Đang tải... (xem toàn văn)
Trong một số bài toán hình học có liên quan đến góc, nhiều khi vẽ tia phân giác của một góc nhằm tạo thêm mối quan hệ về góc, cạnh sẽ giúp giải bài toán dễ dàng hơn.. Ta thư[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG TRỊ TỈNH QUẢNG TRỊ
CHUYÊN ĐỀ
CHUYÊN ĐỀ
(2)Việc kẻ thêm đường tốn hình học nhằm tạo thêm mối quan hệ yếu tố cạnh góc tốn Kẻ thêm đường vng góc cách thường nghĩ đến chưa tìm lời giải toán.
Kẻ thêm đường vng góc ?
Ta thường kẻ thêm đường vng góc trường họp sau đây.
I-I- Kẻ thêm đường vng góc để giải Kẻ thêm đường vng góc để giải các tốn hình học
(3)Kẻ MK CH nên AK = Ta lại có
nên AM2 = AK2 + MK2 = + = Vậy AM =
1- Kẻ đường vng góc nhằm tạo nửa tam giác đều.
Thường dùng cách giải tốn có góc 600, 1200, 300, 1500 Thí dụ 1(lớp 8). Cho tam giác
ABC có , AB = 4, AC = Tính độ dài đường trung tuyến AM
A =120 Lời giải (h.1) Kẻ BH AC
Tam giác ABH vng H có nên
Áp dụng định lý Pythagore, ta tính BH =
Còn CH = HA + AC = + =
BAH = 60
AB AH = =
2
2
HC HK = =
2
3 BH
MK = =
7
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN HH
(4)2- Kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vuông cân: Thường dùng cách giải tốn có góc 450, 1350.
Thí dụ 2(lớp 8). Cho tam giác Cho tam giác ABC có Chứng minh diện tích tam giác ABC
Lời giải (h.2)
Giả sử Kẻ BH AC
A = 45
2 2
AB + AC -BC
AC AB
2 2
2
2
2 ABC
m m n m n
m m n BH AC S
2 2
AB + AC -BC
Ta có tam giác ABH vuông cân H Đặt AH = BH = m, HC = n Khi KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN HH
(5)Từ suy
Từ (1) (2) ta tìm
Ta có ΔHBA ΔKBC (g-g) nên
Thí dụ 3(lớp 8). Cho tam giác ABC có , BC = 5, đường cao AH = Tính độ dài cạnh AB AC
Lời giải (h.3)
Kẻ CK AB Ta có nên tam giác ACK vuông cân K Đặt AB = x, AK = KC = y
A =135 CAK = 45
AH AB x
= = x.y = (1) KC BC y
2 2 2
BK +KC = BC x + 2xy + 2y = 25 (2)
x;y = 5; 5
10 x;y = 10;
2
AB = 5;AC = 10 AB = 10;AC =
2- Kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vuông cân: Thường dùng cách giải tốn có góc 450, 1350.
Xét tam giác BKC vng, ta có KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN HH
(6)Do AD2 = HD2 + AH2
= y2 + (x + 10)2 = 166 Vậy
Áp dụng định lý Pythagore vào ΔABH ΔAOH,
Ta có x2 + y2 = 36 (x + 4)2 + y2 = 64 Từ ta tìm
3- Kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vng.
Thí dụ 4(lớp 8).
Tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo, AB = 6, OA = 8, OB = 4, OD = Tính độ dài AD
Lời giải (h.4)
Kẻ AH OB Đặt BH = x, AH = y
2
3 135 x = ,y =
2
AD = 166
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN HH
(7)Do EK // AC nên
Từ (1) (2) suy 30x2 + 49x - 735 = 0. Nghiệm dương phương trình x = 4,2 Vậy AD = 4,2
4- Kẻ đường vng góc nhằm tạo hai tam giác vng nhau.
Thí dụ 5(lớp 9).
Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD Biết BD = 7, DC = 15 Tính độ dài AD
Lời giải (h.5)
Kẻ DE BC Ta có ΔABD=ΔEBD (cạnh huyền-góc nhọn) nên DA = DE, BA = BE, suy BD đường trung trực AE
EK BK x - 2y
= = (2) CD BD 15
Gọi H giao điểm AE BD Lấy K đối xứng với D qua H
Tứ giác AKED hình thoi
Đặt EK = ED = AD = x, DH = HK = y
Tam giác EBD vuông nên ED2 = BD.DH, suy x2 = 7y (1)
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN HH
(8)Từ suy
nên ΔBHI ΔCHK Do
Tam giác AEF cân A nên Ta có ΔBEI ΔCFK (g-g)
5- Kẻ đường vng góc nhằm tạo hai tam giác vng đồng dạng.
Thí dụ 6.
Cho tam giác ΔABC ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F theo thứ tự tiếp điểm cạnh BC, AB, AC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ D đến EF Chứng minh rằng:
Lời giải (h.6)
Kẻ BI, CK vng góc với EF
BHE = CHF
BEI = CFK
BI BE BD HI
= = =
CK CF CD HK
BHE = CHF
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN HH
(9)Bài 1(lớp 7). Cho ΔABC có , AB = 7, BC = Tính độ dài AC.B =120
Bài 2(lớp 7). Cho tam giác ABC có Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính số đo góc ADB
B = 45 ,C =120
Bài 3(lớp 7). Cho tam giác ABC (AC > AB), đường phân giác AD Trên cạnh AC lấy điểm E cho .Chứng minh DB = DE.CDE = BAC
Bài 4(lớp 8). Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M trung điểm BE Chứng minh HM tia phân giác góc AHC
Bài 5(lớp 8). Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E, F theo thứ tự nằm cạnh AB, BC, CA cho:
Chứng minh AE vng góc với DF
AD BE CF = = DB EC FA
Bài 6(lớp 9). Hai đường trịn tâm (O) (O’) có bán kính R, cắt A B, Vẽ cát tuyến chung MAN Tính tổng AM2 + AN2 theo R
OAO' = 90
(10)Trong số tốn hình học có liên quan đến góc, nhiều vẽ tia phân giác góc nhằm tạo thêm mối quan hệ góc, cạnh giúp giải toán dễ dàng
Ta thường vẽ tia phân giác góc trường hợp
II-II- VẼ TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC VẼ TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC ĐỂ GIẢI TỐN HH
(11)Mặt khác ΔBAD = ΔCAM (c.g.c) (2)
Từ (1) (2) suy
Ta có suy ED < EC Nên
Từ (1)
1- Trong tốn có đề cập đến mối quan hệ góc và nửa góc kia, ta thường vẽ tia phân giác góc lớn.
* Bài toán 1. Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D cho CD = 2.BD So sánh
Lời giải (h.1)
Do nên AC > AD
Vẽ tia phân giác AE trung tuyến AM tam giác DAC
BAD 1DAC
2
ADC > B = C
ED AD = <1 EC AC
CD
CE > = CM
CAE > CAM
BAD > CAM
2
BAD DAC
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN HH
(12)1- Trong tốn có đề cập đến mối quan hệ góc và nửa góc kia, ta thường vẽ tia phân giác góc lớn.
* Bài toán 2. Chứng minh rằng:
Lời giải (h.2)
Vẽ tam giác ABC vuông A có tia phân giác BD Gọi độ dài cạnh BC, CA, AB thứ tự a, b, c
0
sin2x = 2sinx.cosx (0 < x < 45 )
B = 2x
DA DC b = =
c a c + a
bc ab
DA = ; DC =
c + a c + a
2
2
ab c BD = BA.BC DA.DC = ca
-c + a
2 2 2 2
2
ca c + 2ca + a - b ca c + 2ca + c 2c a
= = =
c + a c + a c + a
2
2AD AB 2bc 2c a b
2sinx.cosx = = : = = sin2x BD BD c + a c + a a
Ta có:
Ta có cơng thức đường phân giác:
Từ
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN HH
(13)Mặt khác DC = AC - AD = AB - BC nên
Theo tc đường phân giác Suy
2- Vẽ tia phân giác góc để tạo quan hệ
2- Vẽ tia phân giác góc để tạo quan hệ
về góc cạnh mới.
về góc cạnh mới.
* Bài toán 3.
Cho tam giác ABC cân A có
Tính
Lời giải (h.3)
Vẽ tia phân giác BD Ta có
Α = 36 AB
BC
0
1 1
B = 72 : = 36 = A;D = A +B = 72 = C
DA DC= = AC
AB BC AB +BC AB.BC
DC =
AB +BC
AB.BC
= AB -BC AB +BC
2
2 AB AB
AB.BC = AB -BC - -1= BC BC
AB 1+ =
BC
Nên AD = BD = BC
Từ đó, tính
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN HH
(14)Ta có:
suy A cố định
Nếu C khác M C thuộc đường trịn (MHK)
3- Vẽ tia phân giác góc dự đoán đường qua điểm cố định nằm tia phân giác một góc cố định.
* Bài tốn Cho điểm M nằm góc cho MH + MK = a (a độ dài cho trước) với H, K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ M xuống Ox, Oy CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác MHK qua hai điểm cố định M di động góc xOy
Lời giải (h.4)
Do nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MHK qua điểm cố định O Vẽ tia phân giác Oz góc xOy
Qua M kẻ ABOz C với AOx, BOy Kẻ AI Oy I OA = OB
xOy 180
OHM = OKM = 90
MCO = 90
AOB AOM MOB
S = S + S
1OB.AI = OA.MH+ OB.MK1
2 2
AI = MH+MK = a
Suy B C cố định
Vậy đường tròn (MHK) qua hai điểm cố định O C
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN HH
(15)Bài 1. Cho góc x với Chứng minh rằng:0 < x < 450
2
2
2tanx 2tanx a) cos2x = cos x - sin x b) tan2x = c) sin2x =
1- tan x 1+ tan x
Bài 2. Giả sử M điểm tam giác ABC cho CM = CB Chứng minh AB > AM
Bài 3. Cho tam giác ABC (AC > AB) Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD = AB Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AD BC
Chứng minh rằng: CEF = A
Bài 4. Cho tam giác ABC có: Chứng minh rằng:
A = B - C , BC = a, CA = b,AB = c 2
2
a b = b - c b + c
Bài 5. Cho tứ giác ABCD có
Tính:
DAC =130 ,DBC =110 ,ABD = BAC = 30
ADC, BCD