Đang tải... (xem toàn văn)
Tứ giác DFBE là hình gì?. Vì sao?[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN NĂM HỌC 2014-2015
Bài 1: (6điểm)
a Giải phương trình 148− x
25 +
169− x
23 +
186− x
21 +
199− x 19 =10 b Tìm số nguyên a b cho đa thức
A(x) = x4 + ax2 + b
Chia hết cho đa thức B(x) = x2 + x +1 Bài (4 điểm)
Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a + b + c =1 CMR: abc
+1+
bc a+1+
ac b+1≤
1 Bài (4 điểm)
a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P biết P = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
b Giải bất phương trình 3x−2x
+1 ≥1
Bài 4: (6 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) gọi E, F hình chiếu điểm B, D lên AC A, K hình chiếu C AB AD
a Tứ giác DFBE hình gì? Vì sao?
(2)ĐÁP ÁN
Bài 1 a(3đ)
b.(3đ)
Giải phương trình: 14825 − x +169− x
23 +
186− x
21 +
199− x 19 =10
(14825 − x −1)+(169− x
23 −2)+(
186− x
21 −3)+(
199− x
19 −4)=0
12325 − x+123− x
23 +
123− x
21 +
123− x 19 =0
(123− x)(
25+ 23+ 21+ 19)=0
Vì (
25+ 23 + 21+ 19)≠0
123-x=0
x=123
Vậy tập hợp nghiệm phương trình S = {123} Thực phép chia đa thức kết A(x) : B(x) = (1-a)x + b –a
- Lý luận (1-a)x + b –a =
¿ 1−a=0
b − a=0
¿{
¿
- Tìm a = b =
1đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 1.5đ 1đ 1đ Bài (4đ)
Áp dụng toán phụ x , y>¿
1 x+
1 y ≥
4 x+y¿
-> x1
+y≤
1 4( x+ y) Nên ta có abc
+1=
ab
(a+c)+(b+c)≤
ab (
1 a+c+
1
b+c) (vì a+b+c=1 (gt) (1)
bca
+1=
bc
(a+b)+(a+c)≤
bc (
1 a+b+
1
a+c) (2)
acb
+1=
ac
(a+b)+(b+c)≤
ac (
1 a+b+
1
b+c) (3)
Kết hợp (1)(2) (3) ab
c+1+
bc a+1+
ac b+1≤
1 4(
ab+bc
a+c +
bc+ac
a+b +
ab+ac
b+c )
=> abc+1+bc
a+1+
ac b+1≤
1
4(a+b+c) Hay abc
+1+
bc a+1+
ac b+1≤
1 (đpcm) 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài
a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P biết
(3)b
P=[(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)] P=(x2 + 6x – x – 6)(x2+3x+2x+6) P=(x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6)
P = (x2 + 5x)2 – 62 = (x2 + 5x)2 – 36
Vì (x2 + 5x)2 0 với ∀x => (x2 + 5x)2- 36 −36 với ∀x Hay P −36 với ∀x
Min P = -36 (x2 + 5x)2 =0 x2 + 5x =
x(x+5) =
x=0
¿ x+5=0
¿ ¿ ¿ ¿
x=0
¿ x=−5
¿ ¿ ¿ ¿
Giải bpt 3x−+21x≥1 đk: x -1
3x−+21x+1≥0
3−2xx++1x+1≥0
4x− x+1≥0
¿4− x ≥0 x+1>0
¿ ¿ ¿ 4− x ≤0
¿ x+1<0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
¿4≥ x x>−1
<=>−1<x ≤4
¿ ¿ x ≥4
¿ x<−1
¿ ¿ <=>x=0
¿ ¿ ¿
Vậy nghiệm bất phương trình {x/−1<x ≤4}
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ
Bài 4:
H
C B
(4)a b
c
DF//BE (vì với AC
Δ AFD = Δ CEB (ch.gn) -> DF = BE DFBE hbh
BC//AK -> BCK = 900
ABC = 900 + BCH (góc ngồi Δ CHB) HCK = 900 + BCH
ABC = HCK
Mà CDK = ACD + DAC (góc ngồi Δ DKC) HBC = BAC + BCA (góc ngồi Δ HBC Mặt BCA = DAC; BAC = DCA
-> Δ CKD đồng dạng Δ CHB -> CDBC=CK
CH
Hay ABBC=CK
CH − CH BC=
CK AB
-> Δ CHK đồng dạng Δ BCA (c.g.c) Δ AEB đồng dạng Δ AHC -> Δ AHC ->
AB AC=
AE
AH −AE AC=AB AH
Vì Δ AFD đồng dạng Δ AKC -> AF
AK= AD
AC −AF AC=AD AK
Từ (1) (2) => AE.AC + AF.AC = AB.AH + AD.AK
AC(AE+AF) = AB.AH + AD.AK
AC.AC = AB.AH + AD.AK (do AF = CE)
AB.AH + AD.AK = AC2 Δ AFD = Δ CEB (cmt)
E
A K