Chuyên đề “ Phân tích đa thức thành nhân tử” được học khá kĩ ở học kì I lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải bài tập trong chương trình Đại số 8 cũng [r]
(1)CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học 2014 - 2015
I Sơ yếu lý lịch
- Họ tên: LÊ MAI PHƯƠNG - Ngày tháng năm sinh: 27/07/1990
- Trình độ chun mơn: Cao đẳng Sư phạm, ngành Tốn; chức vụ: Giáo viên - Tổ chun mơn: Tự nhiên
- Trường: THCS Phương Trung- Thanh Oai- Hà Nội - Nhiệm vụ phân công: Giảng dạy mơn Tốn A Mở đầu
1 Lý chọn đề tài: a Cơ sở lí luận
Phân tích đa thức thành nhân tử chuyên đề khó rộng, chiếm vị trí quan trọng chương trình phổ thơng bồi dưỡng HSG với dạng tốn như: Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức, tìm nghiệm nguyên phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết… Do việc tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhanh chóng, thơng minh, xác cần thiết giáo viên học sinh
Vì tơi chọn đề tài nhằm mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc thực hành thành thạo dạng tốn giúp HS đạt kết mong muốn
b Cơ sở thực tế
Chuyên đề “ Phân tích đa thức thành nhân tử” học kĩ học kì I lớp 8, có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình Đại số lớp sau Vì vậy, yêu cầu học sinh phải nắm vận dụng linh hoạt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề quan trọng Nắm yêu cầu trình giảng dạy tốn tơi tìm tịi nghiên cứu tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng dễ hiểu giúp học sinh phát triển lực tư logic,sáng tạo giải tập Trong chuyên đề giới thiệu thêm phương pháp sau:Phương pháp thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ, tìm nghiệm đa thức
2 Giải vấn đề
(2)Để việc bồi dưỡng đạt kết giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống phương pháp đại; lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học; phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo tự giác học sinh
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo nhanh chóng trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, sau nắm phương pháp phương pháp nâng cao để phân tích, là:
1) Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C)
2) Phương pháp dùng đẳng thức:
Dùng hạng tử đa thức có dạng đẳng thức 1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) 3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp đa thức đa thức chưa có nhân tử chung chưa áp dụng đẳng thức nhằm mục đích:
+ Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung đẳng thức + Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức
4) Phối hợp phương pháp bản: Vận dụng phát triển kỹ
là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp bản: + Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng đẳng thức + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
(3)+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao
+ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x –
+ Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x +
+ Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) a - 1
f(-1)
a + 1 số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự
6)Phương pháp thêm, bớt hạng tử:
Sử dụng cho tập áp dụng ba phương pháp học để giải
7) Ph ương pháp tách hạng tử: 8) Ph ương pháp đặt biến phụ :
9)Phương pháp hệ số bất định: Đó đồng hệ số hai vế để từ suy hệ số cần tìm phân tích đa thức thành nhân tử
b) Thực trạng vấn đề:
-Học sinh chưa hiểu sâu rộng toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt tốn khó, em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo
- Khi gặp tốn học sinh khơng biết làm gì? Khơng biết theo hướng ? Không biết liên hệ cho đề với kiến thức học
-Suy luận kém, chưa biết vận dụng phương pháp học vào dạng toán khác
-Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic
-Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại gặp tốn khó
c) Các giải pháp thực sáng kiến kinh nghiệm: * Quy trình cách thức:
- Xây dựng kế hoạch thực từ đâu năm học
- Tổ chức thi tuyển chọn em có khiếu mơn Đặc biệt phải học mơn Tốn
- Tổ chức cho học ôn luyện theo chuyên đề, trao đổi trực tiếp Sau chuyên đề kiểm tra kiến thức học sinh ( Đề dạng đề thi để học sinh làm quen dần )
- Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy tự học; tìm tịi nhiều dạng tập phong phú cho học sinh luyện tập không lớp mà nhà
(4)thường xuyên liên tục Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể học sinh buổi học
- Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải cách tỉ mỉ, khai thác triệt để phương pháp giải cho em luyện tập lần toán tương tự lớp Sau buổi học Giáo viên giao tập nhà cho em luyện tập để em khắc sâu dạng tốn ơn tâp
Trong việc giảng dạy mơn tốn giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính t duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm tòi kiến thức mới, ph ơng pháp làm tốn dạng nh phơng pháp thơng thờng mà cịn phải dùng số phơng pháp khó phải có thủ thuật riêng đặc trng, từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng tốn khó
Ngời thầy giáo giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh với khả sáng tạo, ham thích học mơn tốn giải đợc dạng tập mà cần phải thơng qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lợng học tập, đạt kết tốt kỳ thi Từ tơi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm " Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh nắm vững phơng pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát phơng pháp giải phù hợp với cụ thể dạng khác
* Khảo sát thực tiễn
Khi chưa thực đề tài này, hầu hết em làm tập lúng túng, thời gian làm nhiều, chí khơng tìm cách giải Để thực đề tài tiến hành khảo sát lực học sinh thông qua số kiểm tra kết sau:
Tæng sè HS
Xếp loại
Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL % SL % SL % SL %
2 0 50 50 0
Thông qua kết khảo sát suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững yêu cầu q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Tôi mạnh dạn nêu số biện pháp đây:
* Một số biện pháp 1) BiƯn ph¸p thø nhÊt.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức nh quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức xếp, quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc vận dụng thành thạo đẳng thức đáng nhớ
2) BiƯn ph¸p thø hai.
Giáo viên cho học sinh nắm vững chất việc phân tích đa thức thành nhân tử Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức thành tích nhiều đơn thức đa thức khác
(5)2.1) Các ph ơng pháp thông th ờng.
+ Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử
Trong thực hành giải toán thờng phải phối hợp ba phơng pháp kể để phân tích đa thớc thành nhõn t
Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm hạng tử)
= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC dùng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử M2 = a2 - b2 - 2a + 2b
= (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm hạng tử)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC)
phối hợp nhiều phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cần ý bớc sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho đa thức từ làm đơn giản đa thức + Xét xem đa thức có dạng đẳng thức khơng ?
+ Nếu khơng có nhân tử chung, khơng có đẳng thức phải nhóm hạng tử vào nhóm thoả mãn điều kiện nhóm có nhân tử chung, làm xuất nhân tử chung
nhóm xuất đẳng thức Cụ thể ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
Ta thấy M3 khơng có dạng đẳng thức, hạng tử khơng có nhân tử chung,
vậy làm để phân tích đợc Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì
vËy ta dùng phơng pháp nhóm hạng tử đầu tiên: M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2
Sau đặt nhân tử chung nhóm thứ để làm xuất đẳng thức: M3 = 5(a2 - b2) + (a + b)2
Sử dụng đẳng thức nhóm đầu làm xuất nhân tử chung hai nhóm (a + b):
M3 = 5(a + b) (a - b) + (a + b)2
M3 có nhân tử chung là: (a + b) Ta tiếp tục đặt nhân tử chung
M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]
M3 = (a + b)(8a – 2b)
Nh M3 đợc phân tích thành tích hai nhân tử (a + b) (8a - 2b) Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy
(6)+ Đặt nhân tử chung
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
Trong ngoặc có hạng tử xét xem có đẳng thức khơng? + Nhóm hạng tử: M4 = xyx2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2
+ Dùng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử
ngoặc có dạng đẳng thức nào?
+ Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta có: M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M4 đợc phân tích đa thức thành nhân tử
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử học để bớc phân tích đợc rõ ràng, mạch lạc triệt để (đa thức khơng thể phân tích c na)
2.2) Một số ph ơng pháp phân tích đa thức khác.
Giỏo viờn trc ht cn cho học sinh sử dụng thành thạo phơng pháp phân tích thành nhân tử thơng thờng (đã học SGK) kết hợp phơng pháp sau để làm cỏc bi toỏn khú
+ Phơng pháp tách hạng tö
+ Phơng pháp thêm, bớt hạng tử + Phơng pháp đặt ẩn phụ
+ Phơng pháp tìm nghiệm đa thức + Phơng pháp dùng h s bt nh
a) Ph ơng pháp tách h¹ng tư
Ví dụ 5. Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2 – 8x + 4 Cách 1: Tách hạng tử thứ
3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2)
VÝ dụ 6: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: N = a2 - 6a + 8.
C¸ch 1: a2 - 4a - 2a + (T¸ch - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhãm h¹ng tư)
= a (a - 4) - (a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 4) (a - 2) (Đặt nh©n tư chung)
Có thể tách hạng tử tự tạo thành đa thức có nhiều hạng tử kết hợp làm xuất đẳng thức nhân tử chung với hạng tử cịn lại
C¸ch 2: N = a2 - 6a + - (T¸ch = - 1)
(7)= (a - 3)2 - (Sử dụng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)
C¸ch 3:
N = a2 - 4a + - 2a + (T¸ch = + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a)
= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhãm h¹ng tư)
= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng đẳng thức đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng nhân tử)
Ta thấy có để tách hạng tử thành hạng tử khác cách tách sau thông dụng nhất;
- Phơng pháp tách 1: Tách hạng tử tự thành hạng tử cho đa thức đợc đa hiệu hai bình phơng (cách 2) làm xuất đẳng thức có nhân tử chung với hạng tử cịn lại (cách 3)
- Phơng pháp tách 2: Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung làm xuất nhân tử chung (cách 1)
VÝ dơ 7: Ph©n tÝch tam thøc bËc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử.
Tách hÖ sè b = b1 + b2 cho b1 b2 = a.c
Trong thùc hµnh ta lµm nh sau; + Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c thừa số nguyên với cách + Chọn thõa sè mµ tỉng b»ng b
Ngồi tách đồng thời hai hạng tử (hạng tử tự hạng tử bậc nhất) (nh cách 3)
b) Ph ơng pháp thêm bớt hạng tử
1 Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: VÝ dơ 8: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9)
VÝ dô 9: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức P1 = x4 + thành nhân tử
(8)= x4 + 4x2 + - 4x2 (thªm 4x2, bít 4x2)
= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhãm h¹ng tư)
= (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng đẳng thức)
= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
VÝ dô 11: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thªm 16a2, bít 16a2)
= (a2 + 8)2 - (4a)2
= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
Nh vây việc thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất đẳng thức nào? bình ph-ơng tổng hay hiệu hai bình phph-ơng phân tích triệt để đợc
2 Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung
VÝ dô 12: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
VÝ dô 13: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) c) Ph ơng pháp đặt ẩn phụ
VÝ dô 14: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + )
VÝ dô 15: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x ta viết
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + –
6 +
x x ) = x2 [(x2 +
2
x ) + 6(x -
x ) + ]
Đặt x -
x = y x2 +
2
(9)A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x -
x )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2
VÝ dô 16: A = (x2y2z2)(x y z )2(xy yz +zx)2
=
2 2 2 2
(x y z ) 2(xy yz+zx) (x y z ) (xy yz+zx)
Đặt x2y2z2 = a, xy + yz + zx = b ta có
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x2y2z2 + xy + yz + zx)2 VÝ dô 17:
B = 2(x4y4z4) ( x2y2z2 2) 2(x2y2z2)(x y z )2(x y z )4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2(x y2 2y z2 2z x2 2) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; B = - 4(x y2 2y z2 z x2 2) + (xy + yz + zx)2 =
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 8
8 ( )
x y y z z x x y y z z x x yz xy z xyz xyz x y z
VÝ dô 18: (a b c )3 4(a3b3c3) 12 abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2
a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 +
2
m - n
4 ) Ta có:
C = (m + c)3 –
3
m + 3mn 4c3 3c(m - n )2 2
4 = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
Ví dụ 19: Phân tích thành nhân tử: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất nhân tử chung)
Ta thấy hạng tử đầu có nhân tử chung (x2+ x), ta đặt
(10)D1 = y2 + 4y - 12
Ta dùng phơng pháp tách thêm bớt D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (T¸ch 4y = 6y - 2y)
D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung)
D1 = (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay l¹i biÕn x
D phân tích thành nhân tử (x2 + x- 2) (x2 + x+ 6)
Việc phân tích tiếp nhân tử cho triệt để dựa vào phơng pháp nêu Chú ý có tam thức khơng thể phân tích tiếp đợc nh : x2 + x + = (x +
2 )2 +
4 Do khơng phân tích tiếp đợc
Cßn x2 + x - = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2). d) Ph ơng pháp tìm nghiệm đa thức
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm theo định lý Bơ du
ta có: Nếu m nghiệm (1) m chứa nhân tử (x - m), dùng phép chia đa thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nh©n tư bËc hai cã thĨ ph©n tÝch tiÕp
đợc dựa vào phơng pháp nêu trờn
Các phơng pháp tìm nghiệm đa thøc bËc 3:
+ NÕu tỉng c¸c hƯ sè: a + b + c + d = ®a thøc cã nghiÖm x = ®a thøc chøa nh©n tư chung (x - 1)
+ Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ tức a - c = b +d ®a thøc cã x = -1 đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét đợc tổng hệ số nh ta xét ớc hệ số tự d (hệ số không đổi) Nếu ớc d làm cho đa thức có giá trị ớc nghiệ
Ví dụ 20. Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = 1; 2; 4, có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x –
Cách 1:
x3 – x2 – =
3 2 2 2 2 4 2 ( 2) 2( 2)
x x x x x x x x x x
=
x 2x2 x 2 Cách 2:
3 4 8 4 8 4 ( 2)( 2 4) ( 2)( 2)
(11)=
2
2 ( 2) ( 2)( 2)
x x x x x x x
Ví dụ 21. Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: 1, không nghiệm f(x), f(x) khơng có nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x =
3 nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – =
3 2 2
3x x 6x 2x15x 53x x 6x 2x 15x = x2(3x1) (3 x x1) 5(3 x 1) (3 x 1)(x2 2x5)
Vì x2 2x 5 (x2 2x 1) (x1)2 4 với x nên khơng phân tích thành nhân tử
Ví dụ 22. Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x +
Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x +
x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví dụ 23. Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2)
Vì x4 - x3 + 2x2 - 2x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích c na
Ví dụ 24: Phân tích đa thức thành nhân tử
E1 = x3 + 3x2 - xÐt tỉng c¸c hƯ sè ta thÊy
a + b + c = + + (-4) = x1 =
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 Cho (x - 1)
Sau dùng phơng pháp học để phân tích tiếp E1 = (x - 1) (x + 2)2
VÝ dơ 25: Ph©n tích đa thức thành nhân tử E2 = x3 - 3x +
(12)Xét Ư(2) = cã x = -2 lµ nghiƯm cđa E2
E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2))
E2 = (x + 2) (x -1)2
Các ví dụ số phơng pháp để phối kết hợp với phơng pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc tốn khó thành nhân tử giúp cho trình rút gọn phân thức nh giải phơng trình
e) Ph ương ph áp hệ số bất định :
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao
+ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x –
+ Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x +
+ Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) a - 1
f(-1)
a + 1 số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự
VÝ dô 26 x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: số 1, 3 không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm
ngun khơng có nghiệm hữu tỉ
Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
đồng đa thức với đa thức cho ta có:
6 12 14
a c ac b d ad bc bd
Xét bd = với b, d Z, b 1, 3 với b = d = hệ điều kiện trở thành
6
8
3 14
3
a c
ac c c
a c ac a
bd
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) VÝ dô 27 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
(13)= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c a a b a b c b c c
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên
2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
VÝ dô 28 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy –
12 10 3 12 12 ac a bc ad c c a b bd d d b
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) 3) Một số tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1a x2 - 4x + cách (phơng pháp tách).
Gợi ý cách làm
C1: Tách - 4x = - 3x + (-x)
C2: T¸ch = -
C3: T¸ch = 12 -
C4: Tách -4x = -2x + (-2x) = +
Sau nhóm làm xuất đẳng thức nhân tử chung
1b 81a4 + (thêm bớt hạng tử)
Gợi ý:Thêm lần tích 9a2 Hằng đẳng thức Cụ thể: 36x2
1c: (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phơng pháp đổi biến).
Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y
1d: x3 - 2x2 - x + 2 (ph¬ng pháp tìm nghiệm).
Gợi ý: Xét tổng hệ sè a + b + c =
Ngoài sử dụng phơng pháp khác để phân tích tập thành nhân tử
(14)M = a
3
−4a2− a+4
a3−7a+14a−8 víi a = 102 Gỵi ý:
+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ phơng pháp nhóm đẳng thức đa tử thành
nh©n tư
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử
+ Rút gọn nhân tử chung tử thứcvà mẫu thức + Thay a = 102 vào M rút gọn
Bµi tập 3: Giải phơng trình sau: 3.a) y2 - 5y + = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử phơng trình trở phơng trình tích 3b: y 3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa phơng trình cho thành phơng trình tích giải phơng trình tích
Bài tập 4: Chứng minh đa thức sau a) A = (a2 + 3a + 1)2 - chia hÕt cho 24.
Víi a lµ mét sè tự nhiên Gợi ý:
+ Trc ht phõn tớch đa thức cho thành nhân tử
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phơng)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (Sử dụng phơng pháp tách hạng tử 3a = 2a + a) * LËp luËn:
+ A cho tích số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ ba số tự nhiên liên tiếp phải có số chia hết cho vậy: A
+ Trong số tự nhiên liên tiếp có số chẵn liên tiếp nên mộc hai số chia hết cho số lại chia hết cho Vậy A
+ Nhng (3 ; 8) = nªn tÝch cđa sè tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 b) B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hÕt cho 24.
Víi n lµ sè nguyên dơng tuỳ ý
(15)Gợi ý:
+ Trớc hết sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích A
A = x2 - 4x + + y2 +2y + + (t¸ch 12 = + + 1)
A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + (nhãm h¹ng tư)
A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + 7
* LËp luËn
Vì (x - 2)2 o (y + 1)2 0, dÊu " = "x¶y a = y = - nên A = (x - 2)2
+ (y + 1)2 + 7
VËy AMin= x = 2; y = -1
d) Kết đạt đợc:
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trờng THCS Đại Phú năm học 2011 - 2012 thu đợc kết khả quan
Kết học tập học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua học, qua kỳ thi, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết tốt Bên cạnh phơng pháp giúp em dễ dàng tiếp cận với dạng tốn khó kiến thức nh việc hình thành số kỹ trình học tập giải tốn học mơn tốn
HS 1:Đạt 13,5/20 điểm- Đạt giải khuyến khích HSG Toán cấp huyện HS2 : Đạt 15,5/20 điểm - Đạt giải ba HSG To¸n cÊp hun
3 KÕt ln.
a)Bµi häc kinh nghiƯm:
(16)Vì lẽ vơí giáo viên nói chung thân tơi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tợng học sinh để từ đa tập phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc tập, gây hứng thú học tập, say sa giải tốn, u thích học tốn Từ nâng cao từ dễ đến khó, có đ ợc nh ngời thầy giáo cần phải tìm tịi nhiều phơng pháp giải tốn, có nhiều tốn hay để h-ớng dẫn học sinh làm, đa cho học sinh làm, phát cách giải khác nh cách giải hay, tính tự giác học tốn, phơng pháp giải tốn nhanh, có kỹ phát cách giải tốn nhanh, có kỹ phát cách giải: Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh nhiều trình giải tốn có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử Các kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử mà tơi viết có lẽ cịn nhiều hạn chế Mong tổ chun mơn trờng, đồng nghiệp góp ý chân thành để tơi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm thực tốt chơng trình THCS
b) Kiến nghị, đề xuất:
Đối với Ban Giám Hiệu nhà trường:
Nhà trờng xếp đảm bảo hợp lý, khoa học hiệu thời gian bồi dỡng sở vật chất phục vụ cho việc dạy học môn
Chế độ thởng đợc nhà trờng thực kịp thời sau có thơng báo kết thi học sinh giỏi cấp, đạt giải
Nhà trờng nên tập trung xây dựng kế hoạch bồi dỡng, chọn lọc qua năm đạo tổ chuyên môn, giáo viên xây dựng kế hoạch bồi dỡng cụ thể, có tính chất tạo nguồn cho năm
Nh trà ường nên xây dựng chế hỗ trợ xứng đáng tạo điều kiện cho giáo viên tham gia bồi dỡng đội tuyển phấn đấu, an tâm giảng dạy
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
TỔ TRƯỞNG
NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN
(ký v ghi hà , tờn)
Nguyễn Lộc Văn Hà
Phn ỏnh giá Ban giám khảo Hội thi giáo viên giỏi cấp trường
(17)c Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu: