: Toán LỚP : 12 THPT
Ngày thi: 28/03/2009
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1(5,0 điểm)
Cho hàm số y x3 3x2 2 có đồ thị (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số. 2 Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3 3x2 2m3 3m2 2
3 Với điểm M thuộc (C) kẻ tiếp tuyến với (C)?
Bài 2(4,0 điểm)
Tính tích phân: I =
dx x x
x e
1
2 2
4 4
Có số tự nhiên có chữ số đơi khác mà có một chữ số lẻ ?
Bài (5,0 điểm)
Giải phương trình: sin(3 4) sin2 sin( 4)
x x
x
Tìm giá trị m để bất phương trình sau nghiệm với x (2 log 1) 2(1 log2 1) 2(1 log2 1)
2
2
m m x
m m x
m m
.
Với giá trị x, y số y
y x
y x
u u
u18 log2 , 2 2 log2 , 3 5 theo thứ tự đó, đồng thời lập thành cấp số cộng cấp số nhân
Bài 4 (5,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường trịn (C) có phương trình: x2 y 12 1
Chứng minh với điểm M(m; 3) đường thẳng y = ta tìm được hai điểm T1 , T2 trục hồnh, cho đường thẳng MT1`, MT2 tiếp tuyến (C) Khi viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác MT1T2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân (AB = BC =1)
và cạnh bên SA = SB = SC = Gọi K, L trung điểm AC BC. Trên cạnh SA, SB lấy điểm M, N cho SM = BN = Tính thể tích của tứ diện LMNK.
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho n số nguyên lẻ n >2 Chứng minh với a khác ln có:
1 ) ! )! 1 ( ! 3 ! 2 1
)( ! ! 3 ! 2 1
(
1
2
2
n a n
a a
a a n
a a
a a
n n
n
Hết S b o danhố ỏ
………
(2)
Sở Giáo dục đào tạo hoá Đáp án đề thức
Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI TỉNH
Năm học: 2008-2009 Mụn thi: Toán LỚP : 12 THPT
Ngày thi: 28/03/2009
Đáp án gồm có trang
Bài Đáp án hướng dẫn chấm Điểm
Bài1
5đ 1(3đ)1 Tập xác định: R
2 Sự biến thiên
2 0
6 ;
6
,, ,
,,
,
x y
x x y
x y x x y
Bảng biến thiên
x ,
y + - +
y,, - +
y U(1;0)
- Đồ thị :
y 1 2
1 O 1 3 x
0,5
0,5
1,0
1,0
2 (1đ) Đặt f(m)m3 3m2 2
Số nghiệm phương trình x3 3x2 2m3 3m2 2là số giao điểm đường thẳng y = f(m)m3 3m22 với đồ thị (C)
Từ đồ thị (C) ta có -1 < m < 0; < m <2; < m < -2 < f(m) <2 m = -1 m = f(m) = -2
m = m = f(m) = m < -1 f (m) < -2
m > f(m)>
(3)Vậy * m m
phương trình có nghiệm
* m1;0;2;3 phương trình có nghiệm
* 1m0; 0m3 phương trình có nghiệm
0,5
3.(1đ)
M thuộc đồ thị (C) suy M(a;a3 3a2 2).đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) T(x0;y0) (d) có phương trình:
2 ) )( ( 0
0
x x x x x x
y ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( 0 0 2 0 0 2 3 0 2 a x a x a x x a a a x a x x a x a x x x a x a x x x a x x a a d M
TH1 (1;0)
3
I M a
a
a
có tiếp tuyến
TH2 (1;0)
3
I M a
a
a
có tiếp tuyến
0,25 0,25 0,25 0,25 Bài2 4đ
1.(2đ) I =
1 2 4x dx x
x e
Tính J =
1
0
2
4
4x dx
x x
Đặt
2 ) ( 2 x v xdx du x dx dv x u 1 1 2 2 x dx dx dx x x x x J ln ln ) ln (ln ln 2 1 e e I x x 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 2.(2đ)
Ta kí hiệu số A
1aaaaa
a
Có khả chọn chữ số lẻ
Mỗi cách chọn chữ số lẻ chữ số chẵn có P6=6! Cách xếp chữ
số cho vào vị trí từ a1đến a6
Như có 5.P6 =5.6! cách xếp 10 chữ số từ đến vào vị trí từ a1 đến
a6 mà cách có chữ số lẻ
*Trong tất cách xếp cách xếp có chữ số đứng vị trí a1 khơng phải số có chữ số
* Do tính bình đẳng chữ số chọn có
1
số cách xếp khơng phải số có chữ số
! 5 . 5 6 ! 6 . 5
Vậy số số có chữ số mà có số lẻ
0,5
0,5
(4)5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 số 0,5 Bài3
5đ
1.(2đ) Đặt 4
x
t
phương trình cho trở thành
t t t
t t
t )sin sin3 cos2 sin
2 sin( )
sin(
(*) Đặt z = sin t ĐK z 1 phương trình (*) trở thành
3 0
4 ) (
3 3 2
z z z
z z
z z
x
* z0 sint 0 t k x k; kZ
* 3
2 sin
3
2
2 t
z cos
3
cos
2
2 cos
t t
Z l l x
l x
l t
l t
l t
l t
,
2
2
2
2
2
Vậy PT có nghiệm x k , x 2 l k,lZ
0,5
0,5 0,25
0,5 0,25 2.(2đ) Đặt 1log2 m1
m a
, bất phương trình cho trở thành: (3 a)x2 2ax 2a0 (1)
Vế trái (1) tam thức bâc hai ẩn x có hệ số x2 là 3 a.
TH1: -a0 a3
Khi (1) 6x 6 0 x 1 suy (1) không nghiệm x
TH2
0
,
a
6 3
) (
2
a
a a a a
a a a
Với a > ta có 1log2 16 m132
m m
m
32
31
1 32 31
m
m m
0,5
0,5
0,5
0,5
3.(1đ)
Nếu số a, b, c đồng thời cấp số cộng cấp số nhân
2
2
b ac
(5)suy a, c nghiệm pt: x2 2bxb2 0 xb từ a = b = c
Theo ta có hệ:
) (
2 log
) ( log 2 log
y y x
y x
y x
Từ (1) 3x3log2 yx log2 y x2log2 y, thay vào (2) ta được:
5 log log
1 5
2 2
2
4 log
3
y y y y x
0,25 0,25
0,5 Bài4
5đ 1.(3đ) Điểm T thuộc trục hồnh T( t ; 0) Đường trịn (C) có tâm I ( ; ) bán kính R = Điểm M( m; 3) thuộc đường thẳng y = , ta có:
Phương trình đường thẳng MT:
3 ( )
3
t y m t x y
m t
m x
Do MT tiếp tuyến (C) nên khoảng cách từ tâm I (C) đến MT 1, hay
(*)
) ( ) ( ) (
3
2
2
2
mt t
m t t
m m
t t m t
Do phương trình (*) ln có hai nghiệm t1 , t2 với m nên tồn hai điểm
T1(t1;0) T2(t2;0) để MT1và MT2 tiếp tuyến (C)
* Theo định lý Vi ét có t1 + t2 = -2m Phương trình đường trịn (C1) ngoại tiếp tam
giác MT1T2 có dạng:
x2 y2 2ax2byc 0 Vì M, T1, T2 thuộc đường trịn (C1) nên có hệ
) (
) (
) (
2
2 2
1
2
c at t
c at t
c b ma m
Từ (2) (3) suy
2
0 )
( ) (
2 1 2 1 2 1 2
2 2
m a a
m
a t t t
t do t
t a t
t
Thay vào (2) ta có 2 0
2
1 mt c t
Do t1 nghiệm của(*) nên 2 3 0 3
2
1 mt c t
Thay c = -3 vào (1) ta được:
2
3
2
2
m b b m
m
Vậy phương trình (C1) là:
0
2
2
2
y mx m y
x
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5 2.(2đ) Lấy điểm E thuộc SA cho AN=1 suy NE// AB // KL
MEKL MNKL
EKL
NKL S V V
S
; S EKM 6SSKC
Mặt khác khoảng cách từ L đén mặt phẳng (MKE)
BK
0,5 0,5
(6)Vậy VKLME 12VSABC
mà
144
34
17 12
1
6 17 17
3
ABC KLMN
SABC SKS V
V
(đvtt)
E M
K C
S
L N
B A
0,5
Bài5
1đ Coi a ẩn , điều kiện a khác
Đặt ( 1)!
!
! ! !
1
,
2
n
a a
a u
n a a
a a u
n n
)! ( )! ( ! ! !
! )! ( ! !
1
4 ,
1
2
n a n
a a
a a a v
n a n
a a
a a v
n n
n n
Khi !, !
, ,
n a v v n a u u
n n
0 ) )! ( ! ! (
1
2
n a a
a v
u
n
với a n lẻ n > Đặt vế trái bất đẳng thức cần chứng minh f(a)
Ta có ( ) ( !) ( !) !( )
, ,
, u v
n a n
a u v n a v u vu uv a f
n n
n
Do
0
) (
0
) (
,
, ,
a khi a
f
a khi a
f a
v u
Ta có bảng biến thiên
a
) (
, a
f +
-) (a
f
do a khác nên f(a) <1 ( điều phải chứng minh)
0,25
0,25
0,25